高二数学第三章 圆锥曲线
图片预览
文档简介
本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
高二数学第三章 圆锥曲线 整理人：邢丞
第1讲 椭圆
★知识梳理★
1. 椭圆定义：平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.
当时, 的轨迹为椭圆 ; ;
当时, 的轨迹不存在;
当时, 的轨迹为 以为端点的线段
2.椭圆的方程与几何性质:
标准方程
性质 参数关系
焦点
焦距
范围
顶点
对称性 关于x轴、y轴和原点对称
离心率
准线
3.点与椭圆的位置关系:
当时,点在椭圆外; 当时,点在椭圆内; 当时,点在椭圆上;
4.直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆相交;直线与椭圆相切;直线与椭圆相离
★重难点突破★
重点:掌握椭圆的定义标准方程，会用定义和求椭圆的标准方程，能通过方程研究椭圆的几何性质及其应用
难点:椭圆的几何元素与参数的转换
重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究椭圆的性质，把握几何元素转换成参数的关系
1.要有用定义的意识
问题1已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=______________。
2.求标准方程要注意焦点的定位
问题2椭圆的离心率为，则
★热点考点题型探析★
考点1 椭圆定义及标准方程
题型1:椭圆定义的运用
[例1 ]椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（ ）
A．4a B．2(a－c) C．2(a+c) D．以上答案均有可能
【新题导练】
1.短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为 （ ）
A.3 B.6 C.12 D.24
2.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ ）
A． 5 B． 7 C ．13 D． 15
题型2 求椭圆的标准方程
[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.
【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来
【新题导练】
3. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.
4.已知方程,讨论方程表示的曲线的形状
5. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.
考点2 椭圆的几何性质
题型1:求椭圆的离心率（或范围）
[例3 ] 在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．
【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率
【新题导练】
6.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为
. . . .
7.已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆的离心率为
8.我国成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球。嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆。若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m，远地点到地心的距离为n，第二次变轨后两距离分别为2m、2n（近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距离地面最远的点），则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率（ ）
A．不变 B. 变小 C. 变大 D.无法确定
题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）
[例4 ] 已知实数满足,求的最大值与最小值
【解题思路】 把看作的函数
【新题导练】
9.已知点是椭圆（，）上两点,且,则=
10.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点则________________
考点3 椭圆的最值问题
题型: 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值
[例5 ]椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为___________．
【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数
【新题导练】
11.椭圆的内接矩形的面积的最大值为
12. 是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，求的最大值与最小值
13.已知点是椭圆上的在第一象限内的点，又、， 是原点，则四边形的面积的最大值是_________．
考点4 椭圆的综合应用
题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题
[例6 ] 已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．
（1）求椭圆方程；
（2）求m的取值范围．
【解题思路】通过，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式
【新题导练】
14.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是 （ ）
A. B.
C. D.
15. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围。
★抢分频道★
基础巩固训练
1. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为( ) A B C D
2.设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，的值为（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
3.椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
4.在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．
5. 已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为 _________.
6.在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= ．
综合提高训练
7、已知椭圆与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率．求椭圆方程。
8.已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求的值。
9.已知长方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点 若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
第2讲 双曲线
★知识梳理★
1. 双曲线的定义：平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为双曲线.
当时, 的轨迹为双曲线;
当时, 的轨迹不存在;
当时, 的轨迹为以为端点的两条射线
2. 双曲线的标准方程与几何性质
标准方程
性质 焦点 ，
焦距
范围
顶点
对称性 关于x轴、y轴和原点对称
离心率
准线
渐近线
与双曲线共渐近线的双曲线系方程为：
与双曲线共轭的双曲线为
等轴双曲线的渐近线方程为 ，离心率为.；
★重难点突破★
重点:了解双曲线的定义、标准方程，会运用定义和会求双曲线的标准方程，能通过方程研究双曲线的几何性质
难点: 双曲线的几何元素与参数之间的转换
重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究双曲线的性质，把握几何元素转换成参数的关系
1.注意定义中“陷阱”
问题1：已知，一曲线上的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为
2.注意焦点的位置
问题2：双曲线的渐近线为，则离心率为
★热点考点题型探析★
考点1 双曲线的定义及标准方程
题型1：运用双曲线的定义
[例1 ]某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)
【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．
【新题导练】
1. P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为（ ）
A． B．12 C． D．24
2.如图所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（ ）
A．9 B．16 C．18 D．27
3. P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（ ）
（A） （B） （C） （D）
题型2 求双曲线的标准方程
[例2 ] 已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程．
【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组
【新题导练】
4.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；
5.以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为_______________.
6.已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C．（x > 0） D．
考点2 双曲线的几何性质
题型1 求离心率或离心率的范围
[例3] 已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为 ．
【解题思路】这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决
【新题导练】
7.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ．
8.已知双曲线的右顶点为E，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A、B两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e是（ ）
A． B．2 C．或2 D．不存在
题型2 与渐近线有关的问题
[例4]若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）
A. B. C. D.
【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通的关系
【新题导练】
9. 双曲线的渐近线方程是 ( )
A. B. C. D.
10.焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
★抢分频道★
基础巩固训练
1. 以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2.已知双曲线的两个焦点为、，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是 （ ）
A． B． C． D．
3.两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
4.设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为( )
A． B．1 C．2 D．不确定
5.已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
(A). (B). (C). (D).
6.曲线与曲线的（ ）
A．焦距相等 B．焦点相同 C．离心率相等 D．以上都不对
综合提高训练
7. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程（2）直线过焦点且垂直于x轴，若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程
8.已知是双曲线的左，右焦点,点是双曲线右支上的一个动点,且的最小值为,双曲线的一条渐近线方程为. 求双曲线的方程;
9.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为.
（Ⅰ）求双曲线C的方程
（Ⅱ）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且（其中为原点），求k的取值范围
10.已知双曲线C：的两个焦点为，点P是双曲线C上的一点，，且．
（1）求双曲线的离心率；
（2）过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于两点，若，，求双曲线C的方程．
第3讲 抛物线
★知识梳理★
1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ()：
标准方程
图形
焦点
准线
范围
对称轴 轴 轴
顶点 （0，0）
离心率
2.抛物线的有关性质
①过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.
②AB为抛物线的焦点弦，则 ，，=
3. 的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）.
★重难点突破★
重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质
难点: 与焦点有关的计算与论证
重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质
1.要有用定义的意识
问题1：抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A. B. C. D. 0
2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向
问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有
3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路”
问题3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切
★热点考点题型探析★
考点1 抛物线的定义
题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换
[例1 ]已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为
【解题思路】将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离
【新题导练】
1.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列， 则有（ ）
A． B．
C． D.
2.已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,M点坐标( )
A. B. C. D.
考点2 抛物线的标准方程
题型:求抛物线的标准方程
[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上
【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.
【新题导练】
3.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值
4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.
能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）
5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程.
考点3 抛物线的几何性质
题型：有关焦点弦的计算与论证
[例3 ]设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为__________.
【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置
【新题导练】
6. 若直线经过抛物线的焦点，则实数
7.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,( )
A. B. C. D.
★抢分频道★
基础巩固训练
1.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（ ）
A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在
2.在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为 （ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3.两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且则抛物线的焦点坐标为( )
A． B． C． D．
4. 如果，，…，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，，…，，F是抛物线的焦点，若成等差数列且，则=（ ）．
A．5 B．6 C． 7 D．9
5、抛物线准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于（ ）
A． B． C． D．
6、设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为 ．
综合提高训练
7.在抛物线上求一点，使该点到直线的距离为最短，求该点的坐标.
