山西省榆社中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学（理）试题

2015—2016学年第二学期期末考试
高二数学（理科）试题
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
第I卷（选择题
共60分）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，则是的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．若复数z满足，则z的虚部为
A．
B．4
C．－
D．－4
3．利用计算机产生0到1之间的均匀随机数,则事件“”发生的概率为
A．
B．
C．
D．
4．执行如图所示的程序框图,若输入x的值为-5,则输出y的值是
A.
B．1
C．2
D．－1
5．椭圆的一个焦点是，那么实数的值为
A．
B．
C．
D．
6．一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与侧视图均为半径为2的圆,则这个几何体的表面积是
A．
B．
C．
D．
7．若向量两两所成的角相等，且，则等于
A．2
B．5
C．2或5
D．或
8．在的展开式中，各项系数的和是
A．256
B．16
C．1
D．0
9．函数
的图象
如图所示,则值为
A．0
B．1
C．
D．
10．如图所示,正方体的棱长为，分别为和上的点,，则与平面的位置
关系是
A．相交
B．垂直
C．平行
D．不能确定
11．已知为双曲线E的左右焦点，点P在E上，为等腰三角形，且，则E的离心率为
A．
B．
C．
D．
12．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题
共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设为等差数列{}的前n项和。若则通项公式＝
．
14．已知实数满足
该不等式组所围成的区域的面积为
．
15．在中，角所对的边分别为，若，的面积,且，则 ．
16．已知偶函数满足：若函数，则的零点个数为
三、解答题（每小题满分12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求
18．某校为了解本校学生在校小卖部的月消费情况,随机抽取了60名学生进行统计.得到如下样本频数分布表:
月消费金额(单位:元)
[0,100)
[100,200)
[200,300)
[300,400)
[400,500)
≥500
人数
30
6
9
10
3
2
记月消费金额不低于300元为“高消费”,已知在样本中随机抽取1人,抽到是男生“高消费”的概率为.
（1）从月消费金额不低于400元的学生中随机抽取2人,求至少有1人月消费金额不低
于500元的概率;
（2）请将下面的列联表补充完整,并判断是否有90%的把握认为“高消费”与“男女性别”有关,说明理由.
高消费
非高消费
合计
男生
女生
25
合计
60
下面的临界值表仅供参考:
P(K2≥k)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
（参考公式:
,其中)
19．如图,是圆的直径,垂直圆所在的平面,是圆上的点.
（1）求证:平面平面;
（2）若,求二面角的余弦值.
20．已知椭圆的离心率,焦距为.
（1）求椭圆的方程;
（2）若直线与椭圆交于C,D两点.问是否存在常数k，
使得以CD为直径的圆过坐标原点O,若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
21．已知函数的图象在点处的切线与直线平行。
（1）求实数的值及的极值。
（2）若对任意，有，求实数的取值范围。
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．如图,直线为圆的切线,切点为,点在圆上,的角平分线交圆于点,垂直交圆于点.
（1）证明:;
（2）设圆的半径为1,,延长交于点,
求外接圆的半径.
23．在极坐标系中，为极点，半径为2的圆的圆心极坐标为.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）在以点为原点，以极轴为轴正半轴建立的直角坐标系中，直线的参数方程为
(为参数)，直线与圆相交于两点，已知定点，求.
24．已知.
（1）求函数的值域；
（2）求不等式的解集.
2015—2016学年第二学期期末考试
高二数学（理科）答题页
座位号
选择题（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．
14．
15．
16．
三、解答题（17—21每题满分12分,选做题满分10分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（12分）
（1）
（2）
18．（12分）
（1）
（2）
19．（12分）
（1）
（2）
20．（12分）
（1）
（2）
21．（12分）
（1）
（2）
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．
23．.
24．
高二数学（理科）期末试题参考答案
1—5
BACDD
6—10
AADBC
11—12
AD
13．
14．
　　15．
16．3
17．解：（1），，则．
（2）
，则
18．解：(1)样本中,月消费金额在[400,500)的3人分别记为.
月消费金额在大于或等于500的2人分别记为.
从月消费金额不低于400元的5个中,随机选取两个,其所有的基本事件如下:
,共10个。
记“至少有1个月消费金额不低于500元”为事件.
则事件包含的基本事件有：共个。所以至少有1个月消费金额不低于500元的概率为.
(2)依题意,样本中男生“高消费”人数.
高消费
非高消费
合计
男生
10
20
30
女生
5
25
30
合计
15
45
60
.
所以没有90%的把握认为“高消费”与“男女性别”有关.
19．解：（1）证明:由是圆的直径,得
,
由平面,平面,得.
又,平面,平面PAC,
所以平面.

因为平面,
所以平面平面
（2）过作,则平面.
如图,以点为坐标原点,分别以直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系.在中,因为,所以
.
又因为,所以
故.
设平面的法向量为,则所以
不妨令,则.
因为设平面的法向量为,
则所以不妨令
不妨令.则.于是
由图1知二面角为锐角,
故二面角的余弦值为
20．解：
（1）
故椭圆的方程为
（2）假设存在实数由得
由，得
设直线与椭圆交于,则
①
由以CD为直径的圆过坐标原点O,知
。
而，
②
将①代入②整理可求得，而,其值满足△>0.
故。
21．解：（1），定义域为
，
由已知可得，
故。
当时，是增函数，当时，是减函数。
故的极小值为
终上所述，的值为1，函数的极小值为，无极大值。
设，则由（1）知函数在上单调递增，故。
即
设，
若使，则需在上是减函数。
得
故实数的取值范围是
22．解：（1）证明:如图,连接,交于点,
由弦切角定理,得,而,
故,
所以
又因为,
所以为圆的直径,,由勾股定理可得
（2）由（1）知,,
故是边的中垂线,所以
设的中点为,连接,则,
从而。
23．解：（1）设
是圆上任意一点，则在等腰三角形中,,
所以,即为所求的圆的极坐标方程
（2）圆的直角坐标方程为

将直线的方程(为参数),代入圆的方程得
,
其两根

所以
24．解：（1）函数的值域为
（2）当
时,的解集为空集;
当时,的解集为;
当时,的解集为
综上,不等式的解集为
高消费
非高消费
合计
男生
女生
25
合计
60
高二数学（理科）答案
第5页
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