(共29张PPT)
3.2函数与方程、不等式之间的关系
（第1课时）
人教B版（2019）必修第一册
第二章 等式与不等式
学习目标
了解函数的零点
01
理解二次函数的零点
02
理解三个二次之间的关系
03
探索新知
尝试与发现
已知函数 f (x) ＝x－1，我们知道，这个函数的定义域为______，而且可以求出，方程 f (x) ＝0 的解集为______，不等式 f (x)＞0 的解集为_______，不等式 f (x)＜0 的解集为_______.
R
{1}
{x|x＞1}
{x|x＜1}
O
x
y
1
1
在下图中作出函数 f (x)＝x－1 的图象，总结上述方程、不等式的解集与函数定义域、函数图象之间的关系．
探索新知
由尝试与发现中的例子可以看出，根据函数值的符号能够把函数的定义域分为几个不相交的集合. 具体来说，假设函数 f (x) 的定义域为 D，若
A＝{x ∈ D | f (x)＜0}，
B＝{x ∈ D | f (x)＝0}，
C＝{x ∈ D | f (x)>0}，
显然，A，B，C 两两的交集都为空集，且 D＝A∪B∪C.
探索新知
函数零点的概念
一般地，如果函数 y＝f (x) 在实数 α 处的函数值等于零，即 f (α)＝0，则称α 为函数 y＝f (x) 的零点．上述集合 B 就是函数所有零点组成的集合．
(1) 函数的零点是一个实数，而不是一个点.
例如，函数 f (x)＝x＋1 的零点是－1，而不是 (－1，0)
(2) 并不是所有的函数都有零点.
例如， y＝1 ，y＝x2＋1 就没有零点
(3) 若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内.
不难看出，α 是函数 f (x) 零点的充分必要条件是，(α , 0) 是函数图象与 x 轴的公共点. 因此，由函数的图象可以方便地看出函数值等于 0 的方程的解集，以及函数值与 0 比较相对大小的不等式的解集.
探索新知
函数零点的意义
(1) 函数 F(x)＝f (x)－g (x) 的零点就是方程 f (x)＝g (x) 的根，也就是函数 y1＝f (x) 与 y2＝g (x) 的图象交点的横坐标.
(2) 如果方程 f (x)＝0 有两个相等的实数根 x，那么 x 称为函数 y＝f (x) 的二阶零点(二重零点). 如 x＝2 就是函数 f (x)＝(x－2)2 的二阶零点.
典型例题
例 1 如图所示是函数 y＝f (x) 的图象，分别写出 f (x)＝0， f (x)＞0， f (x)≤0 的解集.
解：由图可知， f (x)＝0 的解集为 {－5 , －3 , －1 , 2 , 4 , 6}.
f (x)＞0 的解集为(－5 , －3)∪(2 , 4)∪(4 , 6)
f (x)≤0 的解集为_____________________________.
[－6 , －5]∪[－3 , 2]∪{4 , 6}
由函数零点的概念可知，函数 y＝f (x) 的零点就是方程 f (x)＝0 的实数根，也就是函数 y＝f (x) 的图象与 x 轴的交点的横坐标. 所以
方程 f (x)＝0 有实数根
函数 y＝f (x) 的图象与 x 轴有交点
函数 y＝f (x) 有零点.
探索新知
函数的零点与方程根的联系
再根据函数的性质等，就能得到类似 f (x)＞0
等不等式的解集
我们已经知道怎样求解一元二次方程，而且也知道二次函数的图象是抛物线，因此可以借助二次函数的图象得到一元二次不等式的解集.
