5.3 第1课时 和差倍分问题 学案（含答案）2025-2026学年数学北师大版（2024）八年级上册

第1课时 和差倍分问题 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1.通过分析鸡兔同笼问题中的数量关系，归纳建立方程组解决问题的方法，发展归纳能力。
2.通过列方程组解决实际问题的过程，感受方程(组)是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和应用意识。
【学习过程】
任务一：鸡兔同笼问题
活动1《孙子算经》大约产生于一千五百年前，现在保存的《孙子算经》共三卷，其中下卷第31题，可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖，书中是这样叙述的：
“今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉兔各几何？”
问题1：“上有三十五头”的意思是什么？“下有九十四足”呢？
问题2：你能根据(1)中的数量关系列出方程组吗？
问题3：你能解决这个有趣的问题吗？请你分别用算术法、一元一次方程、二元一次方程组解决这个问题。
【方法归纳】用二元一次方程组解答优点：
【即时测评】
1．《孙子算经》中有一道题，大意为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，y辆车，可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
2．古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱，九百九十九文钱，甜果苦果买一千．试问甜苦果几个？”该问题意思是：已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了x个，苦果买了y个，根据题意，可列方程组是 　 　．
评价任务一
得分：
任务二：和差倍分问题
活动2尝试·思考
列方程组求解下面的问题：
若甲从乙处得到7个钱币，则甲拥有的钱币数是乙的5倍；若乙从甲处得到5个钱币，则乙拥有的钱币数是甲的7倍。甲、乙两人原来各拥有多少个钱币？（选自意大利数学家斐波那契的《计算之书》）
问题1：这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的数量关系？
问题2：你能列方程解决这个问题吗？你是怎样做的？与同伴进行交流。
活动3例1 今有甲、乙怀钱，各不知其数。甲得乙十钱，多乙余钱五倍。乙得甲十钱，适等。问甲、乙怀钱各几何？（选自《张丘建算经》）
题目大意：甲、乙两人各带了若干钱。如果甲得到乙的10钱，那么甲钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等。甲、乙两人各带了多少钱？
问题1：题目涉及哪些数量关系？你能用含未知量的式子表示这些数量关系吗？
【即时测评】
3．“昔锦官之地，有匠作弓与箭．作一弓需三日，作一箭需二日．共费四十日，成弓箭十五．”题目大意是：从前在锦官城这个地方，有工匠制作弓和箭．制作一张弓需要三天时间，制作一支箭需要两天时间．总共花费四十天时间，制成弓和箭共计十五件．设弓有x件，箭有y件，则可列方程组为　 　．
4．根据下列语句，列出二元一次方程或方程组：
（1）甲数的比乙数的2倍多2，设甲数为x，乙数为y，可列方程 　 　；
（2）某校七年级（1）班有男生和女生共50人，其中男生比女生的2倍少4人，设男生有a人，女生有b人，可列方程组 　 　．
评价任务二
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
1．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：“用一根绳子去量一根木条的长，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量木条，则木条还剩余1尺，问木条长多少尺？”现设木条长尺，绳子长y尺，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
2．《九章算术 盈不足》载，其文曰：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？“意思为：几个人一起去买东西，如果每人出8钱，就多了3钱；如果每人出7钱，就少了4钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
3．古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．意思是：77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉x元，每斤鱼y元，可列方程组为 　 　．
4．已知甲处干活的有31人，乙处干活的有20人，现调来18人支援，使甲处干活的人数是乙处干活的人数的2倍．若向甲处分配x人，向乙处分配y人，则根据题意列出的方程组为 　 　．
5．一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，设∠1＝x°，∠2＝y°，先根据题意列出二元一次方程组，再求解．
参考答案
即时测评：
1. C
2.
3.
4.
当堂训练
1.D
2.B
3.
4.
5.解：由题意得：，
解得：．
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