8.已知抛物线（为非零常数）的焦点为，点为抛物线上一个动点，过点且与抛物线相切的直线记为．
（1）求的坐标；
（2）当点在何处时，点到直线的距离最小？
9. 设抛物线（）的焦点为 F，经过点 F的直线交抛物线于A、B两点．点 C在抛物线的准线上，且BC∥X轴．求证：直线AC经过原点O．
10.椭圆上有一点M（-4，）在抛物线（p>0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.
（1）求椭圆方程；
（2）若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q距离，求|MN|+|NQ|的最小值.
11.已知抛物线C的一个焦点为F（，0），对应于这个焦点的准线方程为x=-.
（1）写出抛物线C的方程；
（2）过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求△AOB重心G的轨迹方程；
（3）点P是抛物线C上的动点，过点P作圆（x-3）2+y2=2的切线，切点分别是M，N.当P点在何处时，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.
第4讲 圆锥曲线的综合问题
★知识梳理★
1.直线与圆锥曲线C的位置关系
将直线的方程代入曲线C的方程，消去y或者消去x，得到一个关于x（或y）的方程ax2+bx+c=0.
（1）交点个数
①当 a=0或a≠0，⊿=0 时,曲线和直线只有一个交点;
②当 a≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点;
③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点;
(2) 弦长公式：
2.对称问题：
曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）③曲线上两点的中点在对称直线上
3.求动点轨迹方程
①轨迹类型已确定的，一般用待定系数法
②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的，一般用直接法
③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法
★重难点突破★
重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法； 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值
难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题
重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题
1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能
①求弦长时用韦达定理设而不求
②弦中点问题用“点差法”设而不求
2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用
问题1：已知点为椭圆的左焦点，点，动点在椭圆上，则的最小值为
★热点考点题型探析★
考点1 直线与圆锥曲线的位置关系
题型1：交点个数问题
[例1 ] 设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A．[－，] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]
【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法
【新题导练】
1.已知将圆上的每一点的纵坐标压缩到原来的,对应的横坐标不变,得到曲线C；设，平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m≠0),直线与曲线C交于A、B两个不同点.
(1)求曲线的方程；
(2)求m的取值范围.
题型2：与弦中点有关的问题
[例2]已知点A、B的坐标分别是，.直线相交于点M，且它们的斜率之积为－2.
(Ⅰ)求动点M的轨迹方程;
(Ⅱ)若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD的中点，求直线的方程.
【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解
【新题导练】
2.椭圆的弦被点所平分，求此弦所在直线的方程.
3.已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，求此椭圆的离心率
题型3：与弦长有关的问题
[例3]已知直线被抛物线截得的弦长为20，为坐标原点．
（1）求实数的值；
（2）问点位于抛物线弧上何处时，△面积最大？
【解题思路】用“韦达定理”求弦长；考虑△面积的最大值取得的条件
【新题导练】
4.已知椭圆与直线相交于两点．
（1）当椭圆的半焦距，且成等差数列时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，求弦的长度；
考点2：对称问题
题型：对称的几何性质及对称问题的求法（以点的对称为主线，轨迹法为基本方法）
[例４] 已知抛物线y2=2px上有一内接正△AOB，O为坐标原点.
求证：点A、B关于x轴对称；
【新题导练】
５.若直线过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，若A、B关于点M对称，求直线L的方程．
6.在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围.
考点3 圆锥曲线中的范围、最值问题
题型：求某些变量的范围或最值
[例5]已知椭圆与直线相交于两点．当椭圆的离心率满足，且（为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围．
【解题思路】通过“韦达定理”沟通a与e的关系
【新题导练】
７. 已知P是椭圆C：的动点，点关于原点O的对称点是B，若|PB|的最小值为，求点P的横坐标的取值范围。
８. 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．
9.直线m：y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A，B两点，直线过点P（-2，0）和线段AB的中点M，求在y轴上的截距b的取值范围．
10.已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：
（1）求的最小值；
（2）求|PA|+|PB|的最小值和最大值．
考点4 定点，定值的问题
题型：论证曲线过定点及图形（点）在变化过程中存在不变量
[例6] 已知P、Q是椭圆C：上的两个动点，是椭圆上一定点，是其左焦点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；
【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系
【新题导练】
11.已知抛物线C的方程为y=x2-2m2x-(2m2+1) (m∈R)，则抛物线C恒过定点
12.试证明双曲线－=1（a＞0，b＞0）上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数.
考点6 曲线与方程
题型：用几种基本方法求方程
[例7]已知抛物线C： y2=4x，若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；
【解题思路】探求动点满足的几何关系，在转化为方程
【新题导练】
13.点P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，则点M的轨迹方程是 .
14.过双曲线C:的右焦点F作直线l与双曲线C交于P、Q两点，,求点M的轨迹方程．
15.已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为．求动点的轨迹方程；
★抢分频道★
基础巩固训练
1. 已知是三角形的一个内角，且，则方程表示 （ ）
（A）焦点在x轴上椭圆 （B）焦点在y轴上椭圆
（C）焦点在x 轴上双曲线 （D）焦点在y 轴上双曲线
2.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且，则这样的直线有_______条.
3. 已知点F（，直线，点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线
4. 椭圆（为参数）上点到直线的最大距离是 ．
5. 是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是 ．
6. 若双曲线与圆有公共点，则实数的取值范围为
综合提高训练
7. 已知抛物线的弦AB经过点P（4，2）且OA⊥OB（O为坐标原点），弦AB所在直线的方程为
8. 已知椭圆 ，直线l到原点的距离为求证：直线l与椭圆必有两上交点
9. 求过椭圆内一点A（1，1）的弦PQ的中点M的轨迹方程．
10 .已知抛物线．过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B．若,求a的取值范围．
高二数学第三章 圆锥曲线详解答案
第1讲 椭圆
★重难点突破★
问题1[解析]的周长为，=8
问题2[解析]当焦点在轴上时，；
当焦点在轴上时，，综上或3
例1[解析]按小球的运行路径分三种情况:
(1),此时小球经过的路程为2(a－c);
(2), 此时小球经过的路程为2(a+c);
(3)此时小球经过的路程为4a,故选D
【名师指引】考虑小球的运行路径要全面
【新题导练】
1.[解析]C. 长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=12
2.[解析]B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点，，的最小值为10-1-2=7
例2[解析]设椭圆的方程为或，
则，
解之得：，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为或.
【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数的数量关系．
【新题导练】
3.[解析](0,1). 椭圆方程化为+=1. 焦点在y轴上，则>2，即k<1.又k>0，∴04.[解析]当时，，方程表示焦点在y轴上的椭圆，
当时，，方程表示圆心在原点的圆，
当时，，方程表示焦点在x轴上的椭圆
5.[解析] ，，所求方程为+=1或+=1.
