5.1任意角和弧度制 同步练习（含答案）

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5.1任意角和弧度制
一、单选题
1．（2016高一下·新乡期末）若2弧度的圆心角所夹的扇形的面积是4cm2，则该圆心角所对的弧长为（　　）
A．2πcm B．2cm C．4πcm D．4cm
2．（2024高一上·河北月考）体操中有“前空翻转体540度”这样的动作名称，则化成弧度是（　　）
A． B． C． D．
3．若某个扇形的半径为3cm，弧长为πcm，则该扇形的面积为（　　）
A．πcm2 B． cm2 C．3πcm2 D．6πcm2
4．（2023·河北会考）若圆锥的底面半径为3，体积为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角是（　　）
A． B． C． D．
5．（2020高二下·应城期中）如图，以棱长为2的正方体的顶点A为球心，以 为半径做一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为（　　）．
A． B． C． D．
6．（2022高一上·绍兴期末）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的单位圆与锐角x的终边交于点P，过点作x轴的垂线与锐角x的终边交于点T，如图所示，的面积小于扇形AOP的面积，扇形AOP的面积小于的面积，则（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
7．（2024高二下·镇海区期末）已知正方体的棱长为3，以为球心，为半径的球面与正方体表面的交线记为曲线，则曲线的长度为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2024高一上·相城月考）下列结论正确的有（ ）
A．已知，则
B．已知扇形的弧长为，面积为，则该弧所对弦长为
C．已知，则3
D．若函数的值域为，则实数的范围是
9．（2025高三下·张掖月考）设曲线C的方程为x2＋y2＝2|x|－2|y|，则（　　）
A．曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．曲线C围成图形的面积为
C．曲线C的周长为
D．曲线上任意两点间距离的最大值为4
三、填空题
10．（2024高一上·天津市月考）已知扇形的圆心角为rad，其周长是cm，则该扇形的面积是　 　
11．（2025高一下·宝山月考）已知某扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为　 　.
12．（2016高一上·黄冈期末）若角α和β的终边关于直线x+y=0对称，且α=﹣ ，则角β的集合是　 　
13．（2024高一下·丰城月考）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为　 　．
14．（2019高一下·上海月考）如图，长为 ，宽为 的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块与桌面成 角，则点 走过的路程是　 　．
15．（2024高二下·梅州期末）摆线，又称旋轮线、圆滚线，是最速降线问题的解．在数学中，摆线的定义为：一个圆沿一条直线滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹．已知一个半径为2的圆，沿着x轴转动，角速度为，如图，为描述圆边界上从原点出发的点所形成的轨迹，写出其横坐标关于旋转时间的函数表达式　 　；其纵坐标关于旋转时间t的函数表达式　 　．
16．（2025·甘肃模拟）如图，甲、乙两人在这段弧形路段跑步，该路段的内、外弧线为两个同心圆的圆周，内弧半径为米，路宽为米，两人均从外弧点处跑入该路段，甲沿内弧切线方向跑至切点，又沿内弧跑至点处后跑出该路段，乙沿内弧切线方向直接跑至外弧上点处，再沿外弧跑至点处后跑出该路段，则在该路段跑动距离更短的是　 　（填“甲”或“乙”），两人跑动距离之差的绝对值约为　 　米.（结果精确到米，参考数据：，）
四、解答题
17．（2023高一下·钦州月考）经过2小时15分钟，时间从8点5分变为10点20分，钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少？此时它们所成的角是多少？
18．（2023高一上·齐齐哈尔月考）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l．
（1）若，，求扇形的弧长l；
（2）若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．
19．（2024高一下·遵义月考）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图1，这是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成）.已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米.
（1）若厘米.求该扇形玉雕壁画的曲边的长度；
（2）若.求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值.
20．将下列各角由弧度转换为角度：
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
2．【答案】B
【知识点】弧度制、角度制及其之间的换算
3．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
4．【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
5．【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
6．【答案】D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；扇形的弧长与面积
7．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
8．【答案】B,C
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论；扇形的弧长与面积
9．【答案】A,B,D
【知识点】扇形的弧长与面积
10．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
11．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
12．【答案】{β｜β=2kπ﹣ ，k∈Z}
【知识点】象限角、轴线角；终边相同的角
13．【答案】
【知识点】终边相同的角
14．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
15．【答案】；
【知识点】扇形的弧长与面积
16．【答案】甲；
【知识点】扇形的弧长与面积
17．【答案】解：时针每小时转过=-30°，则每分钟转过=-0.5°，
而分针每分钟转过=-6°，故经过2小时15分钟后，
时针转过（2×60+15）×（-0.5°）＝﹣67.5°，
分针转过（2×60+15）×（-6°）＝﹣810°.
2小时15分钟后为10点20分，此时分针指向4，时针则由指向10转过了20×（﹣0.5°）＝-10°，
此时时针和分针所成的角为180°-10°=170°．
【知识点】任意角
18．【答案】（1）解：因为，，
所以扇形的弧长；
（2）解：由扇形面积，得，
则扇形周长为，
当且仅当，即时，取等号，
此时，，所以，
所以扇形周长的最小值为，此时.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；弧度制、角度制及其之间的换算；扇形的弧长与面积
19．【答案】（1）设弧的长度为厘米，弧的长度为厘米.
因为，所以，所以.
因为厘米，所以厘米.
因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以，
所以，解得，即弧的长度为160厘米.
（2）因为，所以，所以，
则扇形的面积，扇形的面积，
故该扇形玉雕壁画的扇面面积.
因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以
所以，
则，从而，当且仅当时，等号成立，
故，即该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值为6400平方厘米.
【知识点】基本不等式；扇形的弧长与面积
20．【答案】解：=×==480°；
【知识点】弧度制、角度制及其之间的换算
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