湖北省2025年中考数学真题试卷
一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2025·湖北） 数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖北） “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·湖北） 下列运算的结果为的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·湖北） 一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·湖北） 数学中的“”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图所示．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·湖北） 在下列事件中，不可能事件是（ ）
A．投掷一枚硬币，正面向上
B．从只有红球的袋子中摸出黄球
C．任意画一个圆，它是轴对称图形
D．射击运动员射击一次，命中靶心
7．（2025·湖北） 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·湖北） 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·湖北） 如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·湖北） 如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11．（2025·湖北） 一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是 ．
12．（2025·湖北） 已知一次函数随的增大而增大．写出一个符合条件的的值是 ．
13．（2025·湖北） 窗，让人足不出户便能将室外天地尽收眼底．如图，“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式，从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是 ．
14．（2025·湖北） 计算的结果是 ．
15．（2025·湖北） 如图1，在中，．动点P，Q均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边CA向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．
（1） ；
（2） ．
三、解答题（共9题，共75分）
16．（2025·湖北）计算：．
17．（2025·湖北） 如图，平分．求证：．
18．（2025·湖北） 如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：）
19．（2025·湖北） 为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动．学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间（单位：）分为，四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下．
两次调查数据统计表
时间 平均数 中位数 众数
学期初 28 29 28
学期末 3.5 3.6 3.6
（1）在学期初调查数据条形图中，B组人数是 ▲ 人，并补全条形图；
（2）七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数；
（3）该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由．
20．（2025·湖北） 幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空．
主题 探究月历与幻方的奥秘
活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是 ，是 ； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是 ，是 ； （注：用含的代数式表示和．）
活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是 ，是 ； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是 （用含的代数式表示）．
21．（2025·湖北） 如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
22．（2025·湖北） 某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克．
（1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？
（2）妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克．
①若这两种水果按标价出售，求的取值范围；
②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值．
23．（2025·湖北） 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，求的长；
（3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点G，与交于点．
①求证：；
②当时，直接写出的值．
24．（2025·湖北） 抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为．
（1）求的值；
（2）如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值；
（3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为．
①求关于的函数解析式；
②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得
a<0故答案为：A
【分析】根据数轴上点的位置关系即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
该几何体的主视图为
故答案为：B
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法，幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵的两个实数根为
∴
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图
∵a∥b
∴∠1=∠3=∠2=56°
故答案为：D
【分析】根据直线平行性质及对顶角相等即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A为随机事件，不符合题意；
B为不可能事件，符合题意；
C为必然事件，不符合题意；
D为随机事件忙不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵行四边形的对角线交点在原点．若
∴点的坐标是
故答案为：C
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由图象可得
当电阻大于时，电流小于4A.
故答案为：A
【分析】根据函数图象性质即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆周角定理；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作图可得，MN⊥平分AB
∴DA=DB
∵∠BAC=30°
∴∠BAD=∠ABD=30°
∴∠AOE=2∠ABD=60°
故答案为：C
【分析】由作图可得，MN⊥平分AB，则DA=DB，根据等边对等角可得∠BAD=∠ABD=30°，再根据同弧所对的圆周角是圆心角点的一半即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点G作GH⊥BC于点H
∵四边形ABCD是正方形
∴BC=CD=AB=AD，∠BCD=∠ADC=90°
∠DBC=∠BDC=45°，AC=BD，OA=OC=OB=OD，AC⊥BD
由折叠可得BC=BF，CE=EF
∠BFE=∠BCE=90°=∠DFE，∠FBE=∠CBE
∴∠DEF=∠FDE=45°
∵
∴
∴
∴
∴
∵∠FBE=∠CBE，GH⊥BC，AC⊥BD
∴OG=HG
∵BG=BG
∴Rt△OBG≌Rt△HBC
∴
∴
同理可得
∴
故答案为：C
【分析】过点G作GH⊥BC于点H，根据折叠性质可得BC=BF，CE=EF，∠BFE=∠BCE=90°=∠DFE，∠FBE=∠CBE，则∠DEF=∠FDE=45°，解直角三角形可得DF，根据边之间的关系可得，，求出OB，再根据全等三角形判定定理可得Rt△OBG≌Rt△HBC，则，根据边之间的关系可得CH，同理可得，再根据勾股定理即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积2m
故答案为：2m
【分析】根据矩形面积即可求出答案.
