高中数学人教A版（2019）必修一3.1函数的概念及其表示 同步练习（含答案）

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高中数学人教A版（2019）必修一第三章
3.1函数的概念及其表示
一、单选题
1．（2024高一上·大庆月考）如图，是函数的图象上的三点，其中，则的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．函数的定义域是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022高一上·乌兰察布期中）下列各组函数是同一函数的是（　　）
①f（x）= -2x-1 与 g（s）= -2s-1②f（x）= 与 g（x）=x ③f（x）= 与 g（x）= ④f（x）=x 与 g（x）=
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
4．已知f（ ）= ，则f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）= B．f（x）=﹣
C．f（x）= D．f（x）=﹣
5．（2017高三上·陆川月考）已知函数 （ 是自然对数的底数）.若 ，则 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高一上·绵阳期末）存在函数满足对于任意都有（　　）
A． B．
C． D．
7．下列函数中，值域是（0，+∞）的是（　　）
A．y=2x+1（x＞1） B．y=x2﹣x+1
C． D．y=
二、多选题
8．（2024高一上·成都月考）下列命题为真命题的是（　　）
A．和是两个不同的函数
B．若的定义域为，则的定义域为
C．已知，其中为常数，若，则
D．记为实数的最小者，函数，则的最大值为4
9．（2023高一上·四平期中）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．若对恒成立，则实数a的取值范围是
B．若对恒成立，则实数a的取值范围是
C．若，的定义域为，值域为，则实数m的取值范围是
D．若，的定义域为，值域为，则实数m的取值范围是
三、填空题
10．（2020高一上·东莞月考）函数 的定义域为　 　.（结果用集合或区间表示）
11．（2021·九龙坡模拟）请写出满足条件：对任意实数 ， 且 成立的一个函数解析式 　 　.(答案不唯一)
12．（2019高一上·阜阳月考）已知函数 ，若 ，则 　 　.
13．（2024高一上·滕州月考）函数的定义域为　 　．
14．（2021高一上·杭州期中）函数的值域是　 　.
15．（2023高一上·郴州期末）已知函数的值域是，则实数的取值范围是　 　.
16．（2020高一上·上海月考）设函数 ，若 的定义域为 ，则实数 的取值范围　 　．
四、解答题
17．用区间表示下列集合：
（1） =　 　．
（2）{x|x＜1或2＜x≤3}=　 　．
18．（2018高一上·鹤岗期中）二次函数f(x)满足f(x＋1)＝ -2x＋3
（1）求f(x)的解析式；
（2）求f(x)在[－3，3]上的值域；
19．设函数f（x）=x+（x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞））的图象为c1，c1关于点A（2，1）的对称图象为c2，c2对应的函数为g（x）．
（1）求函数g（x）的解析式，并确定其定义域；
（2）若直线y=b与c2只有一个交点，求b的值，并求出交点坐标．
20．已知点P（cos2x+1，1），点Q（1，sin2x+1）（x∈R），且函数f（x）=（O为坐标原点），
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的最小正周期及最值．
21．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=2x﹣x2，
（1）求f（x）的表达式；
（2）设0＜a＜b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为 ，求a，b的值．
22．（2019高一上·高台期中）
（1）已知f（ +1）=x+2 ，求f（x），f（x+1），f（x2）；
（2）已知2g（x）+g（ ）=10x，求g（x）．
23．（2016高一上·大名期中）已知函数f（x）=3x，x∈[﹣1，1]，函数g（x）=[f（x）]2﹣2af（x）+3．
（1）当a=0时，求函数g（x）的值域；
（2）若函数g（x）的最小值为h（a），求h（a）的表达式；
（3）是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数的表示方法
2．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；一元二次不等式
3．【答案】B
【知识点】同一函数的判定
4．【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
5．【答案】C
【知识点】函数的值域
6．【答案】D
【知识点】函数的概念及其构成要素
7．【答案】D
【知识点】函数的值域
8．【答案】A,C,D
【知识点】同一函数的判定
9．【答案】A,C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
10．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
