24.4解直角三角形暑假预习练（含解析） 华东师大版数学九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
24.4解直角三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，∠B＝40°，则直角边BC的长是( )
A．m·sin40° B．m·cos40° C．m·tan40° D．
2．某水坝的坡度 i ＝1∶，坡长AB＝20 m，则坝的高度为( )
A．10 m B．20 m C．40 m D．2m
3．如图所示，一架飞机在空中A点处测得飞行高度为h米，从飞机上看到地面指挥站B的俯角为α，则飞机与地面指挥站间的水平距离为（ ）
A．h·sinα米 B．h·cosα米 C．h·tanα米 D．米
4．如图，为测量建筑物CD的高度，在A点测得建筑物顶部D点的仰角为45°，再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为60°（A，B，C三点在一条直线上），则建筑物CD的高度为（ ）
A． B． C． D．
5．某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型(如甲图)，图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索BD与水平桥面的夹角是60°，两拉索底端距离AD＝20米，则立柱BC的高为（ ）
A．20米 B．10米 C．10米 D．20米
6．在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（ ）
A． B． C． D．
7．在下列情况下，可解的直角三角形是( )
A．已知b=3，∠C=90° B．已知∠C=90°,∠B=46°
C．已知a=3,b=6,∠C=90° D．已知∠B=15°,∠A=65°
8．如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是( )
A．(6＋6)米 B．(6＋3)米 C．(6＋2)米 D．12米
10．如图是某幼儿园的滑梯的简易图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是12m，则高是（ ）
A．2m B．3m C．4m D．5m
11．如图，在高米，坡角为的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需（ ）
A．米 B．米 C．米 D．无法确定
12．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度为，根据以上条件，可以列出的方程为 （ ）
题目 测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标示意图
相关数据
A． B．
C． D．
二、填空题
13．如图，要测量山上石油钻井的井架高BC，先从山脚A处测得AC=48米，塔顶B的仰角α=45°，已知山坡的坡角β=30°，则井架高BC为 米（精确到1米）．
14．如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，则该山坡的高BC的长为 米．
15．如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．
16．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为 ；当点M的位置变化时，DF长的最大值为 ．
17．小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得、两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥与地面在同一水平面上，其长度为，求热气球离地面的高度 ．（结果保留整数）（参考数据：，，）
三、解答题
18．如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边的最短距离．
19．已知：△ABC中，∠C＝90°.
(1)a＝6，b＝2，求∠A，∠B，c；
(2)a＝24，c＝24，求∠A，∠B，b.
20．如图，一辆轿车在经过某路口的感应线B和C处时，悬臂灯杆上的电子警察拍摄到两张照片，两感应线之间距离BC为6m，在感应线B、C两处测得电子警察A的仰角分别为∠ABD＝18°，∠ACD＝14°．求电子警察安装在悬臂灯杆上的高度AD的长．
（参考数据：sin14°≈0.242，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）
21．在等腰△ABC中，AC＝BC，是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．
（1）当∠CAB＝45°时．
①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是　 　．线段BE与线段CF的数量关系是　 　；
②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；
思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．
（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．
22．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC的长．（结果保留根号）
23．某校教室A位于一地O的正西方向，OA=200米，一部拖拉机从O出发，以5米/秒的速度沿北偏西60°方向行驶，设拖拉机噪音污染半径为125米，试问：教室A是否在噪音污染范围内？若不在，说明理由，若在，求教室A受污染的时间.
24．如图所示，一堤坝的坡角，坡面长度米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留到 米)(参考数据：，，)
《24.4解直角三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D B C D C A A C
题号 11 12
答案 C A
1．B
【详解】根据∠B的余弦的定义得，cosB=，所以BC=ABcosB，即BC=mcos40°，
故选B.
2．A
【详解】如图，因为tanA=，又tanA=，所以=，设BC=x，则AC=x，由勾股定理得，AC2+BC2=AB2，即（x）2+x2=202，解得x=10，故选A.