典型例题
例 2 利用函数求下列不等式的解集：
(1) x2－x－6＜0；(2) x2－x－6≥0．
解：设 f (x) ＝x2－x－6，令 f (x) ＝0，得
x2－x－6＝0，
即 (x－3)(x＋2) ＝0，从而 x＝3 或 x＝－2．
因此 3 和 －2 都是函数 f (x) 的零点，从而 f (x) 的图象与 x 轴相交于 (3，0) 和 (－2，0) ，又因为函数图象是开口向上的抛物线，所以可以作出函数图象示意图如下图所示．
典型例题
例 2 利用函数求下列不等式的解集：
(1) x2－x－6＜0；(2) x2－x－6≥0．
由图可知：
(1) 所求解集为 (－2，3)；
(2) 所求解集为 (－∞，－2］∪［3，＋∞)．
典型例题
例 3 利用函数求下列不等式的解集：
(1) －x2－2x－3≥0；(2) －x2－2x－3＜0．
解：设 f (x) ＝－x2－2x－3，令 f (x) ＝0，得
x2＋2x＋3＝0，
即 (x＋1) 2＝－2，该方程无解．
因此函数 f (x) 无零点，从而 f (x) 的图象与 x 轴没有交点，又因为函数图象是开口向下的抛物线，所以可以作出函数图象示意图如下图所示．
典型例题
例 3 利用函数求下列不等式的解集：
(1) －x2－2x－3≥0；(2) －x2－2x－3＜0．
由图可知：
(1) 所求解集为 ；
(2) 所求解集为 R．
典型例题
例 4 利用函数求下列不等式的解集：
(1) x2－4x＋4＞0；(2) x2－4x＋4≤0．
解：设 f (x)＝x2－4x＋4，令 f (x)＝0，得
x2－4x＋4＝0，
即 (x－2)2＝0，从而 x＝2．
因此，函数 f (x) 的零点为 2，从而 f (x) 的图象与 x 轴相交于 (2，0)，又因为函数图象是开口向上的抛物线，所以可知：
(1) 所求解集为 (－∞，2)∪ (2，＋∞)；
(2) 所求解集为{2}．
探索新知
二次函数的零点
一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数 f (x)＝ax ＋bx＋c(a≠0)：
(1) 当 ＝b2－4ac＞0 时，方程 ax ＋bx＋c＝0 的解集中有两个元素 x1，x2，且 x1，x2 是 f (x) 的两个零点，f (x) 的图象与 x 轴有两个公共点 (x1 , 0)，(x2 , 0)；
探索新知
二次函数的零点
(2) 当 ＝b2－4ac＝0 时，方程 ax ＋bx＋c＝0 的解集中只有一个元素 x0，且 x0 是 f (x) 唯一的零点，f (x) 的图象与 x 轴有一个公共点 (x0 , 0)；
(3) 当 ＝b2－4ac＜0 时，方程 ax ＋bx＋c＝0 没有实数根，此时 f (x) 无零点，f (x) 的图象与 x 轴没有公共点.
探索新知
更进一步，可以由二次函数的图象得到对应的不等式的解集.
判别式 ＝b2－4ac
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的的根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的的解集
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的的解集
没有实根
注意端点值的取舍
有两相等实根
大于取两边，小于取中间
典型例题
例 5 求函数 f (x)＝(x＋2)(x＋1)(x－1) 的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式 f (x)＞0 和 f (x)≤0 的解集.
解：函数零点为－2，－1，1．
函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示.
x (－∞，－2) (－2，－1) (－1，1) (1，＋∞)
f (x) － ＋ － ＋
典型例题
例 5 求函数 f (x)＝(x＋2)(x＋1)(x－1) 的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式 f (x)＞0 和 f (x)≤0 的解集.
由此可以画出函数图象的示意图，如下图所示．
由图可知：
f (x)＞0 的解集为
(－2，－1)∪(1，＋∞)；
f (x)≤0 的解集为 (－∞，－2]∪[－1，1]．
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C
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B
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B
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D
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B
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本节课学习了哪些知识点呢？
1.函数的零点；
2.二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系.
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祝同学新学期新气象(共27张PPT)
3.2函数与方程、不等式之间的关系
（第2课时）
人教B版（2019）必修第一册
第二章 等式与不等式
学习目标
理解零点存在定理，会判断零点所在区间
01
了解二分法求函数的近似零点
02
能解决二次函数零点分布问题
03
探索新知
尝试与发现
关于 x 的一元一次方程 kx＋b＝0 ( k≠0 ) 的求根公式为________；
（有实根时）
一元二次方程的求根公式为____________________________．
一次函数、二次函数的零点是否存在，并不难判别，这是因为一元一次方程、一元二次方程实数解的情况，都可以根据它们的系数判别出来，而且有实数根的时候，都能够写出求根公式.
探索新知
但是，对于次数大于或等于 3 的多项式函数 ( 例如 f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，其中 a≠0) ，以及其他表达式更复杂的函数来说，判断零点是否存在以及求零点，都不是容易的事 ( 事实上，数学家们已经证明：次数大于 4 的多项式方程，不存在求根公式)．
那么，什么情况下一个函数一定存在零点呢？
探索新知
尝试与发现
如图所示，已知 A，B 都是函数 y＝f (x) 图象上的点，而且函数图象是连接 A，B 两点的连续不断的线，画出 3 种 y＝f (x) 的可能的图象．判断 f (x) 是否一定存在零点，总结出一般规律．
可以看出，函数 f (x) 在区间 (a，b) 中一定存在零点.
