高二数学第六章 数系的扩充与复数的引入

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高二数学第六章 数系的扩充与复数的引入 整理人：邢丞
第1讲 复数的的概念
★知识梳理★
1．复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示
2．复数的代数形式: 复数通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式.
3．复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数
4．复数集与其它数集之间的关系：
5．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果，，，，那么,
6．复数的模：设=,则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记作.
(1)；
(2)=；
(3)；
7．共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数.
★重难点突破★
1.重点：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)
2.难点：复数的有关概念的应用
3.重难点：.
(1) 复数与实数的区别.
问题1: 判断下列命题是否正确
(1)若, 则
(2)若且，则
(3)若，则
点拨：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正
确的
(2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复
数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的.
(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的
前提条件.
正解：(1)错，反例设则
(2)错，反例设，，满足，但
不能比较大小.
(3)错，，，故，都是虚数，不能比较大小.
（2）正确理解复数的相关概念
问题2: 两个共扼复数的差是（ ）
.实数 .纯虚数 .零 .零或纯虚数
点拨:当得到时就错误的选B，忽略了b可以为零的条件.
正解：设互为共扼的两复数分别为及则 或
当时，，为纯虚数
当时，，，因此应选D.
★热点考点题型探析★
考点一：复数的概念
题型1.考查基本概念
[例1]下面四个命题
(1) 比大
(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数
(3) 的充要条件为
(4)如果让实数与对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，其中正确的命题个数是（ ）
A. B. C. D.
[例2] 实数分别取什么值时，复数是 (1)实数；(2)虚数;(3)纯虚数.
【新题导练】
1．如果复数为纯虚数，那么实数的值为（ ）.
A．－2 B．1 C．2 D．1或 －2
2．计算： （表示虚数单位）
题型2.与模相关的问题
[例3]设复数满足，则=（ ）
A． B． C． D．
【新题导练】
3.设复数满足,且是纯虚数,求.
4．复数z1=a+｜b｜i，z2=c+｜d｜i(a、b、c、d∈R)，则z1=z2的充要条件是__ ____.
★抢分频道★
基础巩固训练
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( )
A. B. C. 为实数 D. 为实数
3.设则的关系是( )
A. B. C. D. 无法确定
4.已知集合的元素个数是( )
A. B. C. D. 无数个
5．设i为虚数单位，则展开式中的第三项为（ ）
A 　　B C 30 D
6.若，其中是虚数单位，则a＋b＝__________
综合拔高训练
7．如果是虚数，则中是虚数的有 个，是实数的有 个，相等的有 组
8．计算
9．已知复数z1满足(1+i)z1=－1+5i, z2=a－2－i, 其中i为虚数单位,a∈R, 若<,求a的取值范围.
10．已知复数满足: 求的值
第2讲 复数的运算
★知识梳理★
1．复数与的和的定义：
2．复数与的差的定义：
3．乘法运算规则：
设，(、、、)是任意两个复数，那么它们的积
4．复数除法定义：满足的复数(、)叫复数除以复数的商，记为：或者
则
5．复数加、减法的几何意义
(1)加法的几何意义
复数 是以、为两邻边的平行四边形对角线所对应的复数.
(2)复数减法的几何意义
复数是连接向量、的终点，并指向被减数的向量所对应的复数.
6. 重要结论
（1） 对复数z 、、和自然数m、n，有
，，
(2) ，，，；
，，，.
(3) ，，.
(4)设，，，，，
★重难点突破★
1.重点：掌握复数的运算法则，复数加减法的几何意义及应用
2.难点：复数相关问题的综合应用
3.重难点：.
(1) 不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来
问题1: 判断下面的命题： (1)；(2)；(3)；
(4)； (5)
解析：当时，不总是成立的. (1)；
(2)； (3)；
(4)； (5)
点拨：充分注意实数运算与复数运算的区别。
（2）没有掌握虚数单位整数幂的运算结果的周期性
问题2：求值：
原式= =
=
点拨：虚数单位整数幂的值具有以4为周期的特点，根据必须按被4整除余数为0、1、2、3四种情况进行分类讨论.
（3）注意运用共轭复数的性质
问题3: 已知，求的值
点拨：对于，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会.
★热点考点题型探析★
考点一：复数的四则运算
题型1. 利用复数四则运算求值
[例1] ( )
A． B． C． D．
[例2]设ω=－+i,A={x|x=ωk+ω－k,k∈Z},则集合A中的元素有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【新题导练】
1．（ ）．
A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．
2．求复数（ ）
（A） （B） （C） （D）
考点二: 复数加减法几何意义的应用
题型1: 复数及其运算的几何意义
[例3]复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
[例4] 满足条件的点的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆
【新题导练】
3．复数，，则复数在复平面内对应的点位于（　 　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．满足条件|z-i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是( )
A ．一条直线 　　B ．两条直线 　C． 圆 　　　　　D． 椭圆
★抢分频道★
基础巩固训练
1.若复数（，为虚数单位）是纯虚数,则实数的值为 （ ）
A、-6 B、13 C. D.
