高二数学第七章 计数原理
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高二数学第七章 计数原理 整理人：邢丞
第1讲 分类加法计数原理、分步乘法计数原理
新课标要求
分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。了解计数与现实生活的联系，会解决简单计数问题
重点难点聚焦
归纳得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能应用它们解决简单的实际问题，正确理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”。
高考分析及预测
计数原理是高中数学中独立性较强的一部分，也是密切联系实际的一部分，是高考必考内容，每年都有1—2道有关的试题，题型一般为选择题和填空题，考查基础知识、思维能力，多数题难度与教材习题难度相当，但也有个别难度较大。
再现型题组
1.某班有男生人，女生人，从中选一位同学为数学课代表，则不同的选法有（ ）。
....
2.个高中毕业生报考三所重点院校，每人报且只报一所，则不同的报名方法有（ ）种。
....
3.如果把两条异面直线看成是“一对”，则六棱锥的几条棱所在的直线中，异面直线共有（ ）对。
....
4.已知，，,则方程表示不同的圆的个数是 。
巩固型题组
5.从高三的四个班中共抽出学生人，其中一、二、三、四班各人、人、人、人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法。
6.有、、、、这个数字。
（1）用这个数字组成四位数，共有多少个不同的四位数？
（2）用这个数字组成四位密码，共有多少个这样的密码？
7.某外语组有人，每人至少会英语和日语中的一门，其中人会英语，人会日语。从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法。
提高型题组
8.如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连接表示它们有网线连接。连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点向结点传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递。则单位时间内传递的最大信息量为（ ）
....
9.某城市在市中心广场建造一个花圃，花圃分为个部分如图，现要栽种种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种。（用数字作答）
反馈型题组
10.公园有个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法总数为（ ）
....
11.某城市的电话号码，由六位数字改为七位数（首位数字均不为零），则这个城市可增加的电话号码是（ ）
....
12.设名学生报名参加同一时间安排活动方案有种，这名学生在运动会上共同争夺米、跳远、铅球项比赛的冠军的可能结果有，则为（ ）
....
13.某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了个新节目。如果将这个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为 。
14.过三棱柱任意两个顶点的直线共条，其中异面直线有 对。
15.电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有封，乙箱中有封，现有主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果？
16.某单位职工义务献血，在体检合格的人中，型血的共有人，型血的共有人，型血的共有人，型血的共有人。
（1）从中任选人去献血，有多少种不同的选法？
（2）从四种血型的人中各选人去献血，有多少种不同的选法？
第2讲 排列与组合
新课标要求
理解排列、组合的概念；能利用记数原理推导排列数公式、组合数公式；能解决简单的实际问题.
重点难点聚焦
难点是两个记数原理与排列组合相结合的问题.
高考分析及预测
排列组合是高中数学独立性较强的一部分，每年都有1~2道试题，题目一般为选择、填空.
题组设计
再现型题组
1.有7人参加比赛，争夺金、银、铜牌，可能的结果有 种.
2.从20名同学中选3名组成代表团参加对外交流，有 种不同选法.
3. .
4.一个小组有7名男生3名女生，现抽调5人参加劳动，其中必有2名女生，则这样的抽调方法有 种.
5.5个人排成一排.
（1）甲不站在左端，乙不站在右端，有多少种不同的排法？
（2）若甲、乙两人不站在两端，有多少种不同的排法？
（3）若甲乙两人之间有且只有1人，有多少种不同的排法？
巩固型题组
6.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，不同的取法有（ ）
A 140种 B 84种 C 70种 D35种
7.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则不同的播放方式共有（ ）
A 6种 B 24种 C 48种 D 720种
8.若，则 .
9.7名学生站成一排，下列情况各有多少种不同的排法？
（1）甲乙必须排在一起；
（2）甲、乙、丙互不相邻；
（3）甲乙相邻，但不和丙相邻.
提高型题组
10.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）．
11.有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（用数字作答）．
12.一排共有9个座位，甲、乙、丙三人按如下方式入座：每人左右两旁都有空座位，且甲必须在乙、丙两人之间，则不同的坐法共有 种.
反馈型题组
13.三名学生到高一年级四个班就读，每个班至多进一名学生，则不同的进班方式种数有（ ）
A 4 B C D
14.把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法为（ ）
A B C D
15.由3个3和4个5可以组成 个不同的七位数.
16.设集合I={1，2，3，4，5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）
A 50种 B 49种 C 48种 D 47种
17.用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答)。
第3讲 二项式定理
题组设计
再现型题组
1.求的展开式有 项，第3项是 。
2. 展开式的第6项系数为（ ）
A. B. C. D.
3.的各二项式系数最大值是 。
4. .
