（暑假弯道超车）综合复习卷（含解析）-数学八年级下册北师大版

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（暑假弯道超车）综合复习卷-数学八年级下册北师大版
一、单选题
1．如果，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若分式 中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（ ）
A．3 B． C． D．
3．数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
4．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．图1是一个可调节平板支架，其结构示意图如图2所示，已知平板宽度为，支架脚的长度为，，保持此时的形状不变，当平分时，点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的分式方程有增根，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
7．如图，直线与轴交于点，与轴交于点边在轴上，且，将沿轴正方向平移个单位长度后，面积恰好被直线平分，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，中，，将绕点顺时针旋转后得到，点，的对应点分别为，，延长线交于点，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的顶点在原点，顶点在轴上，已知，，将等腰三角形绕点逆时针旋转，每次旋转，第100次旋转后，点A的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题
11．因式分解： ．
12．如图在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，则 ．
13．已知不等式组的解集中每一个x的值均不在的范围内，a的取值范围为 ．
14．如图，将绕点按逆时针方向旋转得到．若，则 ．
15．如果关于x的一次函数的图象不经过第二象限，且关于x的分式方程有整数解，那么所有满足条件的整数a的值之和为 ．
16．如图，在中，，．点在线段上运动．连接，当是等腰三角形时，则中最大内角的度数是 ．
17．如图，在和中，，，，与重叠．若绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转不停，在旋转过程中，若和中第一次有一组边平行，则称之为第一次“边平行”，当旋转到 秒时，第次边平行．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式组的解集为 ．
三、解答题
19．因式分解：
(1)．
(2)．
20．（1）解不等式组，请把解集表示在数轴上并求出其整数解．
（2）解方程：．
21．如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．
22．观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并说明等式的正确性．
23．如图，各顶点的坐标分别为，，．是平移后得到的图形，已知点的对应点的坐标为．
(1)请你作出平移后得到的图形；
(2)连接，，计算四边形的面积；
(3)若轴上有一点，使得的面积等于四边形面积的一半，请你直接写出点的坐标．
24．河南是华夏文明的重要发祥地，文化底蕴深厚．近年来河南省旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售．某景区用800元购进的款文创产品和用650元购进的款文创产品数量相同，款产品每件的进价比款多15元．
(1)求，两款文创产品每件进价．
(2)已知款文创产品每件的售价为100元，款每件售价为80元，根据市场需求，景区计划使用不超过7400元的总费用再次购进两款产品共100件进行销售．景区这次应如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？
25．小华认为多项式不能因式分解，小明却认为可以，并且给出了三种因式分解的方法：
方法一：
方法二：
方法三：
(1)请你用以上三种方法中的任意一种对进行因式分解；
(2)小明认为用方法一不仅可以解决部分多项式的因式分解问题，还可以求这部分多项式的最值，如：，因为所以，因此多项式的最小值是．借助小明的做法，判断多项式有最值吗？如果有，请你求出为何值时取到最值；如果没有，请说明理由．
26．综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动．
如图1，在中，，．将绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为．设与相交于点，分别交，于点，．
【特殊位置】
（1）如图1，当旋转到时，同学们发现等于旋转角，都为________度．
【探究规律】
（2）如图2，在绕点逆时针旋转过程中，同学发现始终与旋转角相等，请证明这一结论．
【拓展延伸】
（3）①在绕点逆时针旋转过程中，当为等腰三角形时，旋转角等于________度；
②如图3，延长，相交于点，请判断与的关系，并说明理由．
《（暑假弯道超车）综合复习卷-数学八年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D D D A B D C D
1．D
【分析】本题主要考查了不等式的性质、有理数大小比较等知识点，灵活运用不等式的性质成为解题的关键．
根据不等式的性质以及负数的绝对值越大、自身越小逐项判断即可．
【详解】解：A．∵，
∴、均为负数且，
∵，．
∴，即，选项A正确．
B．∵，
∴，选项B正确．
C． ∵ ，、均为负数，
∴（结果为正）．
∵，
∴，即，选项C正确，D选项错误．
故选D．
2．D
【分析】本题考查分式的基本性质，当分式中的变量扩大3倍后，分母变为原来的9倍．要使分式的值不变，分子A必须也变为原来的9倍．因此，A的表达式在变量扩大3倍后应等于原表达式的9倍，据此进行判断即可．
【详解】解：原分式为，当和扩大为原来的3倍时，分母变为．此时分式变为．要使分式的值不变，需满足，即．
选项A：，扩大后仍为3，不满足．
选项B：，扩大后为，而，不相等．
选项C：，扩大后为，而，不相等．
选项D：，扩大后为，而，相等．
故选D．
3．D
【分析】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握将某一个图形旋转后，仍与原图形重合，这就是中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形．直接根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【详解】解：由题意可得，
A、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
4．D
【分析】本题考查因式分解的定义．逐一分析各选项是否符合条件即可．
【详解】解：A选项：右边出现分式，不符合因式分解要求；
B选项：展开右边得，与左边不相等，等式不成立；
