3.4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点（教学课件）——高中数学人教B版（2019）必修第一册（共29张PPT）
文档属性
| 名称 | 3.4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点（教学课件）——高中数学人教B版（2019）必修第一册（共29张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 43.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-04 22:52:54 | ||
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文档简介
(共29张PPT)
3.4数学建模活动：决定苹果的
最佳出售时间点
人教B版（2019）必修第一册
第二章 等式与不等式
学习目标
掌握数学建模中的数据拟合
01
了解数学建模过程
02
探索新知
数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题．数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容．
数学建模是连接数学和现实世界的桥梁．下面我们用实例来介绍，怎样从现实世界中发现问题，如何通过数学建模来求解特定的问题，并探讨怎样整理数学建模的结果．
探索新知
建模过程描述与介绍
俗话说，“物以稀为贵”一般来说，当市面上某种商品的出售量比较多时，这种商品的价格就会比较低；而出售量比较少时，价格就会比较高．
例如，当市面上的苹果比较多时，苹果的价格就会降低．这时，如果将苹果利用一定的技术手段进行保鲜存储，等到市面上的苹果变少、价格上升之后再出售，则同样多的苹果就可以获得比较高的销售收入．不过，需要注意的是，保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大．
针对上述这种日常生活中的现象，我们可以提出一些什么问题呢？
探索新知
建模过程描述与介绍
当然，我们可以探讨的问题很多．例如，为什么会发生这些现象？什么情况下不会发生这样的现象？能够利用哪些技术手段进行保鲜存储？哪种保鲜存储的成本最低？等等．类似的这些问题，因为不仅仅涉及量的关系，所以如果只用数学手段研究，将是十分困难的．
不过，上述现象中，涉及了量的增大与减少的问题，这可以用数学符号和语言进行描述．
仍以苹果为例，设市面上苹果的量为 x 万吨，苹果的单价为 y 元，上述现象说明，y 会随着 x 的增大而减少，且 y 也会随着 x 的减少而增大——也就是说，如果 y 是 x 的函数并记作 y＝f (x) 的话，f (x) 是减函数．
同样地，如果设保鲜存储的时间为 t 天，单位数量的保鲜存储成本为 C 元，且C 是 t 的函数并记作 C＝g (t) 的话，g (t) 是一个增函数．
由于市面上苹果的量 x 会随着时间 t 的变化而变化，因此可以认为 x 是 t 的函数，并记作 x＝h (t)．
探索新知
探索新知
从上面这些描述不难看出，在第 t 天出售苹果时，单位数量的苹果所获得的收益 z 元可以用 t 表示出来，即
z＝y－C＝f (x)－g (t)＝f (h (t))－g (t)．
此时，如果 f (x)，g (t)，h (t) 都是已知的，则能得到 z 与 t 的具体关系式．有了关系式之后，就能解决如下问题：z 是否有最大值？如果 z 有最大值，那么 t 为多少时 z 取最大值？
问题：怎样才能确定上述 f (x)，g (t)，h (t) 呢？
这可以通过合理假设以及收集数据、确定参数来完成．
探索新知
例如，为了简单起见，我们可以假设 f (x) 和 g (t) 都是一次函数，且
f (x) ＝k1x＋L1，g (t) ＝k2t＋L2；
并假设 h (t) 是一个二次函数，且 h (t)＝at2＋bt＋c．
其中 k1＜0，k2＞0，a≠0．
z＝f (h (t))－g (t)＝k1at2＋ (k1b一k2) t＋k1c＋L1－L2，
上述各参数可以通过收集实际数据来确定．
探索新知
如果我们收集到了如下实际数据．
x/万吨 8.4 7.6
y/元 0.8 1.2
t/天 1 2
C/元 0.11 0.12
t/天 1 2 3
x/万吨 9.462 9.328 9.198
利用待定系数法，根据前面的假设就可以确定出
y＝f (x)＝－0.5x＋5，
C＝g (t)＝0.01t＋0.1，
x＝h (t) ＝0.002t2－0.14t＋9.6，
因此
z＝－0.001t2＋0.06t＋0.1．
探索新知
如果我们收集到了如下实际数据．
x/万吨 8.4 7.6
y/元 0.8 1.2
t/天 1 2
C/元 0.11 0.12
t/天 1 2 3
x/万吨 9.462 9.328 9.198