5.展开式中的常数项为（ ）
A. B. C. D.
巩固型题组
6.设为自然数，则( )
A. B. 0 C. D.1
7.在的展开式中的系数是（ ）
A. B. 14 C. -28 D.28
8. 除以100的余数是（ ）
A.1 B. 10 C.11 D.21
9. 二项式的展开式中，系数最大的项为第（ ）项.
A. 2n+1 B. 2n+2 C.2n D.2n+1 和2n+2
提高型题组
10.已知.
求:⑴. ;⑵. ;⑶. ;⑷..
11.已知在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大.
⑴求n;
⑵求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项.
反馈型题组
12.已知的展开式中第三项与第五项的系数比为，其中，则展开式中常数项是（ ）
A. B. C.-45 D.45
13. 若多项式，则（ ）
A. 9 B. 10 C. -9 D.-10
15.的展开式中的正整数指数幂的项数是（ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D.6
16.设常数展开式中的系数为，则 。
17.已知展开式中，前三项系数成等差数列.
⑴求n；⑵求第三项的二项式系数及项的系数；⑶求含x项的系数；⑷求展开式中有多少有理项，并求每一项.
18.设数列是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列）
⑴用n、x表示通项与前项和；
⑵若，用n、x表示.
第七章 计数原理 综合检测卷
一、选择题
1、甲乙丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙丙各选修3门，则不同的选修方案共有
（ ）种。
A 36 B 48 C 96 D 192
2、从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有一人参加，则不同的选派方法共有（ ）种。
A 40 B 60 C 100 D 120
3、如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图。公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件，使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行。那么要完成上述调整，最少的调动件次（n个配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（ ）
A 18 B 17 C 16 D 15
4、如图，以环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1 种花，且相邻的两块种不同的花。则不同的种法总数为（ ）
A 96 B 84 C 60 D 48
5、的展开式中，常数项是15，则=( )
A 3 B 4 C 5 D 6
6.设，则=（）
A -2 B -1 C 1 D 2
二、填空题
7、从集合中任选3个元素分别作为直线方程中的，所得经过坐标原点的直线有 条（结果用数值表示）。
8、安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种（用数字作答）。
9、若的展开式中的系数是，则实数的值是 。
10、宿舍楼内的走廊一排有8盏灯，为节约用电又不影响照明，要同时熄灭其中3盏，但这3盏灯不能相邻，则不同的熄灯方法种数为 （用数字作答）。
三、解答题
11、有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内。
（1）共有几种放法？
（2）恰有1个空盒，有几种放法？
（3）恰有2个盒子不放球，有几种放法？
12、已知，
（1）若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数。
（2）若展开式中前3项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项。
高二数学第七章 计数原理详解答案
第一讲 分类加法计数原理、分步乘法计数原理
再现型题组
1.【答案】
基础知识聚焦：分类加法计数原理的应用。
2. 【答案】
基础知识聚焦：分步乘法计数原理的应用。
3. 【答案】
基础知识聚焦：分步乘法计数原理的应用。
4. 【答案】
基础知识聚焦：分类加法、分步乘法计数原理的应用。
巩固型题组
5.【解】（1）分四类：第一类，从一班中选人，有种选法；
第二类，从二班中选人，有种选法；
第三类，从三班中选人，有种选法；
第四类，从四班中选人，有种选法。
所以，共有不同选法（种）。
【点评】这类问题首先要明确①完成一件事情是什么？②分类的原则是什么？
【变式与拓展】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
答案：
6.【解】（1）未强调四位数的各位数字不重复，只需强调首位数字不为，依次确定千、百、十、个位，各有、、、种方法。∴共能组成个不同的四位数。
（2）与（1）的区别在于首位可以为。∴共能组成各不同的四位密码。
【点评】这种问题，首先要完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其值。合步之间相互联系，依次完成后，才能完成这件事。
7.【解】由题意得有人既会英语又会日语，人只会英语，人只会日语。
第一类，从只会英语的人中选人说英语有种选法。则说日语的有种。此时，共种。
第二类，不从只会英语的人中选人说英语有种方法。此时选会说日语的有种，故共有种方法。
所以由分步乘法计数原理知共有种选法。
【点评】本题主要考查了分类的原则，以及在各类中又如何分步。
提高型题组
8.【解】按上面的途径单位时间内传递的最大信息量为。同理，按下面的途径单位时间内可通过的最大信息量为由分类计数原理，从结点向结点单位时间内通过最大信息量。
∴选
【点评】本题实际考查分类计数原理。
9.解法一：先排区，有种方法，把其余五个分区视为一个圆环（如图），沿着圆环的一个边界剪开并把圆环拉直，得到如下图的五个空格，在五个空格中放三种不同的元素，且：①相同元素不相邻。②两端元素不能相同，共有种不同方法。然后再把下图粘成圆形即可，下面解决两端元素相同的情况。在这种情况下我们在下图六个空格中。要求：①相同元素不能相邻。②两端元素必须相同，共有种不同方法，然后再把最下图粘成圆环形，把两端的两格粘在一起看成一个格即可，综上，共有种方法。
解法二：先分类：五大类：第一类：区和区、区和区、区、区各栽一色花。
第二类：区和区、区和区、区、区各栽一色花。
第三类：区和区、区和区、区、区各栽一色花。
第四类：区和区、区和区、区、区各栽一色花。
第五类：区和区、区和区、区、区各栽一色花。每一类中其栽法为（分步进行），答案共有种。
【点评】分类要讲究不重不漏。
课堂小结
1.如何选用分类加法计数原理和分步计数乘法原理。
在处理具体的应用问题时，必须先分清是“分类”还是“分步”，“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事情。
2.运用分类加法计数原理，首先要根据问题的特点，确定分类标准，分类应满足：完成一件事情的任何一种方法，必须属于某一类且仅属于某一类，即类与类的确定性与并列性。
3.运用分步乘法计数原理时，也要确定分步的标准，分布必须满足：完成一件事情必须且只需完成这几步，即各个步骤是相互依存的，注意“步”与“步”的连续性。
反馈型题组
10.
