3.1.1椭圆及其标准方程(教学设计)
一、教学目标:
(1)理解椭圆的定义及焦点、焦距的概念,能正确推导椭圆的标准方程;
(2)掌握求椭圆标准方程的定义法和待定系数法;
(3)经历椭圆的形成过程,培养学生运动变化的观点,训练学生的动手能力;
(4)通过联系曲线方程的求法,推导椭圆的标准方程,建立类比的思想;
(5)在椭圆的概念与标准方程的应用中,学习数学思想和解决问题.
二、重点、难点:
重点:掌握椭圆的定义及标准方程,理解坐标法的基本思想;
难点:椭圆标准方程的推导与化简.
三、教学设计:
教学环节 教学过程 师生互动 设计思想
情 景 引 入 多媒体展示: 材料1:出示“神舟十三号”飞船升空. 材料2:展示生活中的椭圆. 引入课题:椭圆及其标准方程. 师:引导学生观察. 生:观察动画,指出“神舟十三号”的运行轨道. 师:板书课题. 通过“神舟十三号”的升空,让学生感受现实,激发学生的兴趣,培养爱国思想. 激发学生的求知欲,获得感 通过做实验,让学生动手实践,体验椭圆的形成过程,加深对椭圆定义的理解. 将学生分为四人一组,通过分组讨论、研究,增强学生的合作意识. 通过学生观察、思考、讨论,概括出椭圆的定义,让学生全程参与概念的探究过程,加深 理解,提高概括能力和数学语言的表达能力. 通过实验探究(二)加深对椭圆定义的理解. 建立椭圆的方程是本节课的难点,为降低难度,让学生回顾求曲线方程的步骤,以已有的知识来探求新的知识,温故知新,教师再加以正确的引导,新知会自然形成. 椭圆的标准方程的导出,放手给学生有很大的难度,这里采取有意义的接受学习的方式,教师对照图形,加以引导,让学生明白方程中字母的几何意义,对方程的理解有很大的作用. 展示动画,通过类比的方法,让学生对照焦点在轴的情形,写出焦点在轴上时,椭圆的标准方程.通过图表便于对比,加深学生对两个方程及几何意义的认识.
合 作 探 究 (一) 合 作 探 究 (一) 合 作 探 究 (二) 合 作 探 究 (二) 设置问题: 椭圆是怎么画的 怎么定义的? (2)椭圆的标准方程如何推导? (3)如何求椭圆的标准方程? 实验探究(一): 取一定长的细绳,把它的两个端点固定在纸板上(绳长大于两定点间距离),套上铅笔,拉紧绳子,旋转一周,观察画出的图形是什么? 分析实验: 在画图过程中, 绳子的两端是固定的还是运动的? 绳子的长度与两定点间的距离有怎样的大小关系? 绳子的长度变了吗?说明了什么? 多媒体展示动画: 椭圆形成过程. 利用点的轨迹,归纳椭圆的定义. 师:布置预习内容 生:带着问题预习 由教师演示画圆,学生观察思考.并完成实验探究(一). 实验探究(一)各小组学生利用手中工具在纸板上进行实验. 师:引导学生讨论实验结果,总结规律. 生:小组讨论,相互补充,得出结论. 师:引导学生观察椭圆形成过程,找出动点、定点及绳长是否变化,组织小组讨论.
椭圆的定义:平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两个定点的距离叫做焦距. 常数(大于) 实验探究(二): 绳长不变,把两定点距离再拉远一点,轨迹是什么? 继续拉远两个定点的距离,直到把绳子拉直,轨迹是什么? (3)如果绳长小于两定点间距离,轨迹又是什么? 合理建系,推导方程: 下面我们来推导椭圆的方程 建系:以所在的直线为轴,以线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系 设点:设点是椭圆上的任意一点,点到的距离和为,焦距为,则, 。 列式:由定义:2即 化简:整理,得 . 如图: , 则 令,则,那么方程变为: (). 多媒体展示: 将椭圆的焦点放在轴上 结论:当焦点在轴上时,椭圆的方程为: . 多媒体展示图表: 让学生对照图形、方程理解记忆. 师:引导学生观察椭圆形成过程,找出动点、定点及绳长是否变化,组织小组讨论. 生:小组讨论,给出椭圆定义. 师:设动点为,椭圆的定义可用什么式子表示? 师:提出这三个问题 生:总结发现的规律 生:回顾求曲线方程的步骤:⑴建系,⑵设点,⑶列式,⑷化简. 师:引导学生按求曲线方程的步骤建立椭圆的方程. 生:思考,回答: (1)怎样建立适当的坐标系? (2)如何设点? (3)怎样列式? (4)如何化简? 师:安排学生提前一天完成化简.并找学生上来讲解. 师:请同学们在图中找出长度等于的线段,则 师:引导学生推出椭圆的标准方程. 师:指出其焦点在轴上,坐标为,。 生:观察图像,识记方程. 师:若焦点放在轴上,方程又怎样 ? 生:小组讨论椭圆的方程,相互交流、补充,得出结论. 生:分析方程、图形,识记椭圆的标准方程. 师:引导学生如何根据方程判断焦点的位置?
当 堂 检 测 1、你能判断下列哪些是椭圆的标准方程吗?如果是,请找出. (1) (2). (3) 生:根据所学椭圆的标 准方程,思考后回答. 师生共同矫正. 生:总结如何判断是否为椭圆的标准方程?
例1请你写出符合下列条件的椭圆的标准方程: (1),焦点在轴上; (2) ,焦点在轴上. 生:练习本上完成后回答. 师:指出求椭圆的关键是求和的值,的关系是. 通过练习,加深学生对的理解和对公式的记忆. 让学生分析阐述解法,训练语言表达能力,提高分析问题的能力.让学生板演,规范学生的解题步骤.通过解题后的反思,增强学生的反思意识,有利于总结方法. 回顾反思本课时所学知识,梳理巩固所学内容. 通过总结,加深学生对的理解和对公式的记忆.
例2已知椭圆的两个焦点坐标分别为(-1,0),(1,0),并且椭圆经过点(),求它的标准方程. 生:分析题意,寻求解法. 师:正确地引导学生. 生:一生板演,其它学生做在练习本上. 师生共同矫正. 生:思考是否还有其它解法?发表见解. 总结方法:(1)定义法(2)待定系数法.
检 测 总 结 已知经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线,交椭圆于、两点,是右焦点. (1)求的周长. (2)如果不垂直于轴呢? 生:思考,解决,再次巩固椭圆的标准方程的定义.
课 堂 小 结 多媒体展示: (1)椭圆的定义; (2)椭圆的标准方程(图形、焦点坐标、标准方程、的关系). 生:总结本节课所学及收获. 师:课件展示所学内容.
课 后 作 业 若椭圆满足:,求它的标准方程. 已知方程 表示焦点在轴上的椭圆,求的取值范围. (3)若椭圆标准方程为,求及其焦点坐标 生:定时完成作业,并总结规律. 查漏补缺,再次反思本节所学内容,加深对焦点位置的判断的理解.