高二数学第八章 概率
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高二数学第八章 概率 整理人：邢丞
第1讲 随机事件及其概率
★知识梳理★
1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件
2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件发生的频率总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率，记作．
特别提醒：只有在每一种可能出现的概率都相同的前提下，计算出的基本事件的个数才是正确的，才能用等可能事件的概率计算公式=来进行计算
3. 概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；
4．概率的性质：必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率为，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形
5 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．
一般地：如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥
特别提醒：若事件A与B不是互斥事件而是相互独立事件，那么在计算的值时绝对不可以使用这个公式
6．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．
7．互斥事件的概率的求法:如果事件彼此互斥，那么
＝
特别提醒：一. 对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：
1．互斥事件研究的是两个事件之间的关系;
2．所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;
3．两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的.
从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集.
二． 对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪=U，A∩=.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.
三.事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的.
★重难点突破★
1.重点：了解随机事件，了解两个互斥事件的概率加法公式。
2.难点：会用基本公式计算相关的概率问题.
3.重难点：.
(1) “有序”与“无序”混同.
问题1: 从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率。
错解：因为第一次有10种取法，第二次有9种取法，第三次有8种取法，第四次有7种取法，由乘法原理可知从10件取4件共有10×9×8×7种取法，故从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件含有
10×9×8×7个可能的结果。
设A=“取出的4件中恰有1件次品”，则A含有种结果（先从3件次品中取1件，再从7件正品中取3件），
点拨：计算所有可能结果个数是用排列的方法，即考虑了抽取的顺序；而计算事件A所包含结果个数时是用组合的方法，即没有考虑抽取的顺序。
正解：（1）都用排列方法
所有可能的结果共有个，事件A包含个结果（4件中要恰有1件次品，可以看成四次抽取中有一次抽到次品，有种方式，对于每一方式，从3件次品中取一件，再从7件正品中一件一件地取3件，共有种取法）
（2）都用组合方法
一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故共有个可能的结果，事件A含有种结果。
（2）“互斥”与“对立”混同
问题2: 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球
错误答案（D）
点拨： 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同
要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：
（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；
（2）互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；
（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。
正解（A），（B）不互斥，当然也不对立，（C）互斥而不对立，（D）不但互斥而且对立
所以正确答案应为（C）。
★热点考点题型探析★
考点一：随机事件的概率
题型1.随机事件的判断
[例1]
（1）给出下列四个命题：
①“当时，”是必然事件；②“当时，”是不可能事件；③“当时，”是随机事件；④“当时，”是必然事件；其中正确的命题个数是：
A． 0 B 1 C 2 D 3
（2）判断是否正确：“若某疾病的死亡率是90℅，一地区已有9人患此病死亡，则第10个病人必能成活。”
（3）判断是否正确:“某次摸彩的彩票共有10万张，中大奖的概率是10万分子1，若已有9万9千张彩票已被摸出而且没有大奖，某人包下剩下的1千张彩票，那么此人必能中大奖。”
（4）某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，经过如下表：
投篮次数n 8 10 15 20 30 40 50
进球次数m 6 8 12 17 25 32 38
进球频率 0.75 0.8 0.8 0.85 0.83 0.8 0.76
问：随着这位运动员投篮次数的无穷增加，他的进球的概率会是多少？
[例2]已知非空集合A、B满足AB，给出以下四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件 ②若xA，则x∈B是不可能事件
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件 ④若xB，则xA是必然事件
其中正确的个数是( )
A、1 B、2 C、3 D、4
【新题导练】
1．从一堆苹果中任取了只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：
分组
频数 1 2 3 10 1
则这堆苹果中，质量小于克的苹果数约占苹果总数的 ％．
2．某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后, 随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人.抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图5所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05,此分数段的人数为5人.
(1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人
(2) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率.
题型2.求随机事件的概率
[例3]旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.
（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率
（2）求恰有2条线路没有被选择的概率.
【新题导练】
3.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
（Ⅰ）两数之和为8的概率；
（Ⅱ）两数之和是3的倍数的概率；
4．小明、小华用4张扑克牌（分别是黑桃2、黑桃4，黑桃5、梅花5）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
（1）若小明恰好抽到黑桃4；
①请绘制出这种情况的树状图
②求小华抽出的牌的牌面数字比4大的概率．
（2）小明、小华约定：若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大，则小明胜，反之，则小明负，你认为这个游戏是否公平，说明你的理由．
考点二: 互斥事件、对立事件的概率
题型1:互斥事件 、对立事件的概念考查
[例4]18个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组（每组4个队）进行比赛，则这两个强队被分在一个组内的概率是 ；
[例5]甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：
（1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率；
（2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率．
【新题导练】
5．一台机床有的时间加工零件A, 其余时间加工零件B, 加工A时,停机的概率是,加工B时,停机的概率是, 则这台机床停机的概率为( )
A. B. C. D.
6．有朋自远方来，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4．
(1)求他乘火车或飞机来的概率；
(2)求他不乘轮船来的概率；
(3)如果他来的概率为0.4，请问他有可能是乘何种交通工具来的？
★抢分频道★
基础巩固训练
1.从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率
A．不全相等 B．均不相等 C．都相等且为 D．都相等且为
2.甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格概率为，乙及格概率为，丙及格概率为，则三人中至少有一人及格的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．某机关的2008年新春联欢会原定10个节目已排成节目单，开演前又增加了两个反映军民联手抗击雪灾的节目，将这两个节目随机地排入原节目单，则这两个新节目恰好排在一起的概率是_______________
4．从编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十个形状大小相同的球中，任取3个球，则这3个球编号之和为奇数的概率是________.
5．将A、B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：
（I）共有多少种不同的结果？
（II）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？
（III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是多少？
6．在一次语文测试中，有一道我国四大文学名著《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者的连线题，已知连对一个得2分，连错一个不得分.
（Ⅰ）求该同学得0分的概率；
（Ⅱ）求该同学至多得4分的概率.
综合拔高训练
7．有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组成.
第一排 明文字符 A B C D
密码字符 11 12 13 14
第二排 明文字符 E F G H
密码字符 21 22 23 24
第三排 明文字符 M N P Q
密码字符 1 2 3 4
（Ⅰ）求密码中有两个不同数字的概率。
（Ⅱ）求密码中有三个不同数字的概率。
8.盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：
（1）取到的2只都是次品；
（2）取到的2只中正品、次品各一只；
（3）取到的2只中至少有一只正品。
9．定义与的差集：且。若，
设，，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概率，写出与的二组值，使，。
10．将一枚骰子先后抛掷2次,观察向上面的点数
(Ⅰ)点数之和是5的概率;
(Ⅱ)设分别是将一枚骰子先后抛掷2次向上面的点数,求式子成立的概率.
第2讲 古典概型与几何概型
★知识梳理★
1. 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件）称为一个基本事件
特别提醒：基本事件有如下两个特点：
任何两个基本事件都是互斥的；
任何事件都可以表示成基本事件的和。
2．所有基本事件的全体，叫做样本空间，用Ω表示，例如“抛一枚硬币”为一次实验，则Ω={正面，反面}。
3.等可能性事件(古典概型)：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是，这种事件叫等可能性事件
特别提醒：古典概型的两个共同特点：
有限性，即试中有可能出现的基本事件只有有限个，即样本空间Ω中的元素个数是有限的；
等可能性，即每个基本事件出现的可能性相等。
4．古典概型的概率公式：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果都是等可能的，如果事件包含个结果，那么事件的概率
5．几何概型：如果第个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
特别提醒：几何概型的特点：
试验的结果是无限不可数的；
每个结果出现的可能性相等。
6．几何概型的概率公式： P（A）=
★重难点突破★
1.重点：理解古典概型，几何概型的概念，
2.难点：掌握古典概型，几何概型的概率公式；
3.重难点：.
