高二数学第九章 随机变量及其分布
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| 名称 | 高二数学第九章 随机变量及其分布 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 423.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-02-11 08:13:00 | ||
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文档简介
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高二数学第九章 随机变量及其分布 整理人：邢丞
第1讲：离散型随机变量及其分布列
★知识梳理★
1．随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.常用希腊字母ξ、η等表示
2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量
3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
4.分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为
x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表
ξ x1 x2 … xi …
P P1 P2 … Pi …
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列
5. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
⑴Pi≥0，i＝1，2，…. ⑵P1+P2+…=1
特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即
6.拓展性质:
①n个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．
②n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
③离散型随机变量的分布列的两个性质：（1）；（2）.
④数学期望
⑤数学期望的性质
（1）.（2）若～,则.
(3) 若服从几何分布,且，则.
⑥方差
⑦标准差=.
⑧方差的性质
(1)；(2）若～，则.
(3) 若服从几何分布,且，则.
⑨方差与期望的关系.
⑩正态分布密度函数，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差；
当时得到标准正态分布密度函数：.
⑾对于，取值小于x的概率.
.
★重难点突破★
1.重点：了解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量及离散型随机变量的分布列的意义，
2.难点：会求某些简单的离散型随机变量的分布列；掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质及简单运用。
3.重难点：.
问题1: 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:
点拨：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出
注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，=0，表示正面向上，=1，表示反面向上
（2）若是随机变量，是常数，则也是随机变量
★热点考点题型探析★
考点一：离散型随机变量及其分布列的计算
题型1. 离散型随机变量的取值
[例1] 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果
(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；
(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η
【新题导练】
1．抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是（ ）
A.一颗是3点，一颗是1点
B.两颗都是2点
C.两颗都是4点
D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点
2．.随机变量的所有等可能取值为，若，则（ ）
A．； B．； C．； D．不能确定
题型2.离散型随机变量分布列的计算
[例2]旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.求选择甲线路旅游团数的分布列.
【新题导练】
3.某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作. 规定：至少正确完成其中2题的便可提高通过. 已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列；
4.一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：
现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望.
考点二: 离散型随机变量分布列的性质
题型1: 离散型随机变量分布列的性质的应用
0 1 2 3
0.1 0.1
[例3]某一随机变量的概率分布如下表，且，则的值为（ ）
A.－0.2； B.0.2； C.0.1； D.－0.1
【新题导练】
5．设随机变量的分布列为，则a的值为( )
A .1； B.9/13； C.11/13； D.27/13
6．设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求的值
－1 0 1
P 1－2
★抢分频道★
基础巩固训练
1. 如果是一个离散型随机变量，则假命题是( )
A. 取每一个可能值的概率都是非负数；B. 取所有可能值的概率之和为1；
C. 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；
D. 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
2. 下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是
A.
ξ －1 0 1
P 0.3 0.4 0.4
B.
ξ 1 2 3
P 0.4 0.7 －0.1
C.
ξ －1 0 1
P 0.3 0.4 0.3
D.
ξ 1 2 3
P 0.3 0.4 0.4
3．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是（ ）
A.5 B.9 C.10 D.25
4.随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(＜ξ＜)的值为
A． B． C． D．
5．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则（ ）
A. B. C. D.
6．某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率__________________________
综合拔高训练
7．设随机变量的分布列为，则的值为_________
8．设随机变量X的分布列是
X 1 2 3
P 1/3 1/2 1/6
求（1）P（X＝1）
（2）P（）
9．有六节电池，其中有2只没电，4只有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数为随机变量，求的分布列。
10．在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：
（1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列；
（2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列.
第2讲 二项分布与超几何分布
★知识梳理★
1．条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
特别提醒：
①0P（B|A）1；
②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
2. 相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
特别提醒：
①如果事件A、B是相互独立事件，那么，A与、与B、与都是相互独立事件
②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。我们把两个事件A、B同时发生记作A·B，则有P（A·B）= P（A）·P（B）
推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：P（A1·A2·…·An）= P（A1）·P（A2）·…·P(An)
3.独立重复试验: 在同样的条件下，重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.
4.如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率计算公式： Pn（k）=CPk（1－P）n－k,其中，k=0,1,2，…,n.
5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
，（k＝0,1,2,…，n，）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 0 1 … k … n
P … …
由于恰好是二项展开式
中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布
记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记＝b(k；n，p)．
6. 两点分布：
X 0 1
P 1－p p
特别提醒： 若随机变量X的分布列为两点分布, 则称X服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.
7. 超几何分布：
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则其中，。
称分布列
X 0 1 … m
P …
为超几何分布列， 称X服从超几何分布。
★重难点突破★
1.重点：理解超几何分布及其导出过程.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，能理解n次独立重复实验的模型及二项分布.
2.难点：能利用超几何分布, 二项分布及n次独立重复实验解决一些简单的实际问题
3.重难点：.
(1) “互斥”与“独立”混同
问题1: 甲投篮命中率为O．8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少
错解 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)：
点拨: 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．
正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A·B，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= ．
（2）“条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同
问题2:袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．
错解 记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以P(C)=P(B/A)=.
点拨：本题错误在于P(AB)与P(B/A)的含义没有弄清, P(AB)表示在样本空间S中,A与B同时发生的概率；而P（B/A）表示在缩减的样本空间SA中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率。
正确答案：P（C）= P(AB)=P（A）P（B/A）=。
★热点考点题型探析★
考点一： 条件概率,相互独立事件和独立重复试验
题型1. 条件概率
[例1] 一张储蓄卡的密码共有6位数，每位数字都可从0～9中任选，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
⑴按第一次不对的情况下，第二次按对的概率；
⑵任意按最后一位数字，按两次恰好按对的概率；
⑶若他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率
【新题导练】
1. 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．
题型2.相互独立事件和独立重复试验
[例2]某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定．他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张．投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，他们的投票相互没有影响．规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目投资．
（Ⅰ）求此公司一致决定对该项目投资的概率；
（Ⅱ）求此公司决定对该项目投资的概率；
【新题导练】
2.甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试
合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：至少有1人面试合格的概率;
3．甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.
（Ⅰ）求随机变量ε分布列；
(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).
考点二: 两点分布与超几何分布
题型1: 两点分布与超几何分布的应用
[例3] 高二（十）班共50名同学，其中35名男生，15名女生，随机从中取出5名同学参加学生代表大会，所取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布如何？
[例4] 若随机事件A在1次试验中发生的概率是，用随机变量表示A在1次实验中发生的次数。
（1）求方差的最大值；（2）求的最大值。
【新题导练】
4．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？
5．假定一批产品共100件，其中有4件不合格品，随机取出的6件产品中，不合格品数X的概率分布如何？
考点三: 独立重复试验与二项分布
题型1: 独立重复试验与二项分布的应用
[例5] 一口袋内装有5个黄球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数是一个随机变量，则=______________。（填计算式）
[例6] 某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？
【新题导练】
6.某科研小组进行某项科学实验的成功率为。那么连续对该项实验进行4次试验恰有3次成功的概率_ _
7.某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.
