湖北省2025年中考数学真题试卷

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名称 湖北省2025年中考数学真题试卷
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文件大小 2.1MB
资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2025-07-04 10:43:40

文档简介

湖北省2025年中考数学真题试卷
一、选择题(共10题,每题3分,共30分.在每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.(2025·湖北) 数轴上表示数的点如图所示,下列判断正确的是(  )
A. B. C. D.
2.(2025·湖北) “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的,拟用于未来建造月球基地.如图是一种“月壤砖”的示意图,它的主视图是(  )
A. B.
C. D.
3.(2025·湖北) 下列运算的结果为的是(  )
A. B. C. D.
4.(2025·湖北) 一元二次方程的两个实数根为,下列结论正确的是(  )
A. B. C. D.
5.(2025·湖北) 数学中的“”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成,放大后如图所示.若,则的度数是(  )
A. B. C. D.
6.(2025·湖北) 在下列事件中,不可能事件是(  )
A.投掷一枚硬币,正面向上
B.从只有红球的袋子中摸出黄球
C.任意画一个圆,它是轴对称图形
D.射击运动员射击一次,命中靶心
7.(2025·湖北) 如图,平行四边形的对角线交点在原点.若,则点的坐标是(  )
A. B. C. D.
8.(2025·湖北) 已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流(单位:A)与电阻(单位:)是反比例函数关系,它的图象如图所示.当电阻大于时,电流可能是(  )
A. B. C. D.
9.(2025·湖北) 如图,内接于.分别以点和点为圆心,大于的长为半径作弧,两弧交于M,N两点,作直线交于点,连接并延长交于点,连接,,则的度数是(  )
A. B. C. D.
10.(2025·湖北) 如图,折叠正方形的一边,使点落在上的点处,折痕交于点.若,则的长是(  )
A. B.2 C. D.
二、填空题(共5题,每题3分,共15分)
11.(2025·湖北) 一个矩形相邻两边的长分别为2,m,则这个矩形的面积是   .
12.(2025·湖北) 已知一次函数随的增大而增大.写出一个符合条件的的值是   .
13.(2025·湖北) 窗,让人足不出户便能将室外天地尽收眼底.如图,“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式,从这三种方式中随机选出一种制作窗格,选中“步步锦”的概率是   .
14.(2025·湖北) 计算的结果是   .
15.(2025·湖北) 如图1,在中,.动点P,Q均以的速度从点同时出发,点沿折线向点运动,点沿边CA向点运动.当点运动到点时,两点都停止运动.的面积(单位:)与运动时间(单位:s)的关系如图2所示.
(1)   ;
(2)   .
三、解答题(共9题,共75分)
16.(2025·湖北)计算:.
17.(2025·湖北) 如图,平分.求证:.
18.(2025·湖北) 如图,甲、乙两栋楼相距30m,从甲楼处看乙楼顶部的仰角为到地面的距离为18m,求乙楼的高.(参考数据:)
19.(2025·湖北) 为加强劳动教育,学校制定了《劳动习惯养成计划》,实施“家校社”联动行动,引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动.学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查,两次调查均随机抽取50名学生.根据收集到的数据,将劳动时间(单位:)分为,四组进行统计,并绘制了学期初调查数据条形图,学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表,部分信息如下.
两次调查数据统计表
时间 平均数 中位数 众数
学期初 28 29 28
学期末 3.5 3.6 3.6
(1)在学期初调查数据条形图中,B组人数是 ▲ 人,并补全条形图;
(2)七年级有500名学生,估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数;
(3)该校七年级学生一周参与劳动时间,学期末比学期初有没有提高?结合统计数据说明理由.
20.(2025·湖北) 幻方起源于中国,月历常用于生活,它们有很多奥秘,探究并完成填空.
主题 探究月历与幻方的奥秘
活动一 图1是某月的月历,用方框选取了其中的9个数. (1)移动方框,若方框中的部分数如图2所示,则是   ,是   ; (2)移动方框,若方框中的部分数如图3所示,则是   ,是   ; (注:用含的代数式表示和.)
活动二 移动方框选取月历中的9个数,调整它们的位置,使其满足“三阶幻方”分布规律:每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等. (3)若方框选取的数如图4所示,调整后,部分数的位置如图5所示,则是   ,是   ; (4)若方框选取的数中最小的数是,调整后,部分数的位置如图6所示,则是   (用含的代数式表示).
21.(2025·湖北) 如图,是的外接圆,.过点作,垂足为,交于点,交于点.过点作的切线,交的延长线于点.
(1)求证:;
(2)若,求的半径.
22.(2025·湖北) 某商店销售A,B两种水果.A水果标价14元/千克,B水果标价18元/千克.
(1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A,B两种水果共3千克,合计付款46元.这两种水果各买了多少千克?
(2)妈妈让小明再到这家商店买两种水果,要求B水果比A水果多买1千克,合计付款不超过50元.设小明买A水果千克.
①若这两种水果按标价出售,求的取值范围;
②小明到这家商店后,发现两种水果正在进行优惠活动:A水果打七五折;一次购买B水果不超过1千克不优惠,超过1千克后,超过1千克的部分打七五折.(注:“打七五折”指按标价的出售.)若小明合计付款48元,求的值.
23.(2025·湖北) 在中,,将绕点旋转得到,点的对应点落在边上,连接.
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,当时,求的长;
(3)如图3,过点作的平行线交的延长线于点,过点作的平行线交于点G,与交于点.
①求证:;
②当时,直接写出的值.
24.(2025·湖北) 抛物线与轴相交于点和点,与轴相交于点,是抛物线的顶点,是抛物线上一动点,设点的横坐标为.
(1)求的值;
(2)如图1,若点在对称轴左侧,过点作对称轴的垂线,垂足为,求的值;
(3)定义:抛物线上两点M,N之间的部分叫做抛物线弧(含端点和).过,分别作轴的垂线,过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线,直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形.若点在第四象限,记抛物线弧的特征矩形的周长为.
①求关于的函数解析式;
②过点作轴,交抛物线于点,点与点不重合.记抛物线弧的特征矩形的周长为.若,直接写出的长.
答案解析部分
1.【答案】A
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解:由数轴可得
a<0故答案为:A
【分析】根据数轴上点的位置关系即可求出答案.
2.【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解:由题意可得:
该几何体的主视图为
故答案为:B
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3.【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法;同底数幂的除法;合并同类项法则及应用;幂的乘方运算
【解析】【解答】解:A:,错误,不符合题意;
B:,错误,不符合题意;
C:,正确,符合题意;
D:,错误,不符合题意;
故答案为:C
【分析】根据合并同类项法则,同底数幂的乘除法,幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
4.【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】解:∵的两个实数根为