12．【答案】2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数随的增大而增大
∴k>0
∴符合条件的的值是（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据一次函数图形与系数的关系即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
选中“步步锦”的概率是
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
14．【答案】2
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
=
=
=2
故答案为：2
【分析】将x通分，再根据分式的减法即可求出答案.
15．【答案】（1）8
（2）12
【知识点】三角形的面积；通过函数图象获取信息；三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）由图象可得，当t=4时，点P与点B重合
∵动点P，Q均以的速度从点同时出发，
∴CB=CP=CQ=4
∵∠C=90°
∴
故答案为：8
（2）由图象可得，当t=10时，S=10，
此时CQ=10，BP=10-BC=6
过点P作PD⊥AC于点D，则∠PDA=90°
∵
∴PD=2
∵∠PDA=∠C=90°，∠A=∠A
∴△ADP∽△ACB
∴
∴
∴P为AB的中点
∴AB=2BP=12，即N=12
故答案为：12
【分析】（1）由图象可得，当t=4时，点P与点B重合，由题意可得CB=CP=CQ=4，再根据三角形面积即可求出答案.
（2）由图象可得，当t=10时，S=10，此时CQ=10，BP=10-BC=6，根据三角形面积可得PD，根据相似三角形判定定理可得△ADP∽△ACB，则，即，再根据线段中点即可求出答案.
16．【答案】解：原式=
=6-4+4
=6
【知识点】二次根式的乘除法；有理数的乘方法则；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据绝对值性质，二次根式乘法，有理数的乘方化简，再计算加减即可求出答案.
17．【答案】证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线定义可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
18．【答案】解：如图，
由题意得，四边形为矩形，，，
∴，，，
∵在中，，
∴，
∴，
答：乙楼的高为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据矩形性质可得，，，再根据正切定义可得BC，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．【答案】（1）解：20； 补全条形图如下：
；
（2）解：七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数有：
（人）.
答：学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数有340人；
（3）解：由表格信息可得：学期末比学期初的一周参与劳动时间的平均数，中位数，众数都增加了，
∴该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有提高.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
B组人数为50-9-15-6=20人
故答案为：20
【分析】（1）根据总人数减去其他组的人数可得B组人数，再补全图形即可.
（2）根据总人数乘以不低于的占比即可求出答案.
（3）根据统计量的几何意义进行比较即可求出答案.
20．【答案】5；11；n+1；n+7；11；3；n+8
【知识点】探索数与式的规律；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：（1）由图1可得，a=5，b=11
故答案为：5；11
（2）由图1可得，c=n+1，d=n+7
故答案为：n+1；n+7
（3）由题意可得：
17+2+e=2+10+18
17+10+f=2+10+18
解得：e=11，f=3
故答案为：11；3
（4）由题意可得：9g=n+n+1+n+2+n+7+n+8+n+9+n+14+n+15+n+16
解得：g=n+8
故答案为：n+8
【分析】（1）根据题意即可求出答案.
（2）根据题意即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（4）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
21．【答案】（1）证明：∵，是的切线，即，
∴，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
由（1）得，
∴，
如图所示，连接，设，则，
∴在中，，
∴，
解得，，
∴，
∴的半径．
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；垂径定理；切线的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据切线性质可得，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，即可求出答案.
（2）根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，由（1）得，根据边之间的关系可得EF，连接，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
22．【答案】（1）解：设购买A种水果x千克，B种水果y千克，
依题意得：，
解得：．
答：购买A种水果2千克，B种水果1千克．
（2）解：①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，
∴，
解得：，
∴结合实际可得：；
②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，
∴，
解得：.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）证明：∵将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，，
∴，
∴，
过作，
∴，
∴，
在中，
即，
解得：，（舍去），
∴，
在中，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
（3）解：①证明：设旋转角为，
则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】（3）②解：∵，
∴设，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由①得，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
即，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
由①可得，
∴，
∴点四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
则，
根据旋转可得，
∴，
联立可得，
∴
【分析】（1）根据旋转性质可得，则，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据旋转性质可得AC=CD=1，根据勾股定理可得AB，再根据正切定义可得，过作，则，再根勾股定理建立方程，解方程可得，，再根据勾股定理可得AD，再根据相似三角形性质可得，代值计算即可求出答案.