(Ⅰ)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率;
(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是,请问:商场应将每次中奖奖金数额最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利
★抢分频道★
基础巩固训练
1.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列满足：如果为数列的前n项和，那么的概率为 ( )
A． B． C． D．
2.一台机床有的时间加工零件A, 其余时间加工零件B, 加工A时,停机的概率是,加工B时,停机的概率是, 则这台机床停机的概率为( )
A. B. C. D.
3．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次射击命中的概率为（ ）
A. B. C. D.
4．某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是( )
A. B. C. D.
5．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）
6．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率为 ．
综合拔高训练
7．一袋中装有４个白球，２个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现３次停止，设停止时,取球次数为随机变量,则 ________．
8．甲、乙二射击运动员分别对一目标射击次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求：
（1）人都射中目标的概率；
（2）人中恰有人射中目标的概率；
（3）人至少有人射中目标的概率；
（4）人至多有人射中目标的概率？
9．某研究机构准备举办一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示
版本 人教A版 人教B版 苏教版 北师大版
人数 20 15 5 10
（1）从这50名教师中随机选出2名，问这2人使用相同版本教材的概率是多少？
（2）若随机选出的2名教师都使用人教版教材，现设使用人教A版教材的教师人数为，求随机变量的分布列
10．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.
（Ⅰ）求甲、乙两人考试均合格的概率；
（Ⅱ）求甲答对试题数的概率分布.
第3讲 离散型随机变量的期望和方差
★知识梳理★
1．数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称 …… 为ξ的数学期望，简称期望．
特别提醒：
1. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
2. 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
2.期望的一个性质:
3.若ξB（n,p），则Eξ=np
4.方差:＝＋＋…＋＋…．
5.标准差: 的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
6.方差的性质：
①
②若ξ～B(n，p)，则np(1-p)
特别提醒：
1. 随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
2. 随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
3. 标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛
★重难点突破★
1.重点：了解离散型随机变量的期望、方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望方差、或标准差．
2.难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题
3.重难点：.
(1) 期望的一个性质:
点拨：若(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为
ξ x1 x2 … xn …
η … …
P p1 p2 … pn …
于是……
＝……)……)
＝，
（2）若ξB（n,p），则Eξ=np
点拨：∵ ，
∴ 0×＋1×＋2×＋…＋k×＋…＋n×．
又∵ ，
∴ ＋＋…＋＋…＋．
故 若ξ～B(n，p)，则np．
★热点考点题型探析★
考点一：离散型随机变量的期望
题型1. 离散型随机变量的期望的应用
[例1]旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.
（Ⅰ）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；
（Ⅱ）求选择甲线路旅游团数的分布列和期望.
[例2] 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
【新题导练】
1．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。
（Ⅰ）所选3人中至少有1名女生的概率；
（Ⅱ）设随机变量表示所选3人中的女生人数。写出的分布列并求出的数学期望。
2．在体能测试中，规定每名运动员一开始就要参加且最多参加四次测试.一旦测试通过,就不再参加余下的测试,否则一直参加完四次测试为止.已知运动员甲的每次通过率为(假定每次通过率相同)
(1) 求运动员甲参加测试的次数的分布列及数学期望;
(2) 求运动员甲最多参加两次测试的概率(精确到)
考点二: 离散型随机变量的方差
题型1: 离散型随机变量方差的应用
[例3]袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个（=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.
（Ⅰ）求的分布列，期望和方差；
（Ⅱ）若, ,,试求a,b的值.
[例4]为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望，标准差为。
（Ⅰ）求n,p的值并写出的分布列；
（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率
★抢分频道★
基础巩固训练
1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（ ）
A．4； B．5； C．4.5； D．4.75
2. 设Eξ=10,Eη=3,则E(3ξ+5η)等于( )
A.45 B.40 C.30 D.15
3．设随机变量～B(2,p), ～B(4,p),若，则的值为( )
(A) (B) (C) (D)
4．设是离散型随机变量，，，且，现已知：，，则的值为( )
(A) (B) (C) ３ (D)
5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为（、、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则的最大值为( )
A． B． C． D．
6．已知随机变量的分布列是
ξ 1 2 3
P 0.4 0.2 0.4
则Dξ=____________;
综合拔高训练
7．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.
(Ⅰ)甲射击4次,至少1次未击中目标的概率________________;
(Ⅱ) 求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率_________;
(Ⅲ) 假设某人连续2次未击中目标,则停止射击. 问: 乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是________
8．交5元钱，可以参加一次抽奖。一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元， 2个标有5元，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球标的钱数之和。
（I）求的概率分布列； （II）求抽奖人获利的数学期望。
9．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．
抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，
则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.
（1）求这箱产品被用户接收的概率；
（2）记抽检的产品件数为，求的分布列和数学期望．
第4讲 正态分布
★知识梳理★
1. 正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差；当时得到标准正态分布密度函数：.
2.正态曲线的性质：
1 曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
2 曲线是单峰的，关于直线x＝ 对称；
3 曲线在x＝处达到峰值；
4 曲线与x轴之间的面积为1；
3. 是参数是参数的意义:
1 当一定时，曲线随质的变化沿x轴平移；
2 当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中； 越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。
特别提醒：
(1)P=0.6826；
(2)P=0.9544
(3)P=0.9974
4．对于，取值小于x的概率.
.
★重难点突破★
1.重点：利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
2.难点：利用正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义解决简单问题.
3.重难点：.
(1) 正态分布与正态曲线
问题1:若总体密度曲线就是或近似地是函数的图象，则其分布叫正态分布，常记作．的图象称为正态曲线．
点拨：画出三条正态曲线：即①；②；③，其图象如下图所示：
观察以上三条正态曲线，得以下性质：
①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．
②曲线关于直线对称，且在时位于最高点．
③当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．
④当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．
注意: 当时，正态总体称为标准正态总体，相应的函数表示式是．相应的曲线称为标准正态曲线．
★热点考点题型探析★
考点一： 正态分布的应用
题型1. 正态分布公式的应用
[例1] 给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ
（１） （２）
（３）
[例2] 某物体的温度()是一个随机变量，已知，又随机变量()
满足，求的概率密度。
[例3] 灯泡厂生产的白炽灯寿命ξ（单位：ｈ），已知ξ～N（1000，302)，要使灯泡的平均寿命为1000ｈ的概率为99.7％，问灯泡的最低使用寿命应控制在多少小时以上？
【新题导练】
1. 正态总体为概率密度函数是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇百偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
2．如果随机变量，则等于（ ）
A. B. C. D.
★抢分频道★
基础巩固训练
1. 正态曲线是（ ）
A.递增函数 B.递减函数 C.从左到右先增后减的函数 D.从左到右先减后增的函数
2.标准正态分布的均数与标准差分别为( )。
A．0与1 B．1与0 C．0与0 D．1与1
3.正态分布有两个参数与，( )相应的正态曲线的形状越扁平。
A．越大 B．越小 C．越大 D．越小
4．下列函数是正态分布密度函数的是( )
A． B． C． D．
5．设两个正态分布和的密度函数图像如下图所示。则有（ ）
A． B．C． D．
6．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题不正确的是 （ ）
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分；
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同；
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同；
D．该市这次考试的数学成绩标准差为10.
综合拔高训练
7．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，记φ(x)＝p(ξ①φ(0)＝0．5；②φ(x)＝1－φ(－x)；③p (｜ξ｜<2)＝2φ(2)－1。则正确结论的序号是_____________
8．设随机变量服从正态分布,若,则c= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9．某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况，因此可以把统考成绩作为总体，设平均成绩，标准差，总体服从正态分布，若全市重点校录取率为40%，那么重点录取分数线可能划在（ ）（已知φ（0.25）＝0.6）
A．525分 B．515分 C．505分 D．495分
10．已知某车间正常生产的某种零件的尺寸满足正态分布N(27.45,0.052),质量检验员随机抽查了10个零件，测得它们的尺寸为：27.34 、27.49、27.55、27.23 、27.40、27.46、27.38、 27.58、 27.54、 27.68 请你根据正态分布的小概率事件，帮助质量检验员确定哪些零件应该判定在非正常状态下生产的.
