3.5最基本的图形——点和线暑假预习练（含解析） 华东师大版数学七年级上册

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3.5最基本的图形——点和线
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知点A，B，C在同一条直线上，，则的长为（ ）
A．4 B．8 C．4或8 D．无法确定
2．如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接AB，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（　　）
A．经过一点有无数条直线 B．两点确定一条直线
C．两直线相交只有一个交点 D．两点之间，线段最短
3．如图，D为BC的中点，则下列结论不正确的是( )
A．AC＝AB＋2BD B．AD＝AB＋CD
C．BC＝AB＋BD D．BD＝AC－AD
4．如图，点为线段的中点，点为的中点，若，，则线段的长（ ）
A．7 B． C．6 D．5
5．下列四个现象：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．其中不可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（　　）
A．②③ B．①③ C．②④ D．①④
6．O、P、Q是平面上的三点，PQ=20 cm，OP+OQ=30cm，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．O点在直线PQ外 B．O点在直线PQ上
C．O点不能在直线PQ上 D．O点可能在直线PQ上
7．已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为　　
A． B． C．或 D．或
8．点B在线段上，以下四个等式：①； ②； ③； ④．其中能表示，点B是线段中点的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，小李同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，直线最短 B．经过一点有无数条直线
C．两点之间，线段最短 D．经过两点有且仅有一条直线
10．黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为（ ）
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对
11．点、线、面、体这些基本图形可帮助人们有效地刻画错综复杂的现实世界．下列现象中可以反映“点动成线 ”的是(　)
A．流星划过夜空 B．打开折扇
C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转
12．如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在同一平面内有不重合的四个点，且这四个点不都在同一条直线上，经过这四个点中的任意两点画直线，则一共可以画 条直线．
14．如图，线段共有 条，射线共有 条，射线AB与射线 是同一条射线．
15．已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ．
16．笔尖在纸上快速滑动写出了一个又一个字，这说明了 ；直角三角形绕它的直角边旋转一周，形成了一圆锥体，这说明了 ，“齐天大圣”孙悟空有一个宝贝﹣金箍棒，当他快速旋转金箍棒时，展现在我们眼前的是一个圆的形象，这说明 ．
17．已知线段，C是直线上的点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长为 ．
三、解答题
18．已知平面上有一条线段，探讨下列问题：
(1)平面上是否存在一点，使它到两点的距离之和等于？说明理由；
(2)平面上是否存在一点，使它到两点的距离之和等于？若存在，它的位置唯一吗？
(3)当点到两点的距离之和等于时，点一定在直线外吗？请举例说明．
19．在数轴上有A、B两点，点A在点B的左边，若点A表示的数为，线段．
(1)点B表示的数为___________；
(2)在线段上有一点M满足，数轴上有一动点N从点A出发向右运动，若某一时刻，求此时的长度．
20．如图，已知射线AD，线段a，b．
(1)尺规作图：在射线AD上作线段AB，BC，使，．（保留作图的痕迹，不要求写出作法）
(2)若cm，cm，求线段AC的长．
21．如图，已知线段a、b、c，用尺规作一条线段，使它等于．（保留作图痕迹，不写作法〉
22．【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）；
【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？
23．已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧，
(1)若，，线段在线段上移动，
①如图1，当E为中点时，求的长；
②当点C是线段的三等分点时，求的长；
(2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求．
24．如图，已知平面上四个点，请按要求画图并回答问题．
(1)连接，延长到，使；
(2)分别画直线、射线；
(3)在射线上找点，使最小．此画图的依据是_______．
《3.5最基本的图形——点和线》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C C D D C C C B
题号 11 12
答案 A D
1．C
【分析】此题考查了线段的和差，解题的关键是利用分类讨论的思想求解问题．分两种情况，点在之间和点在之间，利用线段的关系，求解即可．
【详解】解：点在之间，如下图：