故答案为:D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案.
5.【答案】D
【知识点】对顶角及其性质;两直线平行,同位角相等
【解析】【解答】解:如图
∵a∥b
∴∠1=∠3=∠2=56°
故答案为:D
【分析】根据直线平行性质及对顶角相等即可求出答案.
6.【答案】B
【知识点】事件的分类;事件发生的可能性
【解析】【解答】解:A为随机事件,不符合题意;
B为不可能事件,符合题意;
C为必然事件,不符合题意;
D为随机事件忙不符合题意.
故答案为:B
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
7.【答案】C
【知识点】平行四边形的性质;关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解:∵行四边形的对角线交点在原点.若
∴点的坐标是
故答案为:C
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
8.【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解:由图象可得
当电阻大于时,电流小于4A.
故答案为:A
【分析】根据函数图象性质即可求出答案.
9.【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质;圆周角定理;尺规作图-垂直平分线;等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解:由作图可得,MN⊥平分AB
∴DA=DB
∵∠BAC=30°
∴∠BAD=∠ABD=30°
∴∠AOE=2∠ABD=60°
故答案为:C
【分析】由作图可得,MN⊥平分AB,则DA=DB,根据等边对等角可得∠BAD=∠ABD=30°,再根据同弧所对的圆周角是圆心角点的一半即可求出答案.
10.【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质;直角三角形全等的判定-HL;勾股定理;翻折变换(折叠问题);解直角三角形
【解析】【解答】解:过点G作GH⊥BC于点H
∵四边形ABCD是正方形
∴BC=CD=AB=AD,∠BCD=∠ADC=90°
∠DBC=∠BDC=45°,AC=BD,OA=OC=OB=OD,AC⊥BD
由折叠可得BC=BF,CE=EF
∠BFE=∠BCE=90°=∠DFE,∠FBE=∠CBE
∴∠DEF=∠FDE=45°





