第二十四章解直角三角形暑假预习练（含解析） 华东师大版数学九年级上册

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第二十四章解直角三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若锐角满足，则锐角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，平行四边形的周长是对角线与交于点是中点，的周长比的周长多，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，∠α的顶点为O，一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P（3，4），则sinα＝（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，是边的中点，是的中点，若，则的长是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
5．如图，已知的边，直线的方程为，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知∠A为锐角，且sinA＝，那么∠A等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
7．如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，已知等边的边长为8，点是边上的动点，以为边向右作等边，点是边的中点，连接， 则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．不能确定
9．在中，，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为（ ）
A．24米 B．18米 C．米 D．米
11．如图，小王在山坡上E处，用高1.5米的测角仪EF测得对面铁塔顶端A的仰角为25°，DE平行于地面BC，若DE＝2米，BC＝10米，山坡CD的坡度i＝1：0.75，坡长CD＝5米，则铁塔AB的高度约是（　　）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47 ）
A．11.1米 B．11.8米 C．12.0米 D．12.6米
12．在平面直角坐标系中，一象限内射线OA与x轴正半轴的夹角为α，点P在射线OA上，若，则点P的坐标可能是（　　）
A．（3，5） B．（5，3）
C．（3，4） D．（4，3）
二、填空题
13．在中，，已知和b，那么 ．
14．为了打造城市“绿洲”，某市计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为元，则购买这种草皮需 元．
15．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中米，则河流的宽度CD为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，将绕原点顺时针旋转60°再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，，得到．将绕原点顺时针旋转60°再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，，得到，…，如此继续下去，得到，则点的坐标是 ．
17．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于
三、解答题
18．已知为锐角，且，求的值．
19．在中，，，，求，和，．
20．如图，在矩形中，，，点为边的中点．动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，当点不与点A重合时，连接．作点A关于直线的对称点，连接、，设点的运动时间为秒．
(1)线段的长为______．
(2)用含的代数式表示线段的长．
(3)当时，求的值．
(4)当点在矩形内部（不包括边界）时，直接写出的取值范围．
21．如图,△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，求sinB的值.
22．如图，矩形是供一辆机动车停放的车位示意图，已知，，，请你计算车位所占的宽度约为多少米？（，结果保留两位小数）
23．计算与化简题
(1)计算：
(2)先化简，再求代数式的值，其中．
24．如图，在正方形中，点E是的中点，连接，过点A作交于点F，交于点G．
(1)证明：；
(2)连接，求证：．
《第二十四章解直角三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C D A C D C C D
题号 11 12
答案 D D
1．C
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴；
故选C．
2．B
【分析】根据题意，由平行四边形的周长得到，由的周长比的周长多，则，求出AD的长度，即可求出AE的长度．
【详解】解：∵平行四边形的周长是，
∴，
∵BD是平行四边形的对角线，则BO=DO，
∵的周长比的周长多，
∴，
∴，，
∴，
∵，点E是中点，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题．
3．C
【分析】已知点P的坐标，就是已知直角三角形的两直角边的长，根据勾股定理就可以求出OP的长．然后根据三角函数的定义求解．
【详解】OA上有一点P（3，4），则P到x轴距离为4，|OP|=5，则sina．
故选C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，正弦的定义，坐标与图形的性质，熟记三角函数的定义是解题的关键．
4．D
