4.2 第2课时 一次函数与正比例函数的概念 学案（含答案） 2025-2026学年数学北师大版（2024）八年级上册

2 认识一次函数
第2课时 一次函数与正比例函数的概念 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1.通过具体情境，归纳总结出一次函数和正比例函数的特征，抽象出一次函数概念，体会模型思想，发展符号意识；
2.能正确根据具体情境抽象出一次函数，再次体会模型思想.
【学习过程】
任务一：一次函数与正比例函数
活动1 在弹性限度内，某弹簧的长度与所挂物体的质量x的关系如下表所示：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5
（1）随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的增长是“均匀”的吗？
（2）y与x之间的关系式，并说明理由。
活动2 尝试 思考
某辆汽车油箱有汽油40 L,汽车每行驶50 km耗油4 L.
(1)完成下表:
行驶路程x/km 0 50 100 150 200 250 300
耗油量y/L
(2)写出耗油量y与汽车行驶路程x之间的关系式。
(3) 写出油箱剩余油量z（单位：L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式。
活动3 观察 思考
（1）在上面的情境中，我们得到y=0.5x+3.，y=x，z=40-，它们有什么共同的特征。
（2）请你归纳一次函数和正比例函数的概念。
【即时测评】
1.下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1)y=-x-4; (2)y＝5x2-6； (3)y=2πx; (4) y＝-x; (5) y＝ ；
(6)y=8x2+x(1-8x); （7）y=kx+b.
2.下列说法正确的是（ ）
A.一次函数是正比例函数 B.正比例函数不是一次函数
C.不是正比例函数就不是一次函数 D.正比例函数是一次函数
3. 要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次函数,n,m应满足 , .
4.已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．
(1)写出y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；
(2)求x＝2.5时，y的值．
5.已知函数y=2x|m|+(m+1).
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是正比例函数，求m的值.
评价任务一
得分：
任务二：典型例题
活动4 例1 写出下列各题中y与x之间的关系式，判断y是否为x的一次函数？是否为正 比例函数？
(1) 汽车以 60km/h 的速度匀速行驶，行驶路程y (km ) 与行驶时间 x (h) 之间的关系；
(2) 求圆的面积y(cm2 )与它的半径x (cm )之间的关系；
(3) 某水池有水 15m3，先打开进水管进水，进水的速度为5 m3/h ，x h 后这个水池内有水y m3
活动5 思考·交流
（1）例1中，两个一次函数的一次项系数k和常数项b分别是多少，它们的实际意义是什么？
（2）一般地，k、b对一次函数y = kx + b有怎样的影响？与同伴交流。
活动6 例2 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1s其速度减少35km/h。
（1）假设该汽车以120km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y（单位：km/h）与刹车后所经过的时间t（单位：s）之间的关系式y = kt + b，并说明k和b的实际意义；
（2）求出（1）中汽车从刹车到停止所需的时间。
【即时测评】
某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须交月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计．
（1）写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式；
（2）某手机用户这个月通话时间为180min，他应缴费多少元？
（3）如果该手机用户本月预缴了100元的话费，那么该用户本月可通话多长时间？
评价任务二
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
1．在①y＝﹣8x：②y＝﹣：③y＝+1；④y＝﹣5x2+1：⑤y＝0.5x﹣3中，一次函数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 已知函数y＝（k﹣1）x+k2﹣1，当k　 　时，它是一次函数，当k＝　 　时，它是正比例函数．
3. 写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
某种大米的单价是2.2元/kg，当购买xkg的大米时，花费为y元；
一个在斜坡上由静止开始向下滚动的小球，其速度每秒增加3m，小球的速度y（m/s）与时间t（s）之间的关系；
（3）周长为10cm的长方形的一边长为xcm，其面积y（cm2）与x（cm）之间的关系．
参考答案
即时测评：
1.(1)是一次函数，不是正比例函数； (2)不是一次函数，也不是正比例函数；
(3)是一次函数，也是正比例函数； (4)是一次函数，也是正比例函数；
(5)不是一次函数，也不是正比例函数； (6)是一次函数，也是正比例函数；
(7)不是一次函数，也不是正比例函数.
2.D 3.n=2,m≠2 4.y=3x-9是一次函数 5.(1)m=±1(2) m=-1
6.（1）y=0.2x+12；
（2）当x=180时，y=0.2×180+12=48（元）；
（3）当y=100时，0.2x+12=100，
解得：x=440．
当堂训练
1. B
2.k≠1,k=-1
3.（1）由题意，得y＝2.2x，y是x的正比例函数，
（2）由题意，得y＝3x，y是x的正比例函数；
（3）由题意，得y＝x（5﹣x），y不是x的一次函数，y不是x的正比例函数
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