（3）①设旋转角为，则，根据等边对等角及角之间的关系可得，，再根据角之间的关系可得，根据直线平行性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
②设，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，由①得，根据勾股定理可得BC，再根据正弦定义可得，根据全等三角形性质可得，再根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得，再根据正弦定义建立方程，解方程可得，根据圆内接四边形判定定理可得点四点共圆，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，设，则，根据旋转可得，则，联立即可求出答案.
24．【答案】（1）解：把代入，得：
，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
∴，
∵是抛物线上一动点，设点的横坐标为，
∴，
∵过点作对称轴的垂线，垂足为，
∴，，
∴
（3）解：①当时，，当时，，
∴，，
由（2）可知：，，对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为
∵在第四象限，
∴，
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
∴；
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
∴；
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
∴；
综上：；
②或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】（3）②∵轴，
∴关于对称轴对称，
∴，
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
∴；
∵，
∴，解得：（舍去）或；
∴；
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
∴；
∵，
∴，解得：或（舍去）；
∴；
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
∴；
∵，
∴，解得：（舍去）或；
∴
综上：或．
【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）将解析式转换为顶点式，求出顶点，设点的横坐标为，则，根据两点间距离可得PH，TH，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）①根据坐标轴上点的坐标特征可得，，根据对称性质可得点关于对称轴的对称点为，根据第四象限点的坐标特征可得，分情况讨论：当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，根据题意列式计算即可求出答案.
②根据对称性质可得，分情况讨论：当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，当时，抛物线弧的最高点为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1湖北省2025年中考数学真题试卷
一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2025·湖北） 数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得
a<0故答案为：A
【分析】根据数轴上点的位置关系即可求出答案.
2．（2025·湖北） “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
该几何体的主视图为
故答案为：B
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．（2025·湖北） 下列运算的结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法，幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025·湖北） 一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵的两个实数根为
∴
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案.
5．（2025·湖北） 数学中的“”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图所示．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图
∵a∥b
∴∠1=∠3=∠2=56°
故答案为：D
【分析】根据直线平行性质及对顶角相等即可求出答案.
6．（2025·湖北） 在下列事件中，不可能事件是（ ）
A．投掷一枚硬币，正面向上
B．从只有红球的袋子中摸出黄球
C．任意画一个圆，它是轴对称图形
D．射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】B
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A为随机事件，不符合题意；
B为不可能事件，符合题意；
C为必然事件，不符合题意；
D为随机事件忙不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
7．（2025·湖北） 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵行四边形的对角线交点在原点．若
∴点的坐标是
故答案为：C
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
8．（2025·湖北） 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由图象可得
当电阻大于时，电流小于4A.
故答案为：A
【分析】根据函数图象性质即可求出答案.
9．（2025·湖北） 如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆周角定理；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作图可得，MN⊥平分AB
∴DA=DB
∵∠BAC=30°
∴∠BAD=∠ABD=30°
∴∠AOE=2∠ABD=60°
故答案为：C
【分析】由作图可得，MN⊥平分AB，则DA=DB，根据等边对等角可得∠BAD=∠ABD=30°，再根据同弧所对的圆周角是圆心角点的一半即可求出答案.