(1) “非等可能”与“等可能”混同
问题1: 掷两枚骰子，求事件A为出现的点数之和等于3的概率。
错解：掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2，3，4，……，12}，有利于事件A的结果只有3，故。
分析：公式
仅当所述的试验结果是等可能性时才成立，而取数值2和3不是等可能的，2只有这样情况（1，1）才出，而3有两种情况（1，2），（2，1）可出现，其它的情况可类推。
正确答案 掷两枚骰子可能出现的情况：（1，1），（1，2），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），（6，2），…，（6，6），结果总数为6×6=36。
在这些结果中，事件A的含有两种结果（1，2），（2，1）。
。
（2）“可辩认”与“不可辨认”混同
问题2: 将n个球等可能地放入到N个编号的盒子中去（每个盒子容纳球的个数不限），求事件A=“某指定的n个盒子中恰好各有一球的概率”。
错解：将n个球等可能地放入到N个编号的盒子中，所有可能的结果数为Nn，而事件A含有n!种结果。
分析：这种解法不全面，如果球是编号的（即可辨认的），则答案是对的；若球是不可辩认的，则答案完全错了。因为球是不可辩认的，故只考虑盒子中球的个数，不考虑放的是哪几个球。我们在此用符号“□”表示一个盒子，“○”表示球，先将盒子按号码排列起来
1 2 3 4 5…N
这样的N个盒子由N+1个“|”构成，然后把n个球任意放入N个
盒子中，比如：|○|○○|…|○○○|，在这样的放法中，符号“|”和“○”共占有：N+1+n个位置，在这N+1+n个位置中，开始和末了的位置上必须是“|”，其余的N+n-1个位置上“|”和“O”可以任意次序排列。则N-1个“1”和n个“○”在中间的N+n-1个位置上的可以区别的所有可能结果数是，将n个不可辨认的球放入指定的n个盒子，使每盒恰有一球的放法只有1种，故事件A含1个结果，从而
正解：分两种情况：
（1）当球是可辩认的，则
（2）当球是不可辨认的，则。
★热点考点题型探析★
考点一：古典概型
题型1. 等可能事件的概率计算
[例1] 某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问：
(1)恰好第三次打开房门所的概率是多少？
(2)三次内打开的概率是多少？
(3)如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？
[例2] 有10件产品，其中有2件次品，每次抽取1件检验，抽检后不放回，共抽2次。求下列事件的概率。
（1）两次抽到的都是正品；（2）抽到的恰有一件为次品；（3）第1次抽到正品，第2次抽到次品。
【新题导练】
1．一个口袋里装有2只白球，3只黑球，从中摸出2个球
（1）共有多少种结果？
（2）摸出2个黑球有多少种结果？
（3）求摸出2个黑球的概率？
（4）求摸出一只黑球一只白球的概率？
（5）求摸出至少一只黑球的概率？
2．某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.
(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？
(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？
考点二: 几何概型
题型1: 几何概型的概率
[例3]将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=27的内部的概率________.
[例4] 两人相约6时到7时在某地见面，先到者等候另一人10分钟，如果另一人还没到，这时方可离去，试求这两人能会面的概率？
【新题导练】
3．在区域内随机撒一把黄豆,落在区域内的概率是 .
4．一元二次方程，其中，，求此方程有实根的概率。
★抢分频道★
基础巩固训练
1.如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（ ）.
A． B． C． D．
2.在长为12cm的线段AB上任取一点M，并且以线段AM为边的正方形，则这正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面区域中任取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为。在边长为2的正方形ABCD内任取一点，使得的概率为 。
4．下图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为 ．
5．将一枚骰子先后抛掷2次，计算:
(1)一共有多少种不同的结果.
(2)其中向上的数之积是12的结果有多少种？
(3)向上数之积是12的概率是多少？
6．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题，计算：
（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
综合拔高训练
7．从男女生共36人的班中，选出2名代表，每人当选的机会均等。如果选得同性代表的概率是，求该班中男女生相差几名？
8．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
（1）两数之和为6的概率；
（2）两数之积是6的倍数的概率；
（3）以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x, y)在直线
x－y=3的下方区域的概率
9．设函数是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从2，3，4，5四个数中任取一个数，求恒成立的概率。
10．已知三个正数满足.
(1)若是从中任取的三个数，求能构成三角形三边长的概率；
(2)若是从中任取的三个数，求能构成三角形三边长的概率.
第八章 概率 综合检测卷
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．10件产品中有4件是次品，从这10件产品中任选2件，恰好是2件正品或2件次品的概率是 （ ）
A． B。 C。 D。 D
2．加工某零件需要经过两道工序，第一道工序的废品率为0.01，第二道工序的废品率为0.02，设这两道工序是否出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为 （ ）
A．0．9702 B。0.9700 C.0.9996 D.0.9998
3. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为（ ）
(A) (B) (C) (D)
4．在1万 km2的海域中有40 km2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是（ ）
A. B. C. D.
5．已知 ，那么 （ ）
A． B。 C。 D。
6．种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为p和q，则恰有一株存活的概率为 ( )
(A) p+q－2p q (B) p+q－pq (C) p+q (D) pq
7．在5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一行，则得到的数能被5或2整除的概率是( )
(A) 0.8 (B) 0.6 (C) 0.4 (D) 0.2
8．在平面区域D中任取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝，在区间[-1,1]上任取两点a，b，方程x有实数根的概率为P，则（ ）
A．0＜P＜ B．＜P＜ C．＜P＜ D．＜P＜1
二、填空题（第小题5分，共30分，其中13~15是选做题，选做两题）
9．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为___________
10．某研究机构准备举办一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示
版本 人教A版 人教B版 苏教版 北师大版
人数 20 15 5 10
从这50名教师中随机选出2名，问这2人使用相同版本教材的概率是___________
11．某火车站站台可同时停靠8列火车，则在某段时间内停靠在站台旁的3列列车任两列均不相邻的概率为 ．
12．如下图，在一个边长为a、b（a＞b＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为a与a，高为b，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________.
13．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.这箱产品被用户接收的概率_____________.
14．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.则甲、乙两人考试均合格的概率____________.
15．在线段AD上任取两点B、C，在B、C处折断此线段而得一折线，则此折线能构成三角形的概率_ _．
三、解答题（共80分）
16．（本题满分13分）在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：
（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.
17．（本题满分13分）一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关（假设骰子是均匀的正方体）。问：
（1）某人在这项游戏中最多能过几关？
（2）他连过前两关的概率是多少？
18．（本题满分13分）平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r19．（本题满分14分）已知函数满足条件：
……………………①
（1）求的取值范围；
（2）若满足条件①的事件为A，求事件A发生的概率。
20．（本题满分14分）在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件，求：
(1) 2件都是合格品的概率；
(2) 2件都是次品的概率；
(3)1件是合格品，1件是次品的概率。
21．（本题满分12分）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
⑴、甲、乙按以上规则各摸一个球，求事件“甲赢且编号的和为6”发生的概率；
⑵、这种游戏规则公平吗 试说明理由．
高二数学第八章 概率详解答案
第一讲
例1解析：（1）B；（2）否；（3）是；（4）0.8.