由题意可得：；
当点在之间时，如下图：

由题意可得：；
综上分析可知：的长为4或8．
故选：C．
2．D
【分析】本题考查线段的性质，理解两点之间线段最短的性质是正确判断的前提．根据线段的性质进行判断即可．
【详解】解：A，B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小，图2中所示的C点即为所求的码头的位置，那么这样做的理由是两点之间，线段最短，
故选：D．
3．C
【分析】根据线段中点的性质，对各选项逐个进行判断即可；
【详解】解：A∵BD=CD，∴BC=2BD，∴AC=AB+2BD，故正确；
B∵BD=CD，∴AD=AB+BD=AB+CD，故正确；
C∵BC=BD+CD，，∴，故错误；
D∵BD=CD，CD=AC-AD，∴BD=AC-AD，故正确；
综上，故选C；
【点睛】本题考查了线段的组成，涉及了线段中点等知识，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．
4．C
【分析】应用一条线上的线段和差关系进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵点D为线段AB的中点，
∴AD＝BD＝AB＝×16＝8，
∵AD＝AE＋DE，DE＝AE，
∴AE＋AE＝8，
∴AE＝6，DE＝2，
∵点C为DB的中点，
∴CD＝BD＝×8＝4，
∴CE＝DE＋CD＝2＋4＝6，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一条线上各个线段关系，看清图中线段关系，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．
5．D
【分析】根据两点之间，线段相等和两点确定一条直线逐个判断即可．
【详解】解：①中现象属于两点确定一条直线，不可用“两点之间，线段最短”来解释，符合题意；
②把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意；
③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设，可用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意；
④中现象属于两点确定一条直线，不可用“两点之间，线段最短”来解释，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查线段和直线性质，解答的关键掌握两点之间，线段最短以及两点确定一条直线．
6．D
【分析】根据O、P、Q是平面上的三点，PQ=20cm，OP+OQ=30cm>20cm，可得O点不能在线段PQ上，但点O可能在直线PQ上，也可能在直线PQ外，即可求解．
【详解】解：∵O、P、Q是平面上的三点，PQ=20cm，OP+OQ=30cm>20cm，
∴O点不能在线段PQ上，但点O可能在直线PQ上，也可能在直线PQ外．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了点与直线的位置关系，解答本题的关键是熟练掌握线段长度之间的关系，为了更好的判断可根据题意动手操作一下更明了．
7．C
【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，分当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，两种情况画出对应的图形，求出的长，进而求出的长，再由线段之间的关系求解即可．
【详解】解：如图，当点C在线段上时，
∵，，
∴，
∵点为线段的中点，
∴，
∴；

如图，当点C在线段延长线上时，
∵，，
∴，
∵点为线段的中点，
∴，
∴；
综上所述，线段的长为或
故选：C．

8．C
【分析】本题考查了线段的中点这一概念．根据线段的中点概念，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】解：点B在线段上，
①，能表示点B是线段中点；
②，能表示点B是线段中点；
③，能表示点B是线段中点；
④，不能表示点B是线段中点．
故选：C．
9．C
【分析】本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．
【详解】解：如图：
用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，
∴线段的长小于点A绕点C到B的长度，
∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，
故选C．
10．B
【分析】此题考查了点、线、面、体，正确理解点线面体的概念是解题的关键．
根据“线动成面”的概念直接回答即可．
【详解】解：黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，可以看作线动成面的实际应用；
故选：B．
11．A
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、流星划过夜空是“点动成线”，故本选项符合题意；
B、打开折扇是“线动成面”，故本选项不合题意；
C、汽车雨刷的转动是“线动成面”，故本选项不合题意；
D、旋转门的旋转是“面动成体”，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了点、线、面、体的知识，主要是考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力．
12．D
【分析】本题考查了线段的和差及基本作图知识，准确把握线段的和差关系是解题的关键．根据即可求得．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：D．
13．4或6
【分析】本题考查求直线的条数，分四个点中有三个点在一条直线上和四个点都不在同一条直线上两种情况讨论，根据任意两点确定一条直线，进行求解即可．
【详解】解：若这四个点中有三个点在一条直线上，则可以画（条）直线；
若四个点都不在同一条直线上，过任意一个点与剩下的3个点可以画出3条直线，
4个点共可以画出（条），
因为每个点重复一次，
所以一共可以画（条）直线；
综上，一共可以画4条或6条直线，
故答案为：4或6．
14． 3 6 AC
【分析】根据线段、射线的定义进行解答即可．
【详解】解：图中线段有AB、AC、BC共3条；
∵一个端点处有两个两条射线，
∴射线有条；
射线AB与射线是同一条射线．
故答案为：3；6；AC．
【点睛】本题主要考查了线段、射线的定义，熟练掌握射线和线段的定义，是解题的关键．
15．或
【分析】本题考查了线段的计算，由题意可知或，再结合线段和差关系即可求解，明确线段三等分点的意义，正确分类计算是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，则，
∵点D是线段的三等分点，
∴或，
当时，；
当时，；
综上，或，
故答案为：或．
16． 点动成线 面动成体 线动成面
【分析】根据“点动成线，线动成面，面动成体”进行分析即可．
【详解】解：“笔尖”可近似看作“点”笔尖在纸上快速滑动，说明点动成线，直角三角形可以看作是“面”，旋转一周形成了一圆锥体，说明“面动成体”，“金箍棒”可近似看作“线段”，快速旋转金箍棒，展现在我们眼前的是一个圆的形象，实际上就是“线动成面”，
故答案为：点动成线，面动成体，线动成面．
【点睛】本题考查了点、线、面、体，理解“点动成线，线动成面，面动成体”是解题关键．
17．或/或
【分析】本题考查与线段的中点有关的计算问题，根据线段中点的定义求出、，再分线段不在线段上和在线段上两种情况讨论求解．
【详解】解：∵M是的中点，N是的中点，

