高中数学人教A版（2019）必修一第三章3.4函数的应用（一） 同步练习（含答案）

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高中数学人教A版（2019）必修一第三章3.4函数的应用（一）
一、单选题
1．（2019高一上·武汉月考）国内快递重量在1000克以内的包裹邮资标准如下表：
如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1300 的某地，它应付的邮资是（　　）
A．5.00元 B．6.00元 C．7.00元 D．8.00元
2．已知函数，则f[f(-1)]（　　）
A．-2 B． C．1 D．2
3．（2024高一上·嵩明期中）已知函数 ，若f(x)在R上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．( ，1] B．[ ， ]
C．( ，+∞) D．[1，2]
4．（2019高三上·双鸭山月考）已如函数 ，若 ，且 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2022·甘肃模拟）设函数函数若存在唯一的，使得的最小值为，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
6．（2021高一下·揭东期末）已知函数 ，若 的最小值为 ，则实数 的值不可以是（　　）
A．1 B． C．2 D．4
7．（2022高三上·邯郸期末）已知函数若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
8．（2023高一上·新化期末）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 ，被称为狄利克雷函数．以下说法正确的是（　　）．
A． 的值域是
B． ，都有
C．存在非零实数 ，使得
D．对任意 ，都有
9．（2020高一上·中山期末）设函数 ，下列四个结论中正确的有（　　）
A．对 ， ，使得 无解
B．对 ， ，使得 有两解
C．当 时， ，使得 有解
D．当 时， ，使得 有三解
三、填空题
10．（2022·浙江模拟）已知，则的值为　 　．
11．（2024高一上·青岛期中）已知函数 若 ，则实数 　 　.
12．（2019高一上·河南月考）已知函数 ，若存在互不相等的实数 满足 ，则 的取值范围为　 　．
13．（2020高一上·温州期末）已知函数 若方程 有两个不同的实根 ，且满足 ，则实数a的取值范围为　 　.
14．（2020高一上·厦门期中）已知函数 ，若实数 满足 ，且 ，则 的取值范围是　 　．
15．（2018高三上·杭州月考）已知实数 ，函数 在区间 上的最大值是2，则 　 　
16．（2017·平谷模拟）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x．
（i） 当a=2时，满足不等式f（x）＞0的x的取值范围为　 　；
（ii） 若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为　 　．
四、解答题
17．（2022高一上·大同期末）第24届冬奥会计划于2022年2月4日在北京召开，随着冬奥会的临近，中国冰雪运动也快速发展，民众参与冰雪运动的热情不断高涨．盛会的举行不仅带动冰雪活动，更推动冰雪产业快速发展．某冰雪产业器材厂商，生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为万元，其中与x之间的关系为：，通过市场分析，当每千件产品售价为40万元时，该厂年内生产的商品能全部销售完．
（1）写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
18．（2021高一上·龙江期中）某工厂生产一新款 电子产品，每日的成本 （单位：万元）与日产量 （ ，单位：千只）的关系满足 ．每日的销售额 （单位：万元）与日产量 的关系满足：当 时， ，当 时， ；当 时， ．已知每日的利润 （单位：万元）．
（1）求 的值，并将该产品每日的利润 （万元）表示为日产量 （千只）的函数；
（2）当日产量为多少千只时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．
19．（2019高一上·河南月考）暑假期间，某旅行社为吸引游客去某风景区旅游，推出如下收费标准：若旅行团人数不超过30，则每位游客需交费用600元；若旅行团人数超过30，则游客每多1人，每人交费额减少10元，直到达到70人为止.