10．（2025·湖北） 如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点G作GH⊥BC于点H
∵四边形ABCD是正方形
∴BC=CD=AB=AD，∠BCD=∠ADC=90°
∠DBC=∠BDC=45°，AC=BD，OA=OC=OB=OD，AC⊥BD
由折叠可得BC=BF，CE=EF
∠BFE=∠BCE=90°=∠DFE，∠FBE=∠CBE
∴∠DEF=∠FDE=45°
∵
∴
∴
∴
∴
∵∠FBE=∠CBE，GH⊥BC，AC⊥BD
∴OG=HG
∵BG=BG
∴Rt△OBG≌Rt△HBC
∴
∴
同理可得
∴
故答案为：C
【分析】过点G作GH⊥BC于点H，根据折叠性质可得BC=BF，CE=EF，∠BFE=∠BCE=90°=∠DFE，∠FBE=∠CBE，则∠DEF=∠FDE=45°，解直角三角形可得DF，根据边之间的关系可得，，求出OB，再根据全等三角形判定定理可得Rt△OBG≌Rt△HBC，则，根据边之间的关系可得CH，同理可得，再根据勾股定理即可求出答案.
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11．（2025·湖北） 一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积2m
故答案为：2m
【分析】根据矩形面积即可求出答案.
12．（2025·湖北） 已知一次函数随的增大而增大．写出一个符合条件的的值是 ．
【答案】2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数随的增大而增大
∴k>0
∴符合条件的的值是（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据一次函数图形与系数的关系即可求出答案.
13．（2025·湖北） 窗，让人足不出户便能将室外天地尽收眼底．如图，“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式，从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
选中“步步锦”的概率是
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
14．（2025·湖北） 计算的结果是 ．
【答案】2
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
=
=
=2
故答案为：2
【分析】将x通分，再根据分式的减法即可求出答案.
15．（2025·湖北） 如图1，在中，．动点P，Q均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边CA向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）8
（2）12
【知识点】三角形的面积；通过函数图象获取信息；三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）由图象可得，当t=4时，点P与点B重合
∵动点P，Q均以的速度从点同时出发，
∴CB=CP=CQ=4
∵∠C=90°
∴
故答案为：8
（2）由图象可得，当t=10时，S=10，
此时CQ=10，BP=10-BC=6
过点P作PD⊥AC于点D，则∠PDA=90°
∵
∴PD=2
∵∠PDA=∠C=90°，∠A=∠A
∴△ADP∽△ACB
∴
∴
∴P为AB的中点
∴AB=2BP=12，即N=12
故答案为：12
【分析】（1）由图象可得，当t=4时，点P与点B重合，由题意可得CB=CP=CQ=4，再根据三角形面积即可求出答案.
（2）由图象可得，当t=10时，S=10，此时CQ=10，BP=10-BC=6，根据三角形面积可得PD，根据相似三角形判定定理可得△ADP∽△ACB，则，即，再根据线段中点即可求出答案.
三、解答题（共9题，共75分）
16．（2025·湖北）计算：．
【答案】解：原式=
=6-4+4
=6
【知识点】二次根式的乘除法；有理数的乘方法则；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据绝对值性质，二次根式乘法，有理数的乘方化简，再计算加减即可求出答案.
17．（2025·湖北） 如图，平分．求证：．
【答案】证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线定义可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
18．（2025·湖北） 如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：）
【答案】解：如图，
由题意得，四边形为矩形，，，
∴，，，
∵在中，，
∴，
∴，
答：乙楼的高为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据矩形性质可得，，，再根据正切定义可得BC，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．（2025·湖北） 为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动．学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间（单位：）分为，四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下．
两次调查数据统计表
时间 平均数 中位数 众数
学期初 28 29 28
学期末 3.5 3.6 3.6
（1）在学期初调查数据条形图中，B组人数是 ▲ 人，并补全条形图；
（2）七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数；
（3）该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由．
【答案】（1）解：20； 补全条形图如下：
；
（2）解：七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数有：
（人）.
答：学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数有340人；
（3）解：由表格信息可得：学期末比学期初的一周参与劳动时间的平均数，中位数，众数都增加了，
∴该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有提高.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
B组人数为50-9-15-6=20人
故答案为：20
【分析】（1）根据总人数减去其他组的人数可得B组人数，再补全图形即可.
（2）根据总人数乘以不低于的占比即可求出答案.
（3）根据统计量的几何意义进行比较即可求出答案.
