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第十六章 整式的乘法
16.2 整式的乘法
前面,我们学习了幂的运算性质. 本节我们将以运算律及幂的运算性质为基础,研究整式的乘法.
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学习目标
1.掌握单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的乘法法则,并能熟练地运用这些法则进行有关计算.
2.理解零指数幂的意义,掌握同底数幂相除、单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则,并能进行有关计算.
问题1 光的速度约是3×105km/s,太阳光照射到地球上需要的时间约是5×102s,你知道地球与太阳的距离约是多少吗
根据乘法的意义,地球与太阳的距离约是(3×105) ×(5×102)km.
思考
(1)怎样计算(3×105) ×(5×102)?计算过程中用到哪些运算律及幂的运算性质?
(2)如果将上式中的数字改为字母,比如ac5·bc2,怎样计算这个式子?
(3×105) ×(5×102)=(3×5) ×(105×102)=15×107=1.5×108.
计算过程中用到了乘法交换律、乘法结合律及同底数幂的乘法的运算性质.
ac5·bc2=(a·b)·(c5·c2)=abc5+2= abc7.
(3×105) ×(5×102)是3×105与5×102相乘,利用乘法交换律、结合律及同底数幂的运算性质,可以得到
(3×105) ×(5×102)=(3×5) ×(105×102)
=15×107
=1.5×108.
一般地,单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
ac5·bc2是单项式ac5与bc2相乘,由于其中的字母表示数,所以同样可以利用乘法交换律、结合律以及同底数幂的运算性质来计算:
ac5·bc2=(a·b)·(c5·c2) (乘法的交换律、结合律)
=abc5+2 (同底数幂的运算性质)
= abc7.
典例精析
例1 计算:
(1)3xy2·2y3 (2)(-5a2b)(-3a)
=(3×2)x·(y2·y3)
=6xy5;
=[(-5)×(-3)](a2·a)·b
=15a b;
典例精析
例1 计算:
(3)(2x)3(-5xy2) (4)(-3x2y)2 (-xy3)2
=8x3·(-5xy2)
=[8×(-5)] (x3·x)·y2
= -40x4y2;
=9x4y2·x2y6
=9(x4·x2) (y2·x6)
=9x6y8.
由(ab)n=anbn,可知anbn =(ab)n,据此你能给出例1(4)的其他解法吗
当堂练习
1.下面的计算是否正确?如果不正确,应当怎样改正?
(1)3a3·2a2=6a6; (2) 3x2·(-4x2)=-12x2;
(3)5y3·3y5=15y15; (4)x2·y2(-xy3)2=x4y8.
解:
当堂练习
2.计算:
(1)3x2·5x3; (2) 6x2·3xy;
(3)4y·(-2xy2); (4)-2ab2·(-3ab).
=15x5
=18x3y
=-8xy3
=6a2b3
当堂练习
3.计算:
当堂练习
4.卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)是7.9×103m/s,
求卫星绕地球运行1h飞过的路程.
解: 7.9×103×3600
=7.9×103×3.6×103
=2.844×107(m)
答:卫星绕地球运行1h飞过的路程是2.844×107 m.
为了扩大绿地面积,要把街心花园的一块长p m,宽b m的长方形绿地,向两边分别加宽a m和c m,你能用几种方法表示扩大后的绿地面积 不同的表示方法之间有什么关系
下面来看本章引言中提出的问题.
为了求扩大后的绿地面积,可以先求扩大后的绿地的边长,再求面积,即
p(a+b+c). ①
也可以先分别求原来绿地和新增绿地的面积,再求它们的和,即
pa+pb+pc. ②
由于①②表示同一个数量,所以
p(a+b+c)= pa+pb+pc.
你能根据分配律得到这个等式吗?
上面的等式提供了单项式与多项式相乘的方法. 这个结果也可以由右图看出.
一般地,单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
典例精析
例2 计算:
典例精析
例2 计算:
与数的混合运算一样,整式的混合运算要注意运算顺序.
当堂练习
1.下面的计算是否正确?如果不正确,应当怎样改正?
