7.1 第3课时 定理与证明 课件(共26张PPT) 2025-2026学年数学北师大版（2024）八年级上册

(共26张PPT)
第3课时 定理与证明
第七章 命题与证明
1.认识证明
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
1. 下列命题中，是真命题的是( )
A. 如果 a2＞b2，那么 a＞b
B. 对顶角相等
C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B
假命题
需在同一平面内
假命题
过直线外一点
假命题
如何证实这个命题是真命题呢？
举反例:(-4)2＞22,-4＜2
叁
叁
肆
叁
壹
情境导入
用我们以前学过的观察,实验,验证特例等方法.
这些方法往往并不可靠.
那已经知道的真命题又是如何证实的
能不能根据已经知道的真命题证实呢
呃……那可
怎么办
叁
叁
肆
叁
壹
新知初探
贰
新知初探
探究一：公理与定理
贰
如何证实一个命题是真命题呢？
古希腊数学家欧几里得 (公元前 300 年前后) 编写了一本书，书名叫做《原本》. 为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据.
新知初探
贰
典例精析
某些数学名词称为原名.
公认的真命题称为公理.
演绎推理的过程称为证明.
经过证明的真命题称为定理.
公理＝基本事实 不需要证明. 除了公理外，其他真命题的正确性都需要通过演绎推理的方法证实.
1. 原名：
2. 公理：
3. 证明：
4. 定理：
我们学过哪些基本事实？
新知初探
贰
知识要点
本套教科书选用九条，我们已经认识了其中的八条：
基本事实
3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
2. 两点之间线段最短.
1. 两点确定一条直线.
新知初探
贰
4. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 (简述为：同位角相等，两直线平行).
5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
新知初探
贰
6. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
8. 三边分别相等的两个三角形全等.
7. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
SAS
ASA
SSS
另外一条基本事实我们将在后面的学习中认识它
新知初探
贰
数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.
例如：如果 a = b，b = c ，那么 a = c ， 这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”.
如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c，“不等式的传递性”.
其他哪些还可以作为公理
知识要点
新知初探
贰
命题
真命题
假命题
基本事实(公理)
一般举一个反例即可
定理
公理是定理推导的起点，无需证明但被广泛接受为真.
定理是命题和公理的逻辑延伸，通过证明得到的真命题.
定义,命题,基本事实(公理),定理之间的区别与联系:
归纳总结
定义是命题、公理和定理的基础，明确了它们的讨论范围.
定义
新知初探
贰
证实其他命题的正确性
推理
推理的过程叫证明
经过证明的真命题叫定理
原名、公理
一些条件
＋
归纳总结
新知初探
探究二：证明命题
贰
2
证明的过程
定理：对顶角相等.
定理：同角 (等角) 的补角相等.
定理：同角 (等角) 的余角相等.
定理：三角形的任意两边之和大于第三边.
从基本事实 (公理) 出发，我们能够如何证明已经探索过的数学结论呢？
新知初探
贰
试证明定理“对顶角相等”.
例1 如图，直线 AB 与直线 CD 相交
于点 O，∠AOC 与∠BOD 是对顶角.
求证：∠AOC =∠BOD.
证明：
∴∠AOB 与∠COD 都是平角 ( ).
平角的定义
∴∠AOC 和∠BOD 都是∠AOD 的补角
∴∠AOC =∠BOD ( ).
同角的补角相等
∵ 直线 AB 与直线 CD 相交于点 O ( )，
( ).
已知
补角的定义
A
C
O
D
B
因为
所以
新知初探
贰
(1) 已知：∠B 和∠C 是∠A的补角，
求证：∠B =∠C.
证明：∵∠B和∠C是∠A的补角，
∴∠B=180° - ∠A，
∠C=180° - ∠A，
∴∠B=∠C(等量代换)，
∴同角的补角相等.
(2)已知：∠A=∠B，∠C和∠D分别是∠A、∠B 的补角，求证：∠C=∠D.
证明：∵∠C和∠D分别是∠A、
∠B的补角，
∴∠C = 180° - ∠A，
∠D = 180° - ∠B，
∵∠A =∠B (已知)，
∴∠C =∠D (等量代换)，
∴等角的补角相等.
试证明定理：同角 (等角) 的补角相等.
新知初探
贰
(3)已知：∠B和∠C是∠A的余角，求证：∠B=∠C.
证明：
∵∠B和∠C是∠A的余角，
∴∠B = 90° - ∠A，
∠C = 90° - ∠A，
∴∠B =∠C (等量代换)，
∴同角的余角相等.
(4) 已知：∠A=∠B，∠C和∠D分别是∠A、∠B的余角，求证：∠C=∠D.
证明：∵∠C和∠D分别是∠A、∠B的余角，
∴∠C = 90° - ∠A，
∠D = 90° - ∠B，
∵∠A=∠B(已知)，
∴∠C=∠D(等量代换)，
∴等角的余角相等.
定理：同角 (等角) 的余角相等.
新知初探
贰
随堂练习
1. 请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”
的证明.
已知：如图，三角形ABC.
求证：AB+BC >AC，AB+AC >BC，BC+AC >AB.
证明：
∵ AC 是以点 A、点 C 为端点的线段，
所以 AB + BC >AC.(两点之间线段最短)
同理可得 AB+AC >BC，BC+AC >AB.
A
B
C
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1.“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）
A. 定理 B. 公理 C. 定义 D. 只是命题
2.“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（ ）
A. 定理 B. 公理 C. 定义 D. 只是命题
B
C
叁
叁
肆
叁
叁
当堂达标
叁
3. 下列命题中，属于定义的是（ ）
A. 两点确定一条直线
B. 同角的余角相等
C. 互补的两个角和为 180°
D. 点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
D
4. 下列句子中，是定理的是______，是公理的是____.
① 两点确定一条直线； ② 对顶角相等；
③ 全等三角形的对应边相等，对应角相等.
②③
①
叁
叁
肆
叁
叁
当堂达标
叁
5.如图，点 A，O，B 在一条直线上，OC 平分∠BOD，OE⊥OC 垂足为点 O. 试判断∠AOE 与∠DOE 有怎样的数量关系，并说明理由．
解：∠AOE ＝∠DOE.
理由：如图，∵OE⊥OC，
∴∠1＋∠3＝90°.
又∠AOB＝180°，
∴∠2＋∠4＝90°，
又∠1＝∠2 ，
∴∠3＝∠4，即∠AOE＝∠DOE.
叁
叁
肆
叁
叁
课堂小结
肆
课堂小结
肆
定理与证明
定义
定理
公理
证明
作出明确规定的名词术语的含义
公认的真命题
演绎推理的过程
经过证明的真命题
叁
叁
肆
叁
肆
课后作业
基础题：1.课后习题 第 7,8题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第11,12题
谢
谢