11. 提示：（部）
12. 提示：每名学生报名有种选择，名学生报名有种选择，每项冠军有种可能归属，项冠军有种可能结果。
13.
14.对
15.【解】分两类：（1）幸运之星在甲箱中抽，选定幸运之星，再在两箱内各抽一名幸运观众有种；（2）幸运之星在乙箱中抽取，有种，共有不同结果种。
16.从型血的人中选人有种不同的选法，从型血的人中选人共有种不同的选法，从型血的人中选人共有种不同的选法，从型血的人中选人共有种不同的选法。（1）任选人去献血，即不论选哪种血型的哪一个人，这件“任选人去献血”的事情已完成，所以用分类计数原理，有种不同选法。
（2）要从四种血型的人中各选人，即要在每种血型的人中依次选出人后，这件“各选人去献血”的事情才完成，所以用分步计数原理。有种不同的选法。
第二讲排列与组合
再现型题组
1.提示或答案：=.
基础知识聚焦：这是一个排列问题
2. 提示或答案：，.
基础知识聚焦：这是一个组合问题.
3. 提示或答案：730.
基础知识聚焦：基本的排列数组合数计算.
4.提示或答案：优先考虑女生，计算过程为.
基础知识聚焦：分步，优先考虑特殊元素.
5.（1）提示或答案：本题为特殊元素，也用到了分类，一类是甲站结尾，此时是；另一类是甲不站结尾，此时是，两类相加，结果为：3720.
基础知识聚焦：特殊位置或元素优先安排.
（2）提示或答案：甲乙先站，其他人再站，=1200.
基础知识聚焦：特殊位置或元素优先安排.
（3）提示或答案：从其他5人中选1人站在甲乙中间，然后把甲乙排列，然后把此三个人看作一个元素，和其他4人全排列，=1200.
巩固型题组
6.解：C
点评：本题考查了基本的组合问题.
7.解：C
点评：本题考查了基本的排列问题.
8. 解：8
点评：本题目考察了基本的排列数组合数计算.
9.（1）解：捆绑法，=1440.
点评：捆绑法应用于相邻问题.
（2）解：插空法，=1440.
点评：插空法应用于不相邻问题.
（3）解：捆绑插空相结合，.
点评：两种方法相结合的问题，综合考察知识方法的应用能力.
提高型题组
10.解：分两类：第一棒是丙有,第一棒是甲、乙中一人有
因此共有方案种
点评：分类的标准，不重不漏.
11. 解：数字之和为10的情况有4，4，1，1、 4，3，2，1、 3，3，2，2．其中4，4，1，1、3，3，2，2各有种排法， 4，3，2，1中的4可能来自于2种颜色，其他数字如此，所以选法有，然后排列，即，所以共有种不同排法．
点评：分类本身就比较复杂，另外三类中的分步也各有千秋.
12.解：分类数一数，
分三类，三人之间两个空位；三人之间三个空位；三人之间四个空位；
如：
如：
如：
三类相加，共18种.
点评：本题对学生综合能力要求较高.
反馈型题组
13.排列A
14.捆绑B
15.=35，如果是由1，2，3，4，5，6，7可以构成7！个不同的7位数，现在有三个都是3，四个都是5，所以要除以3！，除以4！.
16.分类，每一类分步.