注意到上式可以改写成 z＝－0.001 (t－30)2＋1，所以此时在 t＝30 时，z 取最大值 1．也就是说，在上述情况下，保鲜存储 30 天时，单位商品所获得的利润最大，为 1 元．
这样一来，我们就建立了一个决定苹果的最佳出售时间点的模型，并通过有关数据进行了说明．
探索新知
当然，实际情况与上面的建模结果可能会出现偏差．因为我们假设 f (x) 和 g (t) 都是一次函数等就已经把问题进行了简化，如果条件容许的话，可以先不假设函数的具体形式，在收集尽量多的数据的基础上，通过对数据的分析来最终得出函数的具体形式，这样也就能优化我们最终建立的模型．
探索新知
以上我们用叙述的方式，让大家经历了一个简单的数学建模全过程．由此可以看出，对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题就是数学建模．数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题．
在实际的数学建模过程中，为了向别人介绍数学建模的成果，给别人提供参考，我们还需要将建模结果整理成论文的形式．
探索新知
一般来说，数学建模论文的结构可以按照建模过程来确定例如，图左、图中、图右所示都可以是数学建模论文的主题结构．
探索新知
当然，数学建模论文中还可以根据需要增加作者、摘要、参考文献、附录等信息．
需要提醒的是，对于一些综合性比较大的问题而言，数学建模的过程中需要做的事情比较多，比如数据收集与整理、模型试算、对比不同的模型、将结果以可视化方式显示、资料整理与论文撰写等，因此数学建模的过程中，往往采用分工合作的方式进行．一般来说，一个数学建模小组由 3－5人组成．理想的小组中，既要有数学基础扎实的同学，也要有能熟练使用计算机的同学，还要有写作表达能力强的同学．
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
在政府文件中，我们经常可以看到有关经济增长与投资、消费的内容．
例如，《国务院关于促进创业投资持续健康发展的若干意见》（国发[2016]53 号）指出：“近年来，我国创业投资快速发展，不仅拓宽了创业企业投融资渠道、促进了经济结构调整和产业转型升级，增强了经济发展新动能，也提高了直接融资比重、拉动了民间投资服务实体经济，激发了创业创新、促进了就业增长．”
1．发现问题、提出问题
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
1．发现问题、提出问题
2016 年 11 月，《国务院办公厅关于进一步扩大旅游文化体育健康养老教育培训等领域消费的意见》（国办发 [2016]85 号）指出：“当前，我国国内消费持续稳定增长，为经济运行总体平稳、稳中有进发挥了基础性作用．顺应群众期盼，以改革创新增加消费领域特别是服务消费领域有效供给、补上短板，有利于改善民生、促进服务业发展和经济转型升级、培育经济发展新动能．”
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
1．发现问题、提出问题
习惯上，人们总是用收入来衡量经济状况，因此所谓经济增长或者经济发展，通常指的是收入增加．
那么，怎样描述投资与经济增长之间的关系呢？为什么说消费增长有利于经济发展呢？这些现象能用数学语言来描述吗？
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
2．分析问题、建立模型
要用数学语言描述经济增长、投资、消费之间的关系，实际上是要研究国民收入（简称为收入，用Y表示）、国民投资（简称为投资，用l表示）、国民消费（简称为消费，用C表示）之间的关系．
(1) 收入、投资、消费都用同一单位来衡量，为了方便，以下均省略单位；
为了简单起见，可以做出以下假设：
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
2．分析问题、建立模型
(2) 收入只用于投资和消费；
(3) 消费可以分为两部分，一部分为基本消费（用 C0 表示），另一部分与收入成正比，比例系数为 a．
值得注意的是，以上假设都是合理的．例如一个家庭的收入，一般而言，不是用于投资 (比如储蓄、购买理财产品等)，就是用于消费 (比如家庭成员的生活支出等)；一个家庭的消费，一部分用于满足基本生活需求 (比如购买食品等)，而另一部分则依赖于收入的多少 (比如家庭成员的旅游支出等)．
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
2．分析问题、建立模型
由假设可知，收入、投资、消费之间的关系可描述为
在经济学中，这通常称为凯恩斯静态模型，因为这是英国经济学家凯恩斯最先得出的．
Y＝C＋I，C＝C0＋aY．
一此经济现象，可以通过凯恩斯静态模型中量之间的关系来体现．例如，如果不存在透支消费，那就意味着消费不大于收入，即 C≤Y，因此 aY＜C0＋aY≤Y，从而有 a＜1．
