人教版（2024）初中数学八年级上册 14.3 角的平分线 教学课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
第十四章 全等三角形
14.3 角的平分线
前面我们学习了全等三角形的性质和判定，知道可以通过证明三角形全等，来证明线段相等或角相等. 本节利用这个方法研究角的平分线，研究角的平分线上的点具有什么特性，以及满足什么条件的点在角的平分线上.
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学习目标
1.掌握用尺规作已知角的平分线的方法.
2.掌握角的平分线的性质.
3.会证明一个命题.
4.能综合运用角的平分线的性质和判定解决相关的实际问题.
角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的. 我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系.
探究
如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系.
研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况. 在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM=PN？
A
B
C
O
N
M
P
OM与ON相等时，PM=PN.
(2)
反过来，如图(2)，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM=ON. 点P在∠AOB的内部，PM=PN. 连接OP，可以证明△OPM≌△OPN(SSS)，所以∠POM=∠PON ，即点P在∠AOB的平分线上.
在图(1)中可以发现，在△OPM和△OPN中，OP=OP，∠POM=∠PON. 如果OM=ON，那么△OPM≌△OPN(SAS)，就有PM=PN.
A
B
C
O
N
M
P
(1)
思考
由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗
根据上述结论，可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点，再在角的内部作出与这两点距离相等的点，以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了. 下面是具体作法.
作法：如图，已知∠APB.
(1) 以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N.
(2) 分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径作弧 (想一想为什么)，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
(3)作射线OC. 射线OC即为∠AOB的平分线.
下面再来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边的位置关系，我们仍研究其中的特殊情形.
探究
如图，OC是∠AOB的平分线，点P1，P2，P3，…在OC上，过点P1，P2，P3，…分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3…… 分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3…… 你有什么发现？
A
B
C
O
P2
P3
P1
D2
D3
D1
E2
E3
E1
可以发现，P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3, …, 由此我们猜想角的平分线有以下性质：
角的平分线上的点到角两边的距离相等.
下面，我们证明这个性质. 首先，要分清其中的“已知”和“求证”. 显然，已知为“一个点在一个角的平分线上”，要证的结论为“这个点到这个角两边的距离相等”. 为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证.
如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证 PD=PE.
分析：如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到PD=PE. 由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件.
证明：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC=∠BOC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在△OPD和△OPE中，
∠AOC=∠BOC，
∠PDO=∠PEO，
OP=OP，
∴△OPD≌△OPE (AAS).
∴PD=PE.
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证;
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
当堂练习
1.如图，在直线MN上作一点P，使点P在∠AOB的内部，且点P到射线OA和OB的距离相等.
解：作∠AOB的平分线OP，交MN于点P，则点P即为所求，如图所示.
当堂练习
2.如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 点F，G分别在OA，OB上，DF=EG，连接PF，PG. 求证PF=PG.
证明： OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，
我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等. 反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗 也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗
通过判定两个三角形全等，可以得到：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
按照证明命题的步骤，自己证明这个结论.
从上面两个结论可以看出，角的平分线上的点到角两边的距离相等；反过来，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 所以在角的内部，角的平分线 (顶点除外) 可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.
典例精析
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：
(1)点P到三边AB，BC，CA的距离相等；
(2)△ABC的三条角平分线交于一点.
分析：(1)由已知可得点P到边AB，BC的距离相等，点P到边BC，CA的距离相等，由此可得点P到三边的距离相等；
(2)要证△ABC的三条角平分线交于一点，只要证点P也在∠A的平分线上.
证明：(1)过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.
同理 PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
(2)由(1)得，点P到三边AB，CA的距离相等，
∴点P在∠A的平分线上.
∴△ABC的三条角平分线交于一点.
当堂练习
1.如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B，E，AB=CE，AB，CE相交于点F，连接DF. 求证：FD平分∠BFE.
证明：
当堂练习
2.如图，已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点 P.
求证：(1)点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等;
(2)点P在∠A的平分线上.
证明：(1)如图所示，作PM⊥BC，PN⊥AD，PQ⊥AE, 垂足分别为点M, N, Q.
∵BF是∠CBD的平分线，且点P在BF上，
∴PM=PN.
同理可得，PM=PQ.
∴PN=PM=PQ.
∴点P到三边AB, BC, CA所在直线的距离相等.
(2)由(1)可证：PN=PQ，
又∵ PN⊥AD，PQ⊥AE,
∴点P在∠A的平分线上.
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