例3[解析] ，
，
【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定
（2）只要列出的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）
（3）“焦点三角形”应给予足够关注
【新题导练】
6.[解析]选
7.[解析]由，椭圆的离心率为
8.[解析] ，，选A
例4[解析] 由得,
当时,取得最小值,当时,取得最大值6
【名师指引】注意曲线的范围，才能在求最值时不出差错
【新题导练】
9.[解析] 由知点共线,因椭圆关于原点对称,
10.［解析］由椭圆的对称性知： ．答案：35
例5[解析]在椭圆上任取一点P,设P(). 那么点P到直线l的距离为：
【名师指引】也可以直接设点，用表示后，把动点到直线的距离表示为的函数，关键是要具有“函数思想”
【新题导练】
11.[解析]设内接矩形的一个顶点为，矩形的面积
12.[解析]
当时，取得最大值，当时，取得最小值
13.[解析] 设，则
例6[解析]（1）由题意可知椭圆为焦点在轴上的椭圆，可设
由条件知且，又有，解得
故椭圆的离心率为，其标准方程为：
（2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0
Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*）
x1＋x2＝， x1x2＝
∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴
消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0
m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，
因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－1容易验证k2>2m2－2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）
【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能
【新题导练】
14.[解析] ，选A.
15.解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0）
由题设可得
∴动点P的轨迹方程为，
则
∴曲线E方程为
（2）直线MN的方程为
由
∴方程有两个不等的实数根
∵∠MBN是钝角
即
解得：
又M、B、N三点不共线
综上所述，k的取值范围是
★抢分频道★
1.[解析] B .
2.[解析] A . ， P的纵坐标为，从而P的坐标为，0，
3.[解析] D. ,,两式相减得：，，
4.[解析]
5.[解析] [三角形三边的比是]
6.[解析]
7.[解析]直线l的方程为：
由已知 ①
由 得：
∴，即 ②
由①②得：
故椭圆E方程为
8.[解析]（1）∵点是线段的中点
∴是△的中位线
又∴
∴
∴椭圆的标准方程为=1
（2）∵点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点
∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2
在△ABC中，由正弦定理，
∴＝
9.[解析] (Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为.
设椭圆的标准方程是.
.
椭圆的标准方程是
(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.
设M,N两点的坐标分别为
联立方程:
消去整理得,
有
若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,
所以,,
即
所以,
即
得
所以直线的方程为,或.
所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点.
第2讲 双曲线
★重难点突破★
问题1点拨：一要注意是否满足，二要注意是一支还是两支
的轨迹是双曲线的右支.其方程为
问题2点拨：当焦点在x轴上时，，；当焦点在y轴上时，，
★热点考点题型探析★
例1[解析]以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，
依题意得a=680, c=1020，
用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.
【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”
【新题导练】
1.解析： ①
又②
由①、②解得
直角三角形，
故选B。
2.[解析] ，选C
3.解析设的内切圆的圆心的横坐标为，
由圆的切线性质知，
例2[解析] 解法一：设双曲线方程为－=1.由题意易求c=2.
又双曲线过点（3，2），∴－=1.
又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8.
故所求双曲线的方程为－=1.
解法二：设双曲线方程为－＝1，
将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1.
【名师指引】求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.
【新题导练】
4.[解析]设双曲线方程为，
当时，化为，，
当时，化为，，
综上，双曲线方程为或
5.[解析] 抛物线的焦点为，设双曲线方程为，，双曲线方程为
6[解析]，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B
例3[解析](方法1)由定义知，又已知，解得，，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，当时，解得．即的最大值为．
(方法2) ，
双曲线上存在一点P使，等价于
【名师指引】（1）解法1用余弦定理转化，解法2用定义转化，解法3用焦半径转化；
（2）点P在变化过程中，的范围变化值得探究；
（3）运用不等式知识转化为的齐次式是关键
【新题导练】
7[解析]当时，，，当时，，，或
8[解析]设双曲线的左准线与x轴交于点D,则，，，
例4[解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故，,所以
【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过的比例关系可求离心率,也可求渐近线方程
【新题导练】
9.[解析]选C
10.[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B
★抢分频道★
1.[解析]椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近线的距离为b，选A
2.[解析]由 和得，选A
3.[解析] ，选B
4.[解析] C. 设，，，，
5.[解析] ，选B
6.[解析] 方程的曲线为焦点在x轴的椭圆，方程的曲线为焦点在y轴的双曲线，，故选A
7.[解析]（1）依题意，有，即，即双曲线方程为，故双曲线的渐近线方程是，即，．
（2）设渐近线与直线交于A、B，则，，解得即，又，
双曲线的方程为
8.[解析],
①.的一条渐进线方程为 ②，又 ③
由①②③得
9.解析：（1）设双曲线方程为
由已知得，再由，得
故双曲线的方程为.
（2）将代入得
由直线与双曲线交与不同的两点得
即且. ① 设，则
，由得，
而
.
于是，即解此不等式得 ②
由①+②得
故的取值范围为
10.解析：（1）设，则，∵，∴，
∴．
（2）由（1）知，故，从而双曲线的渐近线方程为，
依题意，可设，
由，得． ①
由，得，解得．
∵点在双曲线上，∴，
又，上式化简得． ②
由①②，得，从而得．故双曲线C的方程为．
第3讲 抛物线
★重难点突破★
问题1点拨：抛物线的标准方程为，准线方程为,由定义知，点M到准线的距离为1，所以点M的纵坐标是
问题2点拨：抛物线的类型一共有4种，经过第一象限的抛物线有2种，故满足条件的抛物线有2条问题问题3点拨：设为抛物线的焦点弦，F为抛物线的焦点，点分别是点在准线上的射影，弦的中点为M，则，点M到准线的距离为，以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切
★热点考点题型探析★
例1[解析]过点P作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，，当P点为抛物线与垂线的交点时，取得最小值，最小值为点Q到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3
【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关
【新题导练】
1.［解析］C 由抛物线定义，即：．
2.[解析] 设M到准线的距离为,则，当最小时，M点坐标是，选C
例2[解析] (1)设所求的抛物线的方程为或,
∵过点(-3,2) ∴
∴
∴抛物线方程为或,
前者的准线方程是后者的准线方程为
(2)令得，令得，
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,
∴，此时抛物线方程;焦点为(0,-2)时
∴，此时抛物线方程.
∴所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是.
【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面
【新题导练】
3.[解析]
4.[解析] 用排除法，由抛物线方程y2=10x可排除①③④，从而②⑤满足条件.
5.[解析] 设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点A的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或
例3［解析］设直线OA方程为,由解出A点坐标为
解出B点坐标为，直线AB方程为,令得，直线AB必过的定点
【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B点坐标可由A点坐标用换k而得。
【新题导练】
6.[解析]-1
7.[解析]C
★抢分频道★
1.[解析]C ，而通径的长为4．
2[解析] B 利用抛物线的定义，点P到准线的距离为5，故点P的纵坐标为4．
3[解析] D.
4[解析]B 根据抛物线的定义，可知（，2，……，n），成等差数列且,,=6
5[解析] C. 过A作x轴的垂线交x轴于点H，设，则，，四边形ABEF的面积=
6[解析]. 过A 作轴于D，令，则即，解得．
7[解析]解法1：设抛物线上的点，
点到直线的距离，
当且仅当时取等号，故所求的点为
解法2：当平行于直线且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为，代入抛物线方程得，
由得，故所求的点为
8解：（1）抛物线方程为
故焦点的坐标为
（2）设
直线的方程是
9证明:因为抛物线（）的焦点为，所以经过点F的直线AB的方程可设为
，代人抛物线方程得
．
若记，，则是该方程的两个根，所以
．
因为BC∥X轴，且点C在准线上，所以点C的坐标为，
故直线CO的斜率为
即也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．
10解析：（1）∵上的点M在抛物线（p>0）的准线l上，抛物线焦点也是椭圆焦点.