第九章 随机变量及其分布 综合检测卷
一、选择题（第小题5分，共40分）
1．的分布列为，则( )
A. B. C. D.
2．，，，则( )
A. 45 B. 50 C. 55 D. 60
3．事件A在一次试验中发生的次数的方差的最大值为( )
A. 1 B. C. D. 2
0 1 2 3
0.1 0.1
4．设M和N是两个随机事件，表示事件M和事件N都不发生的是( )
A． B． C． D．
5．某一随机变量的概率分布如上表，且，则的值为（ ）
A.－0.2； B.0.2； C.0.1； D.－0.1
6．随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(＜ξ＜)的值为
A． B． C． D．
7．如图， A, B, C表示3种开关，设在某段时间内它们正常工作的概率是分别是0.9 , 0.8 , 0.7 , 如果系统中至少有1个开关能正常工作, 那么该系统正常工作的概率是( )
A． 0.994 B．0.504 C．0.496 D．0.06
8．A、B两篮球队进行比赛，规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束（七局四胜制），A、B两队在每场比赛中获胜的概率均为，为比赛需要的场数，则( )
A. B. C. D.
二、填空题（第小题5分，共30分，其中13~15是选做题，选做两题）
9．甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲、乙命中的概率分别为和，若命中目标的人数为，则 。
10．设ξ是离散型随机变量，η=2ξ+3，则有 Eη= ，Dη=
11．某人参加一次考试，４道题中解对３道则为及格，已知他的解题正确率为，则他能及格的概率为 ．
12．在某一试验中事件A出现的概率为，则在次试验中出现次的概率为
13． A、B两篮球队进行比赛，规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束（七局四胜制），A、B两队在每场比赛中获胜的概率均为，为比赛需要的场数，则 。
14．同时掷两枚骰子，它们各面分别刻有：，若为掷得点数之积，求 。
15．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则Dξ=
三、解答题（共80分）
16. （本题满分13分） 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．
（Ⅰ）求小球落入袋中的概率；
（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记为落入袋中的小球个数，试求的概率和的数学期望．
17. （本题满分13分）(新华网)反兴奋剂的大敌、服药者的宠儿——HGH(人体生长激素)，有望在2008年8月的北京奥运会上首次“伏法”。据悉，国际体育界研究近10年仍不见显著成效的HGH检测，日前已取得新的进展，新生产的检测设备有希望在北京奥运会上使用.若组委会计划对参加某项比赛的12名运动员的血样进行突击检查，采用如下化验方法：将所有待检运动员分成若干小组，每组m个人，再把每个人的血样分成两份，化验时将每个小组内的m个人的血样各一份混合在一起进行化验，若结果中不含HGH成分，那么该组的m个人只需化验这一次就算检验合格；如果结果中含有HGH成分，那么需要对该组进行再次检验，即需要把这m个人的另一份血样逐个进行化验，才能最终确定是否检验合格，这时，对这m个人一共需要进行m＋1次化验.假定对所有人来说，化验结果中含有HGH成分的概率均为 ．当m＝3时，求：
(1)一个小组只需经过一次检验就合格的概率；
(2)至少有两个小组只需经过一次检验就合格的概率(精确到0.01.参考数据：0.2713≈0.020,0.2714≈0.005,0.7292≈0.500)
18. （本题满分13分） 在2008年春运期间，一名大学生要从广州回到郑州老家有两种选择，即坐火车或汽车。已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的3倍，汽车票随时都能买到。若先去买火车票，则买到火车票的概率为0.6，买不到火车票，再去买汽车票。
（I）求这名大学生先去买火车票的概率；
（II）若火车票的价格为120元，汽车票的价格为280元，设该大学生购买车票所花费钱数为的期望值。
19. （本题满分14分）某社区举办北京奥运知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“奥运福娃”或“奥运会徽”，要求4人中一组参加游戏，参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中一人一次抽到2张“奥运福娃” 卡才能得到奖并终止游戏。
（1）游戏开始之前，一位高中生问：盒子中有几张“奥运会徽” 卡？主持人说：若从盒中任抽2张卡片不都是“奥运会徽” 卡的概率为，请你回答有几张“奥运会徽” 卡呢？
（2）现有甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取。用表示4人中的某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数，求的概率分布及的数学期望。
20. （本题满分14分）一个口袋中装有个红球（且）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．
（Ⅰ）试用表示一次摸奖中奖的概率；
（Ⅱ）若，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；
（Ⅲ）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为．当取多少时，最大？
21. （本题满分12分）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和。假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。
（Ⅰ）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
（Ⅱ）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
（Ⅲ）假设两人连续两次未击中目标，则停止射击。问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
高二数学第九章 随机变量及其分布详解答案
第一讲
例1解析： (1) ξ可取3，4，5
ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；
ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；
ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5
（2）η可取0，1，…,n，…
η=i，表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,…
【新题导练】
1.答案：D 解析：对A、B中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而D是 ξ=4代表的所有试验结果.掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键.
2.答案：C
例2解析： 设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3
P（ξ=0）= P（ξ=1）=
P（ξ=2）= P（ξ=3）=
∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
【新题导练】
3.解：设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为、，
则取值分别为1，2，3；取值分别为0，1，2，3。…………………………………2分
，，。
∴考生甲正确完成题数的概率分布列为
1 2 3
4.解： ξ可取1，2，3，4.
，
； …………8分
故ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
例3解析：由，又，可得答案：B
【新题导练】
5.答案：D
6.解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以解得。
【抢分频道】
1.答案：D
2.答案：C 解析：A、D不满足分布列的基本性质②，B不满足分布列的基本性质①.
3.答案：B 解析：号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9种.
4.答案：D
5.答案：D解析：设二级品有个，∴ 一级品有个，三级品有个，总数为个。
∴ 分布列为
6.答案：根据射手射击所得的环数ξ的分布列，有
P(ξ=7)＝0.09，P(ξ=8)＝0.28，P(ξ=9)＝0.29，P(ξ=10)＝0.22.
所求的概率为 P(ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88
7.答案：
8.解：（1）P（X＝1）＝1/3
（2）P（）＝1/2+1/6=2/3
9.解：2，3，4，5
∵ 表示前2只测试均为次品，∴
∵ 表示前两次中一好一坏，第三次为坏，∴
∵ 表示前四只均为好，或前三只中一坏二好，第四个为坏，
∴
∵ 表示前四只三好一坏，第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好
∴
∴ 分布列为
2 3 4 5
P
10.解：（1）P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
（2）P（η=k）=C·0.83－k·0.2k（k=0，1，2，3），所以η的分布列为
η 0 1 2 3
P C0.83 C0.82·0.2 C0.8·0.22 C0.23
第二讲
例1解析：设事件表示第次按对密码
⑴
⑵事件表示恰好按两次按对密码，则
⑶设事件表示最后一位按偶数，事件表示不超过2次按对密码，因为事件与事件为互斥事件，由概率的加法公式得：
【新题导练】
1.解: 设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，
(2)方法一: 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以
方法二:
例2解析：（Ⅰ）此公司一致决定对该项目投资的概率
P= ()3＝
（Ⅱ）此公司决定对该项目投资的概率为
P＝C32()2()＋C33()3＝
答: （Ⅰ）此公司一致决定对该项目投资的概率为
（Ⅱ）此公司决定对该项目投资的概率为.
【新题导练】
2.解: 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，
且P（A）＝P（B）＝P（C）＝.
