高中数学人教A版（2019）必修一第三章3.3幂函数 同步练习（含答案）

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高中数学人教A版（2019）必修一第三章3.3幂函数
一、单选题
1．（2018高一上·海南期中）幂函数的图象过点 ， 则它的单调递增区间是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高三下·北京市开学考）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2016高一上·越秀期中）若，则不等式f（x）＞f（8x﹣16）的解集是（　　）
A． B．（0，2] C．[2，+∞） D．（0，+∞）
4．（2019高一上·会宁期中）下列命题中：
①幂函数的图象都经过点（1，1）和点（0，0）；②幂函数的图象不可能在第四象限；③当n=0时，幂函数y=xn的图象是一条直线；④当n＞0时，幂函数y=xn是增函数；⑤当n＜0时，幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小。其中正确的是（　　）
A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤
5．（2024高二上·潮阳月考）已知，，，则大小关系是（　　）
A． B． C． D．
6．（2018高二下·定远期末）函数 是幂函数，对任意的 ，且 ，满足 ，若 ，且 ，则 的值（　　）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
7．幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么，αβ=（　　）
A．1 B．2 C． D．
二、多选题
8．（2023·齐齐哈尔模拟）已知a，b，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，则
C． D．
9．（2023高一上·石家庄期中）下列结论不正确的是（　　）
A．若函数为奇函数，则的图象关于点中心对称
B．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为
C．内角，，的对边分别是，，，则“”是“是直角三角形”的充要条件
D．幂函数的图象经过点，若，则
三、填空题
10．（2022高一下·嫩江月考）若幂函数 在（0， ）上是减函数，则代数式3m+1的值为　 　.
11．（2024高一上·上海市月考）下列命题中，假命题的个数为　 　．
①幂函数的图象有可能经过第四象限；
②幂函数的图象都经过点；
③当时，函数的图象是一条直线；
④当时，函数在定义域内是严格减函数；
⑤过点的幂函数图象关于轴对称．
12．（2016高一上·叶县期中）已知幂函数f（x）=x （m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．则函数f（x）的解析式为　 　．
13．设实数，如果函数y=xα是定义域为R的奇函数，则α的值的集合为　 　
14．（2024高一上·莆田月考）已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则的取值范围　 　．
15．（2024高一上·丰台期中）已知的定义域为，对，，若同时满足以下两个条件：（i）；（ii），则称具有“丰彩”性质．现给出以下定义域均为的四个函数：
①；
②；
③；
④．
其中所有具有“丰彩”性质的函数序号是　 　．
四、解答题
16．（2024高一上·兰州期末）已知幂函数，且在上是减函数．
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范围．
17．（2024高一上·辛集期中）已知幂函数在区间上单调递减．
（1）求的值；
（2）求不等式的解集．
18．（2024高一上·济宁月考）已知幂函数在上单调递增.
（1）求解析式；
（2）若在上的最小值为，求m的值.
19．已知幂函数y=x （m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求满足不等式（2a2+1）﹣m＜（4﹣a）﹣m的a的取值范围．
20．（2022高一上·浙江期中）已知幂函数．
（1）若的定义域为R，求的解析式；
（2）若为奇函数，，使成立，求实数k的取值范围．
21．（2016高一上·成都期中）已知幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3在（0，+∞）上是增函数，又g（x）=loga （a＞1）．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）当x∈（t，a）时，g（x）的值域为（1，+∞），试求a与t的值．
22．（2019高一上·南充期中）已知幂函数 在 上单调递增.
（1）求实数 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
2．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；幂函数的图象与性质
3．【答案】A
【知识点】幂函数的图象与性质
4．【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
5．【答案】B
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
6．【答案】A
【知识点】幂函数的概念与表示
7．【答案】A
【知识点】幂函数的实际应用
8．【答案】B,C
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用；利用不等式的性质比较数（式）的大小；基本不等式
9．【答案】A,B,C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；幂函数的图象与性质
10．【答案】-8
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
11．【答案】3
【知识点】幂函数的图象与性质
12．【答案】y=x4
【知识点】幂函数图象及其与指数的关系
13．【答案】{1，3}
【知识点】幂函数的图象与性质
14．【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示
15．【答案】①③
【知识点】函数单调性的判断与证明；幂函数的图象与性质
16．【答案】（1）；（2）或．
【知识点】幂函数的概念与表示
17．【答案】（1）
（2）
【知识点】幂函数的概念与表示
18．【答案】（1）
（2）或3
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
19．【答案】解：∵幂函数y=x （m∈N*）在（0，+∞）上是减函数，
∴m2﹣2m﹣3＜0，解得﹣1＜m＜3，
∵m∈N*，
∴m=1或2．
当m=1时，y=x﹣4为偶函数满足条件，
当m=2时，y=x﹣3为奇函数不满足条件，
则不等式等价为（2a2+1）﹣1＜（4﹣a）﹣1，
∵y=x﹣1在（﹣∞，0）和（0，+∞）上都为减函数，
则2a2+1＞0，
则不等式等价为2a2+1＞4﹣a＞0，
解得1＜a＜4或a＜﹣ ．
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
20．【答案】（1）解：因为是幂函数，
所以，
解得或，
当时，，定义域为，符合题意；
当时，，定义域为，不符合题意；
所以；
（2）解：由（1）可知为奇函数时，，
，使成立，即，使成立，
所以，使成立，
令，则，
且，则
，
因为，
所以，
所以，即，
所以在上是减函数，
所以，
所以，解得，
所以实数k的取值范围是
【知识点】函数的最大（小）值；奇偶性与单调性的综合；幂函数的概念与表示
21．【答案】（1）解：∵f（x）是幂函数，且在（0，+∞）上是增函数，
∴ 解得m=﹣1，
∴
（2）解：由 ＞0可解得x＜﹣1，或x＞1，
∴g（x）的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
又a＞1，x∈（t，a），可得t≥1，
设x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，于是x2﹣x1＞0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，
∴ ＞0，
∴ ．
由 a＞1，有 ，即g（x）在（1，+∞）上是减函数．
又g（x）的值域是（1，+∞），
∴ 得 ，可化为 ，
解得 ，
∵a＞1，∴ ，
综上，
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；幂函数的概念与表示
22．【答案】（1）解：因为 是幂函数，所以 ，解得 或 ，
又因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 .
（2）解：由于 在区间 都是减函数，且
分三种情况讨论：
①当 ，即 时，原不等式成立；
②当 且 时，有 ，即 ，解集为空集；
③当 且 时，有 ，即 ，
∴
综上所述： 的取值范围是 .
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
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