例2答案：C
解析：①③④正确，②错误.
【新题导练】
1.答案：30
2.解:(1) 由频率分布条形图知,抽取的学生总数为人.
∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为,由=100,解得.
∴各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人.
(2) 在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于90分的概率为0.35+0.25+0.1+0.05=0.75.
例3解析：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：
（2）恰有两条线路没有被选择的概率为：
【新题导练】
3.解: 将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件
（1） 记“两数之和为8”为事件A，则事件A中含有5个基本事件，
所以P（A）=；
答：两数之和为6的概率为。
（2）记“两数之和是3的倍数”为事件B，则事件B中含有12个基本事件，
所以P（B）=；
答：两数之和是3的倍数的概率为。
4.解：（1） ① 小明抽出的牌 小华抽出的牌 结果
2 （4，2）
4 5 （4，5）
5 （4，5）
② 由①可知小华抽出的牌面数字比4大的概率为：
（2）小明获胜的情况有：（4，2）、（5，4）、（5，4）、（5，2）、（5，2）
故小明获胜的概率为： ， 因为，所以不公平.
例4解析一：2个强队分在同一组，包括互斥的两种情况：2个强队都分在A组和都分在B组。2个强队都分在A组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面包括2个强队”这一事件，其概率为；2个强队都分在B组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面没有强队”这一事件，其概率为；因此2个强队分在同一个组的概率为。
解析二：“2个强队分在同一个组”这一事件的对立事件“2个组中各有一个强队”，而两个组中各有一个强队，可看成“从8个队中抽取4个队，里面恰有一个强队”，这一事件，其概率为，因此2个强队分在同一个组的概率为：。
例5解析：（1）甲班参赛同学恰有1名同学成绩及格的概率为C21×0.6×0.4=0.48.
乙班参赛同学中恰有一名同学成绩及格的概率为C21×0.6×0.4=0.48.
故甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩几个的概率为
p=0.48×0.48=0.230 4.
（2）方法一：甲、乙两班4名参赛同学成绩都不及格的概率为0.44=0.025 6.
故甲、乙两班参赛同学中至少有一名同学成绩都不及格的概率为
P=1-0.0256=0.974 4.
方法二：甲、乙两班参赛同学成绩及格的概率为C41×0.6×0.43=0.153 6.
甲、乙两班参赛同学中恰有2名同学成绩及格的概率为C42×0.62×0.42=0.345 6.
甲、乙两班参赛同学中恰有3名同学成绩及格的概率为C43×0.63×0.4=0.345 6.
甲、乙两班4名参赛同学成绩都及格的概率为0.64=0.129 6.
故甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为
p=0.153 6+0.345 6+0.345 6+0.129 6=0.974 4.
【新题导练】
5..A 解析：机床停机的概率就是A，B两种零件都不能加工的概率，即×＋×=.
6.解：设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件A,B,C,D，则P(A)=0.3，P(B)=0.2，P(C)=0.1，P(D)=0.4，且事件A,B,C,D之间是互斥的．
(1)他乘火车或飞机来的概率为P1=P(A∪D)=P(A)＋P(D)=0.3＋0.4=0.7.
(2)他乘轮船来的概率是P(B)=0.2，
所以他不乘轮船来的概率为P()=1－P(B)=1－0.2=0.8．
（3)由于0.4=P(D)=P(A)＋P(C)，
所以他可能是乘飞机来，也可能是乘火车或汽车来的．
【抢分频道】
1.答案：C
2.答案：B
3.答案：
4.方法一：任取3个球有C种结果，编号之和为奇数的结果有CC+ C=60（种），故所求概率为.
方法二：十个球的编号中，恰好有5个奇数和5个偶数，从中任取3个球，3个球编号之和为奇数与3个球编号之和为偶数的机会是均等的，故所求概率为.
5.解: （I） 共有种结果
（II） 若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数，则点数之和是3的倍数的结果有：
（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），
（3,3），（4,5），（5,4），（3,6），（6,3），（6,6）共12种．
（III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是：P＝
6.解：（I）设该同学得0分的概率；
（Ⅱ）解法一：该同学至多得4分的概率.
=++=
解法二：该同学至多得4分的概率.
7.解：（Ⅰ）由密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码.
（Ⅱ）.由密码中只有三个数字，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2，3或1，2，4.
8.解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62=36种不同取法
（1）取到的2只都是次品情况为22=4种，因而所求概率为
（2）由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品。因而所求概率为
（3）由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件，因而所求概率为
9.解：要使，。可以使中有3个元素，中有2个元素， 中有1个元素。则。
②中有6个元素，中有4个元素， 中有2个元素。则
10.解:将一枚骰子先后抛掷2次,向上的点数共有36种不同的结果
(Ⅰ)将一枚骰子先后抛掷2次,向上的点数分别记为,点数之和是5的情况有以下4种不同的结果
因此,点数之和是5的概率为
(Ⅱ)由得,
而将一枚骰子先后抛掷2次向上的点数相等的情况有以下6种不同的结果:
因此,式子成立的概率为
第二讲
例1解析： 5把钥匙，逐把试开有种结果，由于该人忘记了开房间的是哪一把，因此这些结果是等可能的。
(1)第三次打开房门的结果有种，故第三次打开房门锁的概率P(A)==
(2)三次内打开房门的结果有种，因此所求概率P(A)= =
(3)方法1 因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有种，从而三次内打开的结果有种，从而三次内打开的结果有种，所求概率P(A)= =.
方法2 三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果种；三次内恰有两次打开的结果种.因此，三次内打开的结果有（）种，所求概率P(A)=
例2解析：记Ω={从10件产品中任抽2件}则n=card(Ω)=C
（1）记A={从10件产品中抽2件，都是正品}，则m=card(A)=C
∴
（2）记B={从10件产品中抽2件，一件为正品，一件为次品}，则m=card(B)=
∴
（3）初看本题与题（2）是相同的，其实不然，题（2）包含于两种可能，“第一次正品、第二次次品”或“第一次次品，第二次正品”，而目前求的是其中之一“第一次正品，第二次次品”的概率。
（法一）由于事件B中包含“第一次正品，第2次次品”和“第一次次品第2次正品”两种等可能的情况，∴所求事件的概率。
（法二）记Ω’={从10件产品中，任取一件，（放入甲袋中），再从剩下9件产品中任取一件，（放入乙袋中）}
记C={第一次取出的是正品，第二次取出的是次品}={甲袋中为正品，乙袋中为次品}
∴card(Ω’)=，card(C)=
∴
【名师指引】样本空间的选取会影响到解答的过程。因此解等可能概型时，建议遵循以下步骤①判断该问题是等可能概型②确定样本空间（即试验的方法，试验的结果将影响样本空间）；③用排列组合问题的解法确定card(Ω) 与card(A)，则
【新题导练】
1.解（1）共有n=种结果（card(Ω)=10）
（2）都摸出黑球种结果
（3）记A={两次都摸黑球}，
（4）记B={一次摸黑球，一次摸白球}，
（5）记C={至少一只黑球}
则={两只都是白球}，
2.解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为，随意按下6个数字相当于随意按下个，随意按下6个数字相当于随意按下个密码之一，其概率是.