∵∠FBE=∠CBE,GH⊥BC,AC⊥BD
∴OG=HG
∵BG=BG
∴Rt△OBG≌Rt△HBC


同理可得

故答案为:C
【分析】过点G作GH⊥BC于点H,根据折叠性质可得BC=BF,CE=EF,∠BFE=∠BCE=90°=∠DFE,∠FBE=∠CBE,则∠DEF=∠FDE=45°,解直角三角形可得DF,根据边之间的关系可得,,求出OB,再根据全等三角形判定定理可得Rt△OBG≌Rt△HBC,则,根据边之间的关系可得CH,同理可得,再根据勾股定理即可求出答案.
11.【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解:∵一个矩形相邻两边的长分别为2,m,则这个矩形的面积2m
故答案为:2m
【分析】根据矩形面积即可求出答案.
12.【答案】2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解:∵一次函数随的增大而增大
∴k>0
∴符合条件的的值是(答案不唯一)
故答案为:(答案不唯一)
【分析】根据一次函数图形与系数的关系即可求出答案.
13.【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解:由题意可得:
选中“步步锦”的概率是
故答案为:
【分析】根据概率公式即可求出答案.
14.【答案】2
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解:
=
=
=2
故答案为:2
【分析】将x通分,再根据分式的减法即可求出答案.
15.【答案】(1)8
(2)12
【知识点】三角形的面积;通过函数图象获取信息;三角形-动点问题;相似三角形的判定-AA;相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解:(1)由图象可得,当t=4时,点P与点B重合
∵动点P,Q均以的速度从点同时出发,
∴CB=CP=CQ=4
∵∠C=90°

故答案为:8
(2)由图象可得,当t=10时,S=10,
此时CQ=10,BP=10-BC=6
过点P作PD⊥AC于点D,则∠PDA=90°

∴PD=2
∵∠PDA=∠C=90°,∠A=∠A
∴△ADP∽△ACB


∴P为AB的中点
∴AB=2BP=12,即N=12
故答案为:12
【分析】(1)由图象可得,当t=4时,点P与点B重合,由题意可得CB=CP=CQ=4,再根据三角形面积即可求出答案.
(2)由图象可得,当t=10时,S=10,此时CQ=10,BP=10-BC=6,根据三角形面积可得PD,根据相似三角形判定定理可得△ADP∽△ACB,则,即,再根据线段中点即可求出答案.
16.【答案】解:原式=
=6-4+4
=6
【知识点】二次根式的乘除法;有理数的乘方法则;化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据绝对值性质,二次根式乘法,有理数的乘方化简,再计算加减即可求出答案.
17.【答案】证明:∵平分,
∴,
∵,,
∴,

【知识点】三角形全等及其性质;三角形全等的判定-SAS;角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线定义可得,再根据全等三角形判定定理可得,则,即可求出答案.
18.【答案】解:如图,
由题意得,四边形为矩形,,,
∴,,,
∵在中,,
∴,
∴,
答:乙楼的高为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据矩形性质可得,,,再根据正切定义可得BC,再根据边之间的关系即可求出答案.
19.【答案】(1)解:20; 补全条形图如下:

(2)解:七年级有500名学生,估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数有:
(人).
答:学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数有340人;
(3)解:由表格信息可得:学期末比学期初的一周参与劳动时间的平均数,中位数,众数都增加了,
∴该校七年级学生一周参与劳动时间,学期末比学期初有提高.
【知识点】扇形统计图;条形统计图;分析数据的集中趋势(平均数、中位数、众数);用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解:(1)由题意可得:
B组人数为50-9-15-6=20人
故答案为:20
【分析】(1)根据总人数减去其他组的人数可得B组人数,再补全图形即可.
(2)根据总人数乘以不低于的占比即可求出答案.
(3)根据统计量的几何意义进行比较即可求出答案.
20.【答案】5;11;n+1;n+7;11;3;n+8
【知识点】探索数与式的规律;一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解:(1)由图1可得,a=5,b=11
故答案为:5;11
(2)由图1可得,c=n+1,d=n+7
故答案为:n+1;n+7
(3)由题意可得:
17+2+e=2+10+18
17+10+f=2+10+18
解得:e=11,f=3
故答案为:11;3
(4)由题意可得:9g=n+n+1+n+2+n+7+n+8+n+9+n+14+n+15+n+16
解得:g=n+8
故答案为:n+8
【分析】(1)根据题意即可求出答案.
(2)根据题意即可求出答案.
(3)根据题意建立方程,解方程即可求出答案.
(4)根据题意建立方程,解方程即可求出答案.
21.【答案】(1)证明:∵,是的切线,即,
∴,
∴,
∴,即是等腰直角三角形,
∴;
(2)解:∵,
∴,
∵,
∴,即是等腰直角三角形,
∴,
由(1)得,
∴,
如图所示,连接,设,则,
∴在中,,
∴,
解得,,
∴,
∴的半径.
【知识点】平行线的判定与性质;勾股定理;垂径定理;切线的性质;等腰直角三角形
【解析】【分析】(1)根据切线性质可得,再根据直线平行判定定理可得,则,再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形,则,即可求出答案.
(2)根据垂径定理可得,再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形,则,由(1)得,根据边之间的关系可得EF,连接,设,则,根据勾股定理建立方程,解方程即可求出答案.
22.【答案】(1)解:设购买A种水果x千克,B种水果y千克,
依题意得:,
解得:.
答:购买A种水果2千克,B种水果1千克.
(2)解:①设小明买A水果千克,则B种水果购买了千克,
∴,
解得:,
∴结合实际可得:;
②设小明买A水果千克,则B种水果购买了千克,
∴,
解得:.
【知识点】一元一次不等式的应用;一元一次方程的实际应用-销售问题;二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设购买A种水果x千克,B种水果y千克,根据题意建立方程组,解方程组即可求出答案.
(2)①设小明买A水果千克,则B种水果购买了千克,根据题意建立不等式,解不等式即可求出答案.
②设小明买A水果千克,则B种水果购买了千克,根据题意建立方程,解方程即可求出答案.
23.【答案】(1)证明:∵将绕点旋转得到,点的对应点落在边上,
∴,
∴,

