2.3 《实数》小节复习题（含详解）苏科版八年级数学上册

2.3 《实数》小节复习题
题型01 无理数的相关概念与识别
1.下列说法正确的是（ ）
A．所有的无限小数都是无理数 B．带根号的数都是无理数
C．是最小的无理数 D．有理数能用分数表示，而无理数不能
2.在实数，，，π中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.是一个数学函数，它表示自然数的指数次幂．其中自然数是一个无理数（）则在下列实数中，（ ）也是无理数．
A． B． C．3.14 D．
4.在实数，，，，…，，中，无理数有 个．
5.有理数和无理数的区别在于（　　）
A．有理数是有限小数，无理数是无限小数 B．有理数能用分数表示，而无理数不能
C．有理数是正的，无理数是负的 D．有理数是整数，无理数是分数
题型02 实数的概念及实数的分类
1.把下列各数分别填入相应的集合内（只填序号）：①15；②；③0；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）．
(1)正无理数集合：{____________…}；(2)负无理数集合：{____________…}；
(3)整数集合：{____________…}；(4)正实数集合：{____________…}；(5)负实数集合：{____________…}．
2.将下列各数填入相应的集合中：
有理数集合：{____________……}； 无理数集合：{____________ ……}；
整数集合：{____________……}； 分数集合：{____________……}．
3.把下列各数填在相应的横线上（只需填序号）．
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦0.111．
分数：__________________________； 无理数：_________________________．
4.下列数中：①②，③，，⑤，⑥，⑦0，⑧，⑨（每两个2之间依次多一个0）（请填序号）
无理数是___________ 整数是___________ 分数是___________
题型03 实数的性质
1.的绝对值是 ，的相反数是 ．
2.上课时，李老师在黑板上写了一个实数，学生，，，争先恐后地说出了这个数的一些特征：
学生：在数轴上表示这个数的点在原点的左边；
学生：它是一个无理数；
学生：它的绝对值小于2；学生：它的平方大于1．
老师表扬了，，，四个学生，因为他们都说对了，现在，请你猜猜看，老师在黑板上写下的这个数可能是下列四个数中哪一个？（　）
A． B． C． D．
3.实数的倒数是（ ）
A．2 B． C． D．
4.求下列各数的绝对值和相反数．
(1)； (2)； (3)； (4)．
题型04 实数的估算
1.若的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为
2.估计的值（ ）
A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在6和7之间 D．在7和8之间
3.如图，用边长均为4的两个小正方形剪拼成一个面积为32的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4.无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，永葆常新，数学家称之为一种特殊的数．设面积为的圆的半径为a．
(1)a是有理数吗？说说你的理由；(2)估计a的值（结果精确到0.1），并利用计算器验证你估计的结果；
(3)如果结果精确到0.01呢？
5.阅读下面材料，并完成相应任务．
用夹值法估计无理数的大小
通过学习，我们知道很多正有理数的算术平方根或立方根是无理数，例如，，，等都是无理数，我们可以用有理数近似的表示它们，一般用科学计算器进行计算．当没有计算器时，我们可以用夹值法估算其大小．
例：探究的大小．
解：∵，，而，∴．
∵，，而，∴．
∵，，而，∴．……
如此进行下去，可以得到的更精确的近似值．
任务：(1)根据下表回答问题：
x 18 18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9
①的平方根是______；②______（精确到0.1）；
③请直接写出在表中哪两个相邻的数之间．
(2)请仿照上述方法求在哪两个相邻的数之间（精确到0.1）．
题型05 实数的大小比较
1.据说，正五边形的边与对角线之比是最先被发现的无理数，比较大小：
2.比较大小： 9．（填“”、“ ”或“”
3.比较实数的大小： 3（填“”，“”或“”）．
4.请写出一个大于且小于的整数 ．
5.比较大小： ．
题型06 实数与数轴
1.下列命题：①数轴上的点与实数是一一对应关系；②数轴上对应的点如果不是有理数那就一定是无理数；③两个无理数的和一定是无理数；④有理数和无理数的和一定是无理数．其中对以上四个命题判断正确的是（ ）
A．只有①②正确 B．只有③错误 C．①②③④都正确 D．只有②④正确
2.如图：数轴上表示1、的对应点分别为A、B，且点A为线段的中点，则点C表示的数是（　　）
A． B． C． D．
