人教版(2024)初中数学八年级上册15.3 等腰三角形 教学课件(共39张PPT)

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名称 人教版(2024)初中数学八年级上册15.3 等腰三角形 教学课件(共39张PPT)
格式 pptx
文件大小 1.7MB
资源类型 教案
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2025-07-05 11:51:36

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(共39张PPT)
第十五章 轴对称
15.3 等腰三角形
有些几何图形是轴对称图形,利用它们的轴对称性,可以帮助我们研究图形的性质,本节我们利用轴对称研究等腰三角形.
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学习目标
1.通过对等腰三角形性质和判定过程的探究,体会轴对称在研究几何中的作用.
2.理解等边三角形的定义.
3.掌握等边三角形的性质和判定定理.
4.掌握含30°角的直角三角形的性质.
15.3.1 等腰三角形
探究
如图,在纸上画一个等腰三角形,把它剪下来. 将这个等腰三角形对折,使它的两腰重合,再展开,找出其中重合的线段和角.
由这些重合的线段和角,你能发现等腰三角形的性质吗?说一说你的猜想.
A
B
C
D
重合的线段有:AB和AC,CD和BD;重合的角有:∠CAD和∠BAD,∠BDA和∠CDA,∠B和∠C.
猜想:等腰三角形的两个底角相等,等腰三角形底边上的高、顶角的平分线、底边上的中线是同一条线段. 操作后发现猜想仍然成立.
我们可以发现等腰三角形的性质:
等腰三角形的两个底角相等 (简写成“等边对等角”);
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 (简写成“三线合一”).
由上面的操作过程获得启发,我们可以利用三角形的全等证明这些性质.
由上面的探究过程获得启发,可以利用三角形的全等证明这些性质.
如图,在△ABC中,AB=AC,作底边BC的中线AD,则BD=CD.
在△ABD和△ACD中,
AB=AC,
BD=CD,
AD=AD,
∴△ABD≌△ACD (SSS).
∴∠B=∠C.
这样就证明了“等边对等角”.
由△ABD≌△ACD,还可得出∠BAD=∠CAD,∠BDA=∠CDA,从而AD⊥BC. 这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC. 用类似的方法,还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,底边上的高平分顶角并且平分底边. 这也就证明了等腰三角形“三线合一”.
从以上证明也可以得出,沿底边上的中线翻折等腰三角形,两部分重合,等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线 (顶角的平分线、底边上的高) 所在直线就是它的对称轴.
典例精析
例1 如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,BC=AD. 且BD=BC=AD. 求△ABC各角的度数.
当堂练习
1.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°. 求∠B和∠C的度数.
解:∵AB=AD,∠BAD=26°,
∴∠B=∠ADB=(180°-26°) ÷2=77°.
∴∠ADC=180°-77°=103°.
又∵AD=DC, ∴∠DAC=∠C=(180°-103°)÷2=38.5°.
当堂练习
解:相等的线段有AB=AC,BD=AD=CD.
2.如图,△ABC是等腰直角三角形 (AB=AC, ∠BAC=90°),AD是底边BC上的高. 标出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数,并写出图中所有相等的线段.
当堂练习
2.求证:如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
解:如图:
思考
我们知道,如果一个三角形有两条边相等,那么它们所对的角相等. 反过来,如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系
如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边也相等.
如图,在△ABC中,∠B=∠C.
作△ABC的角平分线AD.
在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD (AAS).
∴AB=AC.
由上面的推理过程,可以得到等腰三角形的判定方法:
有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简写成“等角对等边”).
典例精析
例2 求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.
已知:如图,AD是△ABC的外角∠CAE的平分线,
AD∥BC.
求证:AB=AC.
分析:要证明AB=AC,可先证明∠B=∠C. 因为∠1=∠2. 所以可以设法找出∠B,∠C与∠1,∠2的关系.
证明:∵AD∥BC,
∴ ∠1=∠B,∠2=∠C.
又AD平分∠CAE,
∴ ∠1=∠2.
∴ ∠B =∠C.
