2.3 第1课时 二次根式与二次根式的乘除运算 课件(共24张PPT) 2025-2026学年数学北师大版（2024）八年级上册

(共24张PPT)
第1课时 二次根式与二次根式的乘除运算
第二章 实数
3.二次根式
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
问题1 什么叫作平方根？
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫作 a 的平方根.
问题2 什么叫作算术平方根？怎么表示它？
如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根，用 表示.
问题3 什么数有平方根？
我们知道，负数没有平方根. 因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是非负数.
壹
新知初探
贰
新知初探
探究一：二次根式的概念及性质
贰
可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的共同特征是：
观察下列代数式：
都含有开平方运算，
并且被开方数都是非负数.
新知初探
贰
一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式. “ a ”叫作被开方数.
注意：a 可以是数，也可以是式子.
两个必备特征
① 外形特征：含有“ ”
② 内在特征：被开方数 a≥0
二次根式的概念
新知初探
贰
1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中 a2 + 1 属于“非负数+正数”的形式，一定大于零. (2)(3)(5)(7)均不是二次根式.
是否为二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
随堂练习（一）
新知初探
贰
2. 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义
解：由 x - 2≥0，得
x≥2.
当 x≥2 时， 在实数范围内有意义.
【变式】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：由题意得 x - 1＞0，
所以 x＞1.
新知初探
贰
(1) 单个二次根式如 有意义的条件：
(2) 多个二次根式相加如 有意义的
条件：
(3) 二次根式作为分母如 有意义的条件：
(4) 形如 或 的式子有意义的条件：
A≥0，B≥0，… ，N≥0.
A≥0 且 B ≠ 0.
A＞0.
A≥0.
(3)、(4) 表示分母与被开方数都要考虑.
归纳总结
新知初探
贰
问题1 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
前者 x 为全体实数，后者 x 为非负数.
当 a＞0 时， 表示 a 的算术平方根，因此 ＞0；当 a = 0 时， 表示 0 的算术平方根，因此 = 0. 这就是说，当 a≥0 时， ≥0.
问题2 二次根式 的被开方数 a 的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
二次根式的双重非负性
新知初探
贰
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（1）a 为被开方数或式，为保证其有意义，必有 a≥0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，故 ≥0.
二次根式的被开方数或被开方式非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
归纳总结
新知初探
探究二：二次根式的乘除
贰
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想
＝ ，
＝ ；
＝ ，
＝ ；
＝ ，
＝ ．
6
6
新知初探
贰
＝ ，
6.480
＝　 　；
（2）根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流.
＝ ，
＝　 　 ．
6.480
0.9255
0.9255
新知初探
贰
（a≥0，b≥0）
.
（a≥0，b＞0）．
商的算术平方根。
积的算术平方根。
算术平方根的积等于
算术平方根的商，
归纳总结
新知初探
贰
典例精析
例1 计算：
新知初探
贰
解：(1)原式 =
例2 计算：
(2)原式 =
(3)原式 =
(4)原式 =
新知初探
贰
解：(5)原式 =
(6)原式 =
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 在括号中填写适当的数或式子使等式成立.
（ ）＝10；
（ ）＝ 4；
2. 下列式子一定是二次根式的是（ ）　　
A． B． C． D．
A
叁
当堂达标
叁
解： (1)原式 =
3. 计算：
（2）
叁
课堂小结
肆
课堂小结
肆
二次根式
定义
带有二次根号
被开方数为非负数
二次根式的双重非负性
二次根式 中,a≥0且 ≥0
乘除法则
叁
肆
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,4题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第7题
谢
谢