(2)解:∵,,
∴,
∴,
过作,
∴,
∴,
在中,
即,
解得:,(舍去),
∴,
在中,
∴,
∵,
∴,
即,
∴.
(3)解:①证明:设旋转角为,
则,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴;

【知识点】三角形全等及其性质;勾股定理;圆内接四边形的性质;解直角三角形;旋转的性质
【解析】【解答】(3)②解:∵,
∴设,
∵,
∴四边形是平行四边形,
∴,
由①得,
在中,,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
即,
即,
∴,
∴,
∴,
即,
∴,
由①可得,
∴,
∴点四点共圆,
∴,
∵,
∴,
∴,
设,
则,
根据旋转可得,
∴,
联立可得,

【分析】(1)根据旋转性质可得,则,再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
(2)根据旋转性质可得AC=CD=1,根据勾股定理可得AB,再根据正切定义可得,过作,则,再根勾股定理建立方程,解方程可得,,再根据勾股定理可得AD,再根据相似三角形性质可得,代值计算即可求出答案.
(3)①设旋转角为,则,根据等边对等角及角之间的关系可得,,再根据角之间的关系可得,根据直线平行性质可得,则,再根据全等三角形判定定理可得,则,再根据边之间的关系即可求出答案.
②设,根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形,则,由①得,根据勾股定理可得BC,再根据正弦定义可得,根据全等三角形性质可得,再根据直线平行性质可得,根据角之间的关系可得,再根据正弦定义建立方程,解方程可得,根据圆内接四边形判定定理可得点四点共圆,则,再根据相似三角形判定定理可得,则,设,则,根据旋转可得,则,联立即可求出答案.
24.【答案】(1)解:把代入,得:

∴;
(2)解:由(1)可知:,
∴,
∵是抛物线上一动点,设点的横坐标为,
∴,
∵过点作对称轴的垂线,垂足为,
∴,,

(3)解:①当时,,当时,,
∴,,
由(2)可知:,,对称轴为直线,
∴点关于对称轴的对称点为
∵在第四象限,
∴,
当时,抛物线弧的最高点为,最低点为,此时特征矩形的两条邻边的长分别为:,
∴;
当时,抛物线弧的最高点为,最低点为,此时特征矩形的两条邻边的长分别为:,
∴;
当时,抛物线弧的最高点为,最低点为,此时特征矩形的两条邻边的长分别为:,
∴;
综上:;
②或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数-动态几何问题;二次函数y=ax²+bx+c的性质;二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a(x-h)²+k的转化;坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】(3)②∵轴,
∴关于对称轴对称,
∴,
当时,抛物线弧的最高点为,最低点为,此时特征矩形的两条邻边的长分别为:,
∴;
∵,
∴,解得:(舍去)或;
∴;
当时,抛物线弧的最高点为,最低点为,此时特征矩形的两条邻边的长分别为:,
∴;
∵,
∴,解得:或(舍去);
∴;
当时,抛物线弧的最高点为,最低点为,此时特征矩形的两条邻边的长分别为:,
∴;
∵,
∴,解得:(舍去)或;