∴，，
如图1，线段不在线段上时，，
如图2，线段在线段上时，，
综上所述，线段的长度是或．
故答案为：或．
18．(1)不存在，理由见解析
(2)存在，位置不唯一
(3)不一定，见解析
【分析】（1）根据两点之间线段最短，进行作答即可；
（2）根据线段的和差计算，进行说明即可；
（3）根据线段的和，进行说明即可．
【详解】（1）解：不存在．理由：因为两点之间，线段最短，
所以．
而，
所以．
即平面上不存在一点，使它到两点的距离之和等于．
（2）存在．
当点在线段上时，；
点的位置不唯一，它是线段上的任意一点．
（3）不一定．如图所示（当点在线段的延长线上，且时也符合题意）：
，符合题意．
【点睛】本题考查线段的和差计算．熟练掌握两点之间线段最短，是解题的关键．
19．(1)5
(2)4或8
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，线段的和差，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）根据两点间的距离公式计算即可得解；
（2）分两种情况：当点N在线段上时，当点N在线段的延长线上时，分别根据线段的和差计算即可得解．
【详解】（1）解：∵点A在点B的左边，点A表示的数为，线段，
∴点B表示的数为．
（2）解：当点N在线段上时，如答图①，
∵，，
∴，
∴；
当点N在线段的延长线上时，如答图②，
∵，，
∴．
综上所述，的长度为4或8．
20．(1)见解析
(2)8cm或2cm
【分析】（1）分两种情况在射线AD上作线段AB，BC，使AB＝a，BC＝b；
（2）结合（1）根据a＝5cm，b＝3cm，即可求线段AC的长．
【详解】（1）解：如图，线段AB，BC（或）即为所求；，
（2）解：由图可得AC＝a＋b＝8cm，或A＝a b＝2cm．
【点睛】本题考查了作图 基本作图，两点间的距离，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
21．见解析
【分析】本题考查尺规画线段以及线段的和差，利用尺规画线段的方法去作图．
【详解】解：①如答图，画射线．
②在射线上顺次作；再反向作．
③线段．线段即为所要求作的线段．
22．[观察发现]6，；[实践应用]120场
【分析】[观察发现]根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n(n 1)个交点；[实践应用] 把每个班作为一个点,进行一场比赛就是用线把两个点连接,用此方法即可.
【详解】[观察发现]解：①两条直线相交最多有1个交点：1=；
②三条直线相交最多有3个交点：3=；
③四条直线相交最多有6个交点：6=；…
n条直线相交最多有个交点．
故答案为：6，．
[实践应用]该类问题符合上述规律，所以可将n＝16代入．
∴这一轮共要进行120场比赛．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解决本题的关键是要找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
23．(1)①7；②或
(2)或．
【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图分类讨论的位置是解题的关键．
（1）根据已知条件得到，①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；②当点C线段的三等分点时，可求得或，则或，由线段的和差即可得到结论；
（2）当点E在线段之间时，设，则，求得，设，得到，求得，当点E在点A的左侧，设，则，设，求得，得到，于是得到结论．
【详解】（1）∵，
∴，
①∵E为中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵点C是线段的三等分点，，
∴或，
∴或，
∴或；
（2）当点E在线段之间时，如图，
设，
则，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴x，
∴；
当点E在点A的左侧，如图，
设，同理，
设，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
当点E在线段上及点E在点B右侧时，无解，
综上所述的值为或．
24．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析，两点之间线段最短
【分析】本题考查基本作图，涉及作等线段、作直线、作射线、利用对称性作图，熟记直线、射线、线段及对称性概念是解决问题的关键．
（1）连接，并延长，以为圆心、以为半径作圆交延长线于即可得到；
（2）根据直线、射线定义作图即可得到答案；
（3）由两点之间线段最短直接连接交于即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
线段即为所求；
（2）解：如图所示：
直线，射线即为所求；
（3）解：如图所示：
点即为所求；此画图的依据是两点之间线段最短．
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