第21章一元二次方程预习卷（含解析）-2024-2025学年数学九年级上册人教版

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第21章一元二次方程预习卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．将一元二次方程化成一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3， B．3，1 C．3， D．3，0
3．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则方程的两个根为（ ）
A． B． C． D．
4．若m为实数，，则P，Q的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
5．关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断根的情况
6．方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
7．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，该公司2021年缴税40万，2023年缴税48.4万，该公司这两年缴税的年平均增长率是（ ）
A． B． C． D．
8．在解关于x的方程时，甲看错了方程中的常数项，解得两根为8和2，乙看错了方程中的一次项，解得两根为和，则正确的方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为52，则m的值为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．
10．在用求根公式求解一元二次方程时，a，b，c的值分别是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．一元二次方程的两根分别为 ．
12．若关于x的方程的两个实数根之和大于，则k的取值范围是 ．
13．商场中换季衣服都要打折处理，10月某商店将某种春秋装以原价的出售，到了11月，再次降价．现将这种春秋装以原价的出售，则这两次降价的平均折扣率是 ．
14．已知是关于的一元二次方程的两个实数根．若，则的值为 ．
15．若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程必有一根为 ．
16．竹溪梅子贡茶是一种著名的中国绿茶．某茶园从年到年茶叶产量从增长到，则茶叶产量从年到年平均每年增长率为 ．
17．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒．
18．如图，矩形中，，，P是上一点，，将沿着翻折到，连接，则的面积为 ．
三、解答题
19．解下列方程
(1)；
(2)
20．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，求的值．
21．已知抛物线与x轴的两个交点分别为，且，求m的值．
22．如图，园林部门计划在某公园建一个矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为），另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留宽的门（门不用木栏）．已知建成后所用木栏总长为，当的长是多少时，矩形苗圃的面积最大？最大面积是多少？
23．关于x的一元二次方程．
(1)判定此方程根的情况；
(2)等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值．
24．如图是一个用28米长的篱笆围成的矩形菜园，一边靠墙（墙长米），并在边上开一道米宽的门（门不使用篱笆），若设为x米．
(1)的长为 米（用含x的代数式表示）
(2)当菜园的面积为时，求的长
(3)菜园的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由．
25．阅读材料，并解决问题．
【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：
第一步：将原方程变形为；
第二步：画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．
第三步：得新方程．因为表示边长，所以，即．
【理解】上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是______________．
A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体代换思想
【实践】小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为（____________）；
第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，类比图1标明各边长），并写出后续的解答过程；
【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的正根为____________．
《第21章一元二次方程预习卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D A A B A B A D
1．B
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）逐一判断各选项即可．
【详解】解：A. ：是一元一次方程，不符合条件；
B. ：只含有一个未知数，且的最高次数为2，是一元二次方程；
C. ：含有两个未知数和，是二元一次方程，不符合条件；
D. ：含有两个未知数和，且乘积项的次数为2，是二元二次方程，不符合条件；
故选：B．
2．C
【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，将方程整理为一般形式，确定各项系数即可求解．
【详解】解：原方程移项得：，
∴方程的一般形式为，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为，
∴二次项系数和一次项系数分别是和，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程．根据常数项为0求出m的值，代入方程后解方程即可．
【详解】解：∵方程常数项为，
∴由题意得，解得：，
∵，
∴，
∴方程为：，
提公因式得：，
∴或，
∴方程的两个根为，，
故选：D．
4．A
【分析】本题考查比较两个代数式的大小．根据题意通常作差后判断符号．计算，利用配方法，再根据完全平方的非负性即可确定符号．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，即：，
故选：A．
5．A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况．
【详解】解：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
6．B
【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程．将方程化为标准形式后，利用平方根的定义求解．
【详解】解：∵，
两边同时除以2，：，
∴直接开方得：，
解得：，，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
设年平均增长率是，依题意得，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是，
依题意得，，
解得，或（舍去），
∴年平均增长率是，
故选：A．
8．B
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，若、是方程的两根，则有，．先设这个一元二次方程的两根是、，甲看错常数项，解得两根为8和2，说明，即，乙看错一次项系数，解得两根为和，说明，即，两式联合，可求关于、的方程．
【详解】解：设这个一元二次方程的两根是、，根据题意得
，，
那么以、，为两根的一元二次方程就是，