综上:或.
【分析】(1)根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
(2)将解析式转换为顶点式,求出顶点,设点的横坐标为,则,根据两点间距离可得PH,TH,再根据边之间的关系即可求出答案.
(3)①根据坐标轴上点的坐标特征可得,,根据对称性质可得点关于对称轴的对称点为,根据第四象限点的坐标特征可得,分情况讨论:当时,抛物线弧的最高点为,最低点为,当时,抛物线弧的最高点为,最低点为,当时,抛物线弧的最高点为,最低点为,根据题意列式计算即可求出答案.
②根据对称性质可得,分情况讨论:当时,抛物线弧的最高点为,最低点为,当时,抛物线弧的最高点为,最低点为,当时,抛物线弧的最高点为,根据题意建立方程,解方程即可求出答案.
1 / 1湖北省2025年中考数学真题试卷
一、选择题(共10题,每题3分,共30分.在每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.(2025·湖北) 数轴上表示数的点如图所示,下列判断正确的是(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解:由数轴可得
a<0故答案为:A
【分析】根据数轴上点的位置关系即可求出答案.
2.(2025·湖北) “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的,拟用于未来建造月球基地.如图是一种“月壤砖”的示意图,它的主视图是(  )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解:由题意可得:
该几何体的主视图为
故答案为:B
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3.(2025·湖北) 下列运算的结果为的是(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法;同底数幂的除法;合并同类项法则及应用;幂的乘方运算
【解析】【解答】解:A:,错误,不符合题意;
B:,错误,不符合题意;
C:,正确,符合题意;
D:,错误,不符合题意;
故答案为:C
【分析】根据合并同类项法则,同底数幂的乘除法,幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
4.(2025·湖北) 一元二次方程的两个实数根为,下列结论正确的是(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】解:∵的两个实数根为

故答案为:D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案.
5.(2025·湖北) 数学中的“”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成,放大后如图所示.若,则的度数是(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质;两直线平行,同位角相等
【解析】【解答】解:如图
∵a∥b
∴∠1=∠3=∠2=56°
故答案为:D
【分析】根据直线平行性质及对顶角相等即可求出答案.
6.(2025·湖北) 在下列事件中,不可能事件是(  )
A.投掷一枚硬币,正面向上
B.从只有红球的袋子中摸出黄球
C.任意画一个圆,它是轴对称图形
D.射击运动员射击一次,命中靶心
【答案】B
【知识点】事件的分类;事件发生的可能性
【解析】【解答】解:A为随机事件,不符合题意;
B为不可能事件,符合题意;
C为必然事件,不符合题意;
D为随机事件忙不符合题意.
故答案为:B
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
7.(2025·湖北) 如图,平行四边形的对角线交点在原点.若,则点的坐标是(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质;关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解:∵行四边形的对角线交点在原点.若
∴点的坐标是
故答案为:C
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
8.(2025·湖北) 已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流(单位:A)与电阻(单位:)是反比例函数关系,它的图象如图所示.当电阻大于时,电流可能是(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解:由图象可得
当电阻大于时,电流小于4A.
故答案为:A
【分析】根据函数图象性质即可求出答案.
9.(2025·湖北) 如图,内接于.分别以点和点为圆心,大于的长为半径作弧,两弧交于M,N两点,作直线交于点,连接并延长交于点,连接,,则的度数是(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质;圆周角定理;尺规作图-垂直平分线;等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解:由作图可得,MN⊥平分AB
∴DA=DB
∵∠BAC=30°
∴∠BAD=∠ABD=30°
∴∠AOE=2∠ABD=60°
故答案为:C
【分析】由作图可得,MN⊥平分AB,则DA=DB,根据等边对等角可得∠BAD=∠ABD=30°,再根据同弧所对的圆周角是圆心角点的一半即可求出答案.
10.(2025·湖北) 如图,折叠正方形的一边,使点落在上的点处,折痕交于点.若,则的长是(  )
A. B.2 C. D.
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质;直角三角形全等的判定-HL;勾股定理;翻折变换(折叠问题);解直角三角形
【解析】【解答】解:过点G作GH⊥BC于点H
∵四边形ABCD是正方形
∴BC=CD=AB=AD,∠BCD=∠ADC=90°
∠DBC=∠BDC=45°,AC=BD,OA=OC=OB=OD,AC⊥BD
由折叠可得BC=BF,CE=EF
∠BFE=∠BCE=90°=∠DFE,∠FBE=∠CBE
∴∠DEF=∠FDE=45°