(2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为.
例3解析：基本事件总数为36，点（x，y），在圆x2+y2=27的内部记为事件D，则D包含17个事件，所以P（D）=。
例4解析：设、分别表示两人到达的时刻
则 即其平面区域为
设“两人能见面”为事件A，则
【新题导练】
3.答案：，作图。
4.解析：试验的全部结果所构成的区域为，
构成事件的区域为，故所求的概率为。
【抢分频道】
1.答案：B 提示：利用几何概型公式。
2.答案：A 提示：考查几何概型。
3.答案：
4.解：解利用几何概型。
5.解 （1）将骰子向桌面先后抛掷两次，一共有36种不同的结果.
(2)向上的数之积是12，记（I,j）为“第一次掷出结果为I，第二次掷出结果为j”则相乘为12的结果有（2，6），（3，4），（4，3），（6，2）4种情况.
(3)由于骰子是均匀的，将它向桌面先后抛掷2次的所有36种结果是等可能的，其中“向上的数之积是12”这一事件记为A.Card(A)=4.所以所求概率P(A)=
6.解：（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率；
（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率
7.解：设男生有名，则女生有（36－）人，选出的2名代表是同性的概率为P＝，解得，所以男女生相差6人。
8.解：
（1）两数之和为6的概率为
（2）此问题中含有36个等可能基本事件，记“向上的两数之积是6的倍数”为事件A，则由下面的列表可知，事件A中含有其中的15个等可能基本事件，所以P(A)==,
答：两数之积是6的倍数的概率为
（3）此问题中含有36个等可能基本事件，记“点(x,y)在直线x－y=3的下方区域”为事件B，则由下列的列表可知，事件B中含有其中3个基本等可能基本事件：∴P(B)==,答：点(x, y)在直线x－y=3的下方区域的概率为
9.解：
…………………………2分
…………………………4分
于是成立。……………………6分
设事件A：“恒成立”，则
基本事件总数为12个，即
（1，2），（1，3），（1，3），（1，5）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；…………………………8分
事件A包含事件：（1，2），（1，3）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个……………………10分
由古典概型得……………………12分
10.解:(1)若能构成三角形，则.
①若时，.共1种；
②若时。.共2种；
同理时，有3+1=4种；
时，有4+2=6种；
时，有5+3+1=9种；
时，有6+4+2=12种.
于是共有1+2+4+6+9+12=34种.
下面求从中任取的三个数()的种数：
①若，，则，有7种；，有6种；，，有5种；……； ，有1种.
故共有7+6+5+4+3+2+1=28种.
同理，时，有6+5+4+3+2+1=21种；时，有5+4+3+2+1=15种；时，有4+3+2+1=10种；时，有3+2+1=6种；时，有2+1=3种；时，有1种.
这时共有28+21+15+10+6+3+1=84种.
∴能构成三角形的概率为.
(2)能构成三角形的充要条件是.
在坐标系内画出满足以上条件的区域(如右图阴影部分)，由几何概型的计算方法可知，只求阴影部分的面积与图中正方形的面积比即可.
又，于是所要求的概率为
第五章 概率 综合检测卷
1.答案：D
2.答案：A
3.答案：A
4.答案：C
5.答案：C
6.答案：A
7.答案：B
8.答案：B
9.答案：
10.答案：50名教师中随机选出2名的方法数为，
选出的2人所使用版本相同的方法数为=190+105+10+45=350，
2人所使用版本相同的概率为-
11.答案：
12.答案：
13.答案：设“这箱产品被用户接收”为事件，. 即这箱产品被用户接收的概率为．
14.答案：设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则
P(A)==，P(B)=.
因为事件A、B相互独立，∴甲、乙两人考试均合格的概率为
15.答案：设AD之长为l，而AB、AC之长度各为xl，yl，由于B、C在线段AD上，因而应有0≤x、y≤l，由此可见，点对(B、C)与正方形K={(x，y)：0≤x≤l，0≤y≤l}中的点(x，y)是一一对应的，先设x＜y，这时，AB、BC、CD能构成三角形的充要条件是
AB＋BC＞CD，
BC＋CD＞AB，
CD＋AB＞BC
注意 AB=xl，BC=(y－x)l，CD=(1－y)l，
代入上面三式，得
符合此条件的点(x，y)必落在△GFE中．同样地，当y＜x时，当且仅当点(x，y)落在△EHI中，AC、CB、BD能构成三角形，利用几何概型可知，所求的概率为
16.解 （1）从20件产品中任取3件的取法有，其中恰有1件次品的取法为。
恰有一件次品的概率P=.………6分
(2)法一 从20件产品中任取3件，其中恰有1件次品为事件A1,恰有2件次品为事件A2，3件全是次品为事件A3,则它们的概率
P(A1)= =,,,
而事件A1、A2、A3彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率
P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= .
法二 记从20件产品中任取3件，3件全是正品为事件A，那么任取3件，至少有1件次品为，根据对立事件的概率加法公式P()=………13分
17.解：（1）由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相同的。
因骰子出现的点数最大为6，而，因此，当时，次出现的点数之和大于已不可能。故这是一个不可能事件，最终过关的概率为0。所以，最多只能连过4关。………6分
（2）设事件为“第关过关失败”，则对立事件为“第关过关成功”。
第关游戏中，基本事件总数为个。………8分
第1关：事件所包含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况）。所以，过此关的概率为………10分
第2关：事件所包含基本事件数为6，所以，过此关的概率为
………12分
故连过前两关的概率是………13分
18.解：记事件A：“硬币不与任一条平行线相碰”.为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，参看下图，这样线段OM长度（记作|OM|）的取值范围是［0，a］，只有当r＜|OM|≤a时，硬币不与平行线相碰，所以P（A）=.………13分
19.解：（1）利用待定系数法及线性规划知识可求得，
等号成立的条件是b=2。c=4。
（2）事件发生的总数为5×5=25种可能，事件A的基本数为（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，0），（3，1），（3，2），（4，0）共16种，故所求事件A发生的概率为………14分
20.解 从100件产品中任取2件的可能出现的结果数，就是从100个元素中任取2个元素的组合数，由于任意抽取，这些结果出现的可能性相等.为基本事件总数.
（1）00件产品中有95件合格品，取到2件合格品的结果数，就是从95个元素中任取2个组合数，记“任取2件都是合格品”为事件A1，那么
（2）由于在100件产品中有5件次品，取到2件次品的结果数为.记“任取2件都是次品”为事件A2,那么事件A2的概率为： ………7分
（3）记“任取2件，1件是次品，1件是合格品”为种，则事件A3的概率为： ………14分
21.解：⑴、设“甲胜且两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为（1，5）,（2，4）（3，3）,（4，2）,（5，1），共5个． ………………………………………………2分
又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果，………………………4分
所以． ………………………………………………………………………5分
答：编号的和为6的概率为． ………………………………………………………………6分
⑵、这种游戏规则不公平． …………………………………………………………8分
设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C， …………………………………………………9分
则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：
（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）．
所以甲胜的概率P（B）＝，从而乙胜的概率P（C）＝1－＝． ……………11分
由于P（B）≠P（C），所以这种游戏规则不公平． ……………………………………12分
_
b
_
y
=
x
_
a
_
3
_
0
_
2
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高二数学第八章 概率 整理人：邢丞
第1讲 随机事件及其概率
★知识梳理★
1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件
2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件发生的频率总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率，记作．
特别提醒：只有在每一种可能出现的概率都相同的前提下，计算出的基本事件的个数才是正确的，才能用等可能事件的概率计算公式=来进行计算
3. 概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；
4．概率的性质：必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率为，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形
5 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．
一般地：如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥
特别提醒：若事件A与B不是互斥事件而是相互独立事件，那么在计算的值时绝对不可以使用这个公式
6．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．
7．互斥事件的概率的求法:如果事件彼此互斥，那么
＝
特别提醒：一. 对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：
1．互斥事件研究的是两个事件之间的关系;
2．所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;
3．两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的.