3．D
【分析】由锐角三角函数的定义直接进行解答即可．
【详解】解：如图所示，
∵AC=h，∠ABC=α，
∴BC= 米．
故选D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
4．B
【分析】分别在与中表示出与的长，由建立等量关系，列方程求解．
【详解】解：在中，；
在中，．
，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的简单应用，根据题目所给信息列出等量关系是解题的关键．
5．C
【分析】首先证明BD=AD=20米，解直角三角形求出BC即可．
【详解】解：∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠A=30°，∠BDC=60°，
∴∠ABD=60°30°=30°，
∴∠A=∠ABD，
∴BD=AD=20米，
∴BC=BD sin60°=10（米），
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．D
【详解】试题分析：∵∠C=90°，∠A=40°，∴∠B=50°.
∵BC=3，，∴.
故选D.
考点：1.直角三角形两锐角的关系；2.锐角三角函数定义.
7．C
【分析】要解直角三角形，必须求出直角三角形的三个内角和三边长.
【详解】A项中，缺少∠A或∠B的值，故不能解直角三角形；
B项中，知道角的关系，但是没有边的大小，故不能解直角三角形；
C项中，利用勾股定理求出c的值，然后利用锐角三角函数的定义求出∠A和∠B.
D项中，∠C=100°，不是直角三角形.
故选C.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握直角三角形的性质.
8．A
【分析】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函数值即可求解．
【详解】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴，
即：，
解得，
故选A．
【点睛】本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．
9．A
【分析】在Rt△ABC求出CB，在Rt△ABD中求出BD，继而可求出CD．
【详解】解：在Rt△ACB中，∠CAB=45°，AB⊥DC，AB=6米，
∴BC=6米，
在Rt△ABD中，
∵tan∠BAD=，
∴BD=AB tan∠BAD=6米，
∴DC=CB+BD=6+6（米）．
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．
10．C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用 坡度坡角问题，解题的关键是根据题意得，代入即可求解．
【详解】解：∵滑坡的坡度是，
∴在中，，
∵，
∴，
故选：C．
11．C
【分析】地毯水平的部分的和是水平边的和，竖直的部分的和是竖直边，因此根据勾股定理求出直角三角形两直角边即可．
【详解】解：已知直角三角形的高是米，根据三角函数得到：水平的直角边是，
则地毯水平的部分的和是水平边的和，竖直的部分的和是竖直边，
则地毯的长是米．
故选．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
12．A
【分析】过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，根据矩形的性质得到HE＝CD＝10，CE＝DH，求得FH＝x 10，得到CE＝x 10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
【详解】过D作DH⊥EF于H，
则四边形DCEH是矩形，
∴HE＝CD＝10，CE＝DH，
∴FH＝x 10，
∵∠FDH＝α＝45°，
∴DH＝FH＝x 10，
∴CE＝x 10，
∵tanβ＝tan50°＝＝，
∴x＝（x 10）tan 50°，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出边角关系的等式，正确的识别图形是解题的关键．
13．18
【分析】由已知得∠β=30,∠BDA=90°,AC=48解Rt△CDA求出AD,DC
此时在△ADB中可求出BD的长,观察图形可知BC=BD-CD.
【详解】∵ ∠CDA=90° AC=48 β=30°
∴ CD=sinα×AC=24 (三角函数定义)
AD=cosα×AC=24× (三角函数定义)
∵ ∠BDA=90° ,∠α=45°
∴ tanα==1 (三角函数定义)
∴ BD=24×
∴ BC=24× 24≈18
即井架高BC为18米.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是根据特殊角度的三角函数的知识分别得出AD、DC和BD的长.
14．100．
【详解】由题意得，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=200米，
∴BC=AB=100米．
15．
【分析】先求解 再利用线段的和差可得答案．
【详解】解：由题意可得：
同理：
故答案为：
【点睛】本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的边长”是解本题的关键．
16．
【分析】当点M与点B重合时，EF垂直平分AB，利用三角函数即可求得EF的长；根据折叠的性质可知，AF=FM,若DF取最大值，则FM取最小值，即为边AD与BC的距离DG，即可求解.
