高中数学人教A版（2019）必修一第四章4.5函数的应用（二） 同步练习（含答案）

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高中数学人教A版（2019）必修一第四章4.5函数的应用（二）
一、单选题
1．（2021高一下·江苏月考）函数 的零点所在区间是（　　）
A． B． C． D．
2．（2019高一上·宾县月考）已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6
则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2020高三上·乐山月考）已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是（　　）
A． B．
C． D．
4．函数f(x)＝x2－3x+2的零点是(　　)
A．（1，0)或（2，0） B．（0，1）或（0，2）
C．1或2 D．－1或－2
5．（2021·宝鸡模拟）已知奇函数 ，当 时， ，且对任意 都有 成立.若方程 在 仅有2个不相等的实根，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2022高一下·赣州期中）设函数有5个不同的零点，则正实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（2021高三上·天津市期末）已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
8．（2024高三上·香坊期末） 下列判断正确的是（　　）
A．函数是定义在上的奇函数，若时，，则时，
B．若，则的取值范围是
C．为了得到函数的图象，可将函数图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位长度
D．设满足满足，则
9．（2025高一上·常州期末）若函数在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质.下列函数中，具有性质的有（　　）
A． B． C． D．
三、填空题
10．（2017高三上·南通期末）已知函数g（x）= ，若函数y=g（g（x））﹣2m有3个不同的零点，则实数m的取值范围是　 　．
11．（2024高一上·株洲期末）用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行　 　次二分.
12．用二分法研究函数f（x）=x3+3x﹣1的零点时，第一次经计算f（0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一个零点x0∈　 　，第二次应计算　 　，这时可判断x0∈　 　．
13．（2020高一上·池州期末）已知函数 ，若关于 的方程 有六个不相等的实数根，则实数 的取值范围是　 　.
14．（2018高二上·湖南月考）设定义域为 的单调函数 ，对任意的 ，都有 ，若 是方程 的一个解，且 ，则实数 　 　．
15．已知关于x的方程x2﹣alnx﹣ax=0有唯一解，则实数a的取值范围为　 　．
16．（2017高一上·扬州期中）已知函数 ，关于x的方程f2（x）+a|f（x）|+b=0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，则a的取值范围是　 　．
四、解答题
17．（2023高一上·静安期中）
（1）利用定义证明：函数在上单调递增．
（2）求方程的实数解（精确到0.1）.
18．（2020高一下·官渡开学考）已知函数 ， ，且函数 是偶函数.
（1）求 的解析式；
（2）若函数 恰好有三个零点，求 的值及该函数的零点.
19．（2017高一上·连云港期中）已知函数fk（x）=2x﹣（k﹣1）2﹣x（k∈Z），x∈R，g（x）= ．
（1）若f2（x）=2，求x的值．
（2）判断并证明函数y=g（x）的单调性；
（3）若函数y=f0（2x）+2mf2（x）在x∈[1，+∞）上有零点，求实数m的取值范围．
20．已知二次函数f（x）有两个零点0和﹣2，且f（x）最小值是﹣1，函数g（x）与f（x）的图象关于原点对称．
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）﹣λg（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
21．（2020高一上·辉南月考）已知指数函数 的图象过点
（1）求 的解析式；
（2）若函数 ，且在区间 上有两个零点，求 的取值范围.
22．（2020高一上·吉林期末）已知函数 在区间 上有最小值1，最大值9.
（1）求实数a，b的值；
（2）设 ，若不等式 在区间 上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设 ），若函数 有三个零点，求实数 的取值范围.