分四类：A中有1个元素，A中有2个元素，A中有3个元素，A中有4个元素，
第一类：
A如果是{1}，B可以是{2，3，4，5}的非空子集，有个；A可以是{2}，B可以是{3，4，5}的非空子集，有个；同理B个；个，第一类共有26个.
第二类：
A{1，2}，B可以为{3，4，5}的非空子集，有个；
A{1，3}或{2，3}即，B可以为{4，5}的非空子集，个，此时，情形为（）=6；
同理，A为{1，4}或其他含两个元素且最大数字为4的集合时，B只能是{5}，共种情形；
第二类共有16种；
第三类： A中有3个元素，共有6种；
第四类： A中有4个元素，1种；四类相加为49种，选B.
17.本小题主要考查排列组合知识。依题先排除1和2的剩余4个元素有
种方案，再向这排好的4个元素中插入1和2捆绑的整体，有种插法，
∴不同的安排方案共有种。
第三讲二项式定理
再现型题组.
1. 【答案】7;2160.
【基础知识聚焦】二项展开式的项数和特定项。
2. 【答案】D
【基础知识聚焦】二项展开式某项系数。
3. 【答案】当n为偶数时，最大值为,当n奇数时，最大值为或.
【基础知识聚焦】系数的对称性和最值。
4. 【答案】1024
【基础知识聚焦】二项式系数性质。
5. 【答案】C
【基础知识聚焦】二项展开式的常数项。
巩固型题组
6【答案】D
【解法】
【点评】观察式子结构特征,与二项展开式联系.
7. 【答案】B
【解法】因为含的项是：，所以的系数.
【点评】考查多项式乘法法则和二项式定理.
8.【答案】D
【解法】
前面各项都能被100整除,只有末项不能被100整除,
于是除以100的余数是21.
【点评】用二项式定理证明整除问题或求余问题,必须注意中,a,b中有一个是除数的倍数.
【变式拓展】求证：能被64整除.
【解法】
而上式均为64的倍数, 所以能被64整除.
【点评】在进行二项式展开时,要保证出现除数的倍数,同时也要搞清余项是什么,这种方法也可以处理余数的问题.
9. 【答案】A
【解法】因为4n+1奇数，所以展开式有4n+2项，则，
，系数分别为，.故选A.
【点评】理清二项式系数与项的系数区别联系，特别注意符号问题。
提高型题组
10【解】：令x=1则 ①
令x=-1则 ②
⑴∵,∴
⑵ (①－②)÷2得：.
⑶ (①+②)÷2得：.
⑷法一：∵展开式中，大于零，而小于零，
∴=（）－（）
∴⑶－⑵即可，其值为2187.
法二：，即展开式中各项的系数和，
∴=.
【点评】：求关于展开式中系数和问题,往往根据展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数,如:1,-1….
11【解】(1)因为展开式中只有第6项的二项式系数最大,
所以n为偶数，第6项即为中间项，∴，得n=10.
(2) 展开式的通项是系数的绝对值是，
若它最大则.
∵,∴r=3，∴系数绝对值最大的项是第4项，即，
系数最大的项应在项数为奇数的项之内，即r取偶数0，2，4，6，8时，各项系数分别为,,，，.
∴系数最大的项是第5项，即
【点评】：求展开式中系数最大项的步骤是：先假设第r+1项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式并求解此不等式组求得。
反馈型题组
12. 【答案】D
【解法】第三项与第五项的系数比为，整理得.
所以n=10,由，当时，r=8.
故常数项为.
13. 【答案】D
【解法】根据左边的系数为1，易知，左边的系数为0，
右边的系数为，所以.
14. 【答案】B.
15. 【答案】.
16项的系数比，即.解之得n=34.
17.解：(1)前三项系数为1，，成等差数列，
所以=1+，即 得n=1(舍) 或n=8.
(2)由n=8知其通项公式,r=0,1,…8
∴第三项的二项式系数为,第三项系数为
(3)令,得r=4. ∴含x项的系数为.
(4)若为有理项,则为整数,所以r为4的倍数,又∵，∴r=0,4,8.
∴共有3个有理项,分别是,,.
18.解：⑴∵
∴ 即 ∴ m=3 ∴.
由知 ∴，
⑵当x=1时，, ,
又∵
∴ ∴ .
当时，.
.
∴ .