∴c=-4，p=8……①
∵M（-4，）在椭圆上
∴……②
∵……③
∴由①②③解得：a=5、b=3
∴椭圆为
由p=8得抛物线为
设椭圆焦点为F（4，0），
由椭圆定义得|NQ|=|NF|
∴|MN|+|NQ|≥|MN|+|NF|=|MF|
=，即为所求的最小值.
11解：（1）抛物线方程为：y2=2x.
（2）①当直线不垂直于x轴时，设方程为y=k(x-)，代入y2=2x，
得：k2x2-(k2+2)x+.
设A（x1，y1），B(x2，y2)，则x1+x2=，y1+y2=k(x1+x2-1)=.
设△AOB的重心为G（x，y）则，
消去k得y2=为所求，
②当直线垂直于x轴时，A（，1），B（，-1），
△AOB的重心G（，0）也满足上述方程.
综合①②得，所求的轨迹方程为y2=，
（3）设已知圆的圆心为Q（3，0），半径r=，
根据圆的性质有：|MN|=2.
当|PQ|2最小时，|MN|取最小值，
设P点坐标为(x0，y0)，则y=2x0.
|PQ|2=（x0-3）2+ y= x-4x0+9=(x0-2)2+5，
∴当x0=2，y0=±2时，|PQ|2取最小值5，
故当P点坐标为（2，±2）时，|MN|取最小值.
第4讲 圆锥曲线的综合问题
★重难点突破★
问题1点拨：设为椭圆的右焦点，利用定义将转化为，在结合图形，用平面几何的知识解决。，当共线时最小，最小值为
★热点考点题型探析★
例1[解析] 易知抛物线的准线与x轴的交点为Q (-2 , 0)，
于是，可设过点Q (-2 , 0)的直线的方程为，
联立
其判别式为，可解得 ，应选C.
【名师指引】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法
（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）
（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论
【新题导练】
1.[解析]（1）设圆上的动点为压缩后对应的点为，则，
代入圆的方程得曲线C的方程：
（2）∵直线平行于OM，且在y轴上的截距为m,又,
∴直线的方程为.
由 , 得
∵直线与椭圆交于A、B两个不同点，
∴
解得.
∴m的取值范围是.
例2[解析] (Ⅰ)设，
因为,所以化简得:
(Ⅱ) 设
当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,其中点不是N,不合题意
设直线的方程为
将代入得
…………(1) …………(2)
(1)-(2)整理得:
直线的方程为
即所求直线的方程为
解法二: 当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,
其中点不是N,不合题意.
故设直线的方程为,将其代入化简得
由韦达定理得,
又由已知N为线段CD的中点,得,解得,
将代入(1)式中可知满足条件.
此时直线的方程为,即所求直线的方程为
【名师指引】通过将C、D的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁
【新题导练】
2.[解析]设弦所在直线与椭圆交于两点，则
，，两式相减得：，
化简得，
把代入得
故所求的直线方程为，即
3.[解析]
设，AB的中点为,
代入椭圆方程得，,
两式相减,得. AB的中点为在直线上，，，而
例3[解析]（1）将代入得，
由△可知，
另一方面，弦长AB，解得；
（2）当时，直线为，要使得内接△ABC面积最大，
则只须使得，
即，即位于（4，4）点处．
【名师指引】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围
【新题导练】
4.[解析]（1）由已知得：，∴
所以椭圆方程为：
（2），由，得
∴
∴ 例4[解析]设，，，，即，
，，，故点A、B关于x轴对称
【名师指引】要抓住对称包含的三个条件：
(1)中点在对称轴上
(2)两个对称点的连线与轴垂直
(3)两点连线与曲线有两个交点(),通过该不等式求范围
【新题导练】
5.[解析] ，设，则
又，，两式相减得：，
化简得，
把代入得
故所求的直线方程为，即
所以直线l的方程为 ：8x-9y+25=0.
6.[解析] （1）当时，曲线上不存在关于直线对称的两点．
（2）当k≠0时，设抛物线y2=4x上关于直线对称的两点，AB的中点为，则直线直线的斜率为直线 ，可设 代入y2=4x得
，
在直线y=kx+3上， ，
代入得即
又恒成立，所以．
综合（1）（2），k的取值范围是（-1，0）
例5[解析]由，得
由，得
此时
由，得，∴
即，故
由，得
∴
由得，∴
所以椭圆长轴长的取值范围为
【名师指引】求范围和最值的方法：
几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题
代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值．
【新题导练】
7.[解析]由，设
，
，，解得或
又或
8.[解析] 设，，
因AB与x轴不平行，故可设AB的方程为，
将它代入得
由得即
，
将代入得
当且仅当即时取等号，此时，
所以，点M 为或时，到y轴的最短距离最小，最小值为．
9.[解析] 由
消去y得：
解得
设M（x0，y0）
则
三点共线
令上为减函数.
10.[解析]（1）最小值为
（2）最大值为10+|BC|=；最小值为10-|BC|=．
例6证明：设知
同理
①当，
从而有
设线段PQ的中点为，
得线段PQ的中垂线方程为
②当
线段PQ的中垂线是x轴，也过点
【名师指引】定点与定值问题的处理一般有两种方法：
（1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关;
（2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）．
【新题导练】
11.[解析](-1,0) [令x=-1得y=0]
12.[解析] 双曲线上任意一点为，
它到两渐近线的距离之积
例7［解析］由抛物线y2=4x,得焦点F(1,0),准线 x=－1
(1)设P(x,y)，则B(2x－1,2y),
椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|=e,
又设点B到l的距离为d,则|BF|∶d=e,
∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即(2x－2)2+(2y)2=2x(2x－2),
化简得P点轨迹方程为y2=x－1(x＞1)
[名师指引] 求曲线方程的方法主要有：直接法、定义法、代入法、参数法，本题用到直接法，但题目条件需要转化
【新题导练】
13.[解析]
14.[解析]右焦点（2，0），设
得，，直线l的斜率
又，，两式相减得化简得，
把，，代入上式得
15.[解析]（1）由条件知，动点的轨迹为椭圆，其中半焦距为，
点P在y轴上时最大，由余弦定理得，动点的轨迹方程．
★抢分频道★
1.[解析] B. 由知，
2.[解析] 3； 垂直于实轴的弦长为4,实轴长为2.
3.[解析]D. [MB=MF]
4.[解析]
5.[解析]≤
6.[解析] []
7.[解析] 12x —23y—2=0 记住结论：
8.[解析] 证明：当直线l垂直x轴时，由题意知：
不妨取代入曲线E的方程得：
即G（，），H（，－）有两个不同的交点，
当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为：
由题意知：
由
∴直线l与椭圆E交于两点
综上，直线l必与椭圆E交于两点
9.［解析］解：设动弦PQ的方程为，设P（），Q（），M（），则： ① ②
①－②得：
当时，
由题意知，即 ③
③式与联立消去k，得 ④
当时，k不存在，此时，，也满足④．
故弦PQ的中点M的轨迹方程为：
10.[解析]直线的方程为，将 ，
得 ．
设直线与抛物线的两个不同交点的坐标为、，
则
又，
∴
．
∵ ，
∴ ．
解得．
O
A
B
C
D
O
x
y
D
P
A
B
C
Q
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
高二数学第三章 圆锥曲线 整理人：邢丞
第1讲 椭圆
★知识梳理★
1. 椭圆定义：平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.
