高二数学第二章 不等式
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高二数学第二章 不等式 整理人：邢丞
第1讲 不等关系与不等式
★知识梳理★
1.比较原理：
两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a；；．
2．不等式的性质：
（1）对称性:，
（2）传递性:，
（3）可加性:.
移项法则:
推论：同向不等式可加.
（4）可乘性:，
推论1：同向(正)可乘:
推论2：可乘方(正): `
(5) 可开方(正):
★重难点突破★
1.重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.熟悉不等式的性质。
2.难点：正确理解现实生活中存在的不等关系. 用不等式（组）正确表示出不等关系。
3.重难点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式,利用不等式的性质证明简单的不等式.
（1）用不等式表示不等关系
问题1. 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
（2）用不等式的性质精确的估算变量或参数的取值范围
问题2. 已知－1＜a+b＜3且2＜a－b＜4，求2a+3b的取值范围.
★热点考点题型探析★
考点1 不等关系及不等式
题型1.建立不等关系
[例1] 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
【解题思路】设出变量,将文字语言转化为数学符号.
题型2用:比较法两个数的大小
例2. 比较与（其中，）的大小
【解题思路】作差整理,定符号
【新题导练】.
1.设a=2－，b=－2，c=5－2，则a、b、c之间的大小关系为____________.
2. 如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它行驶同样的路程得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的路程(km)范围是________________.
考点2 不等式的性质
题型：验证或推导简单不等式的有关结论
例3. 已知：m＞n，a＜b，求证：m－a＞n－b.
【解题思路】以不等式的性质为基础，进行推导
【新题导练】.
3..若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是（ ）
A.＞ B.2a＞2b C.|a|＞|b| D.（）a＞（）b
4. 已知四个条件，①b＞0＞a ②0＞a＞b ③a＞0＞b ④a＞b＞0能推出成立的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
考点3 不等式性质综合应用
题型1.用比较法证函数的单调性
例4.已知函数的定义域为对定义域内的任意、，都有
（1）求证：是偶函数；
（2）求证：在上是增函数；
（3）解不等式
【解题思路】证明抽象函数的单调性通常是用单调性的定义结合比较法.
题型2.用比较法处理数列中的不等关系.
例5.已知数列满足，且。
（1）求数列的通项公式；
（2）数列是否存在最大项？若存在最大项，求出该项和相应的项数；若不存在，说明理由。
【解题思路】先由递推关系求通项公式，再用比较法判断数列的单调性
【新题导练】
5. 已知是定义在上的奇函数，且，若、，，有；
（1）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
（2）若≤对所有的、恒成立，求实数的取值范围。
6. 已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2－14x＋45＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝1－ bn.
(1)求数列{an}、{bn]的通项公式；
(2)记cn＝anbn，求证：cn＋1≤cn.
★抢分频道★
基础巩固训练
1. 如果满足,且,那么下列选项中不一定成立的是( )
A. B. C. D.
2.对于实数，“”是“”成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3. 若,则下列不等式:①;②;③;④中,正确的不等式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.若,则的取值范围是
5. 设求证
综合拔高训练
6.某人乘坐出租车从A地到乙地，有两种方案：第一种方案，乘起步价为10元，每km价1.2元的出租车；第二种方案，乘起步价为8元，每km价1.4元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的里路是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较适合？
7.已知函数f（x）=|log2（x+1）|，实数m、n在其定义域内，且m＜n，f（m）=f（n）.
求证：（1）m+n＞0；
（2）f（m2）＜f（m+n）＜f（n2）.
8.设单调递增函数的定义域为，且对任意的正实数x,y有：且．
⑴一个各项均为正数的数列满足:其中为数列的前n项和,求数列的通项公式；
⑵在⑴的条件下，是否存在正数M使下列不等式：
对一切成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由．
第2讲 一元二次不等式及其解法
★知识梳理★
一.解不等式的有关理论
（1） 若两个不等式的解集相同，则称它们是同解不等式；
（2） 一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形；
（3） 解不等式时应进行同解变形；
（4） 解不等式的结果，原则上要用集合表示。
二.一元二次不等式的解集
二次函数（）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根
R
三.解一元二次不等式的基本步骤：
（1） 整理系数，使最高次项的系数为正数；
（2） 尝试用“十字相乘法”分解因式；
（3） 计算
（4） 结合二次函数的图象特征写出解集。
四.高次不等式解法：
尽可能进行因式分解，分解成一次因式后，再利用数轴标根法求解
（注意每个因式的最高次项的系数要求为正数）
五.分式不等式的解法：
分子分母因式分解，转化为相异一次因式的积和商的形式，再利用数轴标根法求解；
★重难点突破★
1.重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；熟练掌握一元二次不等式的解法。
2.难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。求解简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式
3.重难点：掌握一元二次不等式的解法,利用不等式的性质解简单的简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式, 会解简单的指数不等式和对数不等式.
(1)解简单的指数不等式和对数不等式关键在于通过同解变形转化为一般的不等式(组)来求解
问题1. 设，解关于x的不等式
(2)重视函数、方程与不等式三者之间的逻辑关系.
问题2. 已知函数
当，求的解析式；
★热点考点题型探析★
考点1 一元二次不等式的解法
题型1.解一元二次不等式
[例1] 不等式的解集是( )
A． B. C. D.
【解题思路】严格按解题步骤进行
题型2.已知一元二次不等式的解集求系数.
[例2]已知关于的不等式的解集为,求的解集.
【解题思路】由韦达定理求系数
【新题导练】
1.不等式（－2）2+2(－2) -4＜0,对一切∈R恒成立，则a的取值范围是（ ）
A.（-∞,2] B.（-2,2] C.（-2,2） D.（-∞,2)
2. 关于的不等式(-1)( -2)＞0，若此不等式的解集为{|＜x＜2}，则的取值范围是（ ）
A. ＞0 B.0＜＜2 C. ＞ D. ＜0
考点2 含参数不等式的解法
题型1：解含参数有理不等式
例3.解关于的一元二次不等式
【解题思路】比较根的大小确定解集
题型2：解简单的指数不等式和对数不等式
例4. 解不等式loga(1－)＞1
【新题导练】
3.关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.以上答案都不对
4.解关于的不等式：
考点3 分式不等式及高次不等式的解法
[例5] 解不等式:
【解题思路】先分解因式,再标根求解
【新题导练】
5.若关于的不等式的解集是,则的值为_______
6. 解关于
7.解不等式
考点4 简单的恒成立问题
题型:由二次函数的性质求参数的取值范围
例6.若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
【解题思路】结合二次函数的图象求解
【新题导练】
8.不等式对一切R恒成立，则实数a的取值范围是_______．
9.若不等式x2＋ax＋10对于一切x（0，）成立，则a的取值范围是 （ ）
A．0 B． –2 C．- D．-3
★抢分频道★
基础巩固训练
1. 不等式的解集是__________
2. 若不等式的解集为,则不等式的解集为 __________.
3.若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是 ．
4.设命题P：函数的定义域为R；命题q：不等式对一切正实数均成立。如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数的取值范围。
5.解关于x的不等式(k≥0，k≠1).
综合拔高训练
6.. 已知ａ＞０，且ａ≠１，解关于x的不等式：
7.据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x(x＞0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均收入为3000a元（a＞0）。
（I）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x的取值范围；
（II）在（I）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大。
8.已知二次函数满足：对任意实数x，都有，且当（1，3）时，有成立。
（1）证明：;
（2）若的表达式;
（3）设 ,，若图上的点都位于直线的上方，求
实数m的取值范围。
第3讲 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题
★知识梳理★
(一)二元一次不等式表示的区域
对于直线(A>0)
当B>0时, 表示直线上方区域; 表示直线的下方区域.
当B<0时, 表示直线下方区域; 表示直线的上方区域.
（二）线性规划
(1)不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.
(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.
(3)那么，满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（）和（）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.
线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行
(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.
2.设z=0，画出直线l0.
3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.
4.最后求得目标函数的最大值及最小值.
(5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.
然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.
最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.
★重难点突破★
1.重点：灵活运用二元一次不等式（组）来表示的平面区域，掌握线性规划的图解法
2.难点：如何确定不等式表示的哪一侧区域，如何寻求线性规划问题的最优解.
3.重难点：如何将实际问题转化为线性规划问题并准确求得线性规划问题的最优解
(1) 怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？
问题1. 画出不等式组表示的平面区域
（2）求线性规划的最优解
问题2. 某人上午7时，乘摩托艇以匀速海里/时(4≤≤20)从港出发到距50海里的港去，然后乘汽车以千米/时(30≤≤100)自港向距300千米的市驶去，应该在同一天下午4至9点到达市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是小时.
(1)写出所满足的条件，并在所给的平面直角坐标系内，作出表示范围的图形；
(2)如果已知所需的经费(元)，那么分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？
★热点考点题型探析★
考点1 二元一次不等式(组)与平面区域
题型1. 求约束条件及平面区域的面积
例1 .双曲线的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）
A. B. C. D.
【解题思路】依据平面区域的画法求解.
例2.不等式组表示的平面区域的面积为________
【解题思路】作出平面区域,再由平面几何知识求面积.
题型2.求非线性目标函数的最大（小）值
例3. 已知，求：（1）的最小值;（2）的范围．
【解题思路】分别联想距离公式和斜率公式求解
【新题导练】
1. 图中阴影部分是下列不等式中( )表示的平面区域.
A. B.
C. D.
2.如果直线与圆相交于两点,且点关于直线对称,则不等式组所表示的平面区域的面积为____ ____.