第四章计数原理综合检测卷
一、选择题
1、C 2、B 3、D 4、B 5、D 6、A
二、填空题
7、30 8、210 9、-2 10、20
三、解答题
11、解：（1）
（2）
（3）
12、解：（1）由得
时，二项式系数最大的项是第四项和第五项，第四项的系数为=，第五项的系数为=70；
时，二项式系数最大的项是第八项，第八项的系数为。
（2）由得
由及得
所以展开式中系数最大的项是。
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高二数学第七章 计数原理 整理人：邢丞
第1讲 分类加法计数原理、分步乘法计数原理
新课标要求
分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。了解计数与现实生活的联系，会解决简单计数问题
重点难点聚焦
归纳得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能应用它们解决简单的实际问题，正确理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”。
高考分析及预测
计数原理是高中数学中独立性较强的一部分，也是密切联系实际的一部分，是高考必考内容，每年都有1—2道有关的试题，题型一般为选择题和填空题，考查基础知识、思维能力，多数题难度与教材习题难度相当，但也有个别难度较大。
再现型题组
1.某班有男生人，女生人，从中选一位同学为数学课代表，则不同的选法有（ ）。
....
2.个高中毕业生报考三所重点院校，每人报且只报一所，则不同的报名方法有（ ）种。
....
3.如果把两条异面直线看成是“一对”，则六棱锥的几条棱所在的直线中，异面直线共有（ ）对。
....
4.已知，，,则方程表示不同的圆的个数是 。
巩固型题组
5.从高三的四个班中共抽出学生人，其中一、二、三、四班各人、人、人、人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法。
6.有、、、、这个数字。
（1）用这个数字组成四位数，共有多少个不同的四位数？
（2）用这个数字组成四位密码，共有多少个这样的密码？
7.某外语组有人，每人至少会英语和日语中的一门，其中人会英语，人会日语。从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法。
提高型题组
8.如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连接表示它们有网线连接。连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点向结点传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递。则单位时间内传递的最大信息量为（ ）
....
9.某城市在市中心广场建造一个花圃，花圃分为个部分如图，现要栽种种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种。（用数字作答）
反馈型题组
10.公园有个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法总数为（ ）
....
11.某城市的电话号码，由六位数字改为七位数（首位数字均不为零），则这个城市可增加的电话号码是（ ）
....
12.设名学生报名参加同一时间安排活动方案有种，这名学生在运动会上共同争夺米、跳远、铅球项比赛的冠军的可能结果有，则为（ ）
....
13.某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了个新节目。如果将这个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为 。
14.过三棱柱任意两个顶点的直线共条，其中异面直线有 对。
15.电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有封，乙箱中有封，现有主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果？
16.某单位职工义务献血，在体检合格的人中，型血的共有人，型血的共有人，型血的共有人，型血的共有人。
（1）从中任选人去献血，有多少种不同的选法？
（2）从四种血型的人中各选人去献血，有多少种不同的选法？
第2讲 排列与组合
新课标要求
理解排列、组合的概念；能利用记数原理推导排列数公式、组合数公式；能解决简单的实际问题.
重点难点聚焦
难点是两个记数原理与排列组合相结合的问题.
高考分析及预测
排列组合是高中数学独立性较强的一部分，每年都有1~2道试题，题目一般为选择、填空.
题组设计
再现型题组
1.有7人参加比赛，争夺金、银、铜牌，可能的结果有 种.
2.从20名同学中选3名组成代表团参加对外交流，有 种不同选法.
3. .
4.一个小组有7名男生3名女生，现抽调5人参加劳动，其中必有2名女生，则这样的抽调方法有 种.
5.5个人排成一排.
（1）甲不站在左端，乙不站在右端，有多少种不同的排法？
（2）若甲、乙两人不站在两端，有多少种不同的排法？
（3）若甲乙两人之间有且只有1人，有多少种不同的排法？
巩固型题组
6.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，不同的取法有（ ）
A 140种 B 84种 C 70种 D35种
7.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则不同的播放方式共有（ ）
A 6种 B 24种 C 48种 D 720种
8.若，则 .
9.7名学生站成一排，下列情况各有多少种不同的排法？
（1）甲乙必须排在一起；
（2）甲、乙、丙互不相邻；
（3）甲乙相邻，但不和丙相邻.
提高型题组
10.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）．
11.有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（用数字作答）．
12.一排共有9个座位，甲、乙、丙三人按如下方式入座：每人左右两旁都有空座位，且甲必须在乙、丙两人之间，则不同的坐法共有 种.
反馈型题组
13.三名学生到高一年级四个班就读，每个班至多进一名学生，则不同的进班方式种数有（ ）
A 4 B C D
14.把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法为（ ）
A B C D
15.由3个3和4个5可以组成 个不同的七位数.
16.设集合I={1，2，3，4，5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）
A 50种 B 49种 C 48种 D 47种
17.用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答)。
第3讲 二项式定理
题组设计
再现型题组
1.求的展开式有 项，第3项是 。
2. 展开式的第6项系数为（ ）
A. B. C. D.
3.的各二项式系数最大值是 。
4. .