（1）写出旅行团每人需交费用 （单位：元）与旅行团人数 之间的函数关系式；
（2）旅行团人数为多少时，旅行社可以从该旅行团获得最大收入？最大收入是多少？
20．（2016高一上·重庆期中）甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为3万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）= ，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：
（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；
（2）甲厂生产多少台新产品时，可使盈利最多？
21．（2016高一下·湖南期中）已知函数f（x）= ．
（1）判断函数f（x）在区间（0，1）和[1，+∞）上的单调性（不必证明）；
（2）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求 的值；
（3）若存在实数a，b（1＜a＜b）使得x∈[a，b]时，f（x）的取值范围是[ma，mb]（m≠0），求实数m的取值范围．
22．（2022·内江模拟）已知函数．
（1）若存在，使得，求实数的取值范围；
（2）令的最小值为．若正实数，，满足，求证：．
23．（2017高二上·清城期末）已知函数f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣2|．
（1）若函数f（x）的值域为[﹣4，4]，求实数m的值；
（2）若不等式f（x）≥|x﹣4|的解集为M，且[2，4] M，求实数m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分段函数的应用
2．【答案】B
【知识点】分段函数的应用
3．【答案】B
【知识点】分段函数的应用
4．【答案】C
【知识点】分段函数的应用
5．【答案】A
【知识点】分段函数的应用
6．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；分段函数的应用
7．【答案】A
【知识点】分段函数的应用
8．【答案】A,C,D
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的值域；偶函数；分段函数的应用
9．【答案】C,D
【知识点】分段函数的应用
10．【答案】
【知识点】分段函数的应用
11．【答案】-1或16
【知识点】分段函数的应用
12．【答案】
【知识点】分段函数的应用
13．【答案】
【知识点】分段函数的应用
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用
15．【答案】 或
【知识点】函数的最大（小）值；分段函数的应用
16．【答案】；
【知识点】分段函数的应用
17．【答案】（1）解：当，时，；
当，时，，
所以.
（2）解：当，时，，对称轴为，
所以当时，取得最大值；
当，时，
，当且仅当，即时取等号
所以取得最大值，
综上所述，当时，取得最大值
即年产量为72千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为360万元.
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；分段函数的应用
18．【答案】（1）当 时， ，解得 ．
（2）当 ， 时， ，在 上单调递增，
所以当 时， ；
当 ， 时， ．
令 ， ，设 ，根据函数的单调整性可知当 时， 取得最小值，所以每日利润达到最大值，即 时， ；
当 ， 时， 在 上单调递减，
所以当 时， ．综上，当 时， ．
答：当日产量为 千只时，每日的利润可以达到最大值为 万元．
【知识点】函数的最大（小）值；分段函数的应用
19．【答案】（1）解：由题意可知每人需交费 关于旅行社团人数 的函数：
（2）解：旅行社收入为 ，则
即
当 时， 为增函数，所以
当 时， 为开口向下的二次函数，对称轴 ，所以在对称轴处取得最大值， 。
综上所述：当人数为45人时，最大收入为20250元。
【知识点】分段函数的应用
20．【答案】（1）解：由题意得G（x）=3+x，
由R（x）= ，
∴f（x）=R（x）﹣G（x）=
（2）解：当x＞5时，∵函数y=f（x）递减，
∴f（x）＜8.2﹣5=3.2（万元），
当0≤x≤5时，f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，
当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．
答：当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6（万元）
【知识点】分段函数的应用
21．【答案】（1）解：由函数f（x）的解析式可得，在（0，1）上，函数为减函数；
在[1，+∞）上函数为增函数．
（2）解：∵当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，∴ ﹣1=1﹣ ，
∴ =2．
（3）若存在实数a，b（1＜a＜b）使得x∈[a，b]时，f（x）的取值范围是[ma，mb]（m≠0），
则函数f（x）在[a，b]上是增函数，故[a，b] （1，+∞）．
可得1﹣ =ma，1﹣ mb，故方程1﹣ =mx有2个大于1的不等实数根，
即mx2﹣x+1=0有2个大于1的不等实数根．
令h（x）=mx2﹣x+1，则有 ，求得0＜m＜ ．
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用
22．【答案】（1）解：，
所以在上递减，在上递增，
所以，
，解得；
（2）解：由（1）得，，
所以，
当且仅当时等号成立．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；分段函数的应用
23．【答案】（1）解：由不等式的性质得：||x﹣m|﹣|x﹣2||≤|x﹣m﹣x+2|=|m﹣2|
因为函数f（x）的值域为[﹣4，4]，
所以|m﹣2|=4，
即m﹣2=﹣4或m﹣2=4
所以实数m=﹣2或6
（2）解：f（x）≥|x﹣4|，即|x﹣m|﹣|x﹣2|≥|x﹣4|
当2≤x≤4时，|x﹣m|≥|x﹣4|+|x﹣2| |x﹣m|≥﹣x+4+x﹣2=2，|x﹣m|≥2，
解得：x≤m﹣2或x≥m+2，
即原不等式的解集M=（﹣∞，m﹣2]或M=[m+2，+∞），
∵[2，4] M，
∴m+2≤2 m≤0或m﹣2≥4 m≥6
所以m的取值范围是（﹣∞，0]∪[6，+∞）
【知识点】函数的值域；分段函数的应用
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