23．（2019高一上·长春期中）函数 和 的图像的示意图如图所示， 两函数的图象在第一象限只有两个交点
（1）请指出示意图中曲线 分别对应哪一个函数；
（2）比较 的大小，并按从小到大的顺序排列；
（3）设函数 ，则函数 的两个零点为 ，如果 ，其中 为整数，指出 的值，并说明理由。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
2．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
3．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；根的存在性及根的个数判断
4．【答案】C
【知识点】函数的零点
5．【答案】D
【知识点】奇函数；函数的零点与方程根的关系
6．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数零点存在定理
7．【答案】B
【知识点】函数的零点
8．【答案】C,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；对数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
9．【答案】B,C,D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
10．【答案】（ ，1]
【知识点】根的存在性及根的个数判断
11．【答案】8
【知识点】二分法求方程近似解
12．【答案】（0，0.5）；f（0.25）；（0.25，0.5）
【知识点】二分法求函数零点近似值
13．【答案】（2，3）
【知识点】函数的零点与方程根的关系
14．【答案】1
【知识点】函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
15．【答案】（﹣∞，0）∪{1}
【知识点】根的存在性及根的个数判断
16．【答案】（﹣4，﹣2）
【知识点】根的存在性及根的个数判断
17．【答案】（1）证明：当时，
；
所以单调递增
（2）解：令，则
由（1）单调递增，则f(x)=0在（1，1.5）上有唯一解
而，
所以f(x)=0的根在（1.125，1.25）之间
因为
所以实数解为：1.2
【知识点】函数单调性的判断与证明；二分法求方程近似解
18．【答案】（1）解：函数 是偶函数，所以
关于直线 对称，
，
；
（2）解：设
为偶函数，
恰好有三个零点，
故必有一个零点为0， ，
，令
整理得，
，解得 或 ，
得， ；
，即 ，
所求函数的零点为 .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数与偶函数的性质；函数的零点
19．【答案】（1）解：由题意得： 由题意， ∴ ，
∴（2x）2﹣2（2x）﹣1=0
∴ ，或 （舍去）∴
（2）解： ，
∵当x变大时，4x+1变大， 也变大，g（x）变大
∴g（x）在R上单调递增．
证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2
则f（x1）﹣f（x2）= =
= =
∴x1＜x2
∴
∴ ，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在R上是增函数
（3）解：y=f0（2x）+2mf2（x）=22x+2﹣2x+2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2+2+2m（2x﹣2﹣x）令t=2x﹣2﹣x，则t在R上单调递增．
∵x∈[1，+∞），∴
条件等价于 在x∈[1，+∞）上有零点，
即： 在 上有零点
令 任取 ，
则
∵∴∴h（t1）﹣h（t2）＜0∴h（t1）＜h（t2）
∴h（t）在 上单调递增
∴当 时， ，即
所以，
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数零点存在定理
20．【答案】解：（1）∵二次函数f（x）有两个零点0和﹣2，
∴设f（x）=ax（x+2）=ax2+2ax（a＞0）．f（x）图象的对称轴是x=﹣1，
∴f（﹣1）=﹣1，即a﹣2a=﹣1，
∴a=1，
∴f（x）=x2+2x．
∵函数g（x）的图象与f（x）的图象关于原点对称，
∴g（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2+2x．
（2）由（1）得h（x）=x2+2x﹣λ（﹣x2+2x）=（λ+1）x2+2（1﹣λ）x．
①当λ=﹣1时，h（x）=4x满足在区间[﹣1，1]上是增函数；
②当λ＜﹣1时，h（x）图象对称轴是x=
则≥1，
又λ＜﹣1，解得λ＜﹣1；
③当λ＞﹣1时，同理需≤﹣1，
又λ＞﹣1，解得﹣1＜λ≤0．
综上，满足条件的实数λ的取值范围是（﹣∞，0]．
【知识点】函数的零点
21．【答案】（1）解：由题意，设 ，且 )
的图象过点 ， ，解得
故函数 的解析式为
（2）解：
令 ，
函数 在 上有两个零点
等价于 在 上有两个零点
则 ，即 ，解得
故实数 的取值范围为
【知识点】指数函数的概念与表示；指数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
22．【答案】（1）解：因为函数 对称轴为 ， ，
所以 在区间 上为单调递减
所以 ， ，
解得： ，
（2）解：
令 ，∴
不等式 化为
即 在 上恒成立
因为 ，所以
所以
（3）解：函数 有三个零点
则方程 有三个不同根
设 其图象如下图
由题意，关于m的方程：
即 有两根，且这两根有三种情况：
一根为0，一根在 内；或一根为1，一根在 内：或一根大于1，一根在 内
若一根为0，一根在 内：
把 代入 中，得 ，
此时方程为 ，得 ， ，不合愿意；
若一根为1，一根在 内：
把 代入 中，得 ，
此时方程为 ，得 ，不合题意；
若一根大于1，一根在 内：
设 ，由题意得
，∴
综上得：
【知识点】函数与方程的综合运用
23．【答案】（1）解：C1对应的函数为 ，C2对应的函数为 .
（2）解：
所以从小到大依次为
（3）解：计算得
理由如下：
令 ，
由于 ，
则函数 的两个零点
因此整数
【知识点】函数零点存在定理
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