11．【答案】 (答案不唯一)
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
12．【答案】-6
【知识点】函数的表示方法；函数的对应法则
13．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
14．【答案】
【知识点】函数的值域
15．【答案】
【知识点】函数的值域
16．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
17．【答案】（1）[﹣ ，5）
（2）（﹣∞，1）∪（2，3]
【知识点】区间与无穷的概念
18．【答案】（1）解：由，
∴
令x+1=t
则
∴
（2）解：由（1）f（x）的对称轴为x=2在给定的区间范围内
则当x=2时f（x）有最小值为f（2）=2
当x=-3时f（x）有最大值为f（-3）=27
所以f（x）在[－3，3]的值域为 [2，27]
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法
19．【答案】解：（1）设函数g（x）的图象上任一点P（x，y），且P关于A（2，1）的对称点P'（x'，y'）；
则，解得，
∵点P'在函数f（x）=x+的图象上，∴2﹣y=（4﹣x）+，
∴y=2﹣（4﹣x）﹣=x﹣2+，
即g（x）=x﹣2+，（x≠4）；
（2）当x﹣4＞0时，即x＞4，（x﹣4）+≥2，当且仅当x=5时取“=”；
此时g（x）取到最小值4，
∵直线y=b与C2只有一个公共点，∴b=4，且交点坐标是（5，4）；
当x﹣4＜0时，即x＜4，﹣[（x﹣4）+]≥2，即（x﹣4）+≤﹣2，
此时g（x）取到最大值0，当且仅当x=3时取“=”；
∵直线y=b与C2只有一个公共点，∴b=0，且交点坐标是（3，0）；
综上，b的值及交点坐标分别为4，（5，4）或0，（3，0）．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
20．【答案】解：（1）因为点P（cos2x+1，1），点，所以，=．（2）由，所以T=π，又因为x∈R，所以f（x）的最小值为﹣2+2=0，f（x）的最大值为2+2=4．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
21．【答案】（1）解：设x＜0，可得﹣x＞0，
∵当x≥0时f（x）=2x﹣x2，
∴f（﹣x）=﹣2x﹣（﹣x）2=﹣2x﹣x2，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（﹣x）=﹣f（x）=﹣2x﹣x2，
∴f（x）=x2+2x
∴f（x）=
（2）解：∵0＜a＜b，当x∈[a，b]时，当x≥0时f（x）=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1
f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
若0＜a＜b＜1，可得值域为[2a﹣a2，2b﹣b2]，
f（x）的值域为 ，∴ 解得a=b=1，（舍去）
若1＜a＜b，可得值域为[2b﹣b2，2a﹣a2]，f（x）的值域为 ，
∴ ，解得a=b=1，
若0＜a≤1≤b，可得x=1处取得最大值，f（x）max=f（1）=2﹣1=1，
最小值在x=a或x=b处取得，
∵当x∈[a，b]时，f（x）的值域为 ，
∴ =1，可得a=1，
若 =2a﹣a2，可得b=1（舍去）；
若 =2b﹣b2，化简得（b﹣1）（b2﹣b﹣1）=0解得b1= ，b2= （舍去），
∴a=1，b=
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法
22．【答案】（1）解：设 ，则 ，即
，
，
，
或
（2）解：由题，用 替换 可得 ，
两式联立，消去 可得
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
23．【答案】（1）解：∵函数f（x）=3x，x∈[﹣1，1]，∴ ，设t=3x， ，
则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．
当a=0时，φ（t）=t2+3， ，∴φ（t）∈[ ，12]，
∴函数g（x）的值域是：[ ，12]；
（2）解：∵函数φ（t）的对称轴为t=a，
当a＜ 时，ymin=h（a）=φ（ ）= ；
当 时，ymin=h（a）=φ（a）=3﹣a2；
当a＞3时，ymin=h（a）=φ（3）=12﹣6a．
故 ，
（3）解：假设满足题意的m，n存在，∵m＞n＞3，∴h（a）=12﹣6a，
∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．
又∵h（a）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，
∴ ，两式相减得6（m﹣n）=（m﹣n） （m+n），
又∵m＞n＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与m＞n＞3矛盾．
∴满足题意的m，n不存在
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法
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