人教版(2024)初中数学八年级上册17.2 用公式法分解因式 教学课件(共23张PPT)

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名称 人教版(2024)初中数学八年级上册17.2 用公式法分解因式 教学课件(共23张PPT)
格式 pptx
文件大小 488.0KB
资源类型 教案
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2025-07-05 11:44:21

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(共23张PPT)
第十七章 因式分解
17.2 用公式法分解因式
对于某些特殊的多项式相乘,可以直接运用公式写出结果. 类似地,对于某些特殊的多项式,也可以利用公式分解因式.
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学习目标
1.掌握利用平方差公式进行因式分解的方法.
2.掌握利用完全平方公式进行因式分解的方法.
思考
多项式a2-b2有什么特点 你能将它分解因式吗
特点:这个多项式是两个数的平方差的形式.
这个多项式是两个数的平方差的形式. 由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形,把整式乘法的平方差公式
的等号两边互换,就得到
运用这个公式,可以把形如平方差的多项式分解因式.
典例精析
例1 分解因式:
分析:在(1)中,由于4x2=(2x)2,9=32,所以4x2-9=(2x)2 -32,即可以利用平方差公式分解因式;在(2)中,由于25b2=(5b)2,所以a2-25b2 = a2-(5b)2,即可以利用平方差公式分解因式.
(1) 4x2-9 (2) a2-25b2
解:(1) 4x2-9
=(2x)2 -32
=(2x+3) (2x-3)
(2) a2-25b2
= a2-(5b)2
= (a+5b) (a-5b)
例2 分解因式:
典例精析
(1) x2-y4; (2) (x+p)2-(x+q)2.
分析:在(1)中,y4=(y2)2,所以x2-y4 = x2-(y2)2,即可以利用平方差公式分解因式;在(2)中,可以x+p和x+q各看成一个整体,设x+p=a, x+q=b,则原式化为a2-b2,即可以利用平方差公式分解因式.
解:(1) x2-y4
= x2-(y2)2
= (x+y2) (x-y2)
(2) (x+p)2-(x+q)2
= [(x+p)+(x+q)] [(x+p)-(x+q)]
= (2x+p+q) (p-q)
当堂练习
1.下列多项式能否利用平方差公式分解因式 为什么
解:(1)(4)不能. 因为多项式不符合平方差公式的形式.
(2)(3)能. 因为多项式符合平方差公式的形式.
当堂练习
2.分解因式:
(1) 36-m2
(2) 49n2-1
(3) a2-b2
(4) 81a2-16b2
(5) 4b2-(b+c)2
(6) (m+2n)2-(m-2n)2
思考
多项式a2+2ab+b2 与 a2-2ab+b2 有什么特点 你能将它们分解因式吗
特点:它们都是两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍.
a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2.
这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍,这恰是两个数的和或差的平方,我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫作完全平方式,利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式.
把整式乘法的完全平方公式
的等号两边互换位置,就得到
典例精析
例3 分解因式:
(1) x2+4x+4; (2) 16x2-24x+9.
分析:在(1)中,由于4=22,4x=2·x·2,所以x2+4x+4,是一个完全平方式,即
x2+4x+4 = x2+2·x·2+22
a2+2·a·b+b2
在(2)中,由于16x2 =(4x)2,9=32 ,24x=2·4x·3,所以16x2-24x+9是一个完全平方式.
典例精析
例3 分解因式:
(1) x2+4x+4; (2) 16x2-24x+9.
解:(1) x2+4x+4
= x2+2·x·2+22
= (x+2)2;
(2) 16x2-24x+9
= (4x)2-2·4x·3+32
= (4x-3)2.
(1) (a+b)2-12(a+b)+36 (2) -x2+4xy-4y2
典例精析
例4 分解因式:
分析:在(1)中,由于a+b看作一个整体,设a+b=m,则原式化为完全平方式m2-12m+36;对于(2),可通过添括号将原式写成-(x2-4xy+4y2),括号内的式子为完全平方式.
典例精析
(1) (a+b)2-12(a+b)+36 (2) -x2+4xy-4y2
例4 分解因式:
解:(1) (a+b)2-12(a+b)+36
=(a+b)2-2·(a+b)·6+62
=(a+b-6)2
(2) -x2+4xy-4y2
=-(x2+4xy-4y2)
=-[x2-2·x·2y+(2y)2]
=-(x2-2y)2
可以看出,把乘法公式的等号两边互换,就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式. 运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法.
当堂练习
1.下列多项式是不是完全平方公式 为什么
当堂练习
2.分解因式:
(1) a2+2a+1 (2) x2-12x+36
(3) 4x2-4x+1 (4) 4p2+12pq+9q2
(5) (x+y)2-10(x+y)+25
(6) -2xy-x2-y2
对于一些复杂的因式分解问题,有时需要多次运用公式法,有时还需要综合运用提公因式法和公式法.
典例精析
(1) x4-y4; (2) a3b-ab
例5 分解因式:
分析:在(1)中, x4-y4 可以写成(x2)2-(y2)2的形式,可用公式法分解因式;对于(2),a3b-ab的两项有公因式ab,可以先提出公因式,再进一步分解因式.
解:(1) x4-y4
= (x2+y2) (x2-y2)
= (x2+y2) (x+y) (x-y)
(2) a3b-ab
= ab(a2-1)
= ab(a+1) (a-1)
分解因式,要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
典例精析
(1) 3ax2+6axy+3ay2; (2) -ax2+2a2x-a3
例6 分解因式:
分析:先提出公因式,再用公式法进一步分解因式.
解:(1) 3ax2+6axy+3ay2
= 3a (x2+2xy+y2)
= 3a (x+y)2
(2) -ax2+2a2x-a3
= -a(x2-2ax+a2)
= -a(x-a)2
当堂练习
1.分解因式:
(1) x2y-4y
(2) a3-2a2+a
(3) ax2+2a2x+a3
当堂练习
1.分解因式:
(4) -a4+16
(5) 3a-6ax+3ax2
(6) -4bx2+8bxy-4by2
当堂练习
2.分解因式:
(1) (a-b)2+4ab (2) (p-4) (p+1)+3p
= a2+b2-2ab+4ab
= a2+b2+2ab
= (a+b)2
= p2-3p-4+3p
= p2-4
= (p+2) (p-2)
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