5.展开式中的常数项为（ ）
A. B. C. D.
巩固型题组
6.设为自然数，则( )
A. B. 0 C. D.1
7.在的展开式中的系数是（ ）
A. B. 14 C. -28 D.28
8. 除以100的余数是（ ）
A.1 B. 10 C.11 D.21
9. 二项式的展开式中，系数最大的项为第（ ）项.
A. 2n+1 B. 2n+2 C.2n D.2n+1 和2n+2
提高型题组
10.已知.
求:⑴. ;⑵. ;⑶. ;⑷..
11.已知在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大.
⑴求n;
⑵求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项.
反馈型题组
12.已知的展开式中第三项与第五项的系数比为，其中，则展开式中常数项是（ ）
A. B. C.-45 D.45
13. 若多项式，则（ ）
A. 9 B. 10 C. -9 D.-10
15.的展开式中的正整数指数幂的项数是（ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D.6
16.设常数展开式中的系数为，则 。
17.已知展开式中，前三项系数成等差数列.
⑴求n；⑵求第三项的二项式系数及项的系数；⑶求含x项的系数；⑷求展开式中有多少有理项，并求每一项.
18.设数列是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列）
⑴用n、x表示通项与前项和；
⑵若，用n、x表示.
第七章 计数原理 综合检测卷
一、选择题
1、甲乙丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙丙各选修3门，则不同的选修方案共有
（ ）种。
A 36 B 48 C 96 D 192
2、从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有一人参加，则不同的选派方法共有（ ）种。
A 40 B 60 C 100 D 120
3、如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图。公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件，使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行。那么要完成上述调整，最少的调动件次（n个配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（ ）
A 18 B 17 C 16 D 15
4、如图，以环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1 种花，且相邻的两块种不同的花。则不同的种法总数为（ ）
A 96 B 84 C 60 D 48
5、的展开式中，常数项是15，则=( )
A 3 B 4 C 5 D 6
6.设，则=（）
A -2 B -1 C 1 D 2
二、填空题
7、从集合中任选3个元素分别作为直线方程中的，所得经过坐标原点的直线有 条（结果用数值表示）。
8、安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种（用数字作答）。
9、若的展开式中的系数是，则实数的值是 。
10、宿舍楼内的走廊一排有8盏灯，为节约用电又不影响照明，要同时熄灭其中3盏，但这3盏灯不能相邻，则不同的熄灯方法种数为 （用数字作答）。
三、解答题
11、有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内。
（1）共有几种放法？
（2）恰有1个空盒，有几种放法？
（3）恰有2个盒子不放球，有几种放法？
12、已知，
（1）若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数。
（2）若展开式中前3项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项。
高二数学第七章 计数原理详解答案
第一讲 分类加法计数原理、分步乘法计数原理
再现型题组
1.【答案】
基础知识聚焦：分类加法计数原理的应用。
2. 【答案】
基础知识聚焦：分步乘法计数原理的应用。
3. 【答案】
基础知识聚焦：分步乘法计数原理的应用。
4. 【答案】
基础知识聚焦：分类加法、分步乘法计数原理的应用。
巩固型题组
5.【解】（1）分四类：第一类，从一班中选人，有种选法；
第二类，从二班中选人，有种选法；
第三类，从三班中选人，有种选法；
第四类，从四班中选人，有种选法。
所以，共有不同选法（种）。
【点评】这类问题首先要明确①完成一件事情是什么？②分类的原则是什么？
【变式与拓展】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
答案：
6.【解】（1）未强调四位数的各位数字不重复，只需强调首位数字不为，依次确定千、百、十、个位，各有、、、种方法。∴共能组成个不同的四位数。
（2）与（1）的区别在于首位可以为。∴共能组成各不同的四位密码。
【点评】这种问题，首先要完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其值。合步之间相互联系，依次完成后，才能完成这件事。
7.【解】由题意得有人既会英语又会日语，人只会英语，人只会日语。
第一类，从只会英语的人中选人说英语有种选法。则说日语的有种。此时，共种。
第二类，不从只会英语的人中选人说英语有种方法。此时选会说日语的有种，故共有种方法。
所以由分步乘法计数原理知共有种选法。
【点评】本题主要考查了分类的原则，以及在各类中又如何分步。
提高型题组
8.【解】按上面的途径单位时间内传递的最大信息量为。同理，按下面的途径单位时间内可通过的最大信息量为由分类计数原理，从结点向结点单位时间内通过最大信息量。
∴选
【点评】本题实际考查分类计数原理。
9.解法一：先排区，有种方法，把其余五个分区视为一个圆环（如图），沿着圆环的一个边界剪开并把圆环拉直，得到如下图的五个空格，在五个空格中放三种不同的元素，且：①相同元素不相邻。②两端元素不能相同，共有种不同方法。然后再把下图粘成圆形即可，下面解决两端元素相同的情况。在这种情况下我们在下图六个空格中。要求：①相同元素不能相邻。②两端元素必须相同，共有种不同方法，然后再把最下图粘成圆环形，把两端的两格粘在一起看成一个格即可，综上，共有种方法。
解法二：先分类：五大类：第一类：区和区、区和区、区、区各栽一色花。
第二类：区和区、区和区、区、区各栽一色花。
第三类：区和区、区和区、区、区各栽一色花。
第四类：区和区、区和区、区、区各栽一色花。
第五类：区和区、区和区、区、区各栽一色花。每一类中其栽法为（分步进行），答案共有种。
【点评】分类要讲究不重不漏。
课堂小结
1.如何选用分类加法计数原理和分步计数乘法原理。
在处理具体的应用问题时，必须先分清是“分类”还是“分步”，“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事情。
2.运用分类加法计数原理，首先要根据问题的特点，确定分类标准，分类应满足：完成一件事情的任何一种方法，必须属于某一类且仅属于某一类，即类与类的确定性与并列性。
3.运用分步乘法计数原理时，也要确定分步的标准，分布必须满足：完成一件事情必须且只需完成这几步，即各个步骤是相互依存的，注意“步”与“步”的连续性。
反馈型题组
10.