从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集.
二． 对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪=U，A∩=.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.
三.事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的.
★重难点突破★
1.重点：了解随机事件，了解两个互斥事件的概率加法公式。
2.难点：会用基本公式计算相关的概率问题.
3.重难点：.
(1) “有序”与“无序”混同.
问题1: 从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率。
错解：因为第一次有10种取法，第二次有9种取法，第三次有8种取法，第四次有7种取法，由乘法原理可知从10件取4件共有10×9×8×7种取法，故从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件含有
10×9×8×7个可能的结果。
设A=“取出的4件中恰有1件次品”，则A含有种结果（先从3件次品中取1件，再从7件正品中取3件），
点拨：计算所有可能结果个数是用排列的方法，即考虑了抽取的顺序；而计算事件A所包含结果个数时是用组合的方法，即没有考虑抽取的顺序。
正解：（1）都用排列方法
所有可能的结果共有个，事件A包含个结果（4件中要恰有1件次品，可以看成四次抽取中有一次抽到次品，有种方式，对于每一方式，从3件次品中取一件，再从7件正品中一件一件地取3件，共有种取法）
（2）都用组合方法
一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故共有个可能的结果，事件A含有种结果。
（2）“互斥”与“对立”混同
问题2: 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球
错误答案（D）
点拨： 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同
要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：
（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；
（2）互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；
（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。
正解（A），（B）不互斥，当然也不对立，（C）互斥而不对立，（D）不但互斥而且对立
所以正确答案应为（C）。
★热点考点题型探析★
考点一：随机事件的概率
题型1.随机事件的判断
[例1]
（1）给出下列四个命题：
①“当时，”是必然事件；②“当时，”是不可能事件；③“当时，”是随机事件；④“当时，”是必然事件；其中正确的命题个数是：
A． 0 B 1 C 2 D 3
（2）判断是否正确：“若某疾病的死亡率是90℅，一地区已有9人患此病死亡，则第10个病人必能成活。”
（3）判断是否正确:“某次摸彩的彩票共有10万张，中大奖的概率是10万分子1，若已有9万9千张彩票已被摸出而且没有大奖，某人包下剩下的1千张彩票，那么此人必能中大奖。”
（4）某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，经过如下表：
投篮次数n 8 10 15 20 30 40 50
进球次数m 6 8 12 17 25 32 38
进球频率 0.75 0.8 0.8 0.85 0.83 0.8 0.76
问：随着这位运动员投篮次数的无穷增加，他的进球的概率会是多少？
[例2]已知非空集合A、B满足AB，给出以下四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件 ②若xA，则x∈B是不可能事件
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件 ④若xB，则xA是必然事件
其中正确的个数是( )
A、1 B、2 C、3 D、4
【新题导练】
1．从一堆苹果中任取了只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：
分组
频数 1 2 3 10 1
则这堆苹果中，质量小于克的苹果数约占苹果总数的 ％．
2．某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后, 随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人.抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图5所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05,此分数段的人数为5人.
(1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人
(2) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率.
题型2.求随机事件的概率
[例3]旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.
（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率
（2）求恰有2条线路没有被选择的概率.
【新题导练】
3.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
（Ⅰ）两数之和为8的概率；
（Ⅱ）两数之和是3的倍数的概率；
4．小明、小华用4张扑克牌（分别是黑桃2、黑桃4，黑桃5、梅花5）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
（1）若小明恰好抽到黑桃4；
①请绘制出这种情况的树状图
②求小华抽出的牌的牌面数字比4大的概率．
（2）小明、小华约定：若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大，则小明胜，反之，则小明负，你认为这个游戏是否公平，说明你的理由．
考点二: 互斥事件、对立事件的概率
题型1:互斥事件 、对立事件的概念考查
[例4]18个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组（每组4个队）进行比赛，则这两个强队被分在一个组内的概率是 ；
[例5]甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：
（1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率；
（2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率．
【新题导练】
5．一台机床有的时间加工零件A, 其余时间加工零件B, 加工A时,停机的概率是,加工B时,停机的概率是, 则这台机床停机的概率为( )
A. B. C. D.
6．有朋自远方来，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4．
(1)求他乘火车或飞机来的概率；
(2)求他不乘轮船来的概率；
(3)如果他来的概率为0.4，请问他有可能是乘何种交通工具来的？
★抢分频道★
基础巩固训练
1.从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率
A．不全相等 B．均不相等 C．都相等且为 D．都相等且为
2.甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格概率为，乙及格概率为，丙及格概率为，则三人中至少有一人及格的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．某机关的2008年新春联欢会原定10个节目已排成节目单，开演前又增加了两个反映军民联手抗击雪灾的节目，将这两个节目随机地排入原节目单，则这两个新节目恰好排在一起的概率是_______________
4．从编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十个形状大小相同的球中，任取3个球，则这3个球编号之和为奇数的概率是________.
5．将A、B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：
（I）共有多少种不同的结果？
（II）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？
（III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是多少？
6．在一次语文测试中，有一道我国四大文学名著《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者的连线题，已知连对一个得2分，连错一个不得分.
（Ⅰ）求该同学得0分的概率；
（Ⅱ）求该同学至多得4分的概率.
综合拔高训练
7．有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组成.
第一排 明文字符 A B C D
密码字符 11 12 13 14
第二排 明文字符 E F G H
密码字符 21 22 23 24
第三排 明文字符 M N P Q
密码字符 1 2 3 4
（Ⅰ）求密码中有两个不同数字的概率。
（Ⅱ）求密码中有三个不同数字的概率。
8.盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：
（1）取到的2只都是次品；
（2）取到的2只中正品、次品各一只；
（3）取到的2只中至少有一只正品。
9．定义与的差集：且。若，
设，，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概率，写出与的二组值，使，。
10．将一枚骰子先后抛掷2次,观察向上面的点数
(Ⅰ)点数之和是5的概率;
(Ⅱ)设分别是将一枚骰子先后抛掷2次向上面的点数,求式子成立的概率.
第2讲 古典概型与几何概型
★知识梳理★
1. 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件）称为一个基本事件
特别提醒：基本事件有如下两个特点：
任何两个基本事件都是互斥的；
任何事件都可以表示成基本事件的和。
2．所有基本事件的全体，叫做样本空间，用Ω表示，例如“抛一枚硬币”为一次实验，则Ω={正面，反面}。
3.等可能性事件(古典概型)：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是，这种事件叫等可能性事件
特别提醒：古典概型的两个共同特点：
有限性，即试中有可能出现的基本事件只有有限个，即样本空间Ω中的元素个数是有限的；
等可能性，即每个基本事件出现的可能性相等。
4．古典概型的概率公式：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果都是等可能的，如果事件包含个结果，那么事件的概率
5．几何概型：如果第个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
特别提醒：几何概型的特点：
试验的结果是无限不可数的；
每个结果出现的可能性相等。
6．几何概型的概率公式： P（A）=
★重难点突破★
1.重点：理解古典概型，几何概型的概念，
2.难点：掌握古典概型，几何概型的概率公式；
3.重难点：.