∵∠FBE=∠CBE,GH⊥BC,AC⊥BD
∴OG=HG
∵BG=BG
∴Rt△OBG≌Rt△HBC


同理可得

故答案为:C
【分析】过点G作GH⊥BC于点H,根据折叠性质可得BC=BF,CE=EF,∠BFE=∠BCE=90°=∠DFE,∠FBE=∠CBE,则∠DEF=∠FDE=45°,解直角三角形可得DF,根据边之间的关系可得,,求出OB,再根据全等三角形判定定理可得Rt△OBG≌Rt△HBC,则,根据边之间的关系可得CH,同理可得,再根据勾股定理即可求出答案.
二、填空题(共5题,每题3分,共15分)
11.(2025·湖北) 一个矩形相邻两边的长分别为2,m,则这个矩形的面积是   .
【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解:∵一个矩形相邻两边的长分别为2,m,则这个矩形的面积2m
故答案为:2m
【分析】根据矩形面积即可求出答案.
12.(2025·湖北) 已知一次函数随的增大而增大.写出一个符合条件的的值是   .
【答案】2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解:∵一次函数随的增大而增大
∴k>0
∴符合条件的的值是(答案不唯一)
故答案为:(答案不唯一)
【分析】根据一次函数图形与系数的关系即可求出答案.
13.(2025·湖北) 窗,让人足不出户便能将室外天地尽收眼底.如图,“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式,从这三种方式中随机选出一种制作窗格,选中“步步锦”的概率是   .
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解:由题意可得:
选中“步步锦”的概率是
故答案为:
【分析】根据概率公式即可求出答案.
14.(2025·湖北) 计算的结果是   .
【答案】2
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解:
=
=
=2
故答案为:2
【分析】将x通分,再根据分式的减法即可求出答案.
15.(2025·湖北) 如图1,在中,.动点P,Q均以的速度从点同时出发,点沿折线向点运动,点沿边CA向点运动.当点运动到点时,两点都停止运动.的面积(单位:)与运动时间(单位:s)的关系如图2所示.
(1)   ;
(2)   .
【答案】(1)8
(2)12
【知识点】三角形的面积;通过函数图象获取信息;三角形-动点问题;相似三角形的判定-AA;相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解:(1)由图象可得,当t=4时,点P与点B重合
∵动点P,Q均以的速度从点同时出发,
∴CB=CP=CQ=4
∵∠C=90°

故答案为:8
(2)由图象可得,当t=10时,S=10,
此时CQ=10,BP=10-BC=6
过点P作PD⊥AC于点D,则∠PDA=90°

∴PD=2
∵∠PDA=∠C=90°,∠A=∠A
∴△ADP∽△ACB


∴P为AB的中点
∴AB=2BP=12,即N=12
故答案为:12
【分析】(1)由图象可得,当t=4时,点P与点B重合,由题意可得CB=CP=CQ=4,再根据三角形面积即可求出答案.
(2)由图象可得,当t=10时,S=10,此时CQ=10,BP=10-BC=6,根据三角形面积可得PD,根据相似三角形判定定理可得△ADP∽△ACB,则,即,再根据线段中点即可求出答案.
三、解答题(共9题,共75分)
16.(2025·湖北)计算:.
【答案】解:原式=
=6-4+4
=6
【知识点】二次根式的乘除法;有理数的乘方法则;化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据绝对值性质,二次根式乘法,有理数的乘方化简,再计算加减即可求出答案.
17.(2025·湖北) 如图,平分.求证:.
【答案】证明:∵平分,
∴,
∵,,
∴,

【知识点】三角形全等及其性质;三角形全等的判定-SAS;角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线定义可得,再根据全等三角形判定定理可得,则,即可求出答案.
18.(2025·湖北) 如图,甲、乙两栋楼相距30m,从甲楼处看乙楼顶部的仰角为到地面的距离为18m,求乙楼的高.(参考数据:)
【答案】解:如图,
由题意得,四边形为矩形,,,
∴,,,
∵在中,,
∴,
∴,
答:乙楼的高为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据矩形性质可得,,,再根据正切定义可得BC,再根据边之间的关系即可求出答案.
19.(2025·湖北) 为加强劳动教育,学校制定了《劳动习惯养成计划》,实施“家校社”联动行动,引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动.学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查,两次调查均随机抽取50名学生.根据收集到的数据,将劳动时间(单位:)分为,四组进行统计,并绘制了学期初调查数据条形图,学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表,部分信息如下.
两次调查数据统计表
时间 平均数 中位数 众数
学期初 28 29 28
学期末 3.5 3.6 3.6
(1)在学期初调查数据条形图中,B组人数是 ▲ 人,并补全条形图;
(2)七年级有500名学生,估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数;
(3)该校七年级学生一周参与劳动时间,学期末比学期初有没有提高?结合统计数据说明理由.
【答案】(1)解:20; 补全条形图如下:

(2)解:七年级有500名学生,估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数有:
(人).
答:学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数有340人;
(3)解:由表格信息可得:学期末比学期初的一周参与劳动时间的平均数,中位数,众数都增加了,
∴该校七年级学生一周参与劳动时间,学期末比学期初有提高.
【知识点】扇形统计图;条形统计图;分析数据的集中趋势(平均数、中位数、众数);用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解:(1)由题意可得:
B组人数为50-9-15-6=20人
故答案为:20
【分析】(1)根据总人数减去其他组的人数可得B组人数,再补全图形即可.
(2)根据总人数乘以不低于的占比即可求出答案.
(3)根据统计量的几何意义进行比较即可求出答案.
20.(2025·湖北) 幻方起源于中国,月历常用于生活,它们有很多奥秘,探究并完成填空.
主题 探究月历与幻方的奥秘
活动一 图1是某月的月历,用方框选取了其中的9个数. (1)移动方框,若方框中的部分数如图2所示,则是   ,是   ; (2)移动方框,若方框中的部分数如图3所示,则是   ,是   ; (注:用含的代数式表示和.)
活动二 移动方框选取月历中的9个数,调整它们的位置,使其满足“三阶幻方”分布规律:每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等. (3)若方框选取的数如图4所示,调整后,部分数的位置如图5所示,则是   ,是   ; (4)若方框选取的数中最小的数是,调整后,部分数的位置如图6所示,则是   (用含的代数式表示).
【答案】5;11;n+1;n+7;11;3;n+8
【知识点】探索数与式的规律;一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解:(1)由图1可得,a=5,b=11
故答案为:5;11
(2)由图1可得,c=n+1,d=n+7
故答案为:n+1;n+7
(3)由题意可得:
17+2+e=2+10+18
17+10+f=2+10+18
解得:e=11,f=3
故答案为:11;3
(4)由题意可得:9g=n+n+1+n+2+n+7+n+8+n+9+n+14+n+15+n+16
解得:g=n+8
故答案为:n+8
【分析】(1)根据题意即可求出答案.
(2)根据题意即可求出答案.
(3)根据题意建立方程,解方程即可求出答案.
(4)根据题意建立方程,解方程即可求出答案.
21.(2025·湖北) 如图,是的外接圆,.过点作,垂足为,交于点,交于点.过点作的切线,交的延长线于点.
(1)求证:;
(2)若,求的半径.
【答案】(1)证明:∵,是的切线,即,
∴,
∴,
∴,即是等腰直角三角形,
∴;
(2)解:∵,
∴,
∵,
∴,即是等腰直角三角形,
∴,
由(1)得,
∴,
如图所示,连接,设,则,
∴在中,,
∴,
解得,,
∴,
∴的半径.
【知识点】平行线的判定与性质;勾股定理;垂径定理;切线的性质;等腰直角三角形
【解析】【分析】(1)根据切线性质可得,再根据直线平行判定定理可得,则,再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形,则,即可求出答案.
(2)根据垂径定理可得,再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形,则,由(1)得,根据边之间的关系可得EF,连接,设,则,根据勾股定理建立方程,解方程即可求出答案.
22.(2025·湖北) 某商店销售A,B两种水果.A水果标价14元/千克,B水果标价18元/千克.
(1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A,B两种水果共3千克,合计付款46元.这两种水果各买了多少千克?
(2)妈妈让小明再到这家商店买两种水果,要求B水果比A水果多买1千克,合计付款不超过50元.设小明买A水果千克.
①若这两种水果按标价出售,求的取值范围;
②小明到这家商店后,发现两种水果正在进行优惠活动:A水果打七五折;一次购买B水果不超过1千克不优惠,超过1千克后,超过1千克的部分打七五折.(注:“打七五折”指按标价的出售.)若小明合计付款48元,求的值.
【答案】(1)解:设购买A种水果x千克,B种水果y千克,
依题意得:,
解得:.
答:购买A种水果2千克,B种水果1千克.
(2)解:①设小明买A水果千克,则B种水果购买了千克,
∴,
解得:,
∴结合实际可得:;
②设小明买A水果千克,则B种水果购买了千克,
∴,
解得:.
【知识点】一元一次不等式的应用;一元一次方程的实际应用-销售问题;二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设购买A种水果x千克,B种水果y千克,根据题意建立方程组,解方程组即可求出答案.
(2)①设小明买A水果千克,则B种水果购买了千克,根据题意建立不等式,解不等式即可求出答案.
②设小明买A水果千克,则B种水果购买了千克,根据题意建立方程,解方程即可求出答案.
23.(2025·湖北) 在中,,将绕点旋转得到,点的对应点落在边上,连接.
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,当时,求的长;
(3)如图3,过点作的平行线交的延长线于点,过点作的平行线交于点G,与交于点.
①求证:;
②当时,直接写出的值.
【答案】(1)证明:∵将绕点旋转得到,点的对应点落在边上,
∴,
∴,