3. 已知变量满足约束条件，则的取值范围是_ _____.
考点2 线性规划中求目标函数的最值问题
题型: 求目标函数的最值
例4. 设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值.
【解题思路】按解题步骤求解.
例5. 已知满足不等式组，求使取最大值的整数．
【解题思路】先作平面区域,再作一组平行线：平行于：，进一步寻找整点.
【新题导练】
4.设变量满足约束条件：，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
5. 已知满足约束条件,则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6. 定义符合条件的有序数对为“和谐格点”，则当时，和谐格点的个数是 ．
考点3 线性规划在实际问题中的应用
题型:在线性规划模型下的最优化问题.
例6.为迎接2008年奥运会召开，某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”.该厂所用的主要原料为A、B两种贵重金属，已知生产一套奥运会标志需用原料A和原料B的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料A和原料B的量分别为5盒和10盒.若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A、B的量分别为200盒和300盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大，最大利润为多少？
【解题思路】将文字语言转化为数学式子建立线性规划模型.
★抢分频道★
基础巩固训练
1.已知点的坐标满足条件 则的最大值为.
A. B. 8 C. 16 D. 10
2.已知：点P的坐标（x，y）满足：及A（2，0），则||·cos∠AOP（O为坐标原点）的最大值是 .
3.已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最大值等于_______,最小值等于____________.
4.已知点P(x,y)满足条件y的最大值为8，则 .
5.不等式组表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有_____个.
6.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（最大供应量）如下表所示：
产品 消耗量资源 甲产品（每吨） 乙产品（每吨） 资源限额（每天）
煤（t） 9 4 360
电力（kw·h） 4 5 200
劳力（个） 3 10 300
利润（万元） 6 12
问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？
综合拔高训练
7. 由围成的几何图形的面积是多少
8. 已知1x－y2,且2x+y4,求4x－2y的范围.
9.某钢材厂要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表：
A规格 B规格 C规格
第一种钢板 1 2 1
第二种钢板 1 1 3
需求 12 15 27
每张钢板的面积，第一种为1m2，第二种为2 m2，今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块，请你们为该厂计划一下，应该分别截这两种钢板多少张，可以得到所需的三种规格成品，而且使所用钢板的面积最小？只用第一种钢板行吗？
第4讲 均值不等式
★知识梳理★
1.基本形式:,则;,则,当且仅当时等号成立.
2求最值:当为定值时,有最小值;当或为定值时,有最大值().
3.拓展：若时,,当且仅当时等号成立.
★重难点突破★
1.重点：理解均值不等式等号成立条件，掌握用均值不等式证明不等式，会用均值不等式解决简单的最大（小）值问题.
2.难点：利用均值不等式求最大值、最小值
3.重难点：正确运用均值不等式证明不等式，会用均值不等式求某些函数的最值
(1) 灵活运用均值不等式处理不等关系
问题1. 已知正数x、y满足x+2y=1，求+的最小值.
（2）注意取等号的条件
问题2. 已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=的最小值为 。
★热点考点题型探析★
考点1 利用均值不等式求最值(或取值范围)
题型1. 当积为定值时,求和最小值
例1 . 已知且满足,求的最小值.
【解题思路】利用，构造均值不等式
题型2. 当和为定值时, 求积最大值
例2. 已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值．
【解题思路】这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现. 应将lgx+lgy转化成lgxy考虑．
题型3.灵活运用均值不等式求取值范围
例3. 若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_______ ．
【解题思路】可通过多种途经将等式化为可利用重要不等式的不等关系求解．
【新题导练】
1.若，则=_____时,有最小值，最小值为_____.
，当且仅当即时.
2.已知则的最小值为
3. 已知一动直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积的数值比直线的纵、横截距之和大1，求这三角形面积的最小值为 .
考点2 利用均值不等式证明
题型：用综合法证明简单的不等式
例4.已知,求证:.
【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体.
例5. 已知a，b为正数，求证：≥．
【解题思路】观察结构用基本不等式加以证明.
【新题导练】
4.已知,求证:
5.设x>0,y>0且x≠y,求证
考点3 基本不等式在实际中的应用
题型1.处理恒成立的有关问题
例6..若,且恒成立,则的最小值是________
【解题思路】分离系数得令求最大值即可
题型2.处理函数应用题
例7.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产千件,需另投入成本为.当年产量不足80千件时,(万元);当年产量不小于80千件时,(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大
【解题思路】凑出基本不等式的形式.
题型3.处理数列应用题
例8. 某乡为提高当地群众的生活水平,由政府投资兴建了甲、乙两个企业,2007年该乡从甲企业获得利润320万元,从乙企业获得利润720万元.以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增,而乙企业则为上一年利润的.根据测算,该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题,达到8100万元可以达到小康水平.
（1）若以2007年为第一年,则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年,该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？
（2）试估算2015年底该乡能否达到小康水平？为什么？
【解题思路】经审题抽象出数列模型
【新题导练】
6.已知函数，若在（0，+）上恒成立，求的取值范围是
7.某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，以后逐年递增万元。问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值多少？
★抢分频道★
基础巩固训练
1. 设x≠0，则函数在x=___ _时，y有最小值___ _．
2. 设实数x,y满足，则x+y的取值范围是___ _．
3.设x，y均为正实数，且，则xy的最小值为
4. 半径为4的球面上有A、B、C、D四点，且AB，AC，AD两两互相垂直，则、、面积之和的最大值为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
5. 某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多少公里处
综合拔高训练
6.某建筑的金属支架如图所示，根据要求至少长2.8m，为的中点，到的距离比的长小0.5m，，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计的长，可使建造这个支架的成本最低？
7. 已知
的单调区间；
（2）若
8.一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列，
试求：（1）
（2）邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数是多少个？
（3）求数列的前 k项和并证明：
高二数学第二章 不等式详解答案
第1讲 不等关系与不等式
★重难点突破★
问题1.点拨：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
问题2点拨：∵a+b，a－b的范围已知，
∴要求2a+3b的取值范围，
只需将2a+3b用已知量a+b，a－b表示出来.
可设2a+3b=x（a+b）+y（a－b），用待定系数法求出x、y.
解析：设2a+3b=x（a+b）+y（a－b），
∴解得
∴－＜（a+b）＜，
－2＜－（a－b）＜－1.
∴－＜（a+b）－（a－b）＜，
即－＜2a+3b＜.
例1[解析] 假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根..
根据题意，应有如下的不等关系：
（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。
由以上不等关系，可得不等式组：
【名师指引】建立不等关系关键在于文字语言与数学符号间的转换.它们之间的关系如下表.
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于 > 至多 ≤
小于 < 至少 ≥
大于等于 ≥ 不少于 ≥
小于等于 ≤ 不多于 ≤
例2.解析：，
∵，，∴，所以．
【名师指引】作差比较法的步骤是：
1、作差；2、变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等；
3、判断符号；4、作出结论．
【新题导练】.
1.解析：a=2－=－＜0，∴b＞0.c=5－2=－＞0.
b－c=3－7=－＜0.∴c＞b＞a.答案：c＞b＞a
2.解析：这辆汽车原来每天行驶的路程为x km，则
解之,得 256＜x＜260.
例3 解析证法一：由m＞n知m－n＞0，由a＜b知b－a＞0.
∴（m－a）－（n－b）＝（m－n）＋（b－a）＞0m－a＞n－b；
证法二：∵a＜b ∴－a＞－b
又∵m＞n ∴m＋（－a）＞n＋（－b）
∴m－a＞n－b.
【名师指引】不等式的性质中,有“单向性”和“双向性”的区别,切记随心所欲、自创性质
【新题导练】.
3.解析：由a＜b＜0知ab＞0，因此a·＜b·，即＞成立；
由a＜b＜0得－a＞－b＞0，因此|a|＞|b|＞0成立.
又（）x是减函数，所以（）a＞（）b成立.
故不成立的是B.
4.解析：运用倒数法则，a＞b，ab＞0，②、④正确.又正数大于负数，故选Ｃ.
例4解析：（1）证明 因对定义域内的任意、都有
，则有
……2分
又令
再令
于是有
（2）设
由于从而，
故上是增函数．
（3）由于
于是待解不等式可化为， 结合（1）（2）已证结论，可得上式等价于 解得．
【名师指引】 作差法、作商法以及函数的单调性是比较大小的常用方法.运用不等式性质时应从结论出发, 寻找解题的切入点.
例5解：（1）由得-
由一元二次方程求根公式得
∵∴
(2) 解：∵ ∴
∵,∴∴，∵
∴即
∴数列有最大项，最大项为第一项。
【名师指引】借助于比较法验证数列的单调性进而数列的不等关系是近年高考的热点之一.
【新题导练】.
5.解：（1）依题意，令，且、，则
，则函数在上的单调增。
（2）依题意，在上的最大值为1，则对恒成立，对恒成立，
或或。
6.解：(1)因为a3，a5是方程x2－14x＋45＝0的两根，且数列{an}的公差d＞0，
∴a3＝5，a5＝9，从而d＝＝2
∴an＝a5＋(n－5)d＝2n－1
又当n＝1时，有b1＝S1＝1－ b1，∴b1＝
当n≥2时，有bn＝Sn－Sn－1＝(bn－1－bn)
∴(n≥2)
∴数列{bn}是等比数列，且b1＝，q＝
∴bn＝b1qn－1＝；
(2)由(1)知：cn＝anbn＝，cn＋1＝
∴cn＋1－cn＝≤0 ∴cn＋1≤cn.