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质得，根据三角形的中位线的性质即可得到结论．
【详解】解：在中，，，，
，
是边的中点，是的中点，
是的中位线，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
5．A
【分析】本题考查了三角函数的定义和一次函数、勾股定理的知识，利用等角的代换，体现了思维的灵活性．根据一次函数的性质，求出点A、B的坐标，得到、的长度，再根据三角函数的定义即可求出的值．
【详解】直线的方程为
当时，；当时，，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∴，
．
故选：A．
6．C
【详解】解：∵sinA＝，∴A=45°．故选C．
7．D
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．
【详解】∵，，
∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°，
A．由作图可知，平分，
∴，
故选项A正确，不符合题意；
B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，
∴，
∵，∴，
故选项B正确，不符合题意；
C．∵，，∴，
∵，∴，
故选项C正确，不符合题意；
D．∵，，
∴；
故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
8．C
【分析】首先结合等边三角形的性质证明，由全等三角形的性质可得，进而可得点的运动轨迹在经过点，且与夹角为的射线上，当时，取最小值，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”以及勾股定理解得此时的值，即可获得答案．
【详解】解：∵与均为等边三角形，且等边的边长为8，
∴，，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹在经过点，且与夹角为的射线上，
∴当时，取最小值，如图，
∵点是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值是．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，准确判断点的运动轨迹是解题关键．
9．C
【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，根据，，即可求出答案．
【详解】解：∵是直角三角形，，
∴是锐角，
∵，
∴，
故选：C．
10．D
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，设过点A的水平线于交于点E，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出．
【详解】解：设过点A的水平线于交于点E，如图，
由题意知：四边形是矩形米，，
在中，，
在中，,
∴
∴
∴，
解得（米），
故选：D．
11．D
【分析】如图，过点E、F分别作AB的垂线，垂足分别为G、H，得矩形EFHG，可得GH＝EF＝1.5，HF＝GD+2，过点D作BC延长线的垂线，垂足为M，得矩形DMBG，根据CD的坡度i＝1：0.75＝4：3，CD＝5，可得DM＝4，CM＝3，再根据锐角三角函数求出AH的长，即可求出AB的高度．
【详解】解：如图，过点E、F分别作AB的垂线，垂足分别为G、H，得矩形EFHG，
∴GH＝EF＝1.5，HF＝GE＝GD+DE＝GD+2，
过点D作BC延长线的垂线，垂足为M，
得矩形DMBG，
∵CD的坡度i＝1：0.75＝4：3，CD＝5，
∴DM＝4，CM＝3，
∴DG＝BM＝BC+CM＝10+3＝13，BG＝DM＝4，
∴HF＝DG+2＝15，
在Rt△AFH中，∠AFH＝25°，
∴AH＝FH tan25°≈15×0.47≈7.05，
∴AB＝AH+HG+GB≈7.05+1.5+4≈12.6（米）．
答：铁塔AB的高度约是12.6米．
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题、坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义和坡度坡角定义．
12．D
【分析】过点P作PB⊥x轴于点B，构建直角△POB，利用余弦函数的定义可得点P的坐标．
【详解】解：过点P作PB⊥x轴于点B，
∵cosα＝，
∴可假设OB＝4，则OP＝5，
∴PB＝，
∴点P的坐标可能是（4，3）．
故选：D．
【点睛】本题考查坐标与图形性质、锐角三角函数的概念．在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
13．
【分析】根据正弦的定义得到，即可得到用和表示．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．

【点睛】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．
14．
【分析】作边的高，设与的延长线交于点，则，由，即可求出，然后根据三角形的面积公式即可推出的面积为，最后根据每平方米的售价即可推出结果．
【详解】解：如图，作边的高，设与的延长线交于点，
，
，
，，
，
，
，
每平方米售价元，
购买这种草皮的价格为元．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于做出边上的高，根据相关的性质推出高的长度，正确的计算出的面积．
15．米
【分析】根据题意，作构造直角三角形和矩形，根据锐角三角函数得到AM、DE的长，然后计算出CD的长度．
【详解】作于点E，如图所示，则四边形是矩形
，
由已知可得：，，米，，米，，
米，
米
米
解得米
米
故答案为：米
