第二十二章一元二次方程暑假预习练（含解析） 华东师大版数学九年级上册

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第二十二章一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的图象如图所示，则一元二次方程的根的存在情况是（ ）
A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根
C．没有实数根 D．不能确定
3．方程的根是（ ）
A． B． C．， D．，
4．若关于的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．宾馆有间房供游客居住，当每间房每天定价为元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为元？设房价定为元．则下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．关于的方程的解是，，（，，均为常数，），则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．一元二次方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．
9．用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（ ）
A． B． C． D．
10．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．
11．定义：一元二次方程（）若满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程，若满足，那么我们称这个方程为“友善”方程.已知关于的方程（）既是“和谐”方程，又是“友善”方程，则下列结论中正确的是（　　）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程的两个根互为相反数
C．两根之积为0 D．无实数根
12．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约亿元，第三天票房收入约达到亿元，设票房收入每天平均增长率为，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．若一元二次方程的两根为，则等于 ．
14．某店8月份利润为16万元，要使10月份利润达到25万元，设月平均增长率为x，根据题意可列方程 ．
15．如图是一个简单的数值运算程序，若输出的值为，则输入的x的值为 ．
16．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若，则关于的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为．其中正确的是 ．（写出所有正确说法的序号）
17．关于x的一元二次方程有一个根为3，则另一个根为 ．
三、解答题
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程有一个根小于0，求出m的取值范围．
19．解方程：
(1)
(2)
20．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：二次项系数化为1，得……第一步
配方，得， 第二步
， ……第三步
． ……第四步
由此可得． ……第五步
解得． ……第六步
任务一：填空：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是______，依据的数学公式是______；
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：请你写出该方程的正确求解过程．
21．解方程：
(1)；
(2)．
22．一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），参赛者少于10人．关于比赛的总局数有以下两种不同的说法：一种是说比了28局；另一种说法是比了24局．如果比赛中没有人中途退出，你认为哪一种说法正确？如果有一人中途退出比赛呢？请说明理由．
23．新晋网红打卡地——万州望江大梯道利用流光溢彩的灯光瀑布和飘渺灵动的雾气结合，为众多游客营造出璀璨又浪漫的人间仙境．某商家借此购进一批儿童玩具水枪和木剑．商家用1800元购买水枪，900元购买木剑，每把水枪和木剑的进价之和为12元，且购进木剑的数量是水枪的倍．
(1)求商家购买每把水枪的进价和每把木剑的进价；
(2)商家在销售过程中发现，当木剑的售价为7元/把，水枪的售价为18元/把时，一天可售出40把木剑，20把水枪．据统计，水枪的售价每降价元一天可多售出3把，现决定十月一日水枪每把降价m元销售（库存量尽可能减少），在木剑的售价不变的情况下，该天木剑少卖了把（不考虑其他因素），若商家国庆节当天销售水枪和木剑的总利润为340元时，试求m的值．
24．解下列方程：
(1)；
(2)．
《第二十二章一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C A D B B A B B
题号 11 12
答案 B A
1．C
【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
解得：m=-2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．A
【分析】
根据一次函数的图象可得出，再根据一元二次方程根的判别式即可判断．
【详解】解：由图可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
3．C
【分析】此题考查了解一元二次方程．利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】解：∵
∴或，
解得，．
故选：C
4．A
【分析】本题考查根与系数的关系，设关于的方程的两个根为，得到，换元法，得到的两个根为，再进行求解即可．
【详解】解：设关于的方程的两个根为，则：，
∴关于y的方程的两根为，
∴；
故选A．
5．D
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，
根据题意得：．
故选：D．
6．B
【分析】设房价定为x元，根据利润=房价的净利润入住的房间数可得．
【详解】设房价定为x元，
根据题意，得
故选B．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象列出于一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．
7．B
【分析】可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到，，然后解两个一次方程即可．
【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程，
而于的方程的解是、，，均为常数，，
所以，，
所以，．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
8．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴．
故选A．
9．B
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，按照配方法的步骤写出配方之后的方程即可．
【详解】解：
故答案选B
10．B