至少有1人面试合格的概率是
3.解: (Ⅰ)由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且
所以ε的分布列为
ε 0 1 2 3
P
（Ⅱ）用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又
由互斥事件的概率公式得
例3解析：从50名学生中随机取5人共有种方法，没有女生的取法是，恰有1名女生的取法是，恰有2名女生的取法是，恰有3名女生的取法是，恰有4名女生的取法是，恰有5名女生的取法是，
因此取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布为：
X 0 1 2 3 4 5
P
例4[解题思路]：
（1）由两点分布，分布列易写出，而要求方差的最大值需求得的表达式，转化为二次函数的最值问题；
（2）得到后自然会联想均值不等式求最值。
解析：（1）的分布列如表：所以，
所以时，有最大值。
（2）由，当且仅当即时取等号，所以的最大值是。
【名师指引】在超几何分布中,只要知道N,M和n,就可以根据公式求出X取不同m值时的概率P(X=m).
【新题导练】
4.解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得
5.解: 从100件产品中随机取6件产品共有种方法，都是合格品的取法是，恰有1件不合格品的取法是，恰有2件不合格品的取法是，恰有3件不合格品的取法是，恰有4件不合格品的取法是。
因此取出的6件产品中，不合格品数X的概率分布为：
X 0 1 2 3 4
P
例5解析：
例6解析：解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击次
记事件＝“射击一次，击中目标”，则．
∵射击次相当于次独立重复试验，
∴事件至少发生1次的概率为．
由题意，令，∴，∴，
∴至少取5．
答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次
【新题导练】
6.答案:
7.解: (Ⅰ)从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品一共有种选法,.选出的3种商品中没有日用商品的选法有种, ……1分.
所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为.……4分
(Ⅱ)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,设为X,其所有可能值为0, ,2,3.……6分
X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以……7分
同理可得……8分
……9分
……10分
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是.……12分
要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额,因此应有,所以,……13分.
故商场应将中奖奖金数额最高定为100元,才能使促销方案对商场有利. ……14分
★抢分频道★
1.答案：B
2.答案：A
3.答案：B
4.答案:B
5.答案:A
6.答案:
7.答案:
8.解：记“甲射击次，击中目标”为事件，“乙射击次，击中目标”为事件，则与，与，与，与为相互独立事件，
（1）人都射中的概率为：
，
∴人都射中目标的概率是．
（2）“人各射击次，恰有人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件发生）根据题意，事件与互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：
∴人中恰有人射中目标的概率是．
（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为．
（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，
2个都未击中目标的概率是，
∴“两人至少有1人击中目标”的概率为．
（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，
故所求概率为：
．
（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，
故所求概率为
9．解：（1）50名教师中随机选出2名的方法数为，
选出的2人所使用版本相同的方法数为
=190+105+10+45=350，
2人所使用版本相同的概率为
（2），
，
随机变量的分布列是
0 1 2
P
10.解：（Ⅰ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则
P(A)==，P(B)=.
因为事件A、B相互独立，
∴甲、乙两人考试均合格的概率为
答：甲、乙两人考试均合格的概率为．
（Ⅱ）依题意，=0，1，2，3，………………7分
， ，
，
甲答对试题数ξ的概率分布如下：
ξ 0 1 2 3
P
第三讲
例1解析：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P1=
（2）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3
P（ξ=0）= P（ξ=1）=
P（ξ=2）= P（ξ=3）=
∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=
例2解析：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则~ B（20,0.9）,,
由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：
【新题导练】
1解析：（Ⅰ）设所选三人中至少有1名女生的事件为A
P(A)=
（Ⅱ）ξ可能取的值为0，1，2， 分
P（ξ=k）= k=0，1，2
ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
∴Eξ=
2.解：(1)的可能取值为
当时, ;
当时;;
当时,;
当时,; 的分布列为:
1 2 3 4
0.7 0.21 0.063 0.027
(2)
例3解析： （Ⅰ）的分布列为：
0 1 2 3 4
P
∴
（Ⅱ）由，得a2×2.75＝11，即又所以
当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2;
当a=-2时，由1＝-2×1.5+b，得b=4.
∴或即为所求.
例4解析： (1)由得,
从而
的分布列为
0 1 2 3 4 5 6
(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则 得
或
【抢分频道】
1.答案：C
2答案:A
3.答案：B
4.答案：C
5.答案：由已知得即，故选D.
6.答案:0.8
7.答案:（1） （2） （3）
8.解（I）
，，
2 6 10
所以的概率分布列为：
（II）由（I）知，
所以抽奖人获利的数学期望为：元。
10.解：（1）设“这箱产品被用户接收”为事件，.
即这箱产品被用户接收的概率为．
（2）的可能取值为1，2，3．
=，
=，
=，
∴的概率分布列为：
1 2 3
∴=．
第四讲
例1解析：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5
例2解析:
所以随机变量的概率密度为
例3解析：解：因为灯泡寿命ξ～N(1000，302)，故ξ在（1000－3×30，1000＋3×30）内取值的概率为99.7％，即在（910，1090）内取值的概率为99.7％，故灯泡的最低使用寿命应控制在910ｈ以上
【新题导练】
1.答案:B
2.答案:B 解析：这里的由换算关系式，有
【抢分频道】
1.答案：C
2.答案:A
3.答案:C
4.答案:B
5.答案:A
6.答案：B
7.答案：①②③
8.答案:B
9.答案：C
10.解：小概率事件是指在一次试验中几乎不可能发生的思想 我们对落在区间（27.45－3×0.05，27.45＋3×0.05）＝（27.3，27.6）之外生产的零件尺寸做出拒绝接受零件是正常状态下生产的假设 有两个零件不符合落在区间（27.3，27.6）之内；
答：尺寸为27.23和尺寸为27.68的两个零件，它们是在非正常状态下生产的
第四章 计数原理 综合检测卷
1.答案:C
2.答案:D
3.答案:C
4.答案:D
5.答案：B
6.答案：B
7.答案:A
8.答案;B
9.答案:
10.答案: 2Eξ+3, 4Dξ
11.答案: 0.8
12.答案:
13.答案:
14.答案: 解析:投两个骰子共有36种可能，即
12 1 2 2 3 3 3
122333 122333 244666 244666 366999 366999 366999
∴的分布列为
1 2 3 4 6 9
∴
15.答案:
16.解：（Ⅰ）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件的对立事件为，而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故
，
从而；…………6分
（Ⅱ）显然，随机变量，故，…………13分
17.解：（1）一个小组经过一次检验就合格，则必有此三人的血样中都不含HGH成分
∴所求概率为P＝（1－）3＝0.729 ………6分
（2）依据题意，至少有两个小组只需经过一次检验就合格的概率 ………13分
18.解：（I）设先去买火车票的概率为P（A），先去买汽车票的概率为P（B），
则由条件可知
即先去买火车票的概率为0.75. …………4分
（II）解：该大学生首先到火车站且买到火车票的概率为
…………6分
∴该大学生买汽车票的概率为 …………8分
设该大学生购买车票所花费钱数为ξ，可得ξ的分布列如下：
ξ 120 280
P 0.45 0.55
∴该大学生购买车票所花费钱数的期望值为
…………13分
19.解：（1）设盒子中有“会徽卡”n张，依题意有，
解得n=3
即盒中有“会徽卡”3张。……4分
（2）因为表示某人一次抽得2张“福娃卡”终止时，所有人共抽取了卡片的次数，所以的所有可能取值为1，2，3，4，……4分
；
；
；
，
概率分布表为：
1 2 3 4
P
……10分
的数学期望为。……14分
20.解：（Ⅰ）一次摸奖从个球中任选两个，有种，
它们等可能，其中两球不同色有种，………………………2分
一次摸奖中奖的概率．………………………4分
（Ⅱ）若，一次摸奖中奖的概率,………………………6分
三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是
． ………………………8分
（Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为
，， ……………………12分
，知在上为增函数，在上为减函数，当时取得最大值．又,解得．…………14分
答：当时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大．
【方法探究】本题是一个在等可能性事件基础上的独立重复试验问题，体现了不同概型的综合．第Ⅲ小题中的函数是三次函数，运用了导数求三次函数的最值．如果学生直接用代替，函数将比较烦琐，这时需要运用换元的方法，将看成一个整体，再求最值．
21.解: （Ⅰ）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1，
由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，
故P（A1）=1- P（）=1-=。
答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为；……4分
(Ⅱ) 记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2，
“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B2，则
，
，
由于甲、乙射击相互独立，
故。
答：两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为；…8分
（Ⅲ）记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A3，
“乙第i次射击未击中” 为事件Di，（i=1，2，3，4，5），则A3=D5D4，且P（Di）=，
由于各事件相互独立，
故P（A3）= P（D5）P（D4）P（）
=×××（1-×）
=，
答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是。…………12分
或者：分类处理
1. 前三次都击中目标，第四、五次连续两次都未击中目标
1. 第一次未击中目标，第二、三次击中，
1. 第一次击中，第二次未击中，第三次击中，
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高二数学第九章 随机变量及其分布 整理人：邢丞
第1讲：离散型随机变量及其分布列
★知识梳理★
1．随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.常用希腊字母ξ、η等表示
2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量
3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
4.分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为
x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表
ξ x1 x2 … xi …
P P1 P2 … Pi …
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列
5. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
⑴Pi≥0，i＝1，2，…. ⑵P1+P2+…=1
特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即
6.拓展性质:
①n个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．
②n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
③离散型随机变量的分布列的两个性质：（1）；（2）.
