人教版（2024）初中数学八年级上册 17.1 用提公因式法分解因式 教学课件(共17张PPT)

(共17张PPT)
第十七章 因式分解
17.1 用提公因式法分解因式
在求最小公倍数和最大公因数时，往往需要把一个整数分解成几个因数的乘积，如33分解成3×11，42分解成2×3×7. 类似于整数的分解，有时也需要将整式分解成几个因式的乘积的形式.
新课导入
学习目标
1.理解因式分解的意义，并感受因式分解与整式乘法是方向相反的变形.
2.掌握提公因式法这种因式分解的基本方法.
在跳水比赛中，选手每一跳的得分是根据裁判的评分和难度系数计算得出的. 某单人跳水选手完成了一个难度系数为p的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉两个最高分和两个最低分后，会剩下3个分数a，b，c，选手的得分有两种计算方法：
pa+pb+pc ①
和
p(a+b+c) ②
我们知道上述两式是相等的. 从整式运算的角度看，从②式到上式就是上一章我们学习的整式的乘法运算；从①式到②式，相当于把一个多项式写成两个整式的乘积.
在章引言里，我们知道
pa+pb+pc = p(a+b+c).
这表明多项式 pa+pb+pc 可以写成两个整式的乘积的形式.
探究
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
(1) x +x=_____________； (2) x2－1= _____________；
(3) x +2x+1=_____________.
x(x+1)
(x+1) (x－1)
(x+1)2
根据整式的乘法，可以得到
x +x=x(x+1)
x2－1= (x+1) (x－1)
x +2x+1=(x+1)2
上面我们把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解(factorization)，也叫作把这个多项式分解因式. 可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即
pa+pb+pc p(a+b+c)
下面我们来学习如何对多项式进行因式分解.
观察多项式
pa+pb+pc，
它的各项都有一个公共的因式户，我们把因式p叫作这个多项式各项的公因式.
由
pa+pb+pc=p(a+b+c)
可知，pa+pb+pc可以分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式p是各项的公因式，另一个因式a+b+c是pa+pb+pc除以p所得的商.
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.
利用提公因式法，可以把一些多项式分解因式.
典例精析
例1 分解因式：
(1) mx2+my2； (2) 3x2－4xy2＋x
对于(2)，将x提出后，括号内的第三项为1.
=m(x2+y2)；
= x·3x－x·4y2＋x·1
= x (3x－4y2＋1).
当堂练习
1.下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
(1) 4a(a+2b) = 4a2+8ab； (2) a2－4=(a+2)(a－2)；
(3) x2－3x+2 = x(x－3)+2.
解：(2)是因式分解，(1)，(3)不是. 因为把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解.
当堂练习
2.分解因式：
(1) ax－ay； (2) a2－2a；
(3) a2 +ab； (4) xy－y2+yz.
= a(x－y)
= a(a－2)
= a(a＋b)
= y(x－y+2)
当堂练习
3.利用因式分解计算：
典例精析
例2 把8a3b2+12ab3c分解因式.
分析：先找出8a3b2与12ab3c的公因式，再提出公因式. 我们看这两项的系数8与12，它们的最大公因数是4；两项的字母部分a3b2与ab3c都含有字母a和b，其中a的最低次数是1， b的最低次数是2，因此我们选定4ab2为要提出的公因式，提出公因式4ab2后，另一个因式2a2+3bc 的两项就不再有公因式了.
如果提出公因式4ab，另一个因式的两项是否还有公因式
例3 分解因式：
典例精析
(1) 2a(b+c)－3(b+c)； (2) 4(a－b)3+8(b－a)2.
分析：在(1)中，b+c 是2a(b+c)和－3(b+c)的公因式，可以用提公因式法分解因式；在(2)中，因为(b－a)2= (a－b)2 ，所以各项含有公因式4(a－b)2，也可以用提公因式法分解因式.
解：(1) 2a(b+c)－3(b+c)
= (b+c) (2a－3)；
(2) 4(a－b)3+8(b－a)2
= 4(a－b)2·(a－b)+4(a－b)2·2
= 4(a－b)2(a－b+2)
当堂练习
1.分解因式：
当堂练习
2.先分解因式，再求值：
4a2(x+7)－3(x＋7)，其中a=－5，x=3.
解：4a2(x+7)－3(x＋7)
= (x+7) (4a2－3)
当a =－5，x=3时，
原式=(3+7)×[4×(－5)2－3]
=10×(100－3)
=970.
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