5.5三角恒等变换 同步练习（含答案）

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5.5三角恒等变换
一、单选题
1．（2024高二上·绵阳月考）的值是（　　）
A． B． C． D．1
2．（2021·顺德模拟）已知角 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线 上，则 （　　）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·绵阳月考）已知为锐角，且，则（　　）
A． B． C．或 D．或
4．（2020·梅河口模拟）若直线 的倾斜角为 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2019高二下·蕉岭月考）若角 满足 ，则 （　　）
A． B． C． 或 D．
6．（2019高一下·蛟河月考） （　　）
A． B． C． D．
7．（2021高三上·洮南月考）已知函数 在 上恰有7个零点，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2021高三上·湖南月考）已知函数的最大值为2，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．的最小正周期为
C．图象的一个对称中心为
D．在区间上单调递增
9．（2025高一下·成都月考）已知函数，则（　　）
A．当时，函数在区间上恰有3040个零点
B．当时，函数在区间上恰有2026个零点
C．当时，函数在区间上恰有2168个零点，则正整数的值是2168
D．当时，函数在区间上恰有4054个零点
三、填空题
10．（2024高一下·上海市月考）已知，则　 　．
11．（2020·许昌模拟）已知 ，则 ＝　 　．
12．已知α，β∈（0，），满足tan（α+β）=9tanβ，则tanα的最大值为　 　
13．已知cosα= ，cos（α+β）=﹣ ，α∈（0， ），α+β∈（ ，π），则cosβ=　 　．
14．（2019高一下·上海月考）若 则 的值为　 　．
15．（2019高三上·凤城月考）已知 ，且 ，则 　 　.
16．（2025高二下·长沙期中）在斜中，为锐角，且满足，则的最小值为　 　.
四、解答题
17．（2025高一下·武威月考）已知
（1）求的值；
（2）求的值：
（3）求的值.
18．（2024高一上·长沙期末）已知.
（1）化简求值：；
（2）若是第一象限角，，且，求的值.
19．已知α，β∈（，π），sin（α+β）=﹣，sin（β﹣）=．
（1）求cos（β+）的值；
（2）求cos（α+）的值；
（3）求cos（α﹣β）的值．
20．（2020高一上·合肥期末）已知角 满足 ，求下列各式的值：
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） .
21．（2019高三上·平遥月考）已知函数 图象的一条对称轴为 ．
（1）求 的最小值；
（2）当 取最小值时，若 ， ，求 的值．
22．（2022高一下·赣州期中）已知锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点．
（1）求的值；
（2）若，，求角的值．
23．（2024高三上·上海市月考）如图所示，边长为2（百米）的正方形区域是某绿地公园的一个局部，环线是修建的健身步道（不计宽度），其中弯道段是抛物线的一段，该抛物线的对称轴与平行，端点是该抛物线的顶点且为的中点，端点在上，且长为（百米），建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题.
（1）求弯道段所确定的函数的表达式；
（2）绿地管理部门欲在弯道段上选取一点安装监控设备，使得点处监测段的张角最大，求点的坐标.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值
2．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
3．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
4．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
5．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
6．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；运用诱导公式化简求值
7．【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦函数的图象；余弦函数的性质；函数的零点
8．【答案】A,B,D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的图象；正弦函数的性质
9．【答案】A,B,D
【知识点】二倍角的余弦公式；函数的零点与方程根的关系
10．【答案】-3
【知识点】两角和与差的正切公式
11．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
12．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
13．【答案】﹣
【知识点】两角和与差的余弦公式
14．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
15．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
16．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式
17．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
18．【答案】（1）
（2）
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
19．【答案】解：∵α，β∈（，π），sin（α+β）=﹣，sin（β﹣）=，
∴cos（α+β）=，cos（β﹣）=﹣，
（1）cos（β+）=cos[（β﹣）+]=﹣sin（β﹣）=﹣；
（2）cos（α+）=cos[（α+β）﹣（β﹣）]
=cos（α+β）cos（β﹣）+sin（α+β）sin（β﹣）
=x(-)+（﹣）×=﹣；
（3）结合题意由（1）（2）可得sin（α+）=﹣，sin（β+）=﹣
∴cos（α﹣β）=cos[（α+）﹣（β+）]
=cos（α+）cos（β+）+sin（α+）sin（β+）
=(-)x(-)+(-)x(-)=
【知识点】两角和与差的余弦公式
20．【答案】解：由题意知 ，得 .
（Ⅰ）由正弦与余弦的二倍角公式变形可得
.
（Ⅱ）由正弦与余弦的二倍角公式变形可得
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
21．【答案】（1）解：由题意得
．
因为函数 的一条对称轴为 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 的最小值为1
（2）解：由（1）知 ．
∴ ．
∵ ，
∴
∴
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质
22．【答案】（1）解：由角的终边过点，得，，
所以
（2）解：由(1)知，，则，有，
因为，所以，
由(1)知，，又，
所以，
得或，
解得或，
又，所以，舍去，
综上，
【知识点】两角和与差的正弦公式；任意角三角函数的定义
23．【答案】（1）；
（2）.
【知识点】两角和与差的正切公式
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