④数学期望
⑤数学期望的性质
（1）.（2）若～,则.
(3) 若服从几何分布,且，则.
⑥方差
⑦标准差=.
⑧方差的性质
(1)；(2）若～，则.
(3) 若服从几何分布,且，则.
⑨方差与期望的关系.
⑩正态分布密度函数，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差；
当时得到标准正态分布密度函数：.
⑾对于，取值小于x的概率.
.
★重难点突破★
1.重点：了解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量及离散型随机变量的分布列的意义，
2.难点：会求某些简单的离散型随机变量的分布列；掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质及简单运用。
3.重难点：.
问题1: 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:
点拨：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出
注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，=0，表示正面向上，=1，表示反面向上
（2）若是随机变量，是常数，则也是随机变量
★热点考点题型探析★
考点一：离散型随机变量及其分布列的计算
题型1. 离散型随机变量的取值
[例1] 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果
(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；
(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η
【新题导练】
1．抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是（ ）
A.一颗是3点，一颗是1点
B.两颗都是2点
C.两颗都是4点
D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点
2．.随机变量的所有等可能取值为，若，则（ ）
A．； B．； C．； D．不能确定
题型2.离散型随机变量分布列的计算
[例2]旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.求选择甲线路旅游团数的分布列.
【新题导练】
3.某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作. 规定：至少正确完成其中2题的便可提高通过. 已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列；
4.一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：
现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望.
考点二: 离散型随机变量分布列的性质
题型1: 离散型随机变量分布列的性质的应用
0 1 2 3
0.1 0.1
[例3]某一随机变量的概率分布如下表，且，则的值为（ ）
A.－0.2； B.0.2； C.0.1； D.－0.1
【新题导练】
5．设随机变量的分布列为，则a的值为( )
A .1； B.9/13； C.11/13； D.27/13
6．设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求的值
－1 0 1
P 1－2
★抢分频道★
基础巩固训练
1. 如果是一个离散型随机变量，则假命题是( )
A. 取每一个可能值的概率都是非负数；B. 取所有可能值的概率之和为1；
C. 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；
D. 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
2. 下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是
A.
ξ －1 0 1
P 0.3 0.4 0.4
B.
ξ 1 2 3
P 0.4 0.7 －0.1
C.
ξ －1 0 1
P 0.3 0.4 0.3
D.
ξ 1 2 3
P 0.3 0.4 0.4
3．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是（ ）
A.5 B.9 C.10 D.25
4.随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(＜ξ＜)的值为
A． B． C． D．
5．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则（ ）
A. B. C. D.
6．某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率__________________________
综合拔高训练
7．设随机变量的分布列为，则的值为_________
8．设随机变量X的分布列是
X 1 2 3
P 1/3 1/2 1/6
求（1）P（X＝1）
（2）P（）
9．有六节电池，其中有2只没电，4只有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数为随机变量，求的分布列。
10．在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：
（1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列；
（2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列.
第2讲 二项分布与超几何分布
★知识梳理★
1．条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
特别提醒：
①0P（B|A）1；
②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
2. 相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
特别提醒：
①如果事件A、B是相互独立事件，那么，A与、与B、与都是相互独立事件
②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。我们把两个事件A、B同时发生记作A·B，则有P（A·B）= P（A）·P（B）
推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：P（A1·A2·…·An）= P（A1）·P（A2）·…·P(An)
3.独立重复试验: 在同样的条件下，重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.
4.如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率计算公式： Pn（k）=CPk（1－P）n－k,其中，k=0,1,2，…,n.
5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
，（k＝0,1,2,…，n，）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 0 1 … k … n
P … …
由于恰好是二项展开式
中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布
记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记＝b(k；n，p)．
6. 两点分布：
X 0 1
P 1－p p
特别提醒： 若随机变量X的分布列为两点分布, 则称X服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.
7. 超几何分布：
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则其中，。
称分布列
X 0 1 … m
P …
为超几何分布列， 称X服从超几何分布。
★重难点突破★
1.重点：理解超几何分布及其导出过程.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，能理解n次独立重复实验的模型及二项分布.
2.难点：能利用超几何分布, 二项分布及n次独立重复实验解决一些简单的实际问题
3.重难点：.
(1) “互斥”与“独立”混同
问题1: 甲投篮命中率为O．8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少
错解 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)：
点拨: 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．
正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A·B，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= ．
（2）“条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同
问题2:袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．
错解 记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以P(C)=P(B/A)=.
点拨：本题错误在于P(AB)与P(B/A)的含义没有弄清, P(AB)表示在样本空间S中,A与B同时发生的概率；而P（B/A）表示在缩减的样本空间SA中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率。
正确答案：P（C）= P(AB)=P（A）P（B/A）=。
★热点考点题型探析★
考点一： 条件概率,相互独立事件和独立重复试验
题型1. 条件概率
[例1] 一张储蓄卡的密码共有6位数，每位数字都可从0～9中任选，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
⑴按第一次不对的情况下，第二次按对的概率；
⑵任意按最后一位数字，按两次恰好按对的概率；
⑶若他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率
【新题导练】
1. 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．
题型2.相互独立事件和独立重复试验
[例2]某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定．他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张．投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，他们的投票相互没有影响．规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目投资．
（Ⅰ）求此公司一致决定对该项目投资的概率；
（Ⅱ）求此公司决定对该项目投资的概率；
【新题导练】
2.甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试
合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：至少有1人面试合格的概率;
3．甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.
（Ⅰ）求随机变量ε分布列；
(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).
考点二: 两点分布与超几何分布
题型1: 两点分布与超几何分布的应用
[例3] 高二（十）班共50名同学，其中35名男生，15名女生，随机从中取出5名同学参加学生代表大会，所取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布如何？
[例4] 若随机事件A在1次试验中发生的概率是，用随机变量表示A在1次实验中发生的次数。
（1）求方差的最大值；（2）求的最大值。
【新题导练】
4．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？
5．假定一批产品共100件，其中有4件不合格品，随机取出的6件产品中，不合格品数X的概率分布如何？
考点三: 独立重复试验与二项分布
题型1: 独立重复试验与二项分布的应用
[例5] 一口袋内装有5个黄球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数是一个随机变量，则=______________。（填计算式）
[例6] 某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？
【新题导练】
6.某科研小组进行某项科学实验的成功率为。那么连续对该项实验进行4次试验恰有3次成功的概率_ _
7.某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.