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，由此即可求得答案．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴，
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∴的取值范围为且．
故选：B．
11．B
【分析】根据已知得出方程（）有两个根或，再判断即可．
【详解】解：∵把代入方程得出：，
把代入方程得出，
∴方程（）有两个根或，
∴，
即只有选项B正确；选项A、C、D都错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，主要考查学生的理解能力和计算能力．
12．A
【分析】第一天为2亿元，根据增长率为x得出第二天为2（1+x）亿元，第三天为2（1+x）2亿元，根据“第三天票房收入约达到4亿元”，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．
【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程，直接开方法求出方程的根，进而确定的值，再求和即可．
【详解】解：由题意，有根，
∴，
∴，
∵方程的根为，
∴，
∴；
故答案为：．
14．
【分析】根据题意可求出9月份利润为，进而可求出10月份利润为，即得出方程．
【详解】解：设月平均增长率为x，
∴9月份利润为，
∴10月份利润为．
∵要使10月份利润达到25万元，
∴可列方程为．
故答案为：．
【点睛】本题考查由题意抽象出一元二次方程．解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．
15．4或
【分析】根据运算程序可得，然后利用直接开平方法解方程即可．
本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
两边都除以，得，
所以，
解得，．
故答案为：4或．
16．①②③④
【分析】通过解出一元二次方程，结合“倍根方程”的定义，即可判断说法①；根据解方程，得出，，再结合“倍根方程”的定义，得出或，进而得出，，然后再用十字相乘法分解，再把，代入，即可判断说法②；通过解出一元二次方程，结合“倍根方程”的定义，即可判断说法③；根据“倍根方程”的定义，设，再根据一元二次方程根与系数的关系，得出，进而得出，解出即可判断说法④．
【详解】解：①解方程得：，，
∵，
∴方程是倍根方程，故①正确；
②∵是倍根方程，且，，
∴或，
∴，，
∴，故②正确；
③∵，
解方程得：，，
∴，故③正确；
④∵方程是倍根方程，
∴设，
∵，即，
∴，
∴，
∴，故④正确．
综上所述，关于倍根方程的说法正确的为：①②③④．
故答案是：①②③④
【点睛】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，解本题的关键在理解题意，正确作出判断．
17．
【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，．设方程的另一根为t，利用根与系数的关系得到，然后解关于t的一次方程即可．
【详解】解：设方程的另一根为t，
根据根与系数的关系得，，
解得，
即方程的另一个根为．
故答案为．
18．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）只要证明方程的判别式即可；
（2）解方程求出方程的根，进而可得关于m的不等式，即可求解．
【详解】（1）证明：，
∵，
∴
∴方程总有两个实数根．
（2）解：，
∴，
∵方程有一个根小于0
∴
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式和方程的求解，正确理解题意、熟练掌握方程根的判别式与方程根的个数之间的关系是解题的关键．
19．(1)，
(2)
【分析】（1）先分解因式，可得到两个一元一次方程，再求解；
（2）先去括号移项，再根据方程的形式选择适当方法求解．
【详解】（1）解：
，
，
（2）解：
【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，掌握不同的求解方法是解题的关键．
20．任务一：①配方法；②完全平方公式；任务二：见解析
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；
任务一：①根据配方法解方程的步骤可得解方程的方法；②由完全平方公式的含义可得答案；
任务二：先把方程化为可得，再解方程即可．
【详解】解：任务一：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的数学公式是完全平方公式；
②第二步开始出现错误，错误的原因是加上，没有减去．
任务二：正确求解过程如下：
二次项系数化为1，得，
配方，得，
∴，
∴．
由此可得．
解得．
21．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式，进而得到方程的解；
（2）移项提公因式，进而分解因式解方程．
【详解】（1）解：
根据十字相乘可分解因式
解得：，
（2）解：
移项得
提公因式得
∴或
∴，
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解法：十字相乘法和提公因式法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
22．比了28局；比了24局
【分析】设有n人参见比赛，根据题意，比赛总局数为，且n为正整数，列方程，方程有整数解的就正确，反之不正确．
【详解】比赛中没有人中途退出，比了28局；有一人中途退出比赛，比了24局．理由如下：
设有n人参见比赛，根据题意，比赛总局数为，且n为正整数，
列方程，得，
当时，
解得（舍去），
是正整数，符合题意；
当时，
解得（舍去），
因为不是正整数，不符合题意，
故比赛中没有人中途退出，比了28局说法正确；
当有人退出时，比赛局数一定小于28局，
故有一人中途退出比赛，比了24局说法正确．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
23．(1)商家购买每把水枪的进价为9元，每把木剑的进价为3元
(2)3
【分析】（1）设商家购买每把水枪的进价为x元，则每把木剑的进价为元，根据“商家用1800元购买水枪，900元购买木剑，且购进木剑的数量是水枪的倍．”列出方程，即可求解；
（2）根据“当天销售水枪和木剑的总利润为340元”，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解∶ 设商家购买每把水枪的进价为x元，则每把木剑的进价为元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意；
答：商家购买每把水枪的进价为9元，每把木剑的进价为3元；
（2）解∶ ∵总利润为340元，
∴，
解得：或0，
∵库存量尽可能减少，
∴销售量尽可能大，
∴．
【点睛】本题考查分式方程和一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程．
24．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
（2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【详解】（1）解：，
，
则或，
解得，；
（2）解：，
，
，即，
，
，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
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