11. 提示：（部）
12. 提示：每名学生报名有种选择，名学生报名有种选择，每项冠军有种可能归属，项冠军有种可能结果。
13.
14.对
15.【解】分两类：（1）幸运之星在甲箱中抽，选定幸运之星，再在两箱内各抽一名幸运观众有种；（2）幸运之星在乙箱中抽取，有种，共有不同结果种。
16.从型血的人中选人有种不同的选法，从型血的人中选人共有种不同的选法，从型血的人中选人共有种不同的选法，从型血的人中选人共有种不同的选法。（1）任选人去献血，即不论选哪种血型的哪一个人，这件“任选人去献血”的事情已完成，所以用分类计数原理，有种不同选法。
（2）要从四种血型的人中各选人，即要在每种血型的人中依次选出人后，这件“各选人去献血”的事情才完成，所以用分步计数原理。有种不同的选法。
第二讲排列与组合
再现型题组
1.提示或答案：=.
基础知识聚焦：这是一个排列问题
2. 提示或答案：，.
基础知识聚焦：这是一个组合问题.
3. 提示或答案：730.
基础知识聚焦：基本的排列数组合数计算.
4.提示或答案：优先考虑女生，计算过程为.
基础知识聚焦：分步，优先考虑特殊元素.
5.（1）提示或答案：本题为特殊元素，也用到了分类，一类是甲站结尾，此时是；另一类是甲不站结尾，此时是，两类相加，结果为：3720.
基础知识聚焦：特殊位置或元素优先安排.
（2）提示或答案：甲乙先站，其他人再站，=1200.
基础知识聚焦：特殊位置或元素优先安排.
（3）提示或答案：从其他5人中选1人站在甲乙中间，然后把甲乙排列，然后把此三个人看作一个元素，和其他4人全排列，=1200.
巩固型题组
6.解：C
点评：本题考查了基本的组合问题.
7.解：C
点评：本题考查了基本的排列问题.
8. 解：8
点评：本题目考察了基本的排列数组合数计算.
9.（1）解：捆绑法，=1440.
点评：捆绑法应用于相邻问题.
（2）解：插空法，=1440.
点评：插空法应用于不相邻问题.
（3）解：捆绑插空相结合，.
点评：两种方法相结合的问题，综合考察知识方法的应用能力.
提高型题组
10.解：分两类：第一棒是丙有,第一棒是甲、乙中一人有
因此共有方案种
点评：分类的标准，不重不漏.
11. 解：数字之和为10的情况有4，4，1，1、 4，3，2，1、 3，3，2，2．其中4，4，1，1、3，3，2，2各有种排法， 4，3，2，1中的4可能来自于2种颜色，其他数字如此，所以选法有，然后排列，即，所以共有种不同排法．
点评：分类本身就比较复杂，另外三类中的分步也各有千秋.
12.解：分类数一数，
分三类，三人之间两个空位；三人之间三个空位；三人之间四个空位；
如：
如：
如：
三类相加，共18种.
点评：本题对学生综合能力要求较高.
反馈型题组
13.排列A
14.捆绑B
15.=35，如果是由1，2，3，4，5，6，7可以构成7！个不同的7位数，现在有三个都是3，四个都是5，所以要除以3！，除以4！.
16.分类，每一类分步.