20．（2025·湖北） 幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空．
主题 探究月历与幻方的奥秘
活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是 ，是 ； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是 ，是 ； （注：用含的代数式表示和．）
活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是 ，是 ； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是 （用含的代数式表示）．
【答案】5；11；n+1；n+7；11；3；n+8
【知识点】探索数与式的规律；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：（1）由图1可得，a=5，b=11
故答案为：5；11
（2）由图1可得，c=n+1，d=n+7
故答案为：n+1；n+7
（3）由题意可得：
17+2+e=2+10+18
17+10+f=2+10+18
解得：e=11，f=3
故答案为：11；3
（4）由题意可得：9g=n+n+1+n+2+n+7+n+8+n+9+n+14+n+15+n+16
解得：g=n+8
故答案为：n+8
【分析】（1）根据题意即可求出答案.
（2）根据题意即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（4）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
21．（2025·湖北） 如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）证明：∵，是的切线，即，
∴，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
由（1）得，
∴，
如图所示，连接，设，则，
∴在中，，
∴，
解得，，
∴，
∴的半径．
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；垂径定理；切线的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据切线性质可得，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，即可求出答案.
（2）根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，由（1）得，根据边之间的关系可得EF，连接，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
22．（2025·湖北） 某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克．
（1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？
（2）妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克．
①若这两种水果按标价出售，求的取值范围；
②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值．
【答案】（1）解：设购买A种水果x千克，B种水果y千克，
依题意得：，
解得：．
答：购买A种水果2千克，B种水果1千克．
（2）解：①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，
∴，
解得：，
∴结合实际可得：；
②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，
∴，
解得：.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
23．（2025·湖北） 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，求的长；
（3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点G，与交于点．
①求证：；
②当时，直接写出的值．
【答案】（1）证明：∵将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，，
∴，
∴，
过作，
∴，
∴，
在中，
即，
解得：，（舍去），
∴，
在中，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
（3）解：①证明：设旋转角为，
则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】（3）②解：∵，
∴设，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由①得，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
即，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
由①可得，
∴，
∴点四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
则，
根据旋转可得，
∴，
联立可得，
∴
【分析】（1）根据旋转性质可得，则，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据旋转性质可得AC=CD=1，根据勾股定理可得AB，再根据正切定义可得，过作，则，再根勾股定理建立方程，解方程可得，，再根据勾股定理可得AD，再根据相似三角形性质可得，代值计算即可求出答案.
（3）①设旋转角为，则，根据等边对等角及角之间的关系可得，，再根据角之间的关系可得，根据直线平行性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
②设，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，由①得，根据勾股定理可得BC，再根据正弦定义可得，根据全等三角形性质可得，再根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得，再根据正弦定义建立方程，解方程可得，根据圆内接四边形判定定理可得点四点共圆，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，设，则，根据旋转可得，则，联立即可求出答案.
24．（2025·湖北） 抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为．
（1）求的值；
（2）如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值；
（3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为．
①求关于的函数解析式；
②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长．
【答案】（1）解：把代入，得：
，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
∴，
∵是抛物线上一动点，设点的横坐标为，
∴，
∵过点作对称轴的垂线，垂足为，
∴，，
∴
（3）解：①当时，，当时，，
∴，，
由（2）可知：，，对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为
∵在第四象限，
∴，
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
∴；
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
∴；
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
∴；
综上：；
②或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】（3）②∵轴，
∴关于对称轴对称，
∴，
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
∴；
∵，
∴，解得：（舍去）或；
∴；
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
∴；
∵，
∴，解得：或（舍去）；
∴；
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
∴；
∵，
∴，解得：（舍去）或；
∴
综上：或．
【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）将解析式转换为顶点式，求出顶点，设点的横坐标为，则，根据两点间距离可得PH，TH，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）①根据坐标轴上点的坐标特征可得，，根据对称性质可得点关于对称轴的对称点为，根据第四象限点的坐标特征可得，分情况讨论：当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，根据题意列式计算即可求出答案.
②根据对称性质可得，分情况讨论：当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，当时，抛物线弧的最高点为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
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