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
2．分析问题、建立模型
另外，如果将消费看成收入的函数，则这个函数在任意区间 [Y1，Y2] 内的平均变化率均为
这表示收入每增加一个单位，消费将增加 a 个单位．因此，a 通常称为边际消费倾向．
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
3．确定参数、计算求解
（1）收入与消费的关系
为了探讨经济增长（即收入）与消费的关系，可以将收入看成消费的函数，即 ，其中 C0 与 a 均为参数．可以算出，这个函数在任意区间内的平均变化率均为 ，这表示消费每增加一个单位，收入将增加 个单位．
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
3．确定参数、计算求解
（1）收入与消费的关系
可以看到，消费增长 5 个单位时，收入增加了 6.25 个单位．
例如，当 C0＝10， 时，有 ，因此：
如果消费 C＝30，那么
如果消费 C＝35，那么
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
3．确定参数、计算求解
（2）收入与投资的关系
为了探讨经济增长（即收入）与投资的关系，可以将收入看成投资的函数，通过消去 C 求解 Y 可得 ，此时，C0 与 a 均为参数可以算出，这个函数在任意区间内的平均变化率均为
这表示投资每增加1个单位，收入将增加 个单位．
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
3．确定参数、计算求解
（2）收入与投资的关系
如果投资 I＝15，那么 Y＝5×15＋50＝125．
例如，当 C0＝10， 时，有 Y＝5I＋50，因此：
如果投资 I＝10，那么 Y＝5×10＋50＝100；
可以看到，投资增长 5 个单位时，收入增加了 25 个单位．
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
4．验证结果、改进模型
从上述计算结果可以看出，当消费增长或者投资增长时，都将导致收入增加（这样一来，我们也就完成了本章导语中投资与经济增长之间关系问题的解答）．而且，一般情况下，收入增加比消费增长或投资增长快．事实上，当 0＜a＜1 时，可知 且 ．
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
4．验证结果、改进模型
这个模型中，为了简单起见，假设了基本消费以外的消费与收入成正比，但实际的情兄可能会更加复杂，模型的改进可以从这方面入手．
可以看出，凯恩斯静态模型能够较好地描述收入、投资与消费的关系．
这就是说，平均变化率 和 都大于 1．经济学上将这种现象称为乘数效应．
本节课学习了哪些知识点呢？
数学建模解决实际问题
感谢观看
祝同学新学期新气象
3.4数学建模活动：决定苹果的
最佳出售时间点
人教B版（2019）必修第一册
第二章 等式与不等式
学习目标
掌握数学建模中的数据拟合
01
了解数学建模过程
02
探索新知
数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题．数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容．
数学建模是连接数学和现实世界的桥梁．下面我们用实例来介绍，怎样从现实世界中发现问题，如何通过数学建模来求解特定的问题，并探讨怎样整理数学建模的结果．
探索新知
建模过程描述与介绍
俗话说，“物以稀为贵”一般来说，当市面上某种商品的出售量比较多时，这种商品的价格就会比较低；而出售量比较少时，价格就会比较高．
例如，当市面上的苹果比较多时，苹果的价格就会降低．这时，如果将苹果利用一定的技术手段进行保鲜存储，等到市面上的苹果变少、价格上升之后再出售，则同样多的苹果就可以获得比较高的销售收入．不过，需要注意的是，保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大．
针对上述这种日常生活中的现象，我们可以提出一些什么问题呢？
探索新知
建模过程描述与介绍
当然，我们可以探讨的问题很多．例如，为什么会发生这些现象？什么情况下不会发生这样的现象？能够利用哪些技术手段进行保鲜存储？哪种保鲜存储的成本最低？等等．类似的这些问题，因为不仅仅涉及量的关系，所以如果只用数学手段研究，将是十分困难的．
不过，上述现象中，涉及了量的增大与减少的问题，这可以用数学符号和语言进行描述．
仍以苹果为例，设市面上苹果的量为 x 万吨，苹果的单价为 y 元，上述现象说明，y 会随着 x 的增大而减少，且 y 也会随着 x 的减少而增大——也就是说，如果 y 是 x 的函数并记作 y＝f (x) 的话，f (x) 是减函数．