3.如图，在数轴上点和点之间的所有整数之和等于 ．
4.下列说法中：①立方根等于本身的是，0， 1 ；②两个无理数的和一定是无理数；③实数与数轴上的点是一一对应的是负分数；⑤两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数．其中正确的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
题型07 用计算器进行实数的相关运算
1.用计算器进行计算，依次按键 的结果是 ．
2.如下图，一个直径为2的圆从原点处沿数轴向左滚动一周（无滑动），圆上与原点重合的点O到达点A，设点A表示的数为a．
(1)求a的值；(2)求的算术平方根；
(3)利用计算器计算时，按键，显示结果是_______．
3.用科学计算器进行计算，按键顺序依次为，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是（ ）
A．1.2 B．2.0 C．2.2 D．2.3
4.利用计算器，比较下列各组数的大小：
（1），； （2），．
5.在使用科学计算器时，依次按键的方法如图所示，显示的结果在数轴上对应的点可以是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
题型08 实数的混合运算
1.计算：
(1)；(2)；(3)．
2.计算：
(1)； (2)．
3. ．
4.计算：．
5.计算：(1) (2)
题型09 程序设计与实数运算
1.在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（ ）
A． B． C．2 D．8
2.在如图所示的运算程序中，当输入的值是64时，输出的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
3.有一个数值转换器，其工作原理如图所示．当输入x的值为64时，输出y的值是 ．
题型10 实数运算的实际应用
1.团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示．
(1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
2.已知球体的体积，若一个球的体积，则它的半径 ．
3.虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？
参考答案
题型01 无理数的相关概念与识别
1.D
【详解】解：A、所有的无限不循环小数都是无理数，本选项不符合题意；
B、带根号的数不一定都是无理数，如是有理数，本选项不符合题意；
C、没有最小的无理数，本选项不符合题意；
D、有理数都可以用分数表示，无理数不能，故此选项符合题意；故选：D．
2.B
【详解】解：∵在实数，，，π中， 是无理数，∴在所有数字中无理数有2个，故选：B．
3.D
【详解】解：是分数，是有理数，不符合题意；
是整数，是有理数，不符合题意；是有限小数，是有理数，不符合题意；
是无限不循环小数，是无理数，符合题意； 故选：D．
4.
【详解】解：，，
在实数，，，，…，，中，有理数有45个，
无理数有（个），故答案为：．
5.B
【详解】解：A．有理数可以是无限循环小数，故此选项不符合题意；
B．有理数都可以用分数表示，无理数不能，故此选项符合题意；
C．有理数和无理数都可以是正数和负数，故此选项不符合题意；
D．有理数可以是分数，无理数不能写成分数，故此选项不符合题意．故选：B．
题型02 实数的概念及实数的分类
1.（1）解：正无理数集合：{…}；（2）负无理数集合：{…}（3）整数集合：{…}
（4）正实数集合：{…}；（5）负实数集合：{…}．
2.解：有理数集合：；
无理数集合：；整数集合：；
分数集合：．
3.分数：④⑤⑦；无理数：②③⑥．
【详解】分数的判断：分数是有理数的一种表现形式，可以表示为两个整数之比．④，是两个整数和2的比，属于分数；⑤，也是两个整数和2的比，属于分数；⑦0.111是有限小数，有限小数可以转化为分数形式，例如，属于分数，所以分数为④⑤⑦；
无理数的判断：无理数，也称为无限不循环小数．②是开方开不尽的数，其结果是无限不循环小数，属于无理数；③，因为是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，属于无理数；⑥是一个常见的无限不循环小数，属于无理数，所以无理数为②③⑥．
4.解：①是负整数；②是负分数，③是无理数，是无理数，⑤是正分数，⑥是正整数，⑦0是整数，⑧是负分数，⑨是无理数，
故无理数是③⑨；整数是①⑥⑦，分数是②⑤⑧，故答案为：③⑨；①⑥⑦，②⑤⑧．
题型03 实数的性质
1. /
【详解】解：的绝对值是：，
∴的相反数是：，故答案为：，．
2.B
【详解】解：A、在原点的右边，故A不符合题意；B、在数轴上表示这个数的点在原点的左边；它是一个无理数；它的绝对值小于2；它的平方大于1，故B符合题意；
C、的绝对值大于2，故C不符合题意；D、是有理数，故D不符合题意；故选：B．
3.D
【详解】解：实数的倒数是．故选：D．
4.（1）解：的绝对值是，相反数是
（2）解：的绝对值是，相反数是
（3）解：的绝对值是，相反数是
（4）解：的绝对值是，相反数是
题型04 实数的估算
1.