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际问题，涉及到仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是理清题目条件，构造适当辅助线，灵活运用相关知识．
16．（22022，0）
【分析】根据图形可知：首先△OAB绕原点O顺时针方向旋转60°，旋转6次后，正好旋转一周，规律是6次一循环，其次根据将其各边都扩大为原来的2倍，依此类推，得到OAn＝2n，进而得出答案．
【详解】解：如图，
∵点A，的坐标分别为，，
∴OA=1，AB=，∠OAB=90°，
∴OB=2，
∴∠OBA=30°，
∴∠AOB＝60°，
∵每一次旋转角是60°，
∴旋转6次后，正好旋转一周，点A6在x轴的正半轴上，
∵2022÷6＝337，
∴点A2022在x轴的正半轴上；
∵每次旋转后OA1＝2OA，OB1＝2OB，OA2＝2OA1，OB2＝2OB1，…
∴OA1＝2＝2，OA2＝2OA1＝2×2＝22，OA3＝2OA2＝2×22＝23，…
依此类推，OAn＝2n，
当n＝2022时，OA2022＝22022，
∵点A2022在x轴的正半轴上，
∴点A2022的坐标是（22022，0）．
故答案为：（22022，0）．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、含30°锐角的直角三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、规律型、点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．
17．
【详解】∵OA=OB=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠AOB=cos60°=．
故答案是：．
18．
【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度和特殊角的三角函数值的混合运算．熟练记特殊角的三角函数值是解题的关键．
先求出锐角A的度数，再把特殊角的三角函数值代入计算即可．
【详解】解：∵为锐角，且，
∴，
∴原式
．
19．，，，
【分析】在中，只需根据三角函数的定义即可求出、，根据直角三角形的两个锐角互余可求出，然后根据特殊角的三角函数值就可得到，的值．
【详解】解：在中，
，，，
则有，，
，．
【点睛】本题主要考查了正弦、余弦的定义、特殊角的三角函数值等知识，在直角三角形中，除直角外，只需知道两个元素至少有一条边，就可求出其它元素．
20．(1)5
(2)
(3)
(4)或
【分析】(1)根据点A关于直线的对称点是点，可得，再根据点为边的中点即可求得；
(2)分两种情况分别计算，即可求得；
(3)过点作于点，于点N，根据，，利用勾股定理即可求得，，再根据勾股定理即可求得t的值；
(4)分两种情况即可分别求得．
【详解】（1）解：，点为边的中点，
，
点A关于直线的对称点是点，
，
故答案为：5；
（2）解：当点P在线段AD上时，，
当点P在点D的上方时，，
故；
（3）解：如图：过点作于点，于点N，
，
设，EM=4x，
在中，，，
，解得x=1(负值舍去)，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，，，
，
解得t=15；
（4）解：当点在DC边上时，过点E作于点M，
则EM=BC=4，，DM=AE=5，，DP=4-t，
，
，解得(负值舍去)，
，
，解得，
故当时，点在矩形内部；
当点在DC边上时，过点作于点N，
则，，，DP=t-4，
，
，解得(负值舍去)，
，
，解得，
故当时，点在矩形内部，
综上，当或时，点在矩形内部．
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，动点问题中的用字母表示相关线段的长，正切函数的定义，勾股定理，矩形的判定与性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
21．.
【详解】试题分析：求三角函数的值，一般需要在直角三角形里才能求，所以需要先做BC边的垂线，构造Rt△ADB，由勾股定理求出AD边，即可求sinB.
过A作AD⊥BC于D,
∵AB=AC,
∴BD=2.在Rt△ADB中，由勾股定理,知AD=，
∴sinB=.
22．车位所占的宽度约为米．
【分析】根据题意得出各角度数，再利用锐角三角函数关系求出即可．
【详解】由题意可得：∠BCE=60，
故EC=BCcos60=1(m),FC=DCcos30=5×=，
则EF=EC+FC=1+≈5.33(m).
答：车位所占的宽度EF约为5.33米.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用.
23．(1)
(2)，
【分析】（1）根据负整数指数幂，胡加绝对值，零次幂，特殊角的三角函数值，进行计算求解即可；
（2）先去括号，把除法变为乘法把分式化简，再把数代入求值．
【详解】（1）解：原式＝
；
（2）
；
；
原式．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，正确的计算是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到，，，即可得出；
（2）延长交的延长线于H，根据，即可得出B是的中点，进而得到．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，延长交的延长线于H，
∵E是的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
即B是的中点，
又∵，
∴中，．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
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