★抢分频道★
1.解析:由题意知,则一定正确,B一定正确,D一定正确,故选C(当b=0时)
2.解析：由;反之不成立.选 C
3.解析:由得,,则①④正确,②③错误,故选B.
4.解析:由,可得
5.证法一:左边-右边=
=
= = ∴原不等式成立。
证法二:左边>0，右边>0。
∴原不等式成立。
6.解：设A地到B地距离为mkm，起步价内行驶的路为akm
显然，当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较合适
当m>a时，设m=a+x（x>0），乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元，乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)=10+1.2x，Q(x)=8+1.4x
∵ P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x)
∴ 当x>10时，P(x)当x<10时，P(x)>Q(x)，此时选起步价为8元的出租车比较合适
当x=10时，P(x)=Q(x)，此时两种出租车任选
7.解析：（1）证法一：由f（m）=f（n），得|log2（m+1）|=|log2（n+1）|，即log2（m+1）=±log2（n+1），
log2（m+1）=log2（n+1）， ①
或log2（m+1）=log2. ②
由①得m+1=n+1，与m＜n矛盾，舍去.
由②得m+1=，即（m+1）（n+1）=1. ③
∴m+1＜1＜n+1.∴m＜0＜n.∴mn＜0.
由③得mn+m+n=0，m+n=－mn＞0.
证法二：（同证法一得）（m+1）（n+1）=1.
∵0＜m+1＜n+1，∴＞=1.∴m+n+2＞2.∴m+n＞0.
（2）证明：当x＞0时，f（x）=|log2（x+1）|=log2（x+1）在（0，+∞）上为增函数.
由（1）知m2－（m+n）=m2+mn=m（m+n），且m＜0，m+n＞0，∴m（m+n）＜0.
∴m2－（m+n）＜0，0＜m2＜m+n.
∴f（m2）＜f（m+n）.
同理，（m+n）－n2=－mn－n2=－n（m+n）＜0，
∴0＜m+n＜n2.∴f（m+n）＜f（n2）.
∴f（m2）＜f（m+n）＜f（n2）.
8.解：⑴、对任意的正数均有且．
又
，
又是定义在上的单增函数，．
当时，，．，．
当时，，
．，为等差数列，，．
⑵、假设存在满足条件，
即对一切恒成立． ……………８分
令，
，
故，
，单调递增，，．
．
第2讲 一元二次不等式及其解法
★重难点突破★
问题1点拨: 由得：或
讨论：（1）当时，得
（2）当时，
/ （3）当时，或
综上所述，所求的解为:当时，解集为
当时,解集为.
当时,解集为12/
问题2点拨:据题意：是方程的两根
由韦达定理知：
故
★热点考点题型探析★
例1[解析]由得,所以解集为,故选D;别解:抓住选择题的特点,显然当时满足不等式,故选D.
【名师指引】解一元二次不等式的关键在于求出相应的一元二次方程的根
例2[解析] 由的解集为知,为方程的两个根,由韦达定理得,解得,∴即,其解集为.
【名师指引】已知一元二次不等式解集求系数的基本思路是,由不等式的解集求出根,再由韦达定理求系数
【新题导练】
1解析：∵可推知-2＜a＜2,另a=2时，原式化为-4＜0，恒成立，∴-2＜a≤2. 选B
2.解析：由不等式的解集形式知m＜0. 答案：D
例3解析：∵，∴
⑴当，不等式解集为；
⑵当时，不等式为，解集为；
⑶当，不等式解集为
【名师指引】解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论:①根据二次项系数(大于0,小于0,等于0);②根据根的判别式讨论().③根据根的大小讨论().
例4【解题思路】借助于单调性进行分类讨论
解析(1)当a＞1时，原不等式等价于不等式组
由此得1－a＞.因为1－a＜0，所以x＜0，∴＜x＜0.
(2)当0＜a＜1时，原不等式等价于不等式组：
由 ①得x＞1或x＜0，由②得0 ＜x＜，∴1＜x＜.
综上，当a＞1时，不等式的解集是{x|＜x＜0，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜}.
【名师指引】解指数不等式与对数不等式通常是由指数函数和对数函数的单调性转化为一般的不等式(组)来求解，当底数含参数时要进行分类讨论.
【新题导练】
3.解析:原不等式可化为,需对分三种情况讨论,即不等式的解集与有关.
4.解析：
当；
当，
当
例5[解析]原不等式,各因式根依次为-1,1,2,4,在数轴上标根如下:
所以不等式的解集为.
【名师指引】求解高次不等式或分式不等式一般用根轴法,要注意不等式的解集与不等式对应的方程的根的关系.
【新题导练】
5.解析:原不等式,结合题意画出图可知.
6.解：①若；
②若；
③若
7.解析：
即得所以原不等式的解集为
例6[解析]当时,不等式解集不为,故不满足题意;
当时,要使原不等式解集为,只需,解得
综上,所求实数的取值范围为
【名师指引】不等式对一切恒成立或
不等式对任意恒成立或
【新题导练】
8.[解析]：不等式对一切R恒成立,
即 对一切R恒成立
若=0,显然不成立
若0，则 ∴
9.解析：设f（x）＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝,若，即a－1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）0－x－1
若0，即a0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）＝10恒成立，故a0
若0，即－1a0，则应有f（）＝恒成立，故－1a0． 综上，有－a,故选C ．
★抢分频道★
1.解析:将不等式转化成，即.]
2.解析:先由方程的两根为2和3求得后再解不等式.得
3.解析： 的解集为空集，就是1= []max＜
所以
4.解：命题P为真命题函数定义域为R
对任意实数均成立解集为R，或 ∴ 命题P为真命题
5.解析：原不等式即，
1°若k=0，原不等式的解集为空集；
2°若1－k>0，即0此时－2=>0，
∴若03°若1－k<0，即k>1时，原不等式等价于
此时恒有2>，所以原不等式的解集为{x|x<，或x>2}.
6.解：原不等式等价于
原不等式同解于 7分?
由①②得１＜ａｘ＜４，?
由③得
从而1＜ａｘ≤２ １０分?
①当ａ＞1时，原不等式解为｛ｘ｜０＜ｘ≤ｌｏｇａ２?
②当０＜ａ＜１时，原不等式解为｛ｘ｜ｌｏｇａ２≤ｘ＜０
7.解：（I）由题意得（100-x）·3000·（1+2x%）≥100×3000，
即x2－50x≤0，解得0≤x≤50，
又∵x＞0 ∴0＜x≤50；
（II）设这100万农民的人均年收入为y元，
则y= =
=－[x－25(a+1)]2+3000+475(a+1)2 (0（i）当0<25(a+1)≤50，即0＜a≤1，当x=25(a+1)时，y最大；
（ii）当25(a+1)＞50，即a ＞1，函数y在（0,50]单调递增，∴当x=50时，y取最大值
答：在0＜a≤1时，安排25(a +1)万人进入企业工作，在a＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大
8.解析：（1）由条件知 恒成立
又∵取x=2时，与恒成立,
∴.
（2）∵ ∴ ∴.
又 恒成立，即恒成立.
∴，
解出：,
∴.
（3）由分析条件知道，只要图象（在y轴右侧）总在直线 上方即可，也就是直线的斜率小于直线与抛物线相切时的斜率位置，于是：
∴.
解法2：必须恒成立,
即 恒成立.
①△<0，即 [4(1－m)]2－8<0，解得： ;
② 解出：.
总之，.
第3讲 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题
★重难点突破★
问题1点拨：如右图。
问题2点拨：(1) 由题意得：＝,,4≤≤20,30≤≤100,
∴3≤x≤10,≤y≤.①
由于汽车、摩托艇所要的时间和x+y应在9至14小时之间，即9≤x+y≤14,②
因此满足①②的点(x,y)的存在范围是图中阴影部分(包括边界).
(2) 因为p=100+3(5－x)+2(8－y),所以3x+2y=131－p,设131－p=k,那么当k最大时，p最小，在图中通过阴影部分区域且斜率为－的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点(10,4)，即当y=4时，p最小，此时x=10,v=12.5,w=30,p的最小值为93元.
★热点考点题型探析★
例1[解析]双曲线的两条渐近线方程为，两者与直线围成一个三角形区域时有，故选A。
【名师指引】本题考查了双曲线的渐近线方程以及平面区域画法。
例2[解析]不等式表示直线上及右上方的平面区域,表示直线 上及右上方的平面区域,表示直线上及左边的平面区域，
所以原不等式表示的平面区域中的阴影部分,其中
,,故所求面积
【名师指引】准确无误作出平面区域是解这类题的关键.
例3【解析】作出可行域，并求出顶点的坐标、、．
（1）表示可行域内任一点到定点的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故的最小值是．
（2）表示可行域内任一点到定点连线斜率的两倍；
因为，．故的取值范围为．
【名师指引】求非线性目标函数的最大（小）值问题的关键是从目标函数联想到相对应的几何意义.最常见的是两点间的距离和斜率公式.
【新题导练】
1.解析:用原点作检验.选C
2.解析:因为M、N两点关于直线对称，所以直线的斜率，
而圆的圆心在直线上，所以，则不
等式组表示的平面区域就是一个斜边长为1的等腰直角三角形，面积为．
3.解析：由得 ∴；
由得 ∴
∵表示过可行域内一点及原点的直线的斜率
∴由约束条件画出可行域（如图），则的取值范围为，即；
例4[解析]作出可行域如图8-3-6所示,作直线:上,
作一组平行于的直线：，，
可知:直线往右平移时，随之增大。
由图象可知,当直线经过点时，对应的最大，
当直线经过点时，对应的最小，
所以，，．
【名师指引】要注意到线性目标函数的最大(小)值往往是在边界处取到.