(Ⅰ)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率;
(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是,请问:商场应将每次中奖奖金数额最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利
★抢分频道★
基础巩固训练
1.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列满足：如果为数列的前n项和，那么的概率为 ( )
A． B． C． D．
2.一台机床有的时间加工零件A, 其余时间加工零件B, 加工A时,停机的概率是,加工B时,停机的概率是, 则这台机床停机的概率为( )
A. B. C. D.
3．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次射击命中的概率为（ ）
A. B. C. D.
4．某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是( )
A. B. C. D.
5．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）
6．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率为 ．
综合拔高训练
7．一袋中装有４个白球，２个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现３次停止，设停止时,取球次数为随机变量,则 ________．
8．甲、乙二射击运动员分别对一目标射击次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求：
（1）人都射中目标的概率；
（2）人中恰有人射中目标的概率；
（3）人至少有人射中目标的概率；
（4）人至多有人射中目标的概率？
9．某研究机构准备举办一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示
版本 人教A版 人教B版 苏教版 北师大版
人数 20 15 5 10
（1）从这50名教师中随机选出2名，问这2人使用相同版本教材的概率是多少？
（2）若随机选出的2名教师都使用人教版教材，现设使用人教A版教材的教师人数为，求随机变量的分布列
10．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.
（Ⅰ）求甲、乙两人考试均合格的概率；
（Ⅱ）求甲答对试题数的概率分布.
第3讲 离散型随机变量的期望和方差
★知识梳理★
1．数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称 …… 为ξ的数学期望，简称期望．
特别提醒：
1. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
2. 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
2.期望的一个性质:
3.若ξB（n,p），则Eξ=np
4.方差:＝＋＋…＋＋…．
5.标准差: 的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
6.方差的性质：
①
②若ξ～B(n，p)，则np(1-p)
特别提醒：
1. 随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
2. 随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
3. 标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛
★重难点突破★
1.重点：了解离散型随机变量的期望、方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望方差、或标准差．
2.难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题
3.重难点：.
(1) 期望的一个性质:
点拨：若(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为
ξ x1 x2 … xn …
η … …
P p1 p2 … pn …
于是……
＝……)……)
＝，
（2）若ξB（n,p），则Eξ=np
点拨：∵ ，
∴ 0×＋1×＋2×＋…＋k×＋…＋n×．
又∵ ，
∴ ＋＋…＋＋…＋．
故 若ξ～B(n，p)，则np．
★热点考点题型探析★
考点一：离散型随机变量的期望
题型1. 离散型随机变量的期望的应用
[例1]旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.
（Ⅰ）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；
（Ⅱ）求选择甲线路旅游团数的分布列和期望.
[例2] 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
【新题导练】
1．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。
（Ⅰ）所选3人中至少有1名女生的概率；
（Ⅱ）设随机变量表示所选3人中的女生人数。写出的分布列并求出的数学期望。
2．在体能测试中，规定每名运动员一开始就要参加且最多参加四次测试.一旦测试通过,就不再参加余下的测试,否则一直参加完四次测试为止.已知运动员甲的每次通过率为(假定每次通过率相同)
(1) 求运动员甲参加测试的次数的分布列及数学期望;
(2) 求运动员甲最多参加两次测试的概率(精确到)
考点二: 离散型随机变量的方差
题型1: 离散型随机变量方差的应用
[例3]袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个（=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.
（Ⅰ）求的分布列，期望和方差；
（Ⅱ）若, ,,试求a,b的值.
[例4]为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望，标准差为。
（Ⅰ）求n,p的值并写出的分布列；
（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率
★抢分频道★
基础巩固训练
1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（ ）
A．4； B．5； C．4.5； D．4.75
2. 设Eξ=10,Eη=3,则E(3ξ+5η)等于( )
A.45 B.40 C.30 D.15
3．设随机变量～B(2,p), ～B(4,p),若，则的值为( )
(A) (B) (C) (D)
4．设是离散型随机变量，，，且，现已知：，，则的值为( )
(A) (B) (C) ３ (D)
5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为（、、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则的最大值为( )
A． B． C． D．
6．已知随机变量的分布列是
ξ 1 2 3
P 0.4 0.2 0.4
则Dξ=____________;
综合拔高训练
7．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.
(Ⅰ)甲射击4次,至少1次未击中目标的概率________________;
(Ⅱ) 求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率_________;
(Ⅲ) 假设某人连续2次未击中目标,则停止射击. 问: 乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是________
8．交5元钱，可以参加一次抽奖。一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元， 2个标有5元，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球标的钱数之和。
（I）求的概率分布列； （II）求抽奖人获利的数学期望。
9．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．
抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，
则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.
（1）求这箱产品被用户接收的概率；
（2）记抽检的产品件数为，求的分布列和数学期望．
第4讲 正态分布
★知识梳理★
1. 正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差；当时得到标准正态分布密度函数：.
2.正态曲线的性质：
1 曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
2 曲线是单峰的，关于直线x＝ 对称；
3 曲线在x＝处达到峰值；
4 曲线与x轴之间的面积为1；
3. 是参数是参数的意义:
1 当一定时，曲线随质的变化沿x轴平移；
2 当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中； 越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。
特别提醒：
(1)P=0.6826；
(2)P=0.9544
(3)P=0.9974
4．对于，取值小于x的概率.
.
★重难点突破★
1.重点：利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
2.难点：利用正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义解决简单问题.
3.重难点：.
(1) 正态分布与正态曲线
问题1:若总体密度曲线就是或近似地是函数的图象，则其分布叫正态分布，常记作．的图象称为正态曲线．
点拨：画出三条正态曲线：即①；②；③，其图象如下图所示：
观察以上三条正态曲线，得以下性质：
①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．
②曲线关于直线对称，且在时位于最高点．
③当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．
④当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．
注意: 当时，正态总体称为标准正态总体，相应的函数表示式是．相应的曲线称为标准正态曲线．
★热点考点题型探析★
考点一： 正态分布的应用
题型1. 正态分布公式的应用
[例1] 给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ
（１） （２）
（３）
[例2] 某物体的温度()是一个随机变量，已知，又随机变量()
满足，求的概率密度。
[例3] 灯泡厂生产的白炽灯寿命ξ（单位：ｈ），已知ξ～N（1000，302)，要使灯泡的平均寿命为1000ｈ的概率为99.7％，问灯泡的最低使用寿命应控制在多少小时以上？
【新题导练】
1. 正态总体为概率密度函数是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇百偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
2．如果随机变量，则等于（ ）
A. B. C. D.
★抢分频道★
基础巩固训练
1. 正态曲线是（ ）
A.递增函数 B.递减函数 C.从左到右先增后减的函数 D.从左到右先减后增的函数
2.标准正态分布的均数与标准差分别为( )。
A．0与1 B．1与0 C．0与0 D．1与1
3.正态分布有两个参数与，( )相应的正态曲线的形状越扁平。
A．越大 B．越小 C．越大 D．越小
4．下列函数是正态分布密度函数的是( )
A． B． C． D．
5．设两个正态分布和的密度函数图像如下图所示。则有（ ）
A． B．C． D．
6．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题不正确的是 （ ）
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分；
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同；
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同；
D．该市这次考试的数学成绩标准差为10.