(2)解:∵,,
∴,
∴,
过作,
∴,
∴,
在中,
即,
解得:,(舍去),
∴,
在中,
∴,
∵,
∴,
即,
∴.
(3)解:①证明:设旋转角为,
则,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴;

【知识点】三角形全等及其性质;勾股定理;圆内接四边形的性质;解直角三角形;旋转的性质
【解析】【解答】(3)②解:∵,
∴设,
∵,
∴四边形是平行四边形,
∴,
由①得,
在中,,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
即,
即,
∴,
∴,
∴,
即,
∴,
由①可得,
∴,
∴点四点共圆,
∴,
∵,
∴,
∴,
设,
则,
根据旋转可得,
∴,
联立可得,

【分析】(1)根据旋转性质可得,则,再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
(2)根据旋转性质可得AC=CD=1,根据勾股定理可得AB,再根据正切定义可得,过作,则,再根勾股定理建立方程,解方程可得,,再根据勾股定理可得AD,再根据相似三角形性质可得,代值计算即可求出答案.
(3)①设旋转角为,则,根据等边对等角及角之间的关系可得,,再根据角之间的关系可得,根据直线平行性质可得,则,再根据全等三角形判定定理可得,则,再根据边之间的关系即可求出答案.
②设,根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形,则,由①得,根据勾股定理可得BC,再根据正弦定义可得,根据全等三角形性质可得,再根据直线平行性质可得,根据角之间的关系可得,再根据正弦定义建立方程,解方程可得,根据圆内接四边形判定定理可得点四点共圆,则,再根据相似三角形判定定理可得,则,设,则,根据旋转可得,则,联立即可求出答案.
24.(2025·湖北) 抛物线与轴相交于点和点,与轴相交于点,是抛物线的顶点,是抛物线上一动点,设点的横坐标为.
(1)求的值;
(2)如图1,若点在对称轴左侧,过点作对称轴的垂线,垂足为,求的值;
(3)定义:抛物线上两点M,N之间的部分叫做抛物线弧(含端点和).过,分别作轴的垂线,过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线,直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形.若点在第四象限,记抛物线弧的特征矩形的周长为.
①求关于的函数解析式;
②过点作轴,交抛物线于点,点与点不重合.记抛物线弧的特征矩形的周长为.若,直接写出的长.
【答案】(1)解:把代入,得:

∴;
(2)解:由(1)可知:,
∴,
∵是抛物线上一动点,设点的横坐标为,
∴,
∵过点作对称轴的垂线,垂足为,
∴,,

(3)解:①当时,,当时,,
∴,,
由(2)可知:,,对称轴为直线,
∴点关于对称轴的对称点为
∵在第四象限,
∴,
当时,抛物线弧的最高点为,最低点为,此时特征矩形的两条邻边的长分别为:,
∴;
当时,抛物线弧的最高点为,最低点为,此时特征矩形的两条邻边的长分别为:,
∴;
当时,抛物线弧的最高点为,最低点为,此时特征矩形的两条邻边的长分别为:,
∴;
综上:;
②或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数-动态几何问题;二次函数y=ax²+bx+c的性质;二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a(x-h)²+k的转化;坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】(3)②∵轴,
∴关于对称轴对称,
∴,
当时,抛物线弧的最高点为,最低点为,此时特征矩形的两条邻边的长分别为:,
∴;
∵,
∴,解得:(舍去)或;
∴;
当时,抛物线弧的最高点为,最低点为,此时特征矩形的两条邻边的长分别为:,
∴;
∵,
∴,解得:或(舍去);
∴;
当时,抛物线弧的最高点为,最低点为,此时特征矩形的两条邻边的长分别为:,
∴;
∵,
∴,解得:(舍去)或;

综上:或.
【分析】(1)根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
(2)将解析式转换为顶点式,求出顶点,设点的横坐标为,则,根据两点间距离可得PH,TH,再根据边之间的关系即可求出答案.
(3)①根据坐标轴上点的坐标特征可得,,根据对称性质可得点关于对称轴的对称点为,根据第四象限点的坐标特征可得,分情况讨论:当时,抛物线弧的最高点为,最低点为,当时,抛物线弧的最高点为,最低点为,当时,抛物线弧的最高点为,最低点为,根据题意列式计算即可求出答案.
②根据对称性质可得,分情况讨论:当时,抛物线弧的最高点为,最低点为,当时,抛物线弧的最高点为,最低点为,当时,抛物线弧的最高点为,根据题意建立方程,解方程即可求出答案.
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