探索新知
函数零点存在定理
函数零点存在定理：如果函数 y＝ f (x) 在区间 [a , b] 上的图象是连续不断的，并且 f (a) f (b)＜0 (即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数 y＝ f (x) 在区间 (a , b) 中至少有一个零点，即x0 ∈ (a，b)，f (x0)＝0.
一般地，解析式是多项式的函数的图象都是连续不断的. 需要注意的是，反比例函数 的图象不是连续不断的.
在上述定理的条件下，只能判断出零点存在，不能确定零点的个数.
典型例题
例 6 求证：函数 f (x)＝x －2x＋2 至少有一个零点.
证明：因为 f (0)＝2＞0，f (－2)＝－8＋4＋2＝－2＜0，
所以 f (－2) f (0)＜0，因此x0 ∈ (－2 , 0)，f (x0)＝0，即结论成立.
例 6 中的函数在区间 (－2 , 0) 中存在零点 x0 ，但是不难看出， 求出 x0 的精确值并不容易，那么，能不能想办法得到这个零点的近似值呢？比如，能否求出一个 x1 ， 使得 | x1－ x0 | ＜ ？
探索新知
尝试与发现
如果在区间 (－2，0) 中任取一个数作为 x0 的近似值，那么误差小于多少？
如果取区间 (－2，0) 的中点作为 x0 的近似值，那么误差小于多少？怎样才能不断缩小误差？
如果在区间 (－2 , 0) 中任取一个数作为 x0 的近似值，误差小于 2；如果取区间 (－2 , 0) 的中点作为 x0 的近似值，误差小于 1．
探索新知
一般地，求 x0 的近似值，可以通过计算区间中点函数值，从而不断缩小零点所在的区间来实现，具体计算过程可用如下表格表示．
探索新知
当然，按照类似的方式继续算下去，可以得到精确度更高的近似值．
探索新知
二分法
上述这种求函数零点近似值的方法称为二分法．
在函数零点存在定理的条件满足时 ( 即 f (x) 在区间 [a，b] 上的图象是连续不断的，且 f (a) f (b)＜0 )，给定近似的精度 ε，用二分法求零点 x0 的近似值 x1，使得 |x1－x0|＜ε 的一般步骤如下：
第一步：检查 |b－a|≤2ε 是否成立，如果成立，取 ，计算结束；如果不成立，转到第二步．
探索新知
二分法
探索新知
这些步骤可用如图所示的框图表示.
是
否
是
否
是
否
开始
输入a，b，ε
|b－a|≤2ε
输出 x1
结束
典型例题
例 7 已知函数 f (x)＝ x ＋ax＋1 有两个零点，在区间 (－1 , 1) 上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，求实数 a 的取值范围.
解：因为函数 f (x) 的图象是开口向上的抛物线，因此满足条件的函数图象的示意图如图 (1) (2) 所示.
因此 (2－a)(a＋2)＜0 且 |a|≥2，
解得 a＜－2 或 a＞2．
不管哪种情况，都可以归结为
f (－1) f (1)＜0 且 ≥1 ，
探索新知
用信息技术求函数零点
用 GeoGebra 中的 root 命令，可以方便地求得多项式函数的图象与 x 轴的交点坐标，从而得到对应函数的零点信息．
例如，在“输入”对话框中输入“root［x^2－x－6］”后按回车键，将得到函数 f (x)＝x2－x－6与 x 轴的两个交点 A，B 的坐标；
输入“root［x^3－2x＋2］”后按回车键，将得到函数 f (x)＝x3－2x＋2 与 x轴的交点 C 的坐标；
探索新知
用信息技术求函数零点
显示结果如图所示，其中的“未定义”表示没有交点．
输入“root［x^3－2x＋2，1，2］”后按回车键，将得到函数 f (x)＝x3－2x＋2，x∈［1，2］与 x 轴的交点的信息．
A = (-2，0)
B = (3，0)
C = (-1.77，0)
点
D未定义
--
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C
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D
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B
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C
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(－5,－4)
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(2,＋)
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本节课学习了哪些知识点呢？
1.函数零点存在定理；
2.二分法求函数零点近似值.
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祝同学新学期新气象
