7.1 第3课时 定理与证明 学案（含答案）2025-2026学年数学北师大版（2024）八年级上册

第3课时 定理与证明 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1.理解公理、定理与证明的概念，掌握常用的数学公理．
2.经历实际情境，初步体会公理化思想和方法．
3.通过证明命题，感受证明的必要性及数学的严谨性，提升演绎推理和语言表达能力。
【学习过程】
任务一：公理、定理及证明的概念
1.自主学习教材P184-185页有关内容，完成以下探究问题，并与同伴交流。
（1） ________________叫做公理．除了公理外，其它命题的真假都需要____的方法进行判断．
（2） ________________的过程称为证明．经过证明的________称为定理．每个定理都只能用_____、_____、和已经证明为_____的命题来证明．
（3）本套教科书选用九条基本事实（本教材的公理）作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条：
①________________________________________ ；
② ________________________________________；
③_________________________________________；
④__________________________________________；
⑤__________________________________________；
⑥__________________________________________；
⑦__________________________________________；
⑧__________________________________________.
另外一条基本事实（公理）我们将在后面的学习中认识它．
（4） 数与式的运算律和运算_____、等式的有关_______，以及反映大小关系的有关性质（也作为公理）都可以作为______的依据．例如，如果a=b，b=c，那么_________，这一性质称为“等量代换” ．
【即时测评】
1.“两条直线相交成直角，就叫做两直线相互垂直”这个句子是（ ）
A.定义 B.命题 C.公理 D.定理
2.某工程队在修建高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么公理可以说明这样能缩短路程（ ）
A.直线公理：两点确定一条直线
B.线段最短的公理：两点之间的所有连线中，线段最短
C.平行公理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行
D.直线公理和线段最短公理
评价任务一
得分：
任务二： 运用公理证明定理
活动2 从公理出发，就可以证明已经探索过的结论了。例如，我们可以证明下面的定理：
定理：同角(等角)的补角相等
定理：同角(等角)的余角相等
定理：对顶角相等
定理：三角形的任意两边之和大于第三边
例题 证明对顶角相等
问题1：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？
问题2：你能说说证明的思路吗？
由上面的例题，我们可以得到定理：对顶角相等
问题3：证明时，每一步过程最终可以凭借的数学知识种类是什么？这是一种什么数学思想方法？
问题4：尝试总结：证明一个命题的一般步骤。
①已知：写出命题的 （必要时结合图形）；
②求证：写出命题的 ；
③证明：写出演绎推理的 ．
【即时测评】
(
B
A
O
3
2
1
D
C
)3．证明“同角的补角相等”
已知：直线AB与直线CD相交于点O，
∠2与∠3分别是∠1的补角.
求证：∠2=∠3.
证明：∵∠1+∠2=180° ， ∠1+∠3=180°（ ）的定义
∴∠2=180°-∠1 ， ∠3=180°-∠1（ ）的性质
∴∠2=∠3 （ ）
（1）写出上面证明过程中每一步的根据。
（2）如果把同角改成等角，你会有什么发现？如果把补角变成余角，你又有什么发现？
评价任务二
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）
A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题
2．下列命题中，属于定义的是（ ）
A、两点确定一条直线 B、同角的余角相等
C、两直线平行，内错角相等 D、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
3．如图，AB∥CD，∠BAC的平分线与∠ACD的平分线交于点E．填空：
∵AB∥CD，
∴∠BAC+①　 　＝180°．
∵AE平分∠BAC．
∴②　 　．
∵CE平分∠ACD．
∴③　 　．
∴∠1+∠2＝④　 　°．
∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝⑤　 　°．
∴AE⑥　 　CE．
请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：⑦　 　．
4．如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③AB∥DE；④BE＝CF．请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明．
解：我写的真命题是：
已知：　 　；
求证：　 　．（注：不能只填序号）
证明如下：
参考答案
即时测评：
1. A
2.D
3.（1）平角、等式、等量代换（2）等角的补角相等，等角的余角相等
当堂训练
1.B
2.D
3.∠ACD；∠BAC；∠ACD；90；90；⊥；两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．
4.①②④；③．
证明如下：
∵BE＝FC，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝FE，
在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE．
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