综合拔高训练
7．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，记φ(x)＝p(ξ
8．设随机变量服从正态分布,若,则c= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9．某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况，因此可以把统考成绩作为总体，设平均成绩，标准差，总体服从正态分布，若全市重点校录取率为40%，那么重点录取分数线可能划在（ ）（已知φ（0.25）＝0.6）
A．525分 B．515分 C．505分 D．495分
10．已知某车间正常生产的某种零件的尺寸满足正态分布N(27.45,0.052),质量检验员随机抽查了10个零件，测得它们的尺寸为：27.34 、27.49、27.55、27.23 、27.40、27.46、27.38、 27.58、 27.54、 27.68 请你根据正态分布的小概率事件，帮助质量检验员确定哪些零件应该判定在非正常状态下生产的.
第九章 随机变量及其分布 综合检测卷
一、选择题（第小题5分，共40分）
1．的分布列为，则( )
A. B. C. D.
2．，，，则( )
A. 45 B. 50 C. 55 D. 60
3．事件A在一次试验中发生的次数的方差的最大值为( )
A. 1 B. C. D. 2
0 1 2 3
0.1 0.1
4．设M和N是两个随机事件，表示事件M和事件N都不发生的是( )
A． B． C． D．
5．某一随机变量的概率分布如上表，且，则的值为（ ）
A.－0.2； B.0.2； C.0.1； D.－0.1
6．随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(＜ξ＜)的值为
A． B． C． D．
7．如图， A, B, C表示3种开关，设在某段时间内它们正常工作的概率是分别是0.9 , 0.8 , 0.7 , 如果系统中至少有1个开关能正常工作, 那么该系统正常工作的概率是( )
A． 0.994 B．0.504 C．0.496 D．0.06
8．A、B两篮球队进行比赛，规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束（七局四胜制），A、B两队在每场比赛中获胜的概率均为，为比赛需要的场数，则( )
A. B. C. D.
二、填空题（第小题5分，共30分，其中13~15是选做题，选做两题）
9．甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲、乙命中的概率分别为和，若命中目标的人数为，则 。
10．设ξ是离散型随机变量，η=2ξ+3，则有 Eη= ，Dη=
11．某人参加一次考试，４道题中解对３道则为及格，已知他的解题正确率为，则他能及格的概率为 ．
12．在某一试验中事件A出现的概率为，则在次试验中出现次的概率为
13． A、B两篮球队进行比赛，规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束（七局四胜制），A、B两队在每场比赛中获胜的概率均为，为比赛需要的场数，则 。
14．同时掷两枚骰子，它们各面分别刻有：，若为掷得点数之积，求 。
15．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则Dξ=
三、解答题（共80分）
16. （本题满分13分） 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．
（Ⅰ）求小球落入袋中的概率；
（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记为落入袋中的小球个数，试求的概率和的数学期望．
17. （本题满分13分）(新华网)反兴奋剂的大敌、服药者的宠儿——HGH(人体生长激素)，有望在2008年8月的北京奥运会上首次“伏法”。据悉，国际体育界研究近10年仍不见显著成效的HGH检测，日前已取得新的进展，新生产的检测设备有希望在北京奥运会上使用.若组委会计划对参加某项比赛的12名运动员的血样进行突击检查，采用如下化验方法：将所有待检运动员分成若干小组，每组m个人，再把每个人的血样分成两份，化验时将每个小组内的m个人的血样各一份混合在一起进行化验，若结果中不含HGH成分，那么该组的m个人只需化验这一次就算检验合格；如果结果中含有HGH成分，那么需要对该组进行再次检验，即需要把这m个人的另一份血样逐个进行化验，才能最终确定是否检验合格，这时，对这m个人一共需要进行m＋1次化验.假定对所有人来说，化验结果中含有HGH成分的概率均为 ．当m＝3时，求：
(1)一个小组只需经过一次检验就合格的概率；
(2)至少有两个小组只需经过一次检验就合格的概率(精确到0.01.参考数据：0.2713≈0.020,0.2714≈0.005,0.7292≈0.500)
18. （本题满分13分） 在2008年春运期间，一名大学生要从广州回到郑州老家有两种选择，即坐火车或汽车。已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的3倍，汽车票随时都能买到。若先去买火车票，则买到火车票的概率为0.6，买不到火车票，再去买汽车票。
（I）求这名大学生先去买火车票的概率；
（II）若火车票的价格为120元，汽车票的价格为280元，设该大学生购买车票所花费钱数为的期望值。
19. （本题满分14分）某社区举办北京奥运知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“奥运福娃”或“奥运会徽”，要求4人中一组参加游戏，参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中一人一次抽到2张“奥运福娃” 卡才能得到奖并终止游戏。
（1）游戏开始之前，一位高中生问：盒子中有几张“奥运会徽” 卡？主持人说：若从盒中任抽2张卡片不都是“奥运会徽” 卡的概率为，请你回答有几张“奥运会徽” 卡呢？
（2）现有甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取。用表示4人中的某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数，求的概率分布及的数学期望。
20. （本题满分14分）一个口袋中装有个红球（且）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．
（Ⅰ）试用表示一次摸奖中奖的概率；
（Ⅱ）若，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；
（Ⅲ）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为．当取多少时，最大？
21. （本题满分12分）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和。假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。
（Ⅰ）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
（Ⅱ）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
（Ⅲ）假设两人连续两次未击中目标，则停止射击。问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
高二数学第九章 随机变量及其分布详解答案
第一讲
例1解析： (1) ξ可取3，4，5
ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；
ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；
ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5
（2）η可取0，1，…,n，…
η=i，表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,…
【新题导练】
1.答案：D 解析：对A、B中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而D是 ξ=4代表的所有试验结果.掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键.
2.答案：C
例2解析： 设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3
P（ξ=0）= P（ξ=1）=
P（ξ=2）= P（ξ=3）=
∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
【新题导练】
3.解：设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为、，
则取值分别为1，2，3；取值分别为0，1，2，3。…………………………………2分
，，。
∴考生甲正确完成题数的概率分布列为
1 2 3
4.解： ξ可取1，2，3，4.
，
； …………8分
故ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
例3解析：由，又，可得答案：B
【新题导练】
5.答案：D
6.解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以解得。
【抢分频道】
1.答案：D
2.答案：C 解析：A、D不满足分布列的基本性质②，B不满足分布列的基本性质①.
3.答案：B 解析：号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9种.
4.答案：D
5.答案：D解析：设二级品有个，∴ 一级品有个，三级品有个，总数为个。
∴ 分布列为
6.答案：根据射手射击所得的环数ξ的分布列，有
P(ξ=7)＝0.09，P(ξ=8)＝0.28，P(ξ=9)＝0.29，P(ξ=10)＝0.22.
所求的概率为 P(ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88
7.答案：
8.解：（1）P（X＝1）＝1/3
（2）P（）＝1/2+1/6=2/3
9.解：2，3，4，5
∵ 表示前2只测试均为次品，∴
∵ 表示前两次中一好一坏，第三次为坏，∴
∵ 表示前四只均为好，或前三只中一坏二好，第四个为坏，
∴
∵ 表示前四只三好一坏，第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好
∴
∴ 分布列为
2 3 4 5
P
10.解：（1）P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
（2）P（η=k）=C·0.83－k·0.2k（k=0，1，2，3），所以η的分布列为
η 0 1 2 3
P C0.83 C0.82·0.2 C0.8·0.22 C0.23
第二讲
例1解析：设事件表示第次按对密码
⑴
⑵事件表示恰好按两次按对密码，则
⑶设事件表示最后一位按偶数，事件表示不超过2次按对密码，因为事件与事件为互斥事件，由概率的加法公式得：
【新题导练】
1.解: 设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，
(2)方法一: 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以
方法二:
例2解析：（Ⅰ）此公司一致决定对该项目投资的概率
P= ()3＝
（Ⅱ）此公司决定对该项目投资的概率为
P＝C32()2()＋C33()3＝
答: （Ⅰ）此公司一致决定对该项目投资的概率为
（Ⅱ）此公司决定对该项目投资的概率为.
