人教版(2024)初中数学八年级上册 17.1 用提公因式法分解因式 教学课件(共17张PPT)

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名称 人教版(2024)初中数学八年级上册 17.1 用提公因式法分解因式 教学课件(共17张PPT)
格式 pptx
文件大小 242.0KB
资源类型 教案
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2025-07-05 11:48:41

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(共17张PPT)
第十七章 因式分解
17.1 用提公因式法分解因式
在求最小公倍数和最大公因数时,往往需要把一个整数分解成几个因数的乘积,如33分解成3×11,42分解成2×3×7. 类似于整数的分解,有时也需要将整式分解成几个因式的乘积的形式.
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学习目标
1.理解因式分解的意义,并感受因式分解与整式乘法是方向相反的变形.
2.掌握提公因式法这种因式分解的基本方法.
在跳水比赛中,选手每一跳的得分是根据裁判的评分和难度系数计算得出的. 某单人跳水选手完成了一个难度系数为p的动作,如果有7名裁判进行评分,按照评分规则,去掉两个最高分和两个最低分后,会剩下3个分数a,b,c,选手的得分有两种计算方法:
pa+pb+pc ①

p(a+b+c) ②
我们知道上述两式是相等的. 从整式运算的角度看,从②式到上式就是上一章我们学习的整式的乘法运算;从①式到②式,相当于把一个多项式写成两个整式的乘积.
在章引言里,我们知道
pa+pb+pc = p(a+b+c).
这表明多项式 pa+pb+pc 可以写成两个整式的乘积的形式.
探究
请把下列多项式写成整式的乘积的形式:
(1) x +x=_____________; (2) x2-1= _____________;
(3) x +2x+1=_____________.
x(x+1)
(x+1) (x-1)
(x+1)2
根据整式的乘法,可以得到
x +x=x(x+1)
x2-1= (x+1) (x-1)
x +2x+1=(x+1)2
上面我们把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解(factorization),也叫作把这个多项式分解因式. 可以看出,因式分解与整式乘法是方向相反的变形,即
pa+pb+pc p(a+b+c)
下面我们来学习如何对多项式进行因式分解.
观察多项式
pa+pb+pc,
它的各项都有一个公共的因式户,我们把因式p叫作这个多项式各项的公因式.

pa+pb+pc=p(a+b+c)
可知,pa+pb+pc可以分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式p是各项的公因式,另一个因式a+b+c是pa+pb+pc除以p所得的商.
一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫作提公因式法.
利用提公因式法,可以把一些多项式分解因式.
典例精析
例1 分解因式:
(1) mx2+my2; (2) 3x2-4xy2+x
对于(2),将x提出后,括号内的第三项为1.
=m(x2+y2);
= x·3x-x·4y2+x·1
= x (3x-4y2+1).
当堂练习
1.下列由左边到右边的式子变形,哪些是因式分解?哪些不是?为什么?
(1) 4a(a+2b) = 4a2+8ab; (2) a2-4=(a+2)(a-2);
(3) x2-3x+2 = x(x-3)+2.
解:(2)是因式分解,(1),(3)不是. 因为把一个多项式化成几个整式的积的形式,这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解.
当堂练习
2.分解因式:
(1) ax-ay; (2) a2-2a;
(3) a2 +ab; (4) xy-y2+yz.
= a(x-y)
= a(a-2)
= a(a+b)
= y(x-y+2)
当堂练习
3.利用因式分解计算:
典例精析
例2 把8a3b2+12ab3c分解因式.
分析:先找出8a3b2与12ab3c的公因式,再提出公因式. 我们看这两项的系数8与12,它们的最大公因数是4;两项的字母部分a3b2与ab3c都含有字母a和b,其中a的最低次数是1, b的最低次数是2,因此我们选定4ab2为要提出的公因式,提出公因式4ab2后,另一个因式2a2+3bc 的两项就不再有公因式了.
如果提出公因式4ab,另一个因式的两项是否还有公因式
例3 分解因式:
典例精析
(1) 2a(b+c)-3(b+c); (2) 4(a-b)3+8(b-a)2.
分析:在(1)中,b+c 是2a(b+c)和-3(b+c)的公因式,可以用提公因式法分解因式;在(2)中,因为(b-a)2= (a-b)2 ,所以各项含有公因式4(a-b)2,也可以用提公因式法分解因式.
解:(1) 2a(b+c)-3(b+c)
= (b+c) (2a-3);
(2) 4(a-b)3+8(b-a)2
= 4(a-b)2·(a-b)+4(a-b)2·2
= 4(a-b)2(a-b+2)
当堂练习
1.分解因式:
当堂练习
2.先分解因式,再求值:
4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3.
解:4a2(x+7)-3(x+7)
= (x+7) (4a2-3)
当a =-5,x=3时,
原式=(3+7)×[4×(-5)2-3]
=10×(100-3)
=970.
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