(1) “非等可能”与“等可能”混同
问题1: 掷两枚骰子，求事件A为出现的点数之和等于3的概率。
错解：掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2，3，4，……，12}，有利于事件A的结果只有3，故。
分析：公式
仅当所述的试验结果是等可能性时才成立，而取数值2和3不是等可能的，2只有这样情况（1，1）才出，而3有两种情况（1，2），（2，1）可出现，其它的情况可类推。
正确答案 掷两枚骰子可能出现的情况：（1，1），（1，2），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），（6，2），…，（6，6），结果总数为6×6=36。
在这些结果中，事件A的含有两种结果（1，2），（2，1）。
。
（2）“可辩认”与“不可辨认”混同
问题2: 将n个球等可能地放入到N个编号的盒子中去（每个盒子容纳球的个数不限），求事件A=“某指定的n个盒子中恰好各有一球的概率”。
错解：将n个球等可能地放入到N个编号的盒子中，所有可能的结果数为Nn，而事件A含有n!种结果。
分析：这种解法不全面，如果球是编号的（即可辨认的），则答案是对的；若球是不可辩认的，则答案完全错了。因为球是不可辩认的，故只考虑盒子中球的个数，不考虑放的是哪几个球。我们在此用符号“□”表示一个盒子，“○”表示球，先将盒子按号码排列起来
1 2 3 4 5…N
这样的N个盒子由N+1个“|”构成，然后把n个球任意放入N个
盒子中，比如：|○|○○|…|○○○|，在这样的放法中，符号“|”和“○”共占有：N+1+n个位置，在这N+1+n个位置中，开始和末了的位置上必须是“|”，其余的N+n-1个位置上“|”和“O”可以任意次序排列。则N-1个“1”和n个“○”在中间的N+n-1个位置上的可以区别的所有可能结果数是，将n个不可辨认的球放入指定的n个盒子，使每盒恰有一球的放法只有1种，故事件A含1个结果，从而
正解：分两种情况：
（1）当球是可辩认的，则
（2）当球是不可辨认的，则。
★热点考点题型探析★
考点一：古典概型
题型1. 等可能事件的概率计算
[例1] 某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问：
(1)恰好第三次打开房门所的概率是多少？
(2)三次内打开的概率是多少？
(3)如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？
[例2] 有10件产品，其中有2件次品，每次抽取1件检验，抽检后不放回，共抽2次。求下列事件的概率。
（1）两次抽到的都是正品；（2）抽到的恰有一件为次品；（3）第1次抽到正品，第2次抽到次品。
【新题导练】
1．一个口袋里装有2只白球，3只黑球，从中摸出2个球
（1）共有多少种结果？
（2）摸出2个黑球有多少种结果？
（3）求摸出2个黑球的概率？
（4）求摸出一只黑球一只白球的概率？
（5）求摸出至少一只黑球的概率？
2．某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.
(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？
(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？
考点二: 几何概型
题型1: 几何概型的概率
[例3]将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=27的内部的概率________.
[例4] 两人相约6时到7时在某地见面，先到者等候另一人10分钟，如果另一人还没到，这时方可离去，试求这两人能会面的概率？
【新题导练】
3．在区域内随机撒一把黄豆,落在区域内的概率是 .
4．一元二次方程，其中，，求此方程有实根的概率。
★抢分频道★
基础巩固训练
1.如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（ ）.
A． B． C． D．
2.在长为12cm的线段AB上任取一点M，并且以线段AM为边的正方形，则这正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面区域中任取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为。在边长为2的正方形ABCD内任取一点，使得的概率为 。
4．下图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为 ．
5．将一枚骰子先后抛掷2次，计算:
(1)一共有多少种不同的结果.
(2)其中向上的数之积是12的结果有多少种？
(3)向上数之积是12的概率是多少？
6．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题，计算：
（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
综合拔高训练
7．从男女生共36人的班中，选出2名代表，每人当选的机会均等。如果选得同性代表的概率是，求该班中男女生相差几名？
8．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
（1）两数之和为6的概率；
（2）两数之积是6的倍数的概率；
（3）以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x, y)在直线
x－y=3的下方区域的概率
9．设函数是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从2，3，4，5四个数中任取一个数，求恒成立的概率。
10．已知三个正数满足.
(1)若是从中任取的三个数，求能构成三角形三边长的概率；
(2)若是从中任取的三个数，求能构成三角形三边长的概率.
第八章 概率 综合检测卷
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．10件产品中有4件是次品，从这10件产品中任选2件，恰好是2件正品或2件次品的概率是 （ ）
A． B。 C。 D。 D
2．加工某零件需要经过两道工序，第一道工序的废品率为0.01，第二道工序的废品率为0.02，设这两道工序是否出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为 （ ）
A．0．9702 B。0.9700 C.0.9996 D.0.9998
3. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为（ ）
(A) (B) (C) (D)
4．在1万 km2的海域中有40 km2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是（ ）
A. B. C. D.
5．已知 ，那么 （ ）
A． B。 C。 D。
6．种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为p和q，则恰有一株存活的概率为 ( )
(A) p+q－2p q (B) p+q－pq (C) p+q (D) pq
7．在5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一行，则得到的数能被5或2整除的概率是( )
(A) 0.8 (B) 0.6 (C) 0.4 (D) 0.2
8．在平面区域D中任取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝，在区间[-1,1]上任取两点a，b，方程x有实数根的概率为P，则（ ）
A．0＜P＜ B．＜P＜ C．＜P＜ D．＜P＜1
二、填空题（第小题5分，共30分，其中13~15是选做题，选做两题）
9．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为___________
10．某研究机构准备举办一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示
版本 人教A版 人教B版 苏教版 北师大版
人数 20 15 5 10
从这50名教师中随机选出2名，问这2人使用相同版本教材的概率是___________
11．某火车站站台可同时停靠8列火车，则在某段时间内停靠在站台旁的3列列车任两列均不相邻的概率为 ．
12．如下图，在一个边长为a、b（a＞b＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为a与a，高为b，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________.
13．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.这箱产品被用户接收的概率_____________.
14．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.则甲、乙两人考试均合格的概率____________.
15．在线段AD上任取两点B、C，在B、C处折断此线段而得一折线，则此折线能构成三角形的概率_ _．
三、解答题（共80分）
16．（本题满分13分）在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：
（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.
17．（本题满分13分）一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关（假设骰子是均匀的正方体）。问：
（1）某人在这项游戏中最多能过几关？
（2）他连过前两关的概率是多少？
18．（本题满分13分）平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r
……………………①
（1）求的取值范围；
（2）若满足条件①的事件为A，求事件A发生的概率。
20．（本题满分14分）在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件，求：
(1) 2件都是合格品的概率；
(2) 2件都是次品的概率；
(3)1件是合格品，1件是次品的概率。
21．（本题满分12分）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
⑴、甲、乙按以上规则各摸一个球，求事件“甲赢且编号的和为6”发生的概率；
⑵、这种游戏规则公平吗 试说明理由．
高二数学第八章 概率详解答案
第一讲
例1解析：（1）B；（2）否；（3）是；（4）0.8.