故选：B．
9．A
【分析】本题考查根与系数关系，完全平方公式变形等．根据题意可知，，，再利用完全平方公式列式计算即可．
【详解】解：∵于x的一元二次方程，
∴设方程两个实数根分别为，
∴，，
∵两个实数根的平方和为52，
∴，
∴，
∴，解得：，
∵，
∴，
故选：A．
10．D
【分析】本题考查一元二次方程一般式的理解．将方程整理为标准形式，确定各项系数．
【详解】解：∵，
整理得：，
∴，，，
故选：D．
11．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法（因式分解法），熟练掌握因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键，涉及知识点有一元二次方程的一般形式、因式分解的应用 ．先将方程进行整理化为一元二次方程的一般形式，再通过因式分解的方法求解方程的根．
【详解】解：
故答案为：， ．
12．
【分析】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程根与系数关系等知识点，灵活利用根的判别式、一元二次方程根与系数关系列出不等式成为解题的关键．
由根的判别式列不等式可得，设关于x的方程的两个实数根为，由两个实数根之和大于结合根与系数的关系可得，解得，进而得到即可解答．
【详解】解：方程有两个实数根，
，解得：．
设关于x的方程的两个实数根为，
两个实数根之和大于，
，解得，
．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设平均折扣率是x，根据经过两次降价后的价格为原价的，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设平均折扣率是x，根据题意，得：
，
解得：，（不合题意，舍去），
故答案为：．
14．
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记两个关系式是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，
，
，
，
．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，结合已知条件得到，求得x即可．
【详解】解：整理得，
∵关于x的一元二次方程的其中一根为，
∴关于x的方程中，，
解得：．
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是找准等量关系．
先设平均每年增长率为x，再根据“某茶园从年到年茶叶产量从增长到”列出方程求解．
【详解】解：设平均每年增长率为x，
则可列式，
解得，负值舍去．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：根据题意得：，
整理得： ，
解得： (不符合题意，舍去)，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，解一元二次方程，作辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作，则四边形是矩形，由折叠的性质可，，，设，，利用勾股定理得到，，利用代入消元法得到关于的一元二次方程，求解得到，进而得出，即可求出的面积．
【详解】解：如图，过点作，
四边形是矩形，
，，
又，
四边形是矩形，
，，，
由折叠的性质可，，，
设，，
，，
在中，，即，
在中，，即，
整理得：，
，
，
，
将代入①得：，
解得：或（舍）
，
，
的面积，
故答案为：．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键：
（1）直接开方法解方程即可；
（2）因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
∴，
∴；
（2），
∴，
∴或，
∴．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数之间的关系，是解题的关键：
（1）求出判别式的符号进行判断即可；
（2）根据根与系数的关系进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴
；
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）由题意，得：，
∴．
21．1或
【分析】先根据抛物线与轴交点和一元二次方程根的关系，得出、是对应一元二次方程的根，再利用根与系数的关系得到与的表达式，最后结合，通过完全平方公式变形建立关于的方程求解．本题主要考查了抛物线与轴交点、一元二次方程根与系数的关系以及完全平方公式的应用，熟练掌握根与系数的关系和完全平方公式的变形是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，当，即时，有两根，
．
，
，
解得．
综上所述，m的值为1或．
22．当的长为时，矩形苗圃的面积最大，最大面积为
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确求得S与x的关系成为解题的关键．
设矩形苗圃的面积为，它的一边的长为，则的长为，若它的面积为，然后利用二次函数的性质求出最大值即可．
【详解】解：设矩形苗圃的面积为，它的一边的长为，则的长为，
．
，
当时，S随x的增大而减小，
，
．
，
当时，S有最大值，．
答：当AB的长为时，矩形苗圃ABCD的面积最大，最大面积为．
23．(1)方程有两个实数根
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，也考查了根的判别式．
（1）计算判别式的值得到即可得解；
（2）利用公式法求出方程的两个解为，，再根据三角形的三边关系，结合等腰三角形的定义进行分类讨论即可．
【详解】（1）证明：．
方程有两个实数根；
（2）解：由，且，
得
∴，，
即、的长为，，
当时，三边为5，5，1，满足三角形构成条件，此时 ，解得；
当时，三边为5，1，1，不满足三角形构成条件．
综上所述，．
24．(1)
(2)8米
(3)不能，理由见解析
【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程： 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，正确的理解题意是解题的关键．
（1）因为设的长为米，则米，即可解答．
（2）根据题意得到，解方程即可得到结论；
（3）根据题意得到函数关系，根据判别式的情况，即可得到结论．
【详解】（1）解：设的长为米，
∵要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为28米长的木板(全部使用完），
∴米，
故答案为：；
（2）解：根据题意得，，
解得：，，
当时，（不合题意舍去），
当时，，
∴米；
（3）解：根据题意得，，
∴
∴
则
该方程无实数解
∴仓库的面积不能为．
25．（1）【理解】B；（2）【实践】，见解析；（3）【应用】1
【分析】本题考查了用图形法解一元二次方程，理解题意，构造出适当的图形是解题的关键．
【理解】利用图形求解方程的过程是数形结合思想的应用，从而右确定答案；
【实践】按照题干材料中的步骤进行即可；
【应用】按照题干材料中的步骤进行即可．
【详解】解：【理解】从解题过程知，用到了数形结合思想；
故选：B．
【实践】第一步：将原方程变形为；
第二步：画四个长为，宽为的矩形，拼成一个“空心”正方形，如图所示，
则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为1的小正方形面积之和，即．
第三步：得新方程．因为表示边长，所以，即．
故答案为：；
【应用】第一步：将原方程变形为；
第二步：画四个长为，宽为的矩形，拼成一个“空心”正方形，如图2所示，
则图2中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为a的小正方形面积之和，即．
第三步：得新方程．因为表示边长，所以，
由于中间正方形的边长为a，其面积为，则，
即，
∴．
故答案为：1．
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