【详解】解：当点M与点B重合时，由折叠的性质知EF垂直平分AB，
∴AE=EB=AB=3，
在Rt△AEF中，∠A=60°，AE=3，
tan60°=，
∴EF=3；
当AF长取得最小值时，DF长取得最大值，
由折叠的性质知EF垂直平分AM，则AF=FM，
∴FM⊥BC时，FM长取得最小值，此时DF长取得最大值，
过点D作DG⊥BC于点C，则四边形DGMF为矩形，
∴FM=DG，
在Rt△DGC中，∠C=∠A=60°，DC=AB=6，
∴DG=DCsin60°=3，
∴DF长的最大值为AD-AF=AD-FM=AD-DG=6-3，
故答案为：3；6-3．
【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
17．233m
【分析】作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，表示出DB和DC，根据正切的概念求出x的值即可．
【详解】解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，
由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，
在Rt△ADB中，∠ABD=45°，
∴DB=x，
在Rt△ADC中，∠ACD=35°，
，
，
解得，x≈233．
所以，热气球离地面的高度约为233米．
故答案为：233．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．
18．这个标志性建筑物底部A到岸边的最短距离为公里．
【分析】题目主要考查解直角三角形的应用及垂线的性质，根据题意，作出辅助线，熟练掌握运用解三角形是解题关键．
要求这个标志性建筑物底部A到岸边的最短距离也就是要求出点A到直线的最短距离，过点A作于D，然后利用所给条件求出的长即可．
【详解】解：过A作于D，则的长度就是A到岸边的最短距离．
在中，，设，则，
在中，，
由，即，
所以，
又，即，
所以，
解得．
答：这个标志性建筑物底部A到岸边的最短距离为公里．
19．(1)∠A＝60°，∠B＝30°，c＝4；(2) b＝24，∠A＝∠B＝45°.
【详解】试题分析：
（1）由tanA=，可得∠A=30°，从而可得∠B=60°，再由c=2b可得c=；
（2）由勾股定理可得：b=24，由tanA=可得∠A=45°，从而可得∠B=45°.
试题解析：
(1)∵在Rt△ ABC中，tanA＝，
∴tanA＝＝，
∴∠A＝60°，∠B＝90°－60°＝30°，
∴c＝2b＝2×2＝4；
(2)∵在Rt△ABC中，根据勾股定理有b2＝c2－a2，
∴b＝24，
∴ tanA＝＝1，
∴∠A＝∠B＝45°.
20．AD的长为6.5 m．
【分析】设电子警察安装在悬臂灯杆上的高度AD的长为xm．通过解Rt△ADB和Rt△ACD求得BD、CD的长度，然后结合BC＝CD﹣BD列出方程，并解答．
【详解】设电子警察安装在悬臂灯杆上的高度AD的长为x m．
在Rt△ADB中，tan∠ABD＝ ，
∴BD＝，
在Rt△ACD中，tan∠ACD＝ ，
∴CD＝，
∵BC＝CD﹣BD，
∴﹣＝6，
∴4x﹣x＝6．
解这个方程，得x＝6.5．
答：电子警察安装在悬臂灯杆上的高度AD的长为6.5 m．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．（1）①，；②仍然成立，证明见解析；（2），理由见解析．
【分析】（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．首先证明再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．②解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．证明（SAS），可得结论．解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°得到，连接DT，GT，BG．证明四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，可得结论．
（2）结论：BE＝．如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．证明，可得结论．
【详解】解：（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．
∵CA＝CB，∠CAB＝45°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADE＝∠ACB＝45°，∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴AD＝AE，
∴AT⊥DE，DT＝ET，
∴AB垂直平分DE，
∴BD＝BE，
∵∠BCD＝90°，DF＝FB，
∴CF＝BD，
∴CF＝BE．
故答案为：∠EAB＝∠ABC，CF＝BE．
②结论不变．
解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，AM＝BM，
∴CM⊥AB，CM＝BM＝AM，
由①得：
设AD＝AE＝y．FM＝x，DM＝a，
点F是BD的中点，
则DF＝FB＝a+x，
∵AM＝BM，
∴y+a＝a+2x，
∴y＝2x，即AD＝2FM，
∵AM＝BM，EN＝BN，
∴AE＝2MN，MN∥AE，
∴MN＝FM，∠BMN＝∠EAB＝90°，
∴∠CMF＝∠BMN＝90°，
∴（SAS），
∴CF＝BN，
∵BE＝2BN，
∴CF＝BE．
解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°得到，连接DT，GT，BG．
∵AD＝AE，∠EAD＝90°，EG＝DG，
∴AG⊥DE，∠EAG＝∠DAG＝45°，AG＝DG＝EG，
∵∠CAB＝45°，
∴∠CAG＝90°，
∴AC⊥AG，
∴AC∥DE，
∵∠ACB＝∠CBT＝90°，
∴AC∥BT∥，
∵AG＝BT，
∴DG＝BT＝EG，
∴四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，
∴BD与GT互相平分，
∵点F是BD的中点，
∴BD与GT交于点F，
∴GF＝FT，
由旋转可得；
是等腰直角三角形，
∴CF＝FG＝FT，
∴CF＝BE．
（2）结论：BE＝．
理由：如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠ACB＝120°，
∵AT＝TB，
∴CT⊥AB，
∴AT＝，
∴AB＝，
∵DF＝FB，AT＝TB，
∴TF∥AD，AD＝2FT，
∴∠FTB＝∠CAB＝30°，
∵∠CTB＝∠DAE＝90°，
∴∠CTF＝∠BAE＝60°，
∵∠ADE＝∠ACB＝60°，
∴AE＝AD＝FT，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
22．BC=2（+1）．
【详解】试题分析：由题意可得△BCD为等腰直角三角形，从而BD=BC，在Rt△ABC中，由∠A的正切值可求出BC的长．
试题解析：∵∠B=90°，∠BDC=45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BD=BC，
在Rt△ABC中，tanA=tan30°=，即，
解得：BC=2（+1）．
考点： 解直角三角形
23．受到污染；30s
【分析】问教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内，其实就是问A到OM的距离是否大于污染半径125m，如果大于则不受影响，反之则受影响．如果过A作AB⊥OM于B，那么AB就是所求的线段．直角三角形AOB中，∠AOB的度数容易求得，又已知了OA的值，那么AB便可求出了．然后进行判断即可．
如果设拖拉机从C到D教室受影响，那么要求教室受影响的时间，其实就是求CD的值，直角三角形ABC中，AB的值已经求得．又有AC的值，那么BC的值就能求出了．CD也就能求出了，然后根据时间=路程÷速度即可得出时间是多少．
【详解】解：如图，过点A作AB⊥OM于点B，
∵∠MON=60°，
∴∠AOM=90°-60°=30°．
在Rt△ABO中，∠ABO=90°，
∵sin∠AOB=，
∴AB=AO sin∠AOB=200×sin30°=100（m）．
∵100m＜125m．
∴教室A在拖拉机的噪声污染范围内．
根据题意，在OM上取C，D两点，连接AC，AD，使AC=AD=125m，
∵AB⊥OM，
∴B为CD的中点，即BC=DB，
∴BC===75（m），
∴CD=2BC=150（m）．
即影响的时间为=30s．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的知识，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．
24．米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题．解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解．
过A点作于E．在中，根据三角函数可得，，在中，根据三角函数可得，再根据即可求解．
【详解】解：过A点作于E．
在中，．
∴米，米，
在中，，
∴米，
∴米．
故此时应将坝底向外拓宽大约米．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)