当时, 的轨迹为椭圆 ; ;
当时, 的轨迹不存在;
当时, 的轨迹为 以为端点的线段
2.椭圆的方程与几何性质:
标准方程
性质 参数关系
焦点
焦距
范围
顶点
对称性 关于x轴、y轴和原点对称
离心率
准线
3.点与椭圆的位置关系:
当时,点在椭圆外; 当时,点在椭圆内; 当时,点在椭圆上;
4.直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆相交;直线与椭圆相切;直线与椭圆相离
★重难点突破★
重点:掌握椭圆的定义标准方程，会用定义和求椭圆的标准方程，能通过方程研究椭圆的几何性质及其应用
难点:椭圆的几何元素与参数的转换
重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究椭圆的性质，把握几何元素转换成参数的关系
1.要有用定义的意识
问题1已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=______________。
2.求标准方程要注意焦点的定位
问题2椭圆的离心率为，则
★热点考点题型探析★
考点1 椭圆定义及标准方程
题型1:椭圆定义的运用
[例1 ]椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（ ）
A．4a B．2(a－c) C．2(a+c) D．以上答案均有可能
【新题导练】
1.短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为 （ ）
A.3 B.6 C.12 D.24
2.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ ）
A． 5 B． 7 C ．13 D． 15
题型2 求椭圆的标准方程
[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.
【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来
【新题导练】
3. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.
4.已知方程,讨论方程表示的曲线的形状
5. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.
考点2 椭圆的几何性质
题型1:求椭圆的离心率（或范围）
[例3 ] 在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．
【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率
【新题导练】
6.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为
. . . .
7.已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆的离心率为
8.我国成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球。嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆。若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m，远地点到地心的距离为n，第二次变轨后两距离分别为2m、2n（近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距离地面最远的点），则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率（ ）
A．不变 B. 变小 C. 变大 D.无法确定
题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）
[例4 ] 已知实数满足,求的最大值与最小值
【解题思路】 把看作的函数
【新题导练】
9.已知点是椭圆（，）上两点,且,则=
10.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点则________________
考点3 椭圆的最值问题
题型: 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值
[例5 ]椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为___________．
【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数
【新题导练】
11.椭圆的内接矩形的面积的最大值为
12. 是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，求的最大值与最小值
13.已知点是椭圆上的在第一象限内的点，又、， 是原点，则四边形的面积的最大值是_________．
考点4 椭圆的综合应用
题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题
[例6 ] 已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．
（1）求椭圆方程；
（2）求m的取值范围．
【解题思路】通过，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式
【新题导练】
14.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是 （ ）
A. B.
C. D.
15. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围。
★抢分频道★
基础巩固训练
1. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为( ) A B C D
2.设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，的值为（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
3.椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
4.在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．
5. 已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为 _________.
6.在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= ．
综合提高训练
7、已知椭圆与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率．求椭圆方程。
8.已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求的值。
9.已知长方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点 若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
第2讲 双曲线
★知识梳理★
1. 双曲线的定义：平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为双曲线.
当时, 的轨迹为双曲线;
当时, 的轨迹不存在;
当时, 的轨迹为以为端点的两条射线
2. 双曲线的标准方程与几何性质
标准方程
性质 焦点 ，
焦距
范围
顶点
对称性 关于x轴、y轴和原点对称
离心率
准线
渐近线
与双曲线共渐近线的双曲线系方程为：
与双曲线共轭的双曲线为
等轴双曲线的渐近线方程为 ，离心率为.；
★重难点突破★
重点:了解双曲线的定义、标准方程，会运用定义和会求双曲线的标准方程，能通过方程研究双曲线的几何性质
难点: 双曲线的几何元素与参数之间的转换
重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究双曲线的性质，把握几何元素转换成参数的关系
1.注意定义中“陷阱”
问题1：已知，一曲线上的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为
2.注意焦点的位置
问题2：双曲线的渐近线为，则离心率为
★热点考点题型探析★
考点1 双曲线的定义及标准方程
题型1：运用双曲线的定义
[例1 ]某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)
【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．
【新题导练】
1. P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为（ ）
A． B．12 C． D．24
2.如图所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（ ）
A．9 B．16 C．18 D．27
3. P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（ ）
（A） （B） （C） （D）
题型2 求双曲线的标准方程
[例2 ] 已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程．
【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组
【新题导练】
4.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；
5.以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为_______________.
6.已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C．（x > 0） D．
考点2 双曲线的几何性质
题型1 求离心率或离心率的范围
[例3] 已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为 ．
【解题思路】这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决
【新题导练】
7.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ．
8.已知双曲线的右顶点为E，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A、B两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e是（ ）
A． B．2 C．或2 D．不存在
题型2 与渐近线有关的问题
[例4]若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）
A. B. C. D.
【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通的关系
【新题导练】
9. 双曲线的渐近线方程是 ( )
A. B. C. D.
10.焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
★抢分频道★
基础巩固训练
1. 以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2.已知双曲线的两个焦点为、，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是 （ ）
A． B． C． D．
3.两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
4.设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为( )
A． B．1 C．2 D．不确定
5.已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
(A). (B). (C). (D).
6.曲线与曲线的（ ）
A．焦距相等 B．焦点相同 C．离心率相等 D．以上都不对
综合提高训练
7. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程（2）直线过焦点且垂直于x轴，若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程
8.已知是双曲线的左，右焦点,点是双曲线右支上的一个动点,且的最小值为,双曲线的一条渐近线方程为. 求双曲线的方程;
9.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为.
（Ⅰ）求双曲线C的方程
（Ⅱ）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且（其中为原点），求k的取值范围
10.已知双曲线C：的两个焦点为，点P是双曲线C上的一点，，且．
（1）求双曲线的离心率；
（2）过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于两点，若，，求双曲线C的方程．
第3讲 抛物线
★知识梳理★
1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ()：
标准方程
图形
焦点
准线
范围
对称轴 轴 轴
顶点 （0，0）
离心率
2.抛物线的有关性质
①过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.
②AB为抛物线的焦点弦，则 ，，=
3. 的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）.
★重难点突破★
重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质
难点: 与焦点有关的计算与论证
重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质
1.要有用定义的意识
问题1：抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A. B. C. D. 0
2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向
问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有
3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路”
问题3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切
★热点考点题型探析★
考点1 抛物线的定义
题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换
[例1 ]已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为
【解题思路】将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离
【新题导练】
1.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列， 则有（ ）
A． B．
C． D.
2.已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,M点坐标( )
A. B. C. D.
考点2 抛物线的标准方程
题型:求抛物线的标准方程
[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上
【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.
【新题导练】
3.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值
4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.
能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）
5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程.
考点3 抛物线的几何性质
题型：有关焦点弦的计算与论证
[例3 ]设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为__________.
【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置
【新题导练】
6. 若直线经过抛物线的焦点，则实数
7.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,( )
A. B. C. D.
★抢分频道★
基础巩固训练
1.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（ ）
A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在
2.在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为 （ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3.两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且则抛物线的焦点坐标为( )
A． B． C． D．
4. 如果，，…，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，，…，，F是抛物线的焦点，若成等差数列且，则=（ ）．
A．5 B．6 C． 7 D．9
5、抛物线准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于（ ）
A． B． C． D．
6、设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为 ．
综合提高训练
7.在抛物线上求一点，使该点到直线的距离为最短，求该点的坐标.