例2答案：C
解析：①③④正确，②错误.
【新题导练】
1.答案：30
2.解:(1) 由频率分布条形图知,抽取的学生总数为人.
∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为,由=100,解得.
∴各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人.
(2) 在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于90分的概率为0.35+0.25+0.1+0.05=0.75.
例3解析：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：
（2）恰有两条线路没有被选择的概率为：
【新题导练】
3.解: 将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件
（1） 记“两数之和为8”为事件A，则事件A中含有5个基本事件，
所以P（A）=；
答：两数之和为6的概率为。
（2）记“两数之和是3的倍数”为事件B，则事件B中含有12个基本事件，
所以P（B）=；
答：两数之和是3的倍数的概率为。
4.解：（1） ① 小明抽出的牌 小华抽出的牌 结果
2 （4，2）
4 5 （4，5）
5 （4，5）
② 由①可知小华抽出的牌面数字比4大的概率为：
（2）小明获胜的情况有：（4，2）、（5，4）、（5，4）、（5，2）、（5，2）
故小明获胜的概率为： ， 因为，所以不公平.
例4解析一：2个强队分在同一组，包括互斥的两种情况：2个强队都分在A组和都分在B组。2个强队都分在A组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面包括2个强队”这一事件，其概率为；2个强队都分在B组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面没有强队”这一事件，其概率为；因此2个强队分在同一个组的概率为。
解析二：“2个强队分在同一个组”这一事件的对立事件“2个组中各有一个强队”，而两个组中各有一个强队，可看成“从8个队中抽取4个队，里面恰有一个强队”，这一事件，其概率为，因此2个强队分在同一个组的概率为：。
例5解析：（1）甲班参赛同学恰有1名同学成绩及格的概率为C21×0.6×0.4=0.48.
乙班参赛同学中恰有一名同学成绩及格的概率为C21×0.6×0.4=0.48.
故甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩几个的概率为
p=0.48×0.48=0.230 4.
（2）方法一：甲、乙两班4名参赛同学成绩都不及格的概率为0.44=0.025 6.
故甲、乙两班参赛同学中至少有一名同学成绩都不及格的概率为
P=1-0.0256=0.974 4.
方法二：甲、乙两班参赛同学成绩及格的概率为C41×0.6×0.43=0.153 6.
甲、乙两班参赛同学中恰有2名同学成绩及格的概率为C42×0.62×0.42=0.345 6.
甲、乙两班参赛同学中恰有3名同学成绩及格的概率为C43×0.63×0.4=0.345 6.
甲、乙两班4名参赛同学成绩都及格的概率为0.64=0.129 6.
故甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为
p=0.153 6+0.345 6+0.345 6+0.129 6=0.974 4.
【新题导练】
5..A 解析：机床停机的概率就是A，B两种零件都不能加工的概率，即×＋×=.
6.解：设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件A,B,C,D，则P(A)=0.3，P(B)=0.2，P(C)=0.1，P(D)=0.4，且事件A,B,C,D之间是互斥的．
(1)他乘火车或飞机来的概率为P1=P(A∪D)=P(A)＋P(D)=0.3＋0.4=0.7.
(2)他乘轮船来的概率是P(B)=0.2，
所以他不乘轮船来的概率为P()=1－P(B)=1－0.2=0.8．
（3)由于0.4=P(D)=P(A)＋P(C)，
所以他可能是乘飞机来，也可能是乘火车或汽车来的．
【抢分频道】
1.答案：C
2.答案：B
3.答案：
4.方法一：任取3个球有C种结果，编号之和为奇数的结果有CC+ C=60（种），故所求概率为.
方法二：十个球的编号中，恰好有5个奇数和5个偶数，从中任取3个球，3个球编号之和为奇数与3个球编号之和为偶数的机会是均等的，故所求概率为.
5.解: （I） 共有种结果
（II） 若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数，则点数之和是3的倍数的结果有：
（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），
（3,3），（4,5），（5,4），（3,6），（6,3），（6,6）共12种．
（III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是：P＝
6.解：（I）设该同学得0分的概率；
（Ⅱ）解法一：该同学至多得4分的概率.
=++=
解法二：该同学至多得4分的概率.
7.解：（Ⅰ）由密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码.
（Ⅱ）.由密码中只有三个数字，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2，3或1，2，4.
8.解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62=36种不同取法
（1）取到的2只都是次品情况为22=4种，因而所求概率为
（2）由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品。因而所求概率为
（3）由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件，因而所求概率为
9.解：要使，。可以使中有3个元素，中有2个元素， 中有1个元素。则。
②中有6个元素，中有4个元素， 中有2个元素。则
10.解:将一枚骰子先后抛掷2次,向上的点数共有36种不同的结果
(Ⅰ)将一枚骰子先后抛掷2次,向上的点数分别记为,点数之和是5的情况有以下4种不同的结果
因此,点数之和是5的概率为
(Ⅱ)由得,
而将一枚骰子先后抛掷2次向上的点数相等的情况有以下6种不同的结果:
因此,式子成立的概率为
第二讲
例1解析： 5把钥匙，逐把试开有种结果，由于该人忘记了开房间的是哪一把，因此这些结果是等可能的。
(1)第三次打开房门的结果有种，故第三次打开房门锁的概率P(A)==
(2)三次内打开房门的结果有种，因此所求概率P(A)= =
(3)方法1 因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有种，从而三次内打开的结果有种，从而三次内打开的结果有种，所求概率P(A)= =.
方法2 三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果种；三次内恰有两次打开的结果种.因此，三次内打开的结果有（）种，所求概率P(A)=
例2解析：记Ω={从10件产品中任抽2件}则n=card(Ω)=C
（1）记A={从10件产品中抽2件，都是正品}，则m=card(A)=C
∴
（2）记B={从10件产品中抽2件，一件为正品，一件为次品}，则m=card(B)=
∴
（3）初看本题与题（2）是相同的，其实不然，题（2）包含于两种可能，“第一次正品、第二次次品”或“第一次次品，第二次正品”，而目前求的是其中之一“第一次正品，第二次次品”的概率。
（法一）由于事件B中包含“第一次正品，第2次次品”和“第一次次品第2次正品”两种等可能的情况，∴所求事件的概率。
（法二）记Ω’={从10件产品中，任取一件，（放入甲袋中），再从剩下9件产品中任取一件，（放入乙袋中）}
记C={第一次取出的是正品，第二次取出的是次品}={甲袋中为正品，乙袋中为次品}
∴card(Ω’)=，card(C)=
∴
【名师指引】样本空间的选取会影响到解答的过程。因此解等可能概型时，建议遵循以下步骤①判断该问题是等可能概型②确定样本空间（即试验的方法，试验的结果将影响样本空间）；③用排列组合问题的解法确定card(Ω) 与card(A)，则
【新题导练】
1.解（1）共有n=种结果（card(Ω)=10）
（2）都摸出黑球种结果
（3）记A={两次都摸黑球}，
（4）记B={一次摸黑球，一次摸白球}，
（5）记C={至少一只黑球}
则={两只都是白球}，
2.解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为，随意按下6个数字相当于随意按下个，随意按下6个数字相当于随意按下个密码之一，其概率是.