2.定义运算，则符合条件的复数对应的点在（ ）
A．第一象限； B．第二象限； C．第三象限； D．第四象限；
3．若（i为虚数单位），则使的值可能是（ ）
A．0 B． C． D．
4．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
5.的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
6．虚数（x－2）+ y其中x、y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是（ ）
A．[－，] B．∪（
C．[－，] D．[－，0∪（0，
综合拔高训练
7．复数的虚部是 .
8．复平面内，已知复数z=x－i所对应的点都在单位圆内，则实数x的取值范围是__________.
9．已知复数z=x+yi (x,y∈R, x≥), 满足|z-1|= x , 求z在复平面上对应的点(x,y)的轨迹.
10．已知z= (a>0,a∈R),复数ω=z(z+i)的虚部减去它的实部所得的差是，求复数ω.
第六章 数系的扩充与复数的引入 综合检测卷
一、选择题（每小题5分，共40分）
1.已知z1=2－i,z2=1+3i，则复数的虚部为（ ）
A.1 B.－1 C.i D.－i
2．(1－i)2·i等于（ ）
A.2－2i B.2+2i C.－2 D.2
3．复数z1=3+i,z2=1－i，则z=z1·z2在复平面内的对应点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4．已知复数z与(z+2)2－8i均是纯虚数,则z等于（ ）
A.2i B.－2i C.i D.－i
5．定义：.若复数满足，则等于
A. B. C. D.
6．，若 则的值是（ ）
A．2i 　 　B．　　　 C． 　　 D．
7．设复数，则展开式的第五项是（ ）
A．-2i B．-21i C．35 D．-35i
8．设f(n)=()n+()n,n∈N,如果A{f(n)},则满足条件的集合A有（ ）
A.8个 B.7个 C.3个 D.无穷多个
二、填空题（第小题5分，共30分，其中13~15是选做题，选做两题）
9．的值等于__________.
10．若，其中是虚数单位，则a＋b＝__________
11．已知复数z = (1 – i)(2 – i)，则| z |的值是 ．
12．已知实数x，y满足条件，（为虚数单位），则的最小值是 ．
13.设z=log2(m2-3m-3)+i log2(m-3) (m∈R), 若z对应点在直线x-2y+1=0上, 则m的值是 .
14.若a≥0, 且z|z|+az+i=0, 则复数z =
15.若t∈R, t≠-1, t≠0时,复数z =的模的取值范围是 .
三、解答题（共80分）
16.（本题满分13分）已知复数(2k2－3k－2)+(k2－k)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数k的取值范围.
17．（本题满分13分）已知集合A={z||z-2|≤2}，B=|z|z=z1i+b，z1∈A，b∈R}．
（1）若A∩B=Φ，求b的取值范围；
（2）若A∩B=B，求b的值．
18．（本题满分13分）已知复平面上正方形的三个顶点是A（1，2）、B（－2，1）、C（－1，－2），求它的第四个顶点D对应的复数.
19．（本题满分14分）已知z= (a>0,a∈R),复数ω=z(z+i)的虚部减去它的实部所得的差是，求复数ω.
20．（本题满分14分）在复数范围内解方程(i为虚数单位).
21．（本题满分12分）若虚数z同时满足下列两个条件：
①z+是实数；
②z+3的实部与虚部互为相反数.
这样的虚数是否存在？若存在，求出z;若不存在，请说明理由.
高二数学第六章 数系的扩充与复数的引入详解答案
第一讲
例1：答案：A
(1) 比大，实数与虚数不能比较大小；
（2）两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数；
（3）的充要条件为是错误的，因为没有表明是否是实数；
（4）当时，没有纯虚数和它对应
例2 解析：实部，虚部.
（1）当 时，是实数；（2）当 ，且 时，是虚数；
（3） 当 或 时是纯虚数．
【新题导练】
1.解析： 即 ，故选择答案A
2.答案：95＋2i
解析：用好的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1
例3.解析：
，所以，代入①得，故选．
解法3：选择支中的复数的模均为，又，而方程右边为2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数z的实部，虚部也必须为正，故选择B．
【新题导练】
3.解析：设，由得；
是纯虚数，则
，
4.答案：a=c且b2=d2
解析：z1=z2a=c且b2=d2.
【抢分频道】
1.答案：D ，虚部为
2.答案：B ；，反之不行，例如；为实数不能推出
，例如；对于任何，都是实数
3.答案：A
4.答案：B 9.解: 由题意得 z1==2+3i,于是==,=.
<,得a2－8a+7<0, 解得15.解析：在展开式中，，故选D.
6.答案：3
7.答案： 四个为虚数；五个为实数；
三组相等
8.答案：
记
9.解: 由题意得 z1==2+3i,于是==,=.