(1)(-2x)(x2-x) = -2x3-2x2;
(2)a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=0.
不正确,应该为-2x3+2x2
正确
当堂练习
2.计算:
当堂练习
3.化简
当堂练习
4.求值:
,其中x= .
问题3 如图,为了扩大街心花园的绿地面积,把一块原长a m、宽p m的长方形绿地,加长了b m,加宽了q m,你能用几种方法求出扩大后的绿地面积
扩大后的绿地可以看成长为(a+b)m,宽为(p+q)m的长方形,所以这块绿地的面积(单位:m2)为
(a+b) (p+q).
扩大后的绿地还可以看成由四个小长方形组成所以这块绿地的面积(单位:m2)为
上面的等式提供了多项式与多项式相乘的方法. 计算(a+b) (p+q),可以先把其中的一个多项式,如力(p+q) ,看成一个整体,运用单项式与多项式相乘的法则,得
再利用单项式与多项式相乘的法则,得
总体上看, (a+b) (p+q)的结果可以看作由a+b的每一项乘p+q的每一项,再把所得的积相加而得到的,即
一般地,多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
典例精析
例3 计算:
(1) (a+3) (a-2) (2) (3x+1)(x+2);
= a·a+a·(-2)+3·a+3×(-2)
= a2-2a+3a-6
= a2+a-6;
= (3x)·x+(3x)·2+1·x+1×2
= 3x2+6x+x+2
= 3x2+7x+2;
典例精析
例3 计算:
(3) (x-8y) (x-y) (4) (a+b) (a2-ab+b2)
= x2-xy-8xy+8y2
= x2-9xy+8y2
= a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3
= a3 + b3
1.计算:
当堂练习
1.计算:
当堂练习
当堂练习
2.计算:
由上面计算的结果找规律,观察右图,填空:
(x+p) (x+q) = ( )2+( )x+( ).
x
p+q
pq
当堂练习
3.求值:(x-y) (x2+xy+y2)-(x+y)(x2-y2),其中x = ,y=5.
解:
在整式的运算中,有时还会遇到两个整式相除的情况. 像利用数的乘法研究数的除法那样,可以利用整式的乘法来研究整式的除法.
首先来看同底数幂相除的情况.
我们来计算am÷an,(a≠0,m,n都是正整数,m>n).
我们知道,计算被除数除以除数所得的商,就是求一个数,使它与除数积等于被除数. 类似地,计算am÷an,就是求一个式子,使它与an的积等于am.
因为
所以
同底数幂相除,如果被除式的指数等于除式的指数,例如am÷an ,根据除法的意义可知所得的商为1. 另一方面,如果依照同底数幂的除法来计算,又有am÷an =am-m = a0.
于是规定
典例精析
例4 计算:
对于单项式除以单项式,例如,计算(12a3b2x3)÷ (3ab2),就是要求一个单项式,使它与3ab2 的乘积等于12a3b2x3.
因为(4a2x3)·(3ab )=12a3b2x3,
所以(12a3b2x3)÷(3ab )=4a2x3
上面的商式4a2x3的系数4=12÷3,a的指数2=3-1,b的指数0=2-2,而b0=1,x的指数 3=3-0.
一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
对于多项式除以单项式,例如,计算(am+bm)÷m,就是要求一个多项式,使它与m的积等于am+bm.
因为
所以
所以
一般地,多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.
把多项式除以单项式的问题转化为单项式除以单项式的问题.
典例精析
例5 计算:
(1) (28x4y2)÷(7x3y) (2) (-5a5b3c)÷(15a4b)
(3) (12a3-6a2+3a)÷(3a)
= (28÷7) x4-3y2-1
= 4xy;
= [(-5)÷15]a5-4b3-1c
= -ab2c;
= (12a3)÷(3a)-(6a2)÷(3a)+(3a)÷(3a)
= 4a2-2a+1.
当堂练习
1.计算:
=x2
=1
=a3
=x2y2
当堂练习
2.计算:
当堂练习
3.计算:
谢谢观看