8.已知抛物线（为非零常数）的焦点为，点为抛物线上一个动点，过点且与抛物线相切的直线记为．
（1）求的坐标；
（2）当点在何处时，点到直线的距离最小？
9. 设抛物线（）的焦点为 F，经过点 F的直线交抛物线于A、B两点．点 C在抛物线的准线上，且BC∥X轴．求证：直线AC经过原点O．
10.椭圆上有一点M（-4，）在抛物线（p>0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.
（1）求椭圆方程；
（2）若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q距离，求|MN|+|NQ|的最小值.
11.已知抛物线C的一个焦点为F（，0），对应于这个焦点的准线方程为x=-.
（1）写出抛物线C的方程；
（2）过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求△AOB重心G的轨迹方程；
（3）点P是抛物线C上的动点，过点P作圆（x-3）2+y2=2的切线，切点分别是M，N.当P点在何处时，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.
第4讲 圆锥曲线的综合问题
★知识梳理★
1.直线与圆锥曲线C的位置关系
将直线的方程代入曲线C的方程，消去y或者消去x，得到一个关于x（或y）的方程ax2+bx+c=0.
（1）交点个数
①当 a=0或a≠0，⊿=0 时,曲线和直线只有一个交点;
②当 a≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点;
③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点;
(2) 弦长公式：
2.对称问题：
曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）③曲线上两点的中点在对称直线上
3.求动点轨迹方程
①轨迹类型已确定的，一般用待定系数法
②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的，一般用直接法
③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法
★重难点突破★
重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法； 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值
难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题
重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题
1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能
①求弦长时用韦达定理设而不求
②弦中点问题用“点差法”设而不求
2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用
问题1：已知点为椭圆的左焦点，点，动点在椭圆上，则的最小值为
★热点考点题型探析★
考点1 直线与圆锥曲线的位置关系
题型1：交点个数问题
[例1 ] 设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A．[－，] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]
【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法
【新题导练】
1.已知将圆上的每一点的纵坐标压缩到原来的,对应的横坐标不变,得到曲线C；设，平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m≠0),直线与曲线C交于A、B两个不同点.
(1)求曲线的方程；
(2)求m的取值范围.
题型2：与弦中点有关的问题
[例2]已知点A、B的坐标分别是，.直线相交于点M，且它们的斜率之积为－2.
(Ⅰ)求动点M的轨迹方程;
(Ⅱ)若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD的中点，求直线的方程.
【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解
【新题导练】
2.椭圆的弦被点所平分，求此弦所在直线的方程.
3.已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，求此椭圆的离心率
题型3：与弦长有关的问题
[例3]已知直线被抛物线截得的弦长为20，为坐标原点．
（1）求实数的值；
（2）问点位于抛物线弧上何处时，△面积最大？
【解题思路】用“韦达定理”求弦长；考虑△面积的最大值取得的条件
【新题导练】
4.已知椭圆与直线相交于两点．
（1）当椭圆的半焦距，且成等差数列时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，求弦的长度；
考点2：对称问题
题型：对称的几何性质及对称问题的求法（以点的对称为主线，轨迹法为基本方法）
[例４] 已知抛物线y2=2px上有一内接正△AOB，O为坐标原点.
求证：点A、B关于x轴对称；
【新题导练】
５.若直线过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，若A、B关于点M对称，求直线L的方程．
6.在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围.
考点3 圆锥曲线中的范围、最值问题
题型：求某些变量的范围或最值
[例5]已知椭圆与直线相交于两点．当椭圆的离心率满足，且（为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围．
【解题思路】通过“韦达定理”沟通a与e的关系
【新题导练】
７. 已知P是椭圆C：的动点，点关于原点O的对称点是B，若|PB|的最小值为，求点P的横坐标的取值范围。
８. 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．
9.直线m：y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A，B两点，直线过点P（-2，0）和线段AB的中点M，求在y轴上的截距b的取值范围．
10.已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：
（1）求的最小值；
（2）求|PA|+|PB|的最小值和最大值．
考点4 定点，定值的问题
题型：论证曲线过定点及图形（点）在变化过程中存在不变量
[例6] 已知P、Q是椭圆C：上的两个动点，是椭圆上一定点，是其左焦点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；
【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系
【新题导练】
11.已知抛物线C的方程为y=x2-2m2x-(2m2+1) (m∈R)，则抛物线C恒过定点
12.试证明双曲线－=1（a＞0，b＞0）上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数.
考点6 曲线与方程
题型：用几种基本方法求方程
[例7]已知抛物线C： y2=4x，若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；
【解题思路】探求动点满足的几何关系，在转化为方程
【新题导练】
13.点P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，则点M的轨迹方程是 .
14.过双曲线C:的右焦点F作直线l与双曲线C交于P、Q两点，,求点M的轨迹方程．
15.已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为．求动点的轨迹方程；
★抢分频道★
基础巩固训练
1. 已知是三角形的一个内角，且，则方程表示 （ ）
（A）焦点在x轴上椭圆 （B）焦点在y轴上椭圆
（C）焦点在x 轴上双曲线 （D）焦点在y 轴上双曲线
2.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且，则这样的直线有_______条.
3. 已知点F（，直线，点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线
4. 椭圆（为参数）上点到直线的最大距离是 ．
5. 是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是 ．
6. 若双曲线与圆有公共点，则实数的取值范围为
综合提高训练
7. 已知抛物线的弦AB经过点P（4，2）且OA⊥OB（O为坐标原点），弦AB所在直线的方程为
8. 已知椭圆 ，直线l到原点的距离为求证：直线l与椭圆必有两上交点
9. 求过椭圆内一点A（1，1）的弦PQ的中点M的轨迹方程．
10 .已知抛物线．过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B．若,求a的取值范围．
高二数学第三章 圆锥曲线详解答案
第1讲 椭圆
★重难点突破★
问题1[解析]的周长为，=8
问题2[解析]当焦点在轴上时，；
当焦点在轴上时，，综上或3
例1[解析]按小球的运行路径分三种情况:
(1),此时小球经过的路程为2(a－c);
(2), 此时小球经过的路程为2(a+c);
(3)此时小球经过的路程为4a,故选D
【名师指引】考虑小球的运行路径要全面
【新题导练】
1.[解析]C. 长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=12
2.[解析]B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点，，的最小值为10-1-2=7
例2[解析]设椭圆的方程为或，
则，
解之得：，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为或.
【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数的数量关系．
【新题导练】
3.[解析](0,1). 椭圆方程化为+=1. 焦点在y轴上，则>2，即k<1.又k>0，∴0
当时，，方程表示圆心在原点的圆，
当时，，方程表示焦点在x轴上的椭圆
5.[解析] ，，所求方程为+=1或+=1.