C选项：右边为，是加法形式而非整式乘积，不符合因式分解定义；
D选项：左边提取公因式，得到，为整式的乘积形式，符合因式分解定义；
故选：D．
5．D
【分析】本题考查了角平分线的性质，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用勾股定理得出，再由等面积法求出，因为平分，，则，即可作答．
【详解】解：过点B分别作，垂足分别为D，E，如图所示：
∵平板宽度为，支架脚的长度为，，
∴，
∴，
∵，
∵平分，，
∴，
点到的距离是，
故选：D．
6．A
【分析】本题考查的是分式方程的增根问题，掌握“已知增根的情况下求解参数的值”是解本题的关键．
分式方程的增根是使最简公分母为零的根．首先确定增根为，再将原方程转化为整式方程，代入增根求解的值．
【详解】解：原方程中，分母为和，最简公分母为．当时，分母为零，故增根为．
将方程两边同乘，得：
展开并整理得：
将增根代入，得：，
解得．
故选A．
7．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，中心对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题及平移的性质，先求出两点的坐标，得到，进而求出，即可求出C点的坐标，设沿x轴正方向平移m个单位长度后，得到，由平移的性质得到，结合平行四边形的性质，当直线过的中点时，面积恰好被直线平分，即可求解．
【详解】解：根据题意当时，则，
当时，则，
解得：，
∴，
∴，
∵，
四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
设沿x轴正方向平移m个单位长度后，得到，连接，
则，
∵四边形是平行四边形，即平行四边形是中心对称图形，
∴当直线过的中点时，面积恰好被直线平分，
∵的中点为，即，
∴，
解得：．
故选B．
8．D
【分析】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的判定，平行线的判定等内容，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．
利用旋转的性质，找出相等的角和边，以及确定旋转角等，逐项进行判断即可．
【详解】解：如图，设与相交于G，
A.根据现有条件无法确定与是否相等，故该选项错误，不符合题意；
B. 根据旋转的性质得，，当时，，而无法确定与是否相等，
故该选项错误，不符合题意；
C.根据旋转的性质得，，而，
∴，故该选项错误，不符合题意；
D.根据旋转的性质得，,
∴，
∴，
故该选项正确，符合题意；
故选：D．
9．C
【分析】本题主要考查坐标规律、旋转的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
如图：过点A作轴于C．由等腰三角形的性质可得；再根据含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得；再根据旋转的性质并画出图形得到，，，，，，…，6次一个循环，然后再求第100次旋转后，点A的坐标即可．
【详解】解：如图：过点A作轴于C．
∵，，
∴ ，
在中，，，即，
∴，，
∴，
∴，
∵将等腰三角形绕点逆时针旋转，每次旋转，
∴、在y轴上，易得，；与A关于y轴对称，则；与关于x轴对称，则；与关于y轴对称，则，与A重合，即；
∴，，，，，，…，6次一个循环，
∵，
∴．
故选：C．
10．D
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
分别利用平行四边形的判定方法判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、∵，，
∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
C、∵，，
∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、，无法得出四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：D．
11．
【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用分解因式即可.
【详解】解：，
故答案为：
12．
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质定理等，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．取中点H，连接与，根据线段中点得出，利用三角形中位线的性质及平行线的判定得出四边形为平行四边形，再由平行四边形的性质求解即可．
【详解】解： 取中点H，连接与，如图所示：
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵F是的中点，H为中点，
∴为的中位线，
∴，，
∵E是中点，
∴，
∴，
∵
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
故答案为：．
13．或
【分析】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
根据解不等式组，可得不等式组的解集，根据不等式组的解集与的关系，可得答案．
【详解】解：解不等式组得，
∵不等式组的解集中每一个x的值均不在的范围内，
∴或，
∴或．
故答案为：或
14．80
【分析】本题考查旋转的性质，由旋转得，再根据可得答案．
【详解】解：由旋转得，，
∵，
∴．
故答案为：80．
15．
【分析】本题考查一次函数的性质、分式方程的解，根据关于的一次函数的图象不经过第二象限，可以得到，再根据关于x的分式方程有整数解，可以求得，然后即可得到所有满足条件的整数a的值，再将这些值相加即可．
【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限，
∴ ，解得，
∵，解得 ：
∵，关于x的分式方程有整数解，
∴ ，则，
∴或或或
∴ 或或（不合题意舍去）或（不合题意舍去）
∴所有满足条件的整数a的值之和为 ，
故答案为：．
16．或或
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
分、、三种情况，分别运用等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
当时，则，
∴此时中最大内角是；
当时，，
∴此时中最大内角是；
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴此时中最大内角是，
综上所述：当是等腰三角形时，中最大内角的度数是或或．
故答案为：或或．
17．
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，数字类规律探究，先分析一周有多少次边平行，进而求得第次边平行时对应的次数，根据规律即可求解．
【详解】解：在和中，，，，
∴，
如图，第1次边平行时，，
∴
∴旋转了，旋转秒，
如图，第2次边平行时，
∴
∴旋转了，旋转秒，
如图，第3次边平行时，，设交于点，
∴
∴
∴旋转了，旋转了秒，
如图，第4次边平行时，，