【详解】解：，，，
，，，，故答案为：．
2.B
【详解】解：∵，∴，∴．故选：B．
3.C
【详解】解：由题意得，大正方形的面积为，∴大正方形的边长为，
∵，∴，∴大正方形的边长最接近的整数是6，故选：C．
4.（1）解：a不是有理数．理由如下：．
∵没有任何一个有理数的平方等于5，不是有理数；
（2）解：∵，∴；
（3）解：∵，∴．
5.（1）解：①∵ ，∴的平方根是；故答案为：；
②∵，∴；故答案为：；
③∵，，∴在和之间；
（2）解：∵，，而，∴．
∵，，而，
∴，∴在和之间．
题型05 实数的大小比较
1.
【详解】解：，∵，∴，即，∴，
∴，∴，故答案为：．
2.
【详解】解：，，即，故答案为：．
3.
【详解】解：∵，∴，故答案为：．
4.2（答案不唯一）
【详解】解：∵，，∴，，
则大于小于的整数有：2或3或4．故答案为：2（答案不唯一）．
5.
【详解】解：，，，，故答案为：
题型06 实数与数轴
1.B
【详解】解：①：数轴上的点与实数一一对应．正确．每个实数对应数轴上唯一一点，反之亦然．
②：数轴上对应的点如果不是有理数那就一定是无理数，原说法正确．
③：两个无理数的和一定是无理数．错误．反例：与均为无理数，但它们的和为（有理数）．
④：有理数与无理数的和一定是无理数．正确．假设有理数与无理数的和为有理数，则必为有理数，矛盾．故选：B
2.D
【详解】解：设C点表示的数为x，则1，解得：．故选：D．
3.
【详解】解：∵，∴，∴
∴在数轴上点和点之间的所有整数有，
∴在数轴上点和点之间的所有整数之和等于，故答案为：．
4.B
【详解】解：立方根等于本身的数有：，1，0，故①正确；
两个无理数的和不一定是无理数，比如和的和是0，是有理数，故②错误；
实数与数轴上的点一一对应，故③正确；是无理数，不是分数，故④错误；
从数轴上来看，两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数，故⑤正确．
正确的有：①③⑤，共3个．故选：B．
题型07 用计算器进行实数的相关运算
1.1
【详解】解： 原式．故答案为：1．
2.（1）解：由题意得，；
（2）解：∵
∴，∴的算术平方根为2；
（3）解：由题意得按键表示的是．
3.C
【详解】由题意可得，，故选：C．
4.解：（1）按键顺序为：“”、“5”、“=”，显示结果为：2.23606798，
按键顺序为：“SHIFT”、“”、“11”、“=”，显示结果为：2.22398009，∴＜；
（2）按键顺序为：“”、“5”、“=”，显示结果为：2.23606798，∴=0.61803399，
∵=0.625，∴．
5.A
【详解】解：由图知，计算器上计算的是的值，∵2＜＜3， 故选：A．
题型08 实数的混合运算
1.（1）
；
（2）
；
（3）
．
2.（1）解：
，
；
（2）
．
3.
【详解】解；，故答案为：．
4.解：原式．
5.（1）解：
；
（2）解：
．
题型09 程序设计与实数运算
1.B
【详解】解：当时：输入8：，输入2：，输出；故；故选B．
2.B
【详解】解：当输入的值是64时，取算术平方根得，8是有理数，再取立方根得，
2是有理数，再取算术平方根得，由于是无理数，所以输出的值是．故选：B．
3.
【详解】解：，∵8不是无理数，∴，∵2不是无理数，∴2的算术平方根式，
∵是无理数，∴，故答案为：．
题型10 实数运算的实际应用
1.（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为，由题意得，，，
，，故答案为：，；
（2）解：圆形扇的周长为：，
正方形扇的周长为：，，∴圆的周长较小．
2.6
【详解】解：∵球体的体积公式为，球的体积，
∴，∴故答案为：6．
3.当为圆形时，设圆的半径为，则有：，即：（负值舍去），
则此时花园的围墙为：（米）；
当广场为正方形时，设正方形边长为，则有：，即：（负值舍去），
则此时花园的围墙为：（米）；
∵，∴建造成圆形时，广场的围墙会更短，
则建造成本更低，∴作为投资商，会选择建圆形花园．