例3[解析] ，
，
【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定
（2）只要列出的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）
（3）“焦点三角形”应给予足够关注
【新题导练】
6.[解析]选
7.[解析]由，椭圆的离心率为
8.[解析] ，，选A
例4[解析] 由得,
当时,取得最小值,当时,取得最大值6
【名师指引】注意曲线的范围，才能在求最值时不出差错
【新题导练】
9.[解析] 由知点共线,因椭圆关于原点对称,
10.［解析］由椭圆的对称性知： ．答案：35
例5[解析]在椭圆上任取一点P,设P(). 那么点P到直线l的距离为：
【名师指引】也可以直接设点，用表示后，把动点到直线的距离表示为的函数，关键是要具有“函数思想”
【新题导练】
11.[解析]设内接矩形的一个顶点为，矩形的面积
12.[解析]
当时，取得最大值，当时，取得最小值
13.[解析] 设，则
例6[解析]（1）由题意可知椭圆为焦点在轴上的椭圆，可设
由条件知且，又有，解得
故椭圆的离心率为，其标准方程为：
（2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0
Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*）
x1＋x2＝， x1x2＝
∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴
消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0
m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，
因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－1
即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）
【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能
【新题导练】
14.[解析] ，选A.
15.解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0）
由题设可得
∴动点P的轨迹方程为，
则
∴曲线E方程为
（2）直线MN的方程为
由
∴方程有两个不等的实数根
∵∠MBN是钝角
即
解得：
又M、B、N三点不共线
综上所述，k的取值范围是
★抢分频道★
1.[解析] B .
2.[解析] A . ， P的纵坐标为，从而P的坐标为，0，
3.[解析] D. ,,两式相减得：，，
4.[解析]
5.[解析] [三角形三边的比是]
6.[解析]
7.[解析]直线l的方程为：
由已知 ①
由 得：
∴，即 ②
由①②得：
故椭圆E方程为
8.[解析]（1）∵点是线段的中点
∴是△的中位线
又∴
∴
∴椭圆的标准方程为=1
（2）∵点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点
∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2
在△ABC中，由正弦定理，
∴＝
9.[解析] (Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为.
设椭圆的标准方程是.
.
椭圆的标准方程是
(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.
设M,N两点的坐标分别为
联立方程:
消去整理得,
有
若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,
所以,,
即
所以,
即
得
所以直线的方程为,或.
所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点.
第2讲 双曲线
★重难点突破★
问题1点拨：一要注意是否满足，二要注意是一支还是两支
的轨迹是双曲线的右支.其方程为
问题2点拨：当焦点在x轴上时，，；当焦点在y轴上时，，
★热点考点题型探析★
例1[解析]以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，
依题意得a=680, c=1020，
用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.
【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”
【新题导练】
1.解析： ①
又②
由①、②解得
直角三角形，
故选B。
2.[解析] ，选C
3.解析设的内切圆的圆心的横坐标为，
由圆的切线性质知，
例2[解析] 解法一：设双曲线方程为－=1.由题意易求c=2.
又双曲线过点（3，2），∴－=1.
又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8.
故所求双曲线的方程为－=1.
解法二：设双曲线方程为－＝1，
将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1.
【名师指引】求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.
【新题导练】
4.[解析]设双曲线方程为，
当时，化为，，
当时，化为，，
综上，双曲线方程为或
5.[解析] 抛物线的焦点为，设双曲线方程为，，双曲线方程为
6[解析]，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B
例3[解析](方法1)由定义知，又已知，解得，，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，当时，解得．即的最大值为．
(方法2) ，
双曲线上存在一点P使，等价于
【名师指引】（1）解法1用余弦定理转化，解法2用定义转化，解法3用焦半径转化；
（2）点P在变化过程中，的范围变化值得探究；
（3）运用不等式知识转化为的齐次式是关键
【新题导练】
7[解析]当时，，，当时，，，或
8[解析]设双曲线的左准线与x轴交于点D,则，，，
例4[解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故，,所以
【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过的比例关系可求离心率,也可求渐近线方程
【新题导练】
9.[解析]选C
10.[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B
★抢分频道★
1.[解析]椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近线的距离为b，选A
2.[解析]由 和得，选A
3.[解析] ，选B
4.[解析] C. 设，，，，
5.[解析] ，选B
6.[解析] 方程的曲线为焦点在x轴的椭圆，方程的曲线为焦点在y轴的双曲线，，故选A
7.[解析]（1）依题意，有，即，即双曲线方程为，故双曲线的渐近线方程是，即，．
（2）设渐近线与直线交于A、B，则，，解得即，又，
双曲线的方程为
8.[解析],
①.的一条渐进线方程为 ②，又 ③
由①②③得
9.解析：（1）设双曲线方程为
由已知得，再由，得
故双曲线的方程为.
（2）将代入得
由直线与双曲线交与不同的两点得
即且. ① 设，则
，由得，
而
.
于是，即解此不等式得 ②
由①+②得
故的取值范围为
10.解析：（1）设，则，∵，∴，
∴．
（2）由（1）知，故，从而双曲线的渐近线方程为，
依题意，可设，
由，得． ①
由，得，解得．
∵点在双曲线上，∴，
又，上式化简得． ②
由①②，得，从而得．故双曲线C的方程为．
第3讲 抛物线
★重难点突破★
问题1点拨：抛物线的标准方程为，准线方程为,由定义知，点M到准线的距离为1，所以点M的纵坐标是
问题2点拨：抛物线的类型一共有4种，经过第一象限的抛物线有2种，故满足条件的抛物线有2条问题问题3点拨：设为抛物线的焦点弦，F为抛物线的焦点，点分别是点在准线上的射影，弦的中点为M，则，点M到准线的距离为，以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切
★热点考点题型探析★
例1[解析]过点P作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，，当P点为抛物线与垂线的交点时，取得最小值，最小值为点Q到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3
【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关
【新题导练】
1.［解析］C 由抛物线定义，即：．
2.[解析] 设M到准线的距离为,则，当最小时，M点坐标是，选C
例2[解析] (1)设所求的抛物线的方程为或,
∵过点(-3,2) ∴
∴
∴抛物线方程为或,
前者的准线方程是后者的准线方程为
(2)令得，令得，
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,
∴，此时抛物线方程;焦点为(0,-2)时
∴，此时抛物线方程.
∴所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是.
【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面
【新题导练】
3.[解析]
4.[解析] 用排除法，由抛物线方程y2=10x可排除①③④，从而②⑤满足条件.
5.[解析] 设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点A的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或
例3［解析］设直线OA方程为,由解出A点坐标为
解出B点坐标为，直线AB方程为,令得，直线AB必过的定点
【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B点坐标可由A点坐标用换k而得。
【新题导练】
6.[解析]-1
7.[解析]C
★抢分频道★
1.[解析]C ，而通径的长为4．
2[解析] B 利用抛物线的定义，点P到准线的距离为5，故点P的纵坐标为4．
3[解析] D.
4[解析]B 根据抛物线的定义，可知（，2，……，n），成等差数列且,,=6
5[解析] C. 过A作x轴的垂线交x轴于点H，设，则，，四边形ABEF的面积=
6[解析]. 过A 作轴于D，令，则即，解得．
7[解析]解法1：设抛物线上的点，
点到直线的距离，
当且仅当时取等号，故所求的点为
解法2：当平行于直线且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为，代入抛物线方程得，
由得，故所求的点为
8解：（1）抛物线方程为
故焦点的坐标为
（2）设
直线的方程是
9证明:因为抛物线（）的焦点为，所以经过点F的直线AB的方程可设为
，代人抛物线方程得
．
若记，，则是该方程的两个根，所以
．
因为BC∥X轴，且点C在准线上，所以点C的坐标为，
故直线CO的斜率为
即也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．
10解析：（1）∵上的点M在抛物线（p>0）的准线l上，抛物线焦点也是椭圆焦点.