(2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为.
例3解析：基本事件总数为36，点（x，y），在圆x2+y2=27的内部记为事件D，则D包含17个事件，所以P（D）=。
例4解析：设、分别表示两人到达的时刻
则 即其平面区域为
设“两人能见面”为事件A，则
【新题导练】
3.答案：，作图。
4.解析：试验的全部结果所构成的区域为，
构成事件的区域为，故所求的概率为。
【抢分频道】
1.答案：B 提示：利用几何概型公式。
2.答案：A 提示：考查几何概型。
3.答案：
4.解：解利用几何概型。
5.解 （1）将骰子向桌面先后抛掷两次，一共有36种不同的结果.
(2)向上的数之积是12，记（I,j）为“第一次掷出结果为I，第二次掷出结果为j”则相乘为12的结果有（2，6），（3，4），（4，3），（6，2）4种情况.
(3)由于骰子是均匀的，将它向桌面先后抛掷2次的所有36种结果是等可能的，其中“向上的数之积是12”这一事件记为A.Card(A)=4.所以所求概率P(A)=
6.解：（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率；
（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率
7.解：设男生有名，则女生有（36－）人，选出的2名代表是同性的概率为P＝，解得，所以男女生相差6人。
8.解：
（1）两数之和为6的概率为
（2）此问题中含有36个等可能基本事件，记“向上的两数之积是6的倍数”为事件A，则由下面的列表可知，事件A中含有其中的15个等可能基本事件，所以P(A)==,
答：两数之积是6的倍数的概率为
（3）此问题中含有36个等可能基本事件，记“点(x,y)在直线x－y=3的下方区域”为事件B，则由下列的列表可知，事件B中含有其中3个基本等可能基本事件：∴P(B)==,答：点(x, y)在直线x－y=3的下方区域的概率为
9.解：
…………………………2分
…………………………4分
于是成立。……………………6分
设事件A：“恒成立”，则
基本事件总数为12个，即
（1，2），（1，3），（1，3），（1，5）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；…………………………8分
事件A包含事件：（1，2），（1，3）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个……………………10分
由古典概型得……………………12分
10.解:(1)若能构成三角形，则.
①若时，.共1种；
②若时。.共2种；
同理时，有3+1=4种；
时，有4+2=6种；
时，有5+3+1=9种；
时，有6+4+2=12种.
于是共有1+2+4+6+9+12=34种.
下面求从中任取的三个数()的种数：
①若，，则，有7种；，有6种；，，有5种；……； ，有1种.
故共有7+6+5+4+3+2+1=28种.
同理，时，有6+5+4+3+2+1=21种；时，有5+4+3+2+1=15种；时，有4+3+2+1=10种；时，有3+2+1=6种；时，有2+1=3种；时，有1种.
这时共有28+21+15+10+6+3+1=84种.
∴能构成三角形的概率为.
(2)能构成三角形的充要条件是.
在坐标系内画出满足以上条件的区域(如右图阴影部分)，由几何概型的计算方法可知，只求阴影部分的面积与图中正方形的面积比即可.
又，于是所要求的概率为
第五章 概率 综合检测卷
1.答案：D
2.答案：A
3.答案：A
4.答案：C
5.答案：C
6.答案：A
7.答案：B
8.答案：B
9.答案：
10.答案：50名教师中随机选出2名的方法数为，
选出的2人所使用版本相同的方法数为=190+105+10+45=350，
2人所使用版本相同的概率为-
11.答案：
12.答案：
13.答案：设“这箱产品被用户接收”为事件，. 即这箱产品被用户接收的概率为．
14.答案：设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则
P(A)==，P(B)=.
因为事件A、B相互独立，∴甲、乙两人考试均合格的概率为
15.答案：设AD之长为l，而AB、AC之长度各为xl，yl，由于B、C在线段AD上，因而应有0≤x、y≤l，由此可见，点对(B、C)与正方形K={(x，y)：0≤x≤l，0≤y≤l}中的点(x，y)是一一对应的，先设x＜y，这时，AB、BC、CD能构成三角形的充要条件是
AB＋BC＞CD，
BC＋CD＞AB，
CD＋AB＞BC
注意 AB=xl，BC=(y－x)l，CD=(1－y)l，
代入上面三式，得
符合此条件的点(x，y)必落在△GFE中．同样地，当y＜x时，当且仅当点(x，y)落在△EHI中，AC、CB、BD能构成三角形，利用几何概型可知，所求的概率为
16.解 （1）从20件产品中任取3件的取法有，其中恰有1件次品的取法为。
恰有一件次品的概率P=.………6分
(2)法一 从20件产品中任取3件，其中恰有1件次品为事件A1,恰有2件次品为事件A2，3件全是次品为事件A3,则它们的概率
P(A1)= =,,,
而事件A1、A2、A3彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率
P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= .
法二 记从20件产品中任取3件，3件全是正品为事件A，那么任取3件，至少有1件次品为，根据对立事件的概率加法公式P()=………13分
17.解：（1）由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相同的。
因骰子出现的点数最大为6，而，因此，当时，次出现的点数之和大于已不可能。故这是一个不可能事件，最终过关的概率为0。所以，最多只能连过4关。………6分
（2）设事件为“第关过关失败”，则对立事件为“第关过关成功”。
第关游戏中，基本事件总数为个。………8分
第1关：事件所包含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况）。所以，过此关的概率为………10分
第2关：事件所包含基本事件数为6，所以，过此关的概率为
………12分
故连过前两关的概率是………13分
18.解：记事件A：“硬币不与任一条平行线相碰”.为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，参看下图，这样线段OM长度（记作|OM|）的取值范围是［0，a］，只有当r＜|OM|≤a时，硬币不与平行线相碰，所以P（A）=.………13分
19.解：（1）利用待定系数法及线性规划知识可求得，
等号成立的条件是b=2。c=4。
（2）事件发生的总数为5×5=25种可能，事件A的基本数为（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，0），（3，1），（3，2），（4，0）共16种，故所求事件A发生的概率为………14分
20.解 从100件产品中任取2件的可能出现的结果数，就是从100个元素中任取2个元素的组合数，由于任意抽取，这些结果出现的可能性相等.为基本事件总数.
（1）00件产品中有95件合格品，取到2件合格品的结果数，就是从95个元素中任取2个组合数，记“任取2件都是合格品”为事件A1，那么
（2）由于在100件产品中有5件次品，取到2件次品的结果数为.记“任取2件都是次品”为事件A2,那么事件A2的概率为： ………7分
（3）记“任取2件，1件是次品，1件是合格品”为种，则事件A3的概率为： ………14分
21.解：⑴、设“甲胜且两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为（1，5）,（2，4）（3，3）,（4，2）,（5，1），共5个． ………………………………………………2分
又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果，………………………4分
所以． ………………………………………………………………………5分
答：编号的和为6的概率为． ………………………………………………………………6分
⑵、这种游戏规则不公平． …………………………………………………………8分
设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C， …………………………………………………9分
则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：
（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）．
所以甲胜的概率P（B）＝，从而乙胜的概率P（C）＝1－＝． ……………11分
由于P（B）≠P（C），所以这种游戏规则不公平． ……………………………………12分
_
b
_
y
=
x
_
a
_
3
_
0
_
2
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