∴ AB=AC.
典例精析
例3 尺规作图:已知等腰三角形底边长为a,底边上高的长为h (图(1)),求作这个等腰三角形.
(2)
(1)
分析:根据等腰三角形“三线合一”的性质,当底边确定时,底边所对的顶点在底边的垂直平分线上. 由此,作出底边的垂直平分线,利用高的长度确定底边所对的顶点的位置,即可作出这个等腰三角形.
(2)
(1)
作法:
(1)作线段 AB=a.
(2)作线段AB的垂直平分线MN,与AB相交于点D.
(3)在MN上取一点C,使DC=h.
(4)连接AC,BC,则△ABC就是所求作的等腰三角形.
当堂练习
1.如图,∠A=36,∠DBC=36°,∠C=72°. 分别计算∠1,∠2的度数,并说明图中有哪些等腰三角形.
当堂练习
2.如图,把一张长方形的纸沿对角线折叠,重合部分是一个等腰三角形吗 为什么
解:是等腰三角形.
如图所示.
∵AD∥BC,∴∠3=∠2.
又∵∠1=∠2 ,∴∠1=∠3.
∴BF=FD.
即△BFD是等腰三角形.
当堂练习
3.如图,AC和BD相交于点O,且AB∥CD,OA=OB.
求证OC=OD.
证明:因为OA=OB,所以∠A=∠B.
因为AB∥DC,所以∠C=∠A,∠D=∠B. 所以∠C=∠D. 所以 OC=OD.
15.3.2 等边三角形
我们知道,三边都相等的三角形是等边三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形. 对于等边三角形,我们同样从它的边、角关系出发,研究它的性质和判定.
探究
把等腰三角形的性质用于等边三角形,能得到什么结论 一个三角形满足什么条件才是等边三角形
把等腰三角形的性质用于等边三角形仍然成立. 每一条边作为底边时,都有“三线合一”. 当一个三角形的三个角都相等时,这个三角形是等边三角形.
由等腰三角形的性质和判定方法,可以得到:
等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60°.
三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
请你自己证明这些结论.
典例精析
例4 如图, △ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E. 求证:△ADE是等边三角形.
当堂练习
1.试画出等边三角形的三条对称轴. 你能发现什么
解:如图所示
对称轴是顶角平分线或底边上的高或底边上的中线所在的直线,并且三条对称轴交于一点.
当堂练习
2.如图,等边三角形ABC中,AD是BC上的高,∠BDE=∠CDF=60°,图中有哪些与BD相等的线段 证明你的结论.
解:BE,ED,FD,CD,CF,AE,AF.
如图,连接EF.
利用等边三角形的性质和判定,可以发现并证明直角三角形的一个性质.
探究
如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ A=30°测量∠A所对的直角边BC与斜边AB,你能得到什么结论 再画几个满足条件的三角形,你得到的结论还成立吗 证明你的结论.
由图可知∠BAD=30°×2=60°=∠B=∠D,则△ABD是等边三角形,由等边三角形的性质可知,AC也是BD边上的中线,所以 BC=BD =∠AB,即直角边 BC的长等于斜边AB的长的一半.
通过测量发现:在Rt△ABC中,如果∠A=30°,那么直角边BC等于斜边AB的一半,下面证明这一结论.
要证明BC=AB,只要证明2BC=AB. 为此可以构造长为2BC的线段,证明它和AB相等即可.
30°
如图,延长BC到D,使CD=BC,连接AD,则AC是BD的垂直平分线,所以AB=AD. 又因为∠B=90°-∠BAC =90°-30°=60°,所以△ABD是等边三角形,所以BD=AB,又BD=2BC,所以BC=AB ,由此可以得到:
在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°. 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
你还有其他证明方法吗?
典例精析
例5 下图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE垂直于横梁AC,AB=7.4m,∠A=30°. 求立柱BC,DE的长.
当堂练习
1. 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,∠B和∠A各是多少度 边AB与BC之间有什么关系
当堂练习
2. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,∠B和∠A各是多少度
解:如图:
谢谢观看
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