例5[解析]不等式组的解集为三直线：，：，：所围成的三角形内部（不含边界），设与，与，与交点分别为，则坐标分别为，，，
作一组平行线：平行于：，
当往右上方移动时，随之增大，
∴当过点时最大为，但不是整数解，
又由知可取，
当时，代入原不等式组得， ∴；
当时，得或， ∴或；
当时，， ∴，故的最大整数解为或．
【名师指引】在平行域内找整点最优解，一般用平移找解法，即打网格，描整点，平移直线，找出最优解
【新题导练】
4.解析：画出可行域与目标函数线如下图可知，目标函数在点（－2，－2）取最小值－8．
∴选D．
5.解析:表示的可行域上的点与点的距离的平方值减1.选D
6.【解析】作出可行域，数出和谐格点个数为7．
例6解析:设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为套，月利润为元，由题意得
（）
目标函数为
作出可行域如图所示
目标函数可变形为，
∴当通过图中的点A时，最大，这时Z最大。
解得点A的坐标为（20,24）， …………10分
将点代入得元
答:该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为20，24套时月利润最大，最大利润为42800元.
【名师指引】要注意到生产的产品数量是整数这一隐含条件.
★抢分频道★
1.解析:画出不等式组对应的可行域如图所示：易得A（1，1），OA＝, B（2，2），OB＝,C（1，3），OC＝,故|OP|的最大值为，即的最大值等于10.故选D.
2.【解析】||·cos ∠AOP即为在上的投影长
由∴||·cos ∠AOP的最大值为5.
3.解析: ,
，
4.解析：画图，联立方程得，代入
5.解析:（1，1），（1，2），（2，1），共3个.
6.解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨y吨，获得利润z万元
依题意可得约束条件：
（图2分）
利润目标函数
如图，作出可行域，作直线向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时取最大值。
解方程组
所以生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润。
7.解析：如下图由围成的几何图形就是其阴影部分，
且.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"http://www.21cnjy.com/8.解：线性约束条件是：
令z＝4x－2y，
画出可行域如右图所示，
由得A点坐标（1.5，0.5）此时z＝4×1.5－2×0.5＝5.
由得B点坐标（3，1）此时z＝4×3－2×1＝10.
54x－2y10
9. 解：设需要截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积为z m2，则
2x+y=15
x+y=12 x+3y=27
x+2y=0
目标函数z=x+2y
作出可行域如图
作一组平行直线x+2y=t，
由
可得交点，
但点不是可行域内的整点，其附近的整点（4，8）或（6，7）可都使z有最小值，
且zmin=4+2×8=20 或zmin=6+2×7=20
若只截第一种钢板，由上可知x≥27，所用钢板面积最少为z=27(m2);
若只截第二种钢板，则y≥15，最少需要钢板面积z=2×15=30(m2).它们都比zmin大，因此都不行.
第4讲 均值不等式
问题1点拨：∵x、y为正数，且x+2y=1，
∴+=（x+2y）（+）
=3++≥3+2，
当且仅当=，即当x=－1，y=1－时等号成立.
∴+的最小值为3+2.
问题2点拨：
错解1、因为对a>0,恒有,从而z=4,所以z的最小值是4。
错解2、，所以z的最小值是。
错因分析：解一等号成立的条件是相矛盾。解二等号成立的条件是，与相矛盾。
解析：z===，令t=xy, 则，由在上单调递减,故当t=时 有最小值,所以当时z有最小值。
★热点考点题型探析★
例1解析：∵,,∴
,当且仅当时等号成立,即,∴,又, ∴ ∴当时,有最小值18.
【名师指引】利用均值不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件．
例2解析∵x>0，y>0，3x+4y=12，
∴ ≤，
∴lgx+lgy=lgxy≤lg3 ．
由 解得
∴当x=2，y=时，lgx+lgy取得最大值lg3 ．
【名师指引】利用均值不等式求最值是高考中最常考的方法之一．
例3解法一 由a、b∈R+，由重要不等式得a+b≥2，
则ab=a+b+3≥2+3，
即≥≥≥3，∴ ab≥9 ．
解法二 a、b为正数，∴ ab=a+b+3≥>0，
两边立方得 a3b3≥34aba2b2≥34，∵ab>0，∴ab≥9 ．
解法三 原条件式变为ab-3=a+b， ①
∵ a、b均为正数，故①式两边都为正数，两边平方得
a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab，
∵ a2+b2≥2ab，∴ a2b2-6ab+9≥4ab，
即a2b2-10ab+9≥0，(ab-1)(ab-9)≥0，
由①式可知ab>3，∴ ab≥9 ．
解法四 把a、b∈R+看作一元二次方程的两个根，此方程为
x2+(3-ab)x+ab=0，则△=(3-ab)2-4ab≥0，
即 (ab)2-10ab+9≥0，∴ (ab-9)(ab-1)≥0，
∵ab-1=a+b+2>0成立，∴ ab≥9 ．
解法五 由已知得a(b-1)=b+3，显然a>1，∴ ，
≥，
即ab≥9 ．
【名师指引】本题用了转化思想（等式转化为不等式）、方程思想、函数思想，这是解决数学问题经常用的思想方法．
【新题导练】
1.解析:∵, ∴, ∴,∴=
2.解析:∵，当且仅当时取等号.
3.解析： 设直线的方程（a>0，b>0），则，∵a+b>2，
∴≥，即≥0，解得≥，
∴≥，当a=b=2+时，三角形面积的最小值为5+2
例4[解析] ,
相加整理得.当且仅当时等号成立.
【名师指引】综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形.
例5解析1：∵ a>0，b>0，
∴ ≥，
≥，
两式相加，得
≥，
∴ ≥．
解析2. ≥
．
∴≥．
解析3.∵ a>0，b>0，∴，
∴ 欲证 ≥，
即证 ≥，
只要证 ≥，
只要证 ≥，
即证 ≥，
只要证 a3+b3≥ab(a+b)，
只要证 a2+b2-ab≥ab，
即证 (a-b)2≥0．∵ (a-b)2≥0成立，∴ 原不等式成立 ．
【名师指引】当要证明的不等式形式上比较复杂时，常通过分析法寻求证题思路．
“分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法，特别是这两种方法的综合运用能力，对解决实际问题有重要的作用． 这两种数学方法是高考考查的重要数学思维方法．
【新题导练】
4.解析：∵ ∴① 又∵② ③
由①②③得 ∴,又不等式①、②、③中等号成立的条件分别为,,故不能同时成立,从而.
5.证明：由x>0,y>0且x≠y,要证明
只需 即
只需，由条件,显然成立.∴原不等式成立
例6解析: 事实上求函数的最大值,即的最大值,运用均值不等式不难得到.
【名师指引】分离系数法是处理参数取值范围的常用方法.
例7解析: (1)当时,
当时,
∴
(2)当时,,此时,当时,取得最大值(万元);
当时,
此时,当时,即时,取得最大值1000万元.
所以,当产量为100千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为1000万元.
【名师指引】形如函数的形式求最值时可考虑用均值不等式，但要注意条件的限制,可借助函数的图像解题，必要时借助于导数.
例8[解析]（Ⅰ）若以2007年为第一年,则第n年该乡从这两家企业获得的利润为
==
当且仅当,即n=2时,等号成立，
所以第二年（2008年）上交利润最少，利润为960万元.
由2000–960=1040（万元）知：还需另筹资金1040万元可解决温饱问题.
（Ⅱ）2015年为第9年,该年可从两个企业获得利润
所以该乡到2015年底可以达到小康水平.
【名师指引】本题重点考查数列的相关知识,基本不等式起到了工具性的作用.
【新题导练】
6.解析：因为在（0，+）上恒成立，即
∴ ∵ 的最小值为4 ∴ 解得
7.解析：设使用年的年平均费用为万元
则使用年的维修总费用为 万元
依题得
-
当且仅当 即时取等号 时取得最小值3 万元
答：这种汽车使用10年时，它的年平均费用最小，最小值是3 万元.
★抢分频道★
1.解：．答案为： __±1__；3
2.解析：．答案为(-∞,-1]∪[1, +∞)_
3.解析：由可化为xy =8+x+y,x，y均为正实数
xy =8+x+y（当且仅当x=y等号成立）即xy-2-8
可解得,即xy16故xy的最小值为16。
4.解析：由AB，AC，AD两两互相垂直，将之补成长方体知AB2+AC2+AD2=(2R)2=64．
≤=．
等号当且仅当取得，所以的最大值为32 ，选C．
5.解析：由已知y1=；y2=0.8x(x为仓库与车站距离)费用之和y=y1+y2=0.8x+ ≥2=8当且仅当0.8x=即x=5时“=”成立.答：5公里处
6.解析：设 连结BD.
则在中，
设
则
等号成立时
答：当时，建造这个支架的成本最低.
7.解: （1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 ,
（2）首先证明任意
事实上,
而
.