<,得a2－8a+7<0, 解得110.解：设，而即
则
第二讲
例1解析：， 故选C
例2解析：设ω=－+i,则ω3k=1,ω3k+1=ω,ω3k+2=(k∈Z),
①当k=3n,n∈Z时，x=1+1=2;
②当k=3n+1,n∈Z时，x=ω+=ω+ω2=ω+=－1;
③当k=3n+2,n∈Z时，x=ω2+=ω2+ω=－1 答案: B
【新题导练】
1.答案：C
2.【解】： 故选C；
例3[解题思路]：，，
解析：B
例4[解题思路]：如果把看作动点Z到定点（0，2）的距离，由上式表示到两个定点（0，2）与（-1，0）的距离之和为常数 动点的轨迹符合椭圆的定义，但是，有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数.
解析：点（0，2）与（-1，0）间的距离为，
动点在两定点（0，-2）与（-1，0）之间，选C
【新题导练】
3.答案：A
4.答案： |3+4i|=5满足条件|z-i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是圆心为（0，1），半径为5的圆。故选C
【抢分频道】
1.答案：A
2.答案：A
3.答案：将各选项代入检验易得答案选B.
4.答案：C
5.答案：B
6.答案：B ∵, 设k =,则k为过圆（x－2）2 + y2 = 1上点及原点的直线斜率，作图如下, k≤,又∵y≠0 ,∴k≠0.由对称性 选B．
http://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com / )7.答案：
8.解:∵z对应的点z(x,－)都在单位圆内， ∴|Oz|<1,即<1.
∴x2+<1.∴x2<. ∴－.
9.解：已知复数z=x+yi (x,y∈R, x≥), 满足|z-1|= x , 即
那么z在复平面上对应的点(x,y)的轨迹是抛物线
10.解:把z=代入,得ω=(+i)
=()=(1+ai).
于是·a－，即a2=4.
∵a>0,∴a=2,ω=+3i.
第三章 数系的扩充与复数的引入
1.答案: C解：=i.
2.答案:D解:(1－i)2·i=(1－2i+i2)·i=(1－2i－1)·i=－2i·i=(－2)×(－1)=2.
3.答案: D解:z1·z2=(3+i)·(1－i)=4－2i.
4.答案:B解:设z=bi(b∈R且b≠0),则(z+2)2－8i=(bi+2)2－8i=b2i2+4bi+4－8i=(4－b2)+(4b－8)i.∴∴ ∴b=－2.∴z=－2i.
5.答案：A
6.答案：A
7.答案：C
8.答案: A 解:∵f(n)=( )n+()n=in+(－i)n(n∈N)=
∴{f(n)}={0,2,－2}.∵A{f(n)}={0,2,－2},
∴A的个数是23=8.
9.解: =2+3i.
10.答案：3 提示：利用复数相等可得。
11.答案：
12.答案： 提示：几何意义是可行域上的点到定点（1，-2）的距离的最小值。
13.[解析]: 设z=log2(m2-3m-3)+i log2(m-3) (m∈R), 若z对应点在直线x-2y+1=0上,
则log2(m2-3m-3)-2 log2(m-3)+1=0
故2（m2-3m-3）=(m-3)2
∴m=或m=-（不适合）
14.[解析]: 若a≥0, 且z|z|+az+i=0, 则z(|z|+a)+i=0, |z|+a>0,故 z为纯虚数，
设z = yi (y , 则 (|y|+a)yi+i=0 故y2-y-1=0
y =
z =
15.[解析]: 若t∈R, t≠-1, t≠0时,复数z =的模为|z|
则|z|2=
故z的模的取值范围是
16.解:∵复数对应的点在第二象限，
∴即…………12分
∴k的取值范围为(－，0)∪(1，2). …………13分
17.解：由B中元素z=z1i+b，得z1=-i(2z-2b)，∵z1∈A，∴|z-2|=|-i(2a-2b)-2|≤2，即|z-b-i|≤1，∴集合B是圆心在(b，1)，半径为1的圆面，而A是圆在（2，0），半径为2的圆面．
（1） 若A∩B=Ф，则圆面A和圆面B相离，∴(b-2)2+1>9，∴b<2-2或b>2+2．………6分
（1） 若A∩B=B，∴BA，∴(b-2)2+1≤1，∴b=2．…………13分
18.解：设D（x,y),则
对应的复数为(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i
对应的复数为：
(－1－2i)－(－2+i)=1－3i…………6分
∵
∴(x－1)+(y－2)i=1－3i
∴
解得
∴D点对应的复数为2－i. …………13分
19.解:把z=代入,得ω=(+i)
=()=(1+ai). …………7分
于是·a－，即a2=4.
∵a>0,∴a=2,ω=+3i. …………14分
20.解: 原方程化简为,
设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i, …………4分
∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±,
∴原方程的解是z=-±i. …………14分
21.解: 设z=a+bi(a、b∈R且b≠0), 则z+=(a+bi)+
=a(1+)+b(1－)i∈R.
又z+3=a+3+bi, ……………6分
依题意，有
又由于b≠0,因此……………8分
解之得或 ……………11分
∴z=－1－2i或－2－i. ……………12分
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