人教版（2024）初中数学八年级上册 18.5 分式方程 教学课件(共24张PPT)

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第十八章 分式
18.5 分式方程
为解决章引言中提出的问题，我们通过设未知数，用分式表示问题中的量，根据问题中的等量关系得到了方程
新课导入
方程①的分母中含有未知数，像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程 (fractional equation). 我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中.
学习目标
1.理解分式方程的概念，掌握分式方程的解法，会检验一个数是不是分式方程的解.
2.体会分式方程通过去分母转化为整式方程中的转化思想.
3.会列分式方程解决实际问题，并检验解的合理性.
思考
如何解分式方程①呢？
利用去分母将分式方程转化为整式方程求解.
我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法，但是分式方程的分母中含未知数，因此解分式方程是一个新的问题. 能否将分式方程化为整式方程呢 我们自然会想到通过“去分母”实现这种转变.
分式方程①中各分母的最简公分母是(30+v)(30－v). 把方程①的两边乘最简公分母可化为整式方程，得
解得
v=6
检验：将v=6代入①中，左边= ，右边= ，这时左、右两边的值相等，因此v=6是分式方程①的解.
由此可知，江水的流速为6 km/h.
“利用最简公分母去分母”
探究
运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程
你发现了什么问题？
类似于解分式方程①，在分式方程②的两边乘最简公分母(x－5)(x+5)，去分母得整式方程
x＋5=10.
解得
x=5.
将x=5代入②，分母x－5和x2－25的值都为0，相应的分式无意义. 因此，x=5虽然是整式方程x+5=10的解，但不是分式方程 = 的解. 实际上，这个分式方程无解.
思考
比较解分式方程①和②的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢
分式方程 = 中隐含条件x2－25 ≠0，当将分式方程转化为整式方程时，这一条件就不存在了，实际上，在将方程 = 转化为整式方程时，将原来分式方程的解的范围扩大了，会产生所得整式方程的解不是分式方程的解的情况，也就是分式方程无解.
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子 (最简公分母). 方程①两边乘 (30＋v) (30－v)，得到整式方程，它的解为v=6. 当v=6时，最简公分母(30＋v) (30－v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同.
方程②两边乘(x－5)(x+5)，得到整式方程，它的解为x=5. 当x=5时，最简公分母(x－5)(x+5)=0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②分母为0，因此这样的解不是②的解.
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
典例精析
典例精析
检验：当x=1时，(x－1)(x+2)=0，因此x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解.
归纳
解分式方程的关键是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母. 得到整式方程的解后，要对其进行检验.
当堂练习
解下列方程：
（1） =
（2） =
解：
解：
当堂练习
解下列方程：
（3） =
（4） = ＋1
解：
解：
当堂练习
解下列方程：
（5） =
（6） － = 0
解：
解：
在解决实际问题时，有时需要列、解分式方程.
典例精析
例3 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪个队的施工速度快
分析：甲队1个月完成总工程的，设乙队单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队一个半月的施工量与乙队半个月的施工量的和等于总工程量. 由此列方程，进而求出x，就可以比较甲乙两队的施工速度.
典例精析
例4 某次列车平均提速v km/h. 在相同的时间内，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度为多少
分析：这里的字母v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km/h，那么提速前列车行驶s km所用时间等于提速后列车运行(s＋50) km 所用时间. 由此列方程，进而求出x.
表达问题时，用字母不仅可以表示未知数(或未知量)，也可以表示已知数(或已知量).
解：设提速前这次列车的平均速度为x km/h，则提速前它行驶s km 所用时间为 h；提速后列车的平均速度为 (x＋v) km/h，提速后它行驶 (s＋50) km 所用时间为 h.
根据行驶时间的等量关系，得
= . ①
方程两边乘x(x＋v)，得
s(x＋v) = x(s＋50)
解得 x = .
检验：由v，s都是正数，得x = 时，x(x＋v)≠0.
所以，原分式方程的解为x=.
答：提速前列车的平均速度为 km/h.
在例4中，出现了一些用字母表示已知数据的形式，这在分析问题寻找规律时经常出现，方程①是以 x 为未知数的分式方程，其中v，s是已知数，根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数.
当堂练习
1.八年级学生去距学校30 km的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了5 min，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达. 已知中巴的平均速度是大巴平均速度的 1.2倍，求大巴的平均速度.
解：设大巴的平均速度为x km/h，则中巴的平均速度为1.2x km/h.
解得：x=60.
经检验，x=60是所列分式方程的解，且符合题意.
答：大巴的平均速度为60 km/h.
当堂练习
2.甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做 90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等. 求甲、乙每小时各做零件多少个.
解：设乙每小时做零件x个，则甲每小时做零件(x＋6)个.
解得 x=12.
经检验，x=12是所列分式方程的解，且符合题意.
所以 x+6=18.
答：甲每小时做零件18个，乙每小时做零件12个.
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