8.解：（1）由题意得：
（2） 在第k站出发时，前面放上的邮袋共：个
而从第二站起，每站放下的邮袋共：1＋2＋3＋…＋（k－1）个------------------5分
故
即邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数个-------------10分
（3）
B
A
C
D
地面
①
②
4
2
1
-1
x
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
l0
（－2，2）
（2，2）
y=x
y=x+1
（－1,2）
（1，2）
y=－x
y=－x+1
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高二数学第二章 不等式 整理人：邢丞
第1讲 不等关系与不等式
★知识梳理★
1.比较原理：
两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a
2．不等式的性质：
（1）对称性:，
（2）传递性:，
（3）可加性:.
移项法则:
推论：同向不等式可加.
（4）可乘性:，
推论1：同向(正)可乘:
推论2：可乘方(正): `
(5) 可开方(正):
★重难点突破★
1.重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.熟悉不等式的性质。
2.难点：正确理解现实生活中存在的不等关系. 用不等式（组）正确表示出不等关系。
3.重难点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式,利用不等式的性质证明简单的不等式.
（1）用不等式表示不等关系
问题1. 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
（2）用不等式的性质精确的估算变量或参数的取值范围
问题2. 已知－1＜a+b＜3且2＜a－b＜4，求2a+3b的取值范围.
★热点考点题型探析★
考点1 不等关系及不等式
题型1.建立不等关系
[例1] 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
【解题思路】设出变量,将文字语言转化为数学符号.
题型2用:比较法两个数的大小
例2. 比较与（其中，）的大小
【解题思路】作差整理,定符号
【新题导练】.
1.设a=2－，b=－2，c=5－2，则a、b、c之间的大小关系为____________.
2. 如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它行驶同样的路程得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的路程(km)范围是________________.
考点2 不等式的性质
题型：验证或推导简单不等式的有关结论
例3. 已知：m＞n，a＜b，求证：m－a＞n－b.
【解题思路】以不等式的性质为基础，进行推导
【新题导练】.
3..若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是（ ）
A.＞ B.2a＞2b C.|a|＞|b| D.（）a＞（）b
4. 已知四个条件，①b＞0＞a ②0＞a＞b ③a＞0＞b ④a＞b＞0能推出成立的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
考点3 不等式性质综合应用
题型1.用比较法证函数的单调性
例4.已知函数的定义域为对定义域内的任意、，都有
（1）求证：是偶函数；
（2）求证：在上是增函数；
（3）解不等式
【解题思路】证明抽象函数的单调性通常是用单调性的定义结合比较法.
题型2.用比较法处理数列中的不等关系.
例5.已知数列满足，且。
（1）求数列的通项公式；
（2）数列是否存在最大项？若存在最大项，求出该项和相应的项数；若不存在，说明理由。
【解题思路】先由递推关系求通项公式，再用比较法判断数列的单调性
【新题导练】
5. 已知是定义在上的奇函数，且，若、，，有；
（1）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
（2）若≤对所有的、恒成立，求实数的取值范围。
6. 已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2－14x＋45＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝1－ bn.
(1)求数列{an}、{bn]的通项公式；
(2)记cn＝anbn，求证：cn＋1≤cn.
★抢分频道★
基础巩固训练
1. 如果满足,且,那么下列选项中不一定成立的是( )
A. B. C. D.
2.对于实数，“”是“”成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3. 若,则下列不等式:①;②;③;④中,正确的不等式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.若,则的取值范围是
5. 设求证
综合拔高训练
6.某人乘坐出租车从A地到乙地，有两种方案：第一种方案，乘起步价为10元，每km价1.2元的出租车；第二种方案，乘起步价为8元，每km价1.4元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的里路是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较适合？
7.已知函数f（x）=|log2（x+1）|，实数m、n在其定义域内，且m＜n，f（m）=f（n）.
求证：（1）m+n＞0；
（2）f（m2）＜f（m+n）＜f（n2）.
8.设单调递增函数的定义域为，且对任意的正实数x,y有：且．
⑴一个各项均为正数的数列满足:其中为数列的前n项和,求数列的通项公式；
⑵在⑴的条件下，是否存在正数M使下列不等式：
对一切成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由．
第2讲 一元二次不等式及其解法
★知识梳理★
一.解不等式的有关理论
（1） 若两个不等式的解集相同，则称它们是同解不等式；
（2） 一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形；
（3） 解不等式时应进行同解变形；
（4） 解不等式的结果，原则上要用集合表示。
二.一元二次不等式的解集
二次函数（）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根
R
三.解一元二次不等式的基本步骤：
（1） 整理系数，使最高次项的系数为正数；
（2） 尝试用“十字相乘法”分解因式；
（3） 计算
（4） 结合二次函数的图象特征写出解集。
四.高次不等式解法：
尽可能进行因式分解，分解成一次因式后，再利用数轴标根法求解
（注意每个因式的最高次项的系数要求为正数）
五.分式不等式的解法：
分子分母因式分解，转化为相异一次因式的积和商的形式，再利用数轴标根法求解；
★重难点突破★
1.重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；熟练掌握一元二次不等式的解法。
2.难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。求解简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式
3.重难点：掌握一元二次不等式的解法,利用不等式的性质解简单的简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式, 会解简单的指数不等式和对数不等式.
(1)解简单的指数不等式和对数不等式关键在于通过同解变形转化为一般的不等式(组)来求解
问题1. 设，解关于x的不等式
(2)重视函数、方程与不等式三者之间的逻辑关系.
问题2. 已知函数
当，求的解析式；
★热点考点题型探析★
考点1 一元二次不等式的解法
题型1.解一元二次不等式
[例1] 不等式的解集是( )
A． B. C. D.
【解题思路】严格按解题步骤进行
题型2.已知一元二次不等式的解集求系数.
[例2]已知关于的不等式的解集为,求的解集.
【解题思路】由韦达定理求系数
【新题导练】
1.不等式（－2）2+2(－2) -4＜0,对一切∈R恒成立，则a的取值范围是（ ）
A.（-∞,2] B.（-2,2] C.（-2,2） D.（-∞,2)
2. 关于的不等式(-1)( -2)＞0，若此不等式的解集为{|＜x＜2}，则的取值范围是（ ）
A. ＞0 B.0＜＜2 C. ＞ D. ＜0
考点2 含参数不等式的解法
题型1：解含参数有理不等式
例3.解关于的一元二次不等式
【解题思路】比较根的大小确定解集
题型2：解简单的指数不等式和对数不等式
例4. 解不等式loga(1－)＞1
【新题导练】
3.关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.以上答案都不对
4.解关于的不等式：
考点3 分式不等式及高次不等式的解法
[例5] 解不等式:
【解题思路】先分解因式,再标根求解
【新题导练】
5.若关于的不等式的解集是,则的值为_______
6. 解关于
7.解不等式
考点4 简单的恒成立问题
题型:由二次函数的性质求参数的取值范围
例6.若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
【解题思路】结合二次函数的图象求解
【新题导练】
8.不等式对一切R恒成立，则实数a的取值范围是_______．
9.若不等式x2＋ax＋10对于一切x（0，）成立，则a的取值范围是 （ ）
A．0 B． –2 C．- D．-3
★抢分频道★
基础巩固训练
1. 不等式的解集是__________
2. 若不等式的解集为,则不等式的解集为 __________.
3.若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是 ．
4.设命题P：函数的定义域为R；命题q：不等式对一切正实数均成立。如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数的取值范围。
5.解关于x的不等式(k≥0，k≠1).
综合拔高训练
6.. 已知ａ＞０，且ａ≠１，解关于x的不等式：
7.据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x(x＞0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均收入为3000a元（a＞0）。
（I）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x的取值范围；
（II）在（I）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大。
8.已知二次函数满足：对任意实数x，都有，且当（1，3）时，有成立。
（1）证明：;
（2）若的表达式;
（3）设 ,，若图上的点都位于直线的上方，求
实数m的取值范围。
第3讲 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题
★知识梳理★
(一)二元一次不等式表示的区域
对于直线(A>0)
当B>0时, 表示直线上方区域; 表示直线的下方区域.
当B<0时, 表示直线下方区域; 表示直线的上方区域.
（二）线性规划
(1)不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.
(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.
(3)那么，满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（）和（）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.
线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行
(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.
2.设z=0，画出直线l0.
3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.
4.最后求得目标函数的最大值及最小值.
(5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.
然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.
最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.
★重难点突破★
1.重点：灵活运用二元一次不等式（组）来表示的平面区域，掌握线性规划的图解法
2.难点：如何确定不等式表示的哪一侧区域，如何寻求线性规划问题的最优解.
3.重难点：如何将实际问题转化为线性规划问题并准确求得线性规划问题的最优解
(1) 怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？
问题1. 画出不等式组表示的平面区域
（2）求线性规划的最优解
问题2. 某人上午7时，乘摩托艇以匀速海里/时(4≤≤20)从港出发到距50海里的港去，然后乘汽车以千米/时(30≤≤100)自港向距300千米的市驶去，应该在同一天下午4至9点到达市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是小时.
(1)写出所满足的条件，并在所给的平面直角坐标系内，作出表示范围的图形；
(2)如果已知所需的经费(元)，那么分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？
★热点考点题型探析★
考点1 二元一次不等式(组)与平面区域
题型1. 求约束条件及平面区域的面积
例1 .双曲线的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）
A. B. C. D.
【解题思路】依据平面区域的画法求解.
例2.不等式组表示的平面区域的面积为________
【解题思路】作出平面区域,再由平面几何知识求面积.
题型2.求非线性目标函数的最大（小）值
例3. 已知，求：（1）的最小值;（2）的范围．
【解题思路】分别联想距离公式和斜率公式求解
【新题导练】
1. 图中阴影部分是下列不等式中( )表示的平面区域.