同样地，如果设保鲜存储的时间为 t 天，单位数量的保鲜存储成本为 C 元，且C 是 t 的函数并记作 C＝g (t) 的话，g (t) 是一个增函数．
由于市面上苹果的量 x 会随着时间 t 的变化而变化，因此可以认为 x 是 t 的函数，并记作 x＝h (t)．
探索新知
探索新知
从上面这些描述不难看出，在第 t 天出售苹果时，单位数量的苹果所获得的收益 z 元可以用 t 表示出来，即
z＝y－C＝f (x)－g (t)＝f (h (t))－g (t)．
此时，如果 f (x)，g (t)，h (t) 都是已知的，则能得到 z 与 t 的具体关系式．有了关系式之后，就能解决如下问题：z 是否有最大值？如果 z 有最大值，那么 t 为多少时 z 取最大值？
问题：怎样才能确定上述 f (x)，g (t)，h (t) 呢？
这可以通过合理假设以及收集数据、确定参数来完成．
探索新知
例如，为了简单起见，我们可以假设 f (x) 和 g (t) 都是一次函数，且
f (x) ＝k1x＋L1，g (t) ＝k2t＋L2；
并假设 h (t) 是一个二次函数，且 h (t)＝at2＋bt＋c．
其中 k1＜0，k2＞0，a≠0．
z＝f (h (t))－g (t)＝k1at2＋ (k1b一k2) t＋k1c＋L1－L2，
上述各参数可以通过收集实际数据来确定．
探索新知
如果我们收集到了如下实际数据．
x/万吨 8.4 7.6
y/元 0.8 1.2
t/天 1 2
C/元 0.11 0.12
t/天 1 2 3
x/万吨 9.462 9.328 9.198
利用待定系数法，根据前面的假设就可以确定出
y＝f (x)＝－0.5x＋5，
C＝g (t)＝0.01t＋0.1，
x＝h (t) ＝0.002t2－0.14t＋9.6，
因此
z＝－0.001t2＋0.06t＋0.1．
探索新知
如果我们收集到了如下实际数据．
x/万吨 8.4 7.6
y/元 0.8 1.2
t/天 1 2
C/元 0.11 0.12
t/天 1 2 3
x/万吨 9.462 9.328 9.198
注意到上式可以改写成 z＝－0.001 (t－30)2＋1，所以此时在 t＝30 时，z 取最大值 1．也就是说，在上述情况下，保鲜存储 30 天时，单位商品所获得的利润最大，为 1 元．
这样一来，我们就建立了一个决定苹果的最佳出售时间点的模型，并通过有关数据进行了说明．
探索新知
当然，实际情况与上面的建模结果可能会出现偏差．因为我们假设 f (x) 和 g (t) 都是一次函数等就已经把问题进行了简化，如果条件容许的话，可以先不假设函数的具体形式，在收集尽量多的数据的基础上，通过对数据的分析来最终得出函数的具体形式，这样也就能优化我们最终建立的模型．
探索新知
以上我们用叙述的方式，让大家经历了一个简单的数学建模全过程．由此可以看出，对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题就是数学建模．数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题．
在实际的数学建模过程中，为了向别人介绍数学建模的成果，给别人提供参考，我们还需要将建模结果整理成论文的形式．
探索新知
一般来说，数学建模论文的结构可以按照建模过程来确定例如，图左、图中、图右所示都可以是数学建模论文的主题结构．
探索新知
当然，数学建模论文中还可以根据需要增加作者、摘要、参考文献、附录等信息．
需要提醒的是，对于一些综合性比较大的问题而言，数学建模的过程中需要做的事情比较多，比如数据收集与整理、模型试算、对比不同的模型、将结果以可视化方式显示、资料整理与论文撰写等，因此数学建模的过程中，往往采用分工合作的方式进行．一般来说，一个数学建模小组由 3－5人组成．理想的小组中，既要有数学基础扎实的同学，也要有能熟练使用计算机的同学，还要有写作表达能力强的同学．
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
在政府文件中，我们经常可以看到有关经济增长与投资、消费的内容．
例如，《国务院关于促进创业投资持续健康发展的若干意见》（国发[2016]53 号）指出：“近年来，我国创业投资快速发展，不仅拓宽了创业企业投融资渠道、促进了经济结构调整和产业转型升级，增强了经济发展新动能，也提高了直接融资比重、拉动了民间投资服务实体经济，激发了创业创新、促进了就业增长．”
1．发现问题、提出问题
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
1．发现问题、提出问题
2016 年 11 月，《国务院办公厅关于进一步扩大旅游文化体育健康养老教育培训等领域消费的意见》（国办发 [2016]85 号）指出：“当前，我国国内消费持续稳定增长，为经济运行总体平稳、稳中有进发挥了基础性作用．顺应群众期盼，以改革创新增加消费领域特别是服务消费领域有效供给、补上短板，有利于改善民生、促进服务业发展和经济转型升级、培育经济发展新动能．”