分四类：A中有1个元素，A中有2个元素，A中有3个元素，A中有4个元素，
第一类：
A如果是{1}，B可以是{2，3，4，5}的非空子集，有个；A可以是{2}，B可以是{3，4，5}的非空子集，有个；同理B个；个，第一类共有26个.
第二类：
A{1，2}，B可以为{3，4，5}的非空子集，有个；
A{1，3}或{2，3}即，B可以为{4，5}的非空子集，个，此时，情形为（）=6；
同理，A为{1，4}或其他含两个元素且最大数字为4的集合时，B只能是{5}，共种情形；
第二类共有16种；
第三类： A中有3个元素，共有6种；
第四类： A中有4个元素，1种；四类相加为49种，选B.
17.本小题主要考查排列组合知识。依题先排除1和2的剩余4个元素有
种方案，再向这排好的4个元素中插入1和2捆绑的整体，有种插法，
∴不同的安排方案共有种。
第三讲二项式定理
再现型题组.
1. 【答案】7;2160.
【基础知识聚焦】二项展开式的项数和特定项。
2. 【答案】D
【基础知识聚焦】二项展开式某项系数。
3. 【答案】当n为偶数时，最大值为,当n奇数时，最大值为或.
【基础知识聚焦】系数的对称性和最值。
4. 【答案】1024
【基础知识聚焦】二项式系数性质。
5. 【答案】C
【基础知识聚焦】二项展开式的常数项。
巩固型题组
6【答案】D
【解法】
【点评】观察式子结构特征,与二项展开式联系.
7. 【答案】B
【解法】因为含的项是：，所以的系数.
【点评】考查多项式乘法法则和二项式定理.
8.【答案】D
【解法】
前面各项都能被100整除,只有末项不能被100整除,
于是除以100的余数是21.
【点评】用二项式定理证明整除问题或求余问题,必须注意中,a,b中有一个是除数的倍数.
【变式拓展】求证：能被64整除.
【解法】
而上式均为64的倍数, 所以能被64整除.
【点评】在进行二项式展开时,要保证出现除数的倍数,同时也要搞清余项是什么,这种方法也可以处理余数的问题.
9. 【答案】A
【解法】因为4n+1奇数，所以展开式有4n+2项，则，
，系数分别为，.故选A.
【点评】理清二项式系数与项的系数区别联系，特别注意符号问题。
提高型题组
10【解】：令x=1则 ①
令x=-1则 ②
⑴∵,∴
⑵ (①－②)÷2得：.
⑶ (①+②)÷2得：.
⑷法一：∵展开式中，大于零，而小于零，
∴=（）－（）
∴⑶－⑵即可，其值为2187.
法二：，即展开式中各项的系数和，
∴=.
【点评】：求关于展开式中系数和问题,往往根据展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数,如:1,-1….
11【解】(1)因为展开式中只有第6项的二项式系数最大,
所以n为偶数，第6项即为中间项，∴，得n=10.
(2) 展开式的通项是系数的绝对值是，
若它最大则.
∵,∴r=3，∴系数绝对值最大的项是第4项，即，
系数最大的项应在项数为奇数的项之内，即r取偶数0，2，4，6，8时，各项系数分别为,,，，.
∴系数最大的项是第5项，即
【点评】：求展开式中系数最大项的步骤是：先假设第r+1项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式并求解此不等式组求得。
反馈型题组
12. 【答案】D
【解法】第三项与第五项的系数比为，整理得.
所以n=10,由，当时，r=8.
故常数项为.
13. 【答案】D
【解法】根据左边的系数为1，易知，左边的系数为0，
右边的系数为，所以.
14. 【答案】B.
15. 【答案】.
16项的系数比，即.解之得n=34.
17.解：(1)前三项系数为1，，成等差数列，
所以=1+，即 得n=1(舍) 或n=8.
(2)由n=8知其通项公式,r=0,1,…8
∴第三项的二项式系数为,第三项系数为
(3)令,得r=4. ∴含x项的系数为.
(4)若为有理项,则为整数,所以r为4的倍数,又∵，∴r=0,4,8.
∴共有3个有理项,分别是,,.
18.解：⑴∵
∴ 即 ∴ m=3 ∴.
由知 ∴，
⑵当x=1时，, ,
又∵
∴ ∴ .
当时，.
.
∴ .
第四章计数原理综合检测卷
一、选择题
1、C 2、B 3、D 4、B 5、D 6、A
二、填空题
7、30 8、210 9、-2 10、20
三、解答题
11、解：（1）
（2）
（3）
12、解：（1）由得
时，二项式系数最大的项是第四项和第五项，第四项的系数为=，第五项的系数为=70；
时，二项式系数最大的项是第八项，第八项的系数为。
（2）由得
由及得
所以展开式中系数最大的项是。
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