A. B.
C. D.
2.如果直线与圆相交于两点,且点关于直线对称,则不等式组所表示的平面区域的面积为____ ____.
3. 已知变量满足约束条件，则的取值范围是_ _____.
考点2 线性规划中求目标函数的最值问题
题型: 求目标函数的最值
例4. 设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值.
【解题思路】按解题步骤求解.
例5. 已知满足不等式组，求使取最大值的整数．
【解题思路】先作平面区域,再作一组平行线：平行于：，进一步寻找整点.
【新题导练】
4.设变量满足约束条件：，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
5. 已知满足约束条件,则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6. 定义符合条件的有序数对为“和谐格点”，则当时，和谐格点的个数是 ．
考点3 线性规划在实际问题中的应用
题型:在线性规划模型下的最优化问题.
例6.为迎接2008年奥运会召开，某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”.该厂所用的主要原料为A、B两种贵重金属，已知生产一套奥运会标志需用原料A和原料B的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料A和原料B的量分别为5盒和10盒.若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A、B的量分别为200盒和300盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大，最大利润为多少？
【解题思路】将文字语言转化为数学式子建立线性规划模型.
★抢分频道★
基础巩固训练
1.已知点的坐标满足条件 则的最大值为.
A. B. 8 C. 16 D. 10
2.已知：点P的坐标（x，y）满足：及A（2，0），则||·cos∠AOP（O为坐标原点）的最大值是 .
3.已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最大值等于_______,最小值等于____________.
4.已知点P(x,y)满足条件y的最大值为8，则 .
5.不等式组表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有_____个.
6.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（最大供应量）如下表所示：
产品 消耗量资源 甲产品（每吨） 乙产品（每吨） 资源限额（每天）
煤（t） 9 4 360
电力（kw·h） 4 5 200
劳力（个） 3 10 300
利润（万元） 6 12
问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？
综合拔高训练
7. 由围成的几何图形的面积是多少
8. 已知1x－y2,且2x+y4,求4x－2y的范围.
9.某钢材厂要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表：
A规格 B规格 C规格
第一种钢板 1 2 1
第二种钢板 1 1 3
需求 12 15 27
每张钢板的面积，第一种为1m2，第二种为2 m2，今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块，请你们为该厂计划一下，应该分别截这两种钢板多少张，可以得到所需的三种规格成品，而且使所用钢板的面积最小？只用第一种钢板行吗？
第4讲 均值不等式
★知识梳理★
1.基本形式:,则;,则,当且仅当时等号成立.
2求最值:当为定值时,有最小值;当或为定值时,有最大值().
3.拓展：若时,,当且仅当时等号成立.
★重难点突破★
1.重点：理解均值不等式等号成立条件，掌握用均值不等式证明不等式，会用均值不等式解决简单的最大（小）值问题.
2.难点：利用均值不等式求最大值、最小值
3.重难点：正确运用均值不等式证明不等式，会用均值不等式求某些函数的最值
(1) 灵活运用均值不等式处理不等关系
问题1. 已知正数x、y满足x+2y=1，求+的最小值.
（2）注意取等号的条件
问题2. 已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=的最小值为 。
★热点考点题型探析★
考点1 利用均值不等式求最值(或取值范围)
题型1. 当积为定值时,求和最小值
例1 . 已知且满足,求的最小值.
【解题思路】利用，构造均值不等式
题型2. 当和为定值时, 求积最大值
例2. 已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值．
【解题思路】这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现. 应将lgx+lgy转化成lgxy考虑．
题型3.灵活运用均值不等式求取值范围
例3. 若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_______ ．
【解题思路】可通过多种途经将等式化为可利用重要不等式的不等关系求解．
【新题导练】
1.若，则=_____时,有最小值，最小值为_____.
，当且仅当即时.
2.已知则的最小值为
3. 已知一动直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积的数值比直线的纵、横截距之和大1，求这三角形面积的最小值为 .
考点2 利用均值不等式证明
题型：用综合法证明简单的不等式
例4.已知,求证:.
【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体.
例5. 已知a，b为正数，求证：≥．
【解题思路】观察结构用基本不等式加以证明.
【新题导练】
4.已知,求证:
5.设x>0,y>0且x≠y,求证
考点3 基本不等式在实际中的应用
题型1.处理恒成立的有关问题
例6..若,且恒成立,则的最小值是________
【解题思路】分离系数得令求最大值即可
题型2.处理函数应用题
例7.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产千件,需另投入成本为.当年产量不足80千件时,(万元);当年产量不小于80千件时,(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大
【解题思路】凑出基本不等式的形式.
题型3.处理数列应用题
例8. 某乡为提高当地群众的生活水平,由政府投资兴建了甲、乙两个企业,2007年该乡从甲企业获得利润320万元,从乙企业获得利润720万元.以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增,而乙企业则为上一年利润的.根据测算,该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题,达到8100万元可以达到小康水平.
（1）若以2007年为第一年,则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年,该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？
（2）试估算2015年底该乡能否达到小康水平？为什么？
【解题思路】经审题抽象出数列模型
【新题导练】
6.已知函数，若在（0，+）上恒成立，求的取值范围是
7.某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，以后逐年递增万元。问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值多少？
★抢分频道★
基础巩固训练
1. 设x≠0，则函数在x=___ _时，y有最小值___ _．
2. 设实数x,y满足，则x+y的取值范围是___ _．
3.设x，y均为正实数，且，则xy的最小值为
4. 半径为4的球面上有A、B、C、D四点，且AB，AC，AD两两互相垂直，则、、面积之和的最大值为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
5. 某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多少公里处
综合拔高训练
6.某建筑的金属支架如图所示，根据要求至少长2.8m，为的中点，到的距离比的长小0.5m，，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计的长，可使建造这个支架的成本最低？
7. 已知
的单调区间；
（2）若
8.一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列，
试求：（1）
（2）邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数是多少个？
（3）求数列的前 k项和并证明：
高二数学第二章 不等式详解答案
第1讲 不等关系与不等式
★重难点突破★
问题1.点拨：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
问题2点拨：∵a+b，a－b的范围已知，
∴要求2a+3b的取值范围，
只需将2a+3b用已知量a+b，a－b表示出来.
可设2a+3b=x（a+b）+y（a－b），用待定系数法求出x、y.
解析：设2a+3b=x（a+b）+y（a－b），
∴解得
∴－＜（a+b）＜，
－2＜－（a－b）＜－1.
∴－＜（a+b）－（a－b）＜，
即－＜2a+3b＜.
例1[解析] 假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根..
根据题意，应有如下的不等关系：
（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。
由以上不等关系，可得不等式组：
【名师指引】建立不等关系关键在于文字语言与数学符号间的转换.它们之间的关系如下表.
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于 > 至多 ≤
小于 < 至少 ≥
大于等于 ≥ 不少于 ≥
小于等于 ≤ 不多于 ≤
例2.解析：，
∵，，∴，所以．
【名师指引】作差比较法的步骤是：
1、作差；2、变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等；
3、判断符号；4、作出结论．
【新题导练】.
1.解析：a=2－=－＜0，∴b＞0.c=5－2=－＞0.
b－c=3－7=－＜0.∴c＞b＞a.答案：c＞b＞a
2.解析：这辆汽车原来每天行驶的路程为x km，则
解之,得 256＜x＜260.
例3 解析证法一：由m＞n知m－n＞0，由a＜b知b－a＞0.
∴（m－a）－（n－b）＝（m－n）＋（b－a）＞0m－a＞n－b；
证法二：∵a＜b ∴－a＞－b
又∵m＞n ∴m＋（－a）＞n＋（－b）
∴m－a＞n－b.
【名师指引】不等式的性质中,有“单向性”和“双向性”的区别,切记随心所欲、自创性质
【新题导练】.
3.解析：由a＜b＜0知ab＞0，因此a·＜b·，即＞成立；
由a＜b＜0得－a＞－b＞0，因此|a|＞|b|＞0成立.
又（）x是减函数，所以（）a＞（）b成立.
故不成立的是B.
4.解析：运用倒数法则，a＞b，ab＞0，②、④正确.又正数大于负数，故选Ｃ.
例4解析：（1）证明 因对定义域内的任意、都有
，则有
……2分
又令
再令
于是有
（2）设
由于从而，
故上是增函数．
（3）由于
于是待解不等式可化为， 结合（1）（2）已证结论，可得上式等价于 解得．
【名师指引】 作差法、作商法以及函数的单调性是比较大小的常用方法.运用不等式性质时应从结论出发, 寻找解题的切入点.
例5解：（1）由得-
由一元二次方程求根公式得
∵∴
(2) 解：∵ ∴
∵,∴∴，∵
∴即
∴数列有最大项，最大项为第一项。
【名师指引】借助于比较法验证数列的单调性进而数列的不等关系是近年高考的热点之一.
【新题导练】.
5.解：（1）依题意，令，且、，则
，则函数在上的单调增。
（2）依题意，在上的最大值为1，则对恒成立，对恒成立，
或或。
6.解：(1)因为a3，a5是方程x2－14x＋45＝0的两根，且数列{an}的公差d＞0，
∴a3＝5，a5＝9，从而d＝＝2
∴an＝a5＋(n－5)d＝2n－1
又当n＝1时，有b1＝S1＝1－ b1，∴b1＝
当n≥2时，有bn＝Sn－Sn－1＝(bn－1－bn)
∴(n≥2)
∴数列{bn}是等比数列，且b1＝，q＝
∴bn＝b1qn－1＝；
(2)由(1)知：cn＝anbn＝，cn＋1＝
∴cn＋1－cn＝≤0 ∴cn＋1≤cn.