∴
∴旋转了，旋转时间为秒，
如图，第5次边平行时，，
∴
∴
∴
∴旋转了，旋转时间为秒，
如图，第6次边平行时，，
∴
∴旋转了，旋转时间为秒，
如图，第7次边平行时，，
∴
∴旋转了，旋转时间为秒，
如图，第8次边平行时，， 设直线交于点，
∴
∴
∴旋转了，旋转时间为秒，
如图，第9次边平行时，，
∴
∴旋转了，旋转时间为秒，
如图，第10次边平行时，，
∴
∴旋转了，旋转时间为秒，
再旋转就回到初始位置，
∴旋转1周有10次边平行，旋转时间为秒，
∵
∴第次平行时，旋转了周，再加秒
∴
故答案为：．
18．/
【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
根据直线与直线交于点，求出的值，再结合图象分析即可解题．
【详解】解：直线与直线交于点，
，
解得，
则关于的不等式组的解集为直线在直线图象上方部分，即；
故答案为：．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解,熟练掌握因式分解的方法是解题的关键；
（1）先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解；
（2）利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
（2）解：．
20．（1），见解析；（2）
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，解分式方程，熟知解不等式组和解分式方程的方法是解题的关键。
（1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可；
（2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案。
【详解】解：（1）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
（2）
去分母得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解。
21．
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状是解题的关键．
先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：连结，
∵，，，
∴，
在中，，
∴是直角三角形，
∴．
22．(1)
(2)（，且为整数），证明见解析
【分析】本题考查算式规律的归纳能力，分式的混合运算，解题的关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解．
（1）根据前个等式的规律求解此题；
（2）根据前个等式归纳出此题规律进行求解，再证明即可．
【详解】（1）解：∵第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
∴第个等式：，
故答案为：；
（2）解：由（1）归纳可得：
第n个等式：（，且为整数）
证明如下：左边右边，
∴成立.
23．(1)见解析
(2)20
(3)或
【分析】本题考查了平移作图，写出坐标系中点的坐标，坐标与图形，掌握平移的性质是解题的关键．
（1）根据点的对应点的坐标为得出平移方式，从而确定的位置，再顺次连接即可得；
（2）运用分割法求出四边形的面积；
（3）设点的坐标为，得，根据的面积等于四边形面积的一半列方程求出的值即可．
【详解】（1）解：∵，且点的对应点的坐标为
∴点是由点向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到的，
∵，，
∴,
如图，即为所作，
（2）解：四边形的面积；
（3）解：设点的坐标为，
∵，
∴
∵，
∴
又的面积等于四边形面积的一半，
∴,
∴，
解得，，
∴点的坐标为或
24．(1)款文创产品每件进价为80元，款文创产品每件进价为65元
(2)购进款文创产品60件，则款文创产品为40件时利润最大为1800元
【分析】本题主要考查分式方程的实际应用 ，一元一次不等式的应用；
（1）设款文创产品每件进价为元，款文创产品每件进价为元．根据题意列出分式方程求解即可；
（2）设购进款文创产品件，则款文创产品为件，根据题意列出一元一次不等式求解，再设获得的利润为元，列出利润的式子根据一次函数性质求出最值即可．
【详解】（1）解：设款文创产品每件进价为元，款文创产品每件进价为元．
由题意可得：．
解得：
经检验：为原分式方程的根．
款文创产品每件进价为元，
款文创产品每件进价为80元，款文创产品每件进价为65元．
（2）解：设购进款文创产品件，则款文创产品为件．
由题意可得：
设获得的利润为元
随的增大而增大
当时，最大元．
购进款文创产品60件，则款文创产品为40件时利润最大为1800元．
25．(1)
(2)有，多项式在当时取最大值为16
【分析】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
（1）利用完全平方公式配方，再根据平方差公式因式分解即可求；
（2）先利用完全平方公式配方变形，再利用非负数的性质即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：多项式有最大值，理由如下：
，
．
当时，取到最大值为16，
多项式在当时取最大值为16．
26．（1）40；（2）见解析；（3）①或；②，理由见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，多边形内角和，全等三角形的判定与性质和旋转的性质，熟练运用相减知识是解答本题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质和旋转的性质即可得到结论；
（2）由旋转可知，求得得到，于是得到结论；
（3）①根据旋转的性质得到，求得，由（1）知，当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
②根据旋转的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据四边形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
由旋转得，，
在四边形中， ，
∴，
∴，
故答案为：40；
（2）证明：由旋转可知，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∵为旋转角
∴始终与旋转角相等;
（3）①.将绕点A逆时针旋转，得到，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，，
当时，，
∴（不合题意，舍去），
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上，当为等腰三角形时，旋转角等于或，
故答案为：或；
②，理由如下：
∵将绕点A逆时针旋转，得到,
∴，，,
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形的内角和为，
∴．
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