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
1．发现问题、提出问题
习惯上，人们总是用收入来衡量经济状况，因此所谓经济增长或者经济发展，通常指的是收入增加．
那么，怎样描述投资与经济增长之间的关系呢？为什么说消费增长有利于经济发展呢？这些现象能用数学语言来描述吗？
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
2．分析问题、建立模型
要用数学语言描述经济增长、投资、消费之间的关系，实际上是要研究国民收入（简称为收入，用Y表示）、国民投资（简称为投资，用l表示）、国民消费（简称为消费，用C表示）之间的关系．
(1) 收入、投资、消费都用同一单位来衡量，为了方便，以下均省略单位；
为了简单起见，可以做出以下假设：
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
2．分析问题、建立模型
(2) 收入只用于投资和消费；
(3) 消费可以分为两部分，一部分为基本消费（用 C0 表示），另一部分与收入成正比，比例系数为 a．
值得注意的是，以上假设都是合理的．例如一个家庭的收入，一般而言，不是用于投资 (比如储蓄、购买理财产品等)，就是用于消费 (比如家庭成员的生活支出等)；一个家庭的消费，一部分用于满足基本生活需求 (比如购买食品等)，而另一部分则依赖于收入的多少 (比如家庭成员的旅游支出等)．
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
2．分析问题、建立模型
由假设可知，收入、投资、消费之间的关系可描述为
在经济学中，这通常称为凯恩斯静态模型，因为这是英国经济学家凯恩斯最先得出的．
Y＝C＋I，C＝C0＋aY．
一此经济现象，可以通过凯恩斯静态模型中量之间的关系来体现．例如，如果不存在透支消费，那就意味着消费不大于收入，即 C≤Y，因此 aY＜C0＋aY≤Y，从而有 a＜1．
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
2．分析问题、建立模型
另外，如果将消费看成收入的函数，则这个函数在任意区间 [Y1，Y2] 内的平均变化率均为
这表示收入每增加一个单位，消费将增加 a 个单位．因此，a 通常称为边际消费倾向．
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
3．确定参数、计算求解
（1）收入与消费的关系
为了探讨经济增长（即收入）与消费的关系，可以将收入看成消费的函数，即 ，其中 C0 与 a 均为参数．可以算出，这个函数在任意区间内的平均变化率均为 ，这表示消费每增加一个单位，收入将增加 个单位．
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
3．确定参数、计算求解
（1）收入与消费的关系
可以看到，消费增长 5 个单位时，收入增加了 6.25 个单位．
例如，当 C0＝10， 时，有 ，因此：
如果消费 C＝30，那么
如果消费 C＝35，那么
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
3．确定参数、计算求解
（2）收入与投资的关系
为了探讨经济增长（即收入）与投资的关系，可以将收入看成投资的函数，通过消去 C 求解 Y 可得 ，此时，C0 与 a 均为参数可以算出，这个函数在任意区间内的平均变化率均为
这表示投资每增加1个单位，收入将增加 个单位．
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
3．确定参数、计算求解
（2）收入与投资的关系
如果投资 I＝15，那么 Y＝5×15＋50＝125．
例如，当 C0＝10， 时，有 Y＝5I＋50，因此：
如果投资 I＝10，那么 Y＝5×10＋50＝100；
可以看到，投资增长 5 个单位时，收入增加了 25 个单位．
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
4．验证结果、改进模型
从上述计算结果可以看出，当消费增长或者投资增长时，都将导致收入增加（这样一来，我们也就完成了本章导语中投资与经济增长之间关系问题的解答）．而且，一般情况下，收入增加比消费增长或投资增长快．事实上，当 0＜a＜1 时，可知 且 ．
探索新知
示例
国民收入、消费与投资的关系
4．验证结果、改进模型
这个模型中，为了简单起见，假设了基本消费以外的消费与收入成正比，但实际的情兄可能会更加复杂，模型的改进可以从这方面入手．
可以看出，凯恩斯静态模型能够较好地描述收入、投资与消费的关系．
这就是说，平均变化率 和 都大于 1．经济学上将这种现象称为乘数效应．
本节课学习了哪些知识点呢？
数学建模解决实际问题
感谢观看
祝同学新学期新气象