★抢分频道★
1.解析:由题意知,则一定正确,B一定正确,D一定正确,故选C(当b=0时)
2.解析：由;反之不成立.选 C
3.解析:由得,,则①④正确,②③错误,故选B.
4.解析:由,可得
5.证法一:左边-右边=
=
= = ∴原不等式成立。
证法二:左边>0，右边>0。
∴原不等式成立。
6.解：设A地到B地距离为mkm，起步价内行驶的路为akm
显然，当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较合适
当m>a时，设m=a+x（x>0），乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元，乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)=10+1.2x，Q(x)=8+1.4x
∵ P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x)
∴ 当x>10时，P(x)
当x=10时，P(x)=Q(x)，此时两种出租车任选
7.解析：（1）证法一：由f（m）=f（n），得|log2（m+1）|=|log2（n+1）|，即log2（m+1）=±log2（n+1），
log2（m+1）=log2（n+1）， ①
或log2（m+1）=log2. ②
由①得m+1=n+1，与m＜n矛盾，舍去.
由②得m+1=，即（m+1）（n+1）=1. ③
∴m+1＜1＜n+1.∴m＜0＜n.∴mn＜0.
由③得mn+m+n=0，m+n=－mn＞0.
证法二：（同证法一得）（m+1）（n+1）=1.
∵0＜m+1＜n+1，∴＞=1.∴m+n+2＞2.∴m+n＞0.
（2）证明：当x＞0时，f（x）=|log2（x+1）|=log2（x+1）在（0，+∞）上为增函数.
由（1）知m2－（m+n）=m2+mn=m（m+n），且m＜0，m+n＞0，∴m（m+n）＜0.
∴m2－（m+n）＜0，0＜m2＜m+n.
∴f（m2）＜f（m+n）.
同理，（m+n）－n2=－mn－n2=－n（m+n）＜0，
∴0＜m+n＜n2.∴f（m+n）＜f（n2）.
∴f（m2）＜f（m+n）＜f（n2）.
8.解：⑴、对任意的正数均有且．
又
，
又是定义在上的单增函数，．
当时，，．，．
当时，，
．，为等差数列，，．
⑵、假设存在满足条件，
即对一切恒成立． ……………８分
令，
，
故，
，单调递增，，．
．
第2讲 一元二次不等式及其解法
★重难点突破★
问题1点拨: 由得：或
讨论：（1）当时，得
（2）当时，
/ （3）当时，或
综上所述，所求的解为:当时，解集为
当时,解集为.
当时,解集为12/
问题2点拨:据题意：是方程的两根
由韦达定理知：
故
★热点考点题型探析★
例1[解析]由得,所以解集为,故选D;别解:抓住选择题的特点,显然当时满足不等式,故选D.
【名师指引】解一元二次不等式的关键在于求出相应的一元二次方程的根
例2[解析] 由的解集为知,为方程的两个根,由韦达定理得,解得,∴即,其解集为.
【名师指引】已知一元二次不等式解集求系数的基本思路是,由不等式的解集求出根,再由韦达定理求系数
【新题导练】
1解析：∵可推知-2＜a＜2,另a=2时，原式化为-4＜0，恒成立，∴-2＜a≤2. 选B
2.解析：由不等式的解集形式知m＜0. 答案：D
例3解析：∵，∴
⑴当，不等式解集为；
⑵当时，不等式为，解集为；
⑶当，不等式解集为
【名师指引】解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论:①根据二次项系数(大于0,小于0,等于0);②根据根的判别式讨论().③根据根的大小讨论().
例4【解题思路】借助于单调性进行分类讨论
解析(1)当a＞1时，原不等式等价于不等式组
由此得1－a＞.因为1－a＜0，所以x＜0，∴＜x＜0.
(2)当0＜a＜1时，原不等式等价于不等式组：
由 ①得x＞1或x＜0，由②得0 ＜x＜，∴1＜x＜.
综上，当a＞1时，不等式的解集是{x|＜x＜0，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜}.
【名师指引】解指数不等式与对数不等式通常是由指数函数和对数函数的单调性转化为一般的不等式(组)来求解，当底数含参数时要进行分类讨论.
【新题导练】
3.解析:原不等式可化为,需对分三种情况讨论,即不等式的解集与有关.
4.解析：
当；
当，
当
例5[解析]原不等式,各因式根依次为-1,1,2,4,在数轴上标根如下:
所以不等式的解集为.
【名师指引】求解高次不等式或分式不等式一般用根轴法,要注意不等式的解集与不等式对应的方程的根的关系.
【新题导练】
5.解析:原不等式,结合题意画出图可知.
6.解：①若；
②若；
③若
7.解析：
即得所以原不等式的解集为
例6[解析]当时,不等式解集不为,故不满足题意;
当时,要使原不等式解集为,只需,解得
综上,所求实数的取值范围为
【名师指引】不等式对一切恒成立或
不等式对任意恒成立或
【新题导练】
8.[解析]：不等式对一切R恒成立,
即 对一切R恒成立
若=0,显然不成立
若0，则 ∴
9.解析：设f（x）＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝,若，即a－1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）0－x－1
若0，即a0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）＝10恒成立，故a0
若0，即－1a0，则应有f（）＝恒成立，故－1a0． 综上，有－a,故选C ．
★抢分频道★
1.解析:将不等式转化成，即.]
2.解析:先由方程的两根为2和3求得后再解不等式.得
3.解析： 的解集为空集，就是1= []max＜
所以
4.解：命题P为真命题函数定义域为R
对任意实数均成立解集为R，或 ∴ 命题P为真命题
5.解析：原不等式即，
1°若k=0，原不等式的解集为空集；
2°若1－k>0，即0
∴若0
此时恒有2>，所以原不等式的解集为{x|x<，或x>2}.
6.解：原不等式等价于
原不等式同解于 7分?
由①②得１＜ａｘ＜４，?
由③得
从而1＜ａｘ≤２ １０分?
①当ａ＞1时，原不等式解为｛ｘ｜０＜ｘ≤ｌｏｇａ２?
②当０＜ａ＜１时，原不等式解为｛ｘ｜ｌｏｇａ２≤ｘ＜０
7.解：（I）由题意得（100-x）·3000·（1+2x%）≥100×3000，
即x2－50x≤0，解得0≤x≤50，
又∵x＞0 ∴0＜x≤50；
（II）设这100万农民的人均年收入为y元，
则y= =
=－[x－25(a+1)]2+3000+475(a+1)2 (0
（ii）当25(a+1)＞50，即a ＞1，函数y在（0,50]单调递增，∴当x=50时，y取最大值
答：在0＜a≤1时，安排25(a +1)万人进入企业工作，在a＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大
8.解析：（1）由条件知 恒成立
又∵取x=2时，与恒成立,
∴.
（2）∵ ∴ ∴.
又 恒成立，即恒成立.
∴，
解出：,
∴.
（3）由分析条件知道，只要图象（在y轴右侧）总在直线 上方即可，也就是直线的斜率小于直线与抛物线相切时的斜率位置，于是：
∴.
解法2：必须恒成立,
即 恒成立.
①△<0，即 [4(1－m)]2－8<0，解得： ;
② 解出：.
总之，.
第3讲 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题
★重难点突破★
问题1点拨：如右图。
问题2点拨：(1) 由题意得：＝,,4≤≤20,30≤≤100,
∴3≤x≤10,≤y≤.①
由于汽车、摩托艇所要的时间和x+y应在9至14小时之间，即9≤x+y≤14,②
因此满足①②的点(x,y)的存在范围是图中阴影部分(包括边界).
(2) 因为p=100+3(5－x)+2(8－y),所以3x+2y=131－p,设131－p=k,那么当k最大时，p最小，在图中通过阴影部分区域且斜率为－的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点(10,4)，即当y=4时，p最小，此时x=10,v=12.5,w=30,p的最小值为93元.
★热点考点题型探析★
例1[解析]双曲线的两条渐近线方程为，两者与直线围成一个三角形区域时有，故选A。
【名师指引】本题考查了双曲线的渐近线方程以及平面区域画法。
例2[解析]不等式表示直线上及右上方的平面区域,表示直线 上及右上方的平面区域,表示直线上及左边的平面区域，
所以原不等式表示的平面区域中的阴影部分,其中
,,故所求面积
【名师指引】准确无误作出平面区域是解这类题的关键.
例3【解析】作出可行域，并求出顶点的坐标、、．
（1）表示可行域内任一点到定点的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故的最小值是．
（2）表示可行域内任一点到定点连线斜率的两倍；
因为，．故的取值范围为．
【名师指引】求非线性目标函数的最大（小）值问题的关键是从目标函数联想到相对应的几何意义.最常见的是两点间的距离和斜率公式.
【新题导练】
1.解析:用原点作检验.选C
2.解析:因为M、N两点关于直线对称，所以直线的斜率，
而圆的圆心在直线上，所以，则不
等式组表示的平面区域就是一个斜边长为1的等腰直角三角形，面积为．
3.解析：由得 ∴；
由得 ∴
∵表示过可行域内一点及原点的直线的斜率
∴由约束条件画出可行域（如图），则的取值范围为，即；
例4[解析]作出可行域如图8-3-6所示,作直线:上,
作一组平行于的直线：，，
可知:直线往右平移时，随之增大。
由图象可知,当直线经过点时，对应的最大，
当直线经过点时，对应的最小，
所以，，．
【名师指引】要注意到线性目标函数的最大(小)值往往是在边界处取到.