∴c=-4，p=8……①
∵M（-4，）在椭圆上
∴……②
∵……③
∴由①②③解得：a=5、b=3
∴椭圆为
由p=8得抛物线为
设椭圆焦点为F（4，0），
由椭圆定义得|NQ|=|NF|
∴|MN|+|NQ|≥|MN|+|NF|=|MF|
=，即为所求的最小值.
11解：（1）抛物线方程为：y2=2x.
（2）①当直线不垂直于x轴时，设方程为y=k(x-)，代入y2=2x，
得：k2x2-(k2+2)x+.
设A（x1，y1），B(x2，y2)，则x1+x2=，y1+y2=k(x1+x2-1)=.
设△AOB的重心为G（x，y）则，
消去k得y2=为所求，
②当直线垂直于x轴时，A（，1），B（，-1），
△AOB的重心G（，0）也满足上述方程.
综合①②得，所求的轨迹方程为y2=，
（3）设已知圆的圆心为Q（3，0），半径r=，
根据圆的性质有：|MN|=2.
当|PQ|2最小时，|MN|取最小值，
设P点坐标为(x0，y0)，则y=2x0.
|PQ|2=（x0-3）2+ y= x-4x0+9=(x0-2)2+5，
∴当x0=2，y0=±2时，|PQ|2取最小值5，
故当P点坐标为（2，±2）时，|MN|取最小值.
第4讲 圆锥曲线的综合问题
★重难点突破★
问题1点拨：设为椭圆的右焦点，利用定义将转化为，在结合图形，用平面几何的知识解决。，当共线时最小，最小值为
★热点考点题型探析★
例1[解析] 易知抛物线的准线与x轴的交点为Q (-2 , 0)，
于是，可设过点Q (-2 , 0)的直线的方程为，
联立
其判别式为，可解得 ，应选C.
【名师指引】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法
（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）
（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论
【新题导练】
1.[解析]（1）设圆上的动点为压缩后对应的点为，则，
代入圆的方程得曲线C的方程：
（2）∵直线平行于OM，且在y轴上的截距为m,又,
∴直线的方程为.
由 , 得
∵直线与椭圆交于A、B两个不同点，
∴
解得.
∴m的取值范围是.
例2[解析] (Ⅰ)设，
因为,所以化简得:
(Ⅱ) 设
当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,其中点不是N,不合题意
设直线的方程为
将代入得
…………(1) …………(2)
(1)-(2)整理得:
直线的方程为
即所求直线的方程为
解法二: 当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,
其中点不是N,不合题意.
故设直线的方程为,将其代入化简得
由韦达定理得,
又由已知N为线段CD的中点,得,解得,
将代入(1)式中可知满足条件.
此时直线的方程为,即所求直线的方程为
【名师指引】通过将C、D的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁
【新题导练】
2.[解析]设弦所在直线与椭圆交于两点，则
，，两式相减得：，
化简得，
把代入得
故所求的直线方程为，即
3.[解析]
设，AB的中点为,
代入椭圆方程得，,
两式相减,得. AB的中点为在直线上，，，而
例3[解析]（1）将代入得，
由△可知，
另一方面，弦长AB，解得；
（2）当时，直线为，要使得内接△ABC面积最大，
则只须使得，
即，即位于（4，4）点处．
【名师指引】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围
【新题导练】
4.[解析]（1）由已知得：，∴
所以椭圆方程为：
（2），由，得
∴
∴ 例4[解析]设，，，，即，
，，，故点A、B关于x轴对称
【名师指引】要抓住对称包含的三个条件：
(1)中点在对称轴上
(2)两个对称点的连线与轴垂直
(3)两点连线与曲线有两个交点(),通过该不等式求范围
【新题导练】
5.[解析] ，设，则
又，，两式相减得：，
化简得，
把代入得
故所求的直线方程为，即
所以直线l的方程为 ：8x-9y+25=0.
6.[解析] （1）当时，曲线上不存在关于直线对称的两点．
（2）当k≠0时，设抛物线y2=4x上关于直线对称的两点，AB的中点为，则直线直线的斜率为直线 ，可设 代入y2=4x得
，
在直线y=kx+3上， ，
代入得即
又恒成立，所以．
综合（1）（2），k的取值范围是（-1，0）
例5[解析]由，得
由，得
此时
由，得，∴
即，故
由，得
∴
由得，∴
所以椭圆长轴长的取值范围为
【名师指引】求范围和最值的方法：
几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题
代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值．
【新题导练】
7.[解析]由，设
，
，，解得或
又或
8.[解析] 设，，
因AB与x轴不平行，故可设AB的方程为，
将它代入得
由得即
，
将代入得
当且仅当即时取等号，此时，
所以，点M 为或时，到y轴的最短距离最小，最小值为．
9.[解析] 由
消去y得：
解得
设M（x0，y0）
则
三点共线
令上为减函数.
10.[解析]（1）最小值为
（2）最大值为10+|BC|=；最小值为10-|BC|=．
例6证明：设知
同理
①当，
从而有
设线段PQ的中点为，
得线段PQ的中垂线方程为
②当
线段PQ的中垂线是x轴，也过点
【名师指引】定点与定值问题的处理一般有两种方法：
（1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关;
（2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）．
【新题导练】
11.[解析](-1,0) [令x=-1得y=0]
12.[解析] 双曲线上任意一点为，
它到两渐近线的距离之积
例7［解析］由抛物线y2=4x,得焦点F(1,0),准线 x=－1
(1)设P(x,y)，则B(2x－1,2y),
椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|=e,
又设点B到l的距离为d,则|BF|∶d=e,
∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即(2x－2)2+(2y)2=2x(2x－2),
化简得P点轨迹方程为y2=x－1(x＞1)
[名师指引] 求曲线方程的方法主要有：直接法、定义法、代入法、参数法，本题用到直接法，但题目条件需要转化
【新题导练】
13.[解析]
14.[解析]右焦点（2，0），设
得，，直线l的斜率
又，，两式相减得化简得，
把，，代入上式得
15.[解析]（1）由条件知，动点的轨迹为椭圆，其中半焦距为，
点P在y轴上时最大，由余弦定理得，动点的轨迹方程．
★抢分频道★
1.[解析] B. 由知，
2.[解析] 3； 垂直于实轴的弦长为4,实轴长为2.
3.[解析]D. [MB=MF]
4.[解析]
5.[解析]≤
6.[解析] []
7.[解析] 12x —23y—2=0 记住结论：
8.[解析] 证明：当直线l垂直x轴时，由题意知：
不妨取代入曲线E的方程得：
即G（，），H（，－）有两个不同的交点，
当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为：
由题意知：
由
∴直线l与椭圆E交于两点
综上，直线l必与椭圆E交于两点
9.［解析］解：设动弦PQ的方程为，设P（），Q（），M（），则： ① ②
①－②得：
当时，
由题意知，即 ③
③式与联立消去k，得 ④
当时，k不存在，此时，，也满足④．
故弦PQ的中点M的轨迹方程为：
10.[解析]直线的方程为，将 ，
得 ．
设直线与抛物线的两个不同交点的坐标为、，
则
又，
∴
．
∵ ，
∴ ．
解得．
O
A
B
C
D
O
x
y
D
P
A
B
C
Q
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网