例5[解析]不等式组的解集为三直线：，：，：所围成的三角形内部（不含边界），设与，与，与交点分别为，则坐标分别为，，，
作一组平行线：平行于：，
当往右上方移动时，随之增大，
∴当过点时最大为，但不是整数解，
又由知可取，
当时，代入原不等式组得， ∴；
当时，得或， ∴或；
当时，， ∴，故的最大整数解为或．
【名师指引】在平行域内找整点最优解，一般用平移找解法，即打网格，描整点，平移直线，找出最优解
【新题导练】
4.解析：画出可行域与目标函数线如下图可知，目标函数在点（－2，－2）取最小值－8．
∴选D．
5.解析:表示的可行域上的点与点的距离的平方值减1.选D
6.【解析】作出可行域，数出和谐格点个数为7．
例6解析:设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为套，月利润为元，由题意得
（）
目标函数为
作出可行域如图所示
目标函数可变形为，
∴当通过图中的点A时，最大，这时Z最大。
解得点A的坐标为（20,24）， …………10分
将点代入得元
答:该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为20，24套时月利润最大，最大利润为42800元.
【名师指引】要注意到生产的产品数量是整数这一隐含条件.
★抢分频道★
1.解析:画出不等式组对应的可行域如图所示：易得A（1，1），OA＝, B（2，2），OB＝,C（1，3），OC＝,故|OP|的最大值为，即的最大值等于10.故选D.
2.【解析】||·cos ∠AOP即为在上的投影长
由∴||·cos ∠AOP的最大值为5.
3.解析: ,
，
4.解析：画图，联立方程得，代入
5.解析:（1，1），（1，2），（2，1），共3个.
6.解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨y吨，获得利润z万元
依题意可得约束条件：
（图2分）
利润目标函数
如图，作出可行域，作直线向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时取最大值。
解方程组
所以生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润。
7.解析：如下图由围成的几何图形就是其阴影部分，
且.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"http://www.21cnjy.com/8.解：线性约束条件是：
令z＝4x－2y，
画出可行域如右图所示，
由得A点坐标（1.5，0.5）此时z＝4×1.5－2×0.5＝5.
由得B点坐标（3，1）此时z＝4×3－2×1＝10.
54x－2y10
9. 解：设需要截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积为z m2，则
2x+y=15
x+y=12 x+3y=27
x+2y=0
目标函数z=x+2y
作出可行域如图
作一组平行直线x+2y=t，
由
可得交点，
但点不是可行域内的整点，其附近的整点（4，8）或（6，7）可都使z有最小值，
且zmin=4+2×8=20 或zmin=6+2×7=20
若只截第一种钢板，由上可知x≥27，所用钢板面积最少为z=27(m2);
若只截第二种钢板，则y≥15，最少需要钢板面积z=2×15=30(m2).它们都比zmin大，因此都不行.
第4讲 均值不等式
问题1点拨：∵x、y为正数，且x+2y=1，
∴+=（x+2y）（+）
=3++≥3+2，
当且仅当=，即当x=－1，y=1－时等号成立.
∴+的最小值为3+2.
问题2点拨：
错解1、因为对a>0,恒有,从而z=4,所以z的最小值是4。
错解2、，所以z的最小值是。
错因分析：解一等号成立的条件是相矛盾。解二等号成立的条件是，与相矛盾。
解析：z===，令t=xy, 则，由在上单调递减,故当t=时 有最小值,所以当时z有最小值。
★热点考点题型探析★
例1解析：∵,,∴
,当且仅当时等号成立,即,∴,又, ∴ ∴当时,有最小值18.
【名师指引】利用均值不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件．
例2解析∵x>0，y>0，3x+4y=12，
∴ ≤，
∴lgx+lgy=lgxy≤lg3 ．
由 解得
∴当x=2，y=时，lgx+lgy取得最大值lg3 ．
【名师指引】利用均值不等式求最值是高考中最常考的方法之一．
例3解法一 由a、b∈R+，由重要不等式得a+b≥2，
则ab=a+b+3≥2+3，
即≥≥≥3，∴ ab≥9 ．
解法二 a、b为正数，∴ ab=a+b+3≥>0，
两边立方得 a3b3≥34aba2b2≥34，∵ab>0，∴ab≥9 ．
解法三 原条件式变为ab-3=a+b， ①
∵ a、b均为正数，故①式两边都为正数，两边平方得
a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab，
∵ a2+b2≥2ab，∴ a2b2-6ab+9≥4ab，
即a2b2-10ab+9≥0，(ab-1)(ab-9)≥0，
由①式可知ab>3，∴ ab≥9 ．
解法四 把a、b∈R+看作一元二次方程的两个根，此方程为
x2+(3-ab)x+ab=0，则△=(3-ab)2-4ab≥0，
即 (ab)2-10ab+9≥0，∴ (ab-9)(ab-1)≥0，
∵ab-1=a+b+2>0成立，∴ ab≥9 ．
解法五 由已知得a(b-1)=b+3，显然a>1，∴ ，
≥，
即ab≥9 ．
【名师指引】本题用了转化思想（等式转化为不等式）、方程思想、函数思想，这是解决数学问题经常用的思想方法．
【新题导练】
1.解析:∵, ∴, ∴,∴=
2.解析:∵，当且仅当时取等号.
3.解析： 设直线的方程（a>0，b>0），则，∵a+b>2，
∴≥，即≥0，解得≥，
∴≥，当a=b=2+时，三角形面积的最小值为5+2
例4[解析] ,
相加整理得.当且仅当时等号成立.
【名师指引】综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形.
例5解析1：∵ a>0，b>0，
∴ ≥，
≥，
两式相加，得
≥，
∴ ≥．
解析2. ≥
．
∴≥．
解析3.∵ a>0，b>0，∴，
∴ 欲证 ≥，
即证 ≥，
只要证 ≥，
只要证 ≥，
即证 ≥，
只要证 a3+b3≥ab(a+b)，
只要证 a2+b2-ab≥ab，
即证 (a-b)2≥0．∵ (a-b)2≥0成立，∴ 原不等式成立 ．
【名师指引】当要证明的不等式形式上比较复杂时，常通过分析法寻求证题思路．
“分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法，特别是这两种方法的综合运用能力，对解决实际问题有重要的作用． 这两种数学方法是高考考查的重要数学思维方法．
【新题导练】
4.解析：∵ ∴① 又∵② ③
由①②③得 ∴,又不等式①、②、③中等号成立的条件分别为,,故不能同时成立,从而.
5.证明：由x>0,y>0且x≠y,要证明
只需 即
只需，由条件,显然成立.∴原不等式成立
例6解析: 事实上求函数的最大值,即的最大值,运用均值不等式不难得到.
【名师指引】分离系数法是处理参数取值范围的常用方法.
例7解析: (1)当时,
当时,
∴
(2)当时,,此时,当时,取得最大值(万元);
当时,
此时,当时,即时,取得最大值1000万元.
所以,当产量为100千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为1000万元.
【名师指引】形如函数的形式求最值时可考虑用均值不等式，但要注意条件的限制,可借助函数的图像解题，必要时借助于导数.
例8[解析]（Ⅰ）若以2007年为第一年,则第n年该乡从这两家企业获得的利润为
==
当且仅当,即n=2时,等号成立，
所以第二年（2008年）上交利润最少，利润为960万元.
由2000–960=1040（万元）知：还需另筹资金1040万元可解决温饱问题.
（Ⅱ）2015年为第9年,该年可从两个企业获得利润
所以该乡到2015年底可以达到小康水平.
【名师指引】本题重点考查数列的相关知识,基本不等式起到了工具性的作用.
【新题导练】
6.解析：因为在（0，+）上恒成立，即
∴ ∵ 的最小值为4 ∴ 解得
7.解析：设使用年的年平均费用为万元
则使用年的维修总费用为 万元
依题得
-
当且仅当 即时取等号 时取得最小值3 万元
答：这种汽车使用10年时，它的年平均费用最小，最小值是3 万元.
★抢分频道★
1.解：．答案为： __±1__；3
2.解析：．答案为(-∞,-1]∪[1, +∞)_
3.解析：由可化为xy =8+x+y,x，y均为正实数
xy =8+x+y（当且仅当x=y等号成立）即xy-2-8
可解得,即xy16故xy的最小值为16。
4.解析：由AB，AC，AD两两互相垂直，将之补成长方体知AB2+AC2+AD2=(2R)2=64．
≤=．
等号当且仅当取得，所以的最大值为32 ，选C．
5.解析：由已知y1=；y2=0.8x(x为仓库与车站距离)费用之和y=y1+y2=0.8x+ ≥2=8当且仅当0.8x=即x=5时“=”成立.答：5公里处
6.解析：设 连结BD.
则在中，
设
则
等号成立时
答：当时，建造这个支架的成本最低.
7.解: （1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 ,
（2）首先证明任意
事实上,
而
.
8.解：（1）由题意得：
（2） 在第k站出发时，前面放上的邮袋共：个
而从第二站起，每站放下的邮袋共：1＋2＋3＋…＋（k－1）个------------------5分
故
即邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数个-------------10分
（3）
B
A
C
D
地面
①
②
4
2
1
-1
x
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
l0
（－2，2）
（2，2）
y=x
y=x+1
（－1,2）
（1，2）
y=－x
y=－x+1
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