【新题导练】
2.解: 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，
且P（A）＝P（B）＝P（C）＝.
至少有1人面试合格的概率是
3.解: (Ⅰ)由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且
所以ε的分布列为
ε 0 1 2 3
P
（Ⅱ）用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又
由互斥事件的概率公式得
例3解析：从50名学生中随机取5人共有种方法，没有女生的取法是，恰有1名女生的取法是，恰有2名女生的取法是，恰有3名女生的取法是，恰有4名女生的取法是，恰有5名女生的取法是，
因此取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布为：
X 0 1 2 3 4 5
P
例4[解题思路]：
（1）由两点分布，分布列易写出，而要求方差的最大值需求得的表达式，转化为二次函数的最值问题；
（2）得到后自然会联想均值不等式求最值。
解析：（1）的分布列如表：所以，
所以时，有最大值。
（2）由，当且仅当即时取等号，所以的最大值是。
【名师指引】在超几何分布中,只要知道N,M和n,就可以根据公式求出X取不同m值时的概率P(X=m).
【新题导练】
4.解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得
5.解: 从100件产品中随机取6件产品共有种方法，都是合格品的取法是，恰有1件不合格品的取法是，恰有2件不合格品的取法是，恰有3件不合格品的取法是，恰有4件不合格品的取法是。
因此取出的6件产品中，不合格品数X的概率分布为：
X 0 1 2 3 4
P
例5解析：
例6解析：解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击次
记事件＝“射击一次，击中目标”，则．
∵射击次相当于次独立重复试验，
∴事件至少发生1次的概率为．
由题意，令，∴，∴，
∴至少取5．
答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次
【新题导练】
6.答案:
7.解: (Ⅰ)从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品一共有种选法,.选出的3种商品中没有日用商品的选法有种, ……1分.
所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为.……4分
(Ⅱ)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,设为X,其所有可能值为0, ,2,3.……6分
X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以……7分
同理可得……8分
……9分
……10分
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是.……12分
要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额,因此应有,所以,……13分.
故商场应将中奖奖金数额最高定为100元,才能使促销方案对商场有利. ……14分
★抢分频道★
1.答案：B
2.答案：A
3.答案：B
4.答案:B
5.答案:A
6.答案:
7.答案:
8.解：记“甲射击次，击中目标”为事件，“乙射击次，击中目标”为事件，则与，与，与，与为相互独立事件，
（1）人都射中的概率为：
，
∴人都射中目标的概率是．
（2）“人各射击次，恰有人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件发生）根据题意，事件与互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：
∴人中恰有人射中目标的概率是．
（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为．
（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，
2个都未击中目标的概率是，
∴“两人至少有1人击中目标”的概率为．
（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，
故所求概率为：
．
（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，
故所求概率为
9．解：（1）50名教师中随机选出2名的方法数为，
选出的2人所使用版本相同的方法数为
=190+105+10+45=350，
2人所使用版本相同的概率为
（2），
，
随机变量的分布列是
0 1 2
P
10.解：（Ⅰ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则
P(A)==，P(B)=.
因为事件A、B相互独立，
∴甲、乙两人考试均合格的概率为
答：甲、乙两人考试均合格的概率为．
（Ⅱ）依题意，=0，1，2，3，………………7分
， ，
，
甲答对试题数ξ的概率分布如下：
ξ 0 1 2 3
P
第三讲
例1解析：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P1=
（2）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3
P（ξ=0）= P（ξ=1）=
P（ξ=2）= P（ξ=3）=
∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=
例2解析：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则~ B（20,0.9）,,
由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：
【新题导练】
1解析：（Ⅰ）设所选三人中至少有1名女生的事件为A
P(A)=
（Ⅱ）ξ可能取的值为0，1，2， 分
P（ξ=k）= k=0，1，2
ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
∴Eξ=
2.解：(1)的可能取值为
当时, ;
当时;;
当时,;
当时,; 的分布列为:
1 2 3 4
0.7 0.21 0.063 0.027
(2)
例3解析： （Ⅰ）的分布列为：
0 1 2 3 4
P
∴
（Ⅱ）由，得a2×2.75＝11，即又所以
当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2;
当a=-2时，由1＝-2×1.5+b，得b=4.
∴或即为所求.
例4解析： (1)由得,
从而
的分布列为
0 1 2 3 4 5 6
(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则 得
或
【抢分频道】
1.答案：C
2答案:A
3.答案：B
4.答案：C
5.答案：由已知得即，故选D.
6.答案:0.8
7.答案:（1） （2） （3）
8.解（I）
，，
2 6 10
所以的概率分布列为：
（II）由（I）知，
所以抽奖人获利的数学期望为：元。
10.解：（1）设“这箱产品被用户接收”为事件，.
即这箱产品被用户接收的概率为．
（2）的可能取值为1，2，3．
=，
=，
=，
∴的概率分布列为：
1 2 3
∴=．
第四讲
例1解析：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5
例2解析:
所以随机变量的概率密度为
例3解析：解：因为灯泡寿命ξ～N(1000，302)，故ξ在（1000－3×30，1000＋3×30）内取值的概率为99.7％，即在（910，1090）内取值的概率为99.7％，故灯泡的最低使用寿命应控制在910ｈ以上
【新题导练】
1.答案:B
2.答案:B 解析：这里的由换算关系式，有
【抢分频道】
1.答案：C
2.答案:A
3.答案:C
4.答案:B
5.答案:A
6.答案：B
7.答案：①②③
8.答案:B
9.答案：C
10.解：小概率事件是指在一次试验中几乎不可能发生的思想 我们对落在区间（27.45－3×0.05，27.45＋3×0.05）＝（27.3，27.6）之外生产的零件尺寸做出拒绝接受零件是正常状态下生产的假设 有两个零件不符合落在区间（27.3，27.6）之内；
答：尺寸为27.23和尺寸为27.68的两个零件，它们是在非正常状态下生产的
第四章 计数原理 综合检测卷
1.答案:C
2.答案:D
3.答案:C
4.答案:D
5.答案：B
6.答案：B
7.答案:A
8.答案;B
9.答案:
10.答案: 2Eξ+3, 4Dξ
11.答案: 0.8
12.答案:
13.答案:
14.答案: 解析:投两个骰子共有36种可能，即
12 1 2 2 3 3 3
122333 122333 244666 244666 366999 366999 366999
∴的分布列为
1 2 3 4 6 9
∴
15.答案:
16.解：（Ⅰ）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件的对立事件为，而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故
，
从而；…………6分
（Ⅱ）显然，随机变量，故，…………13分
17.解：（1）一个小组经过一次检验就合格，则必有此三人的血样中都不含HGH成分
∴所求概率为P＝（1－）3＝0.729 ………6分
（2）依据题意，至少有两个小组只需经过一次检验就合格的概率 ………13分
18.解：（I）设先去买火车票的概率为P（A），先去买汽车票的概率为P（B），
则由条件可知
即先去买火车票的概率为0.75. …………4分
（II）解：该大学生首先到火车站且买到火车票的概率为
…………6分
∴该大学生买汽车票的概率为 …………8分
设该大学生购买车票所花费钱数为ξ，可得ξ的分布列如下：
ξ 120 280
P 0.45 0.55
∴该大学生购买车票所花费钱数的期望值为
…………13分
19.解：（1）设盒子中有“会徽卡”n张，依题意有，
解得n=3
即盒中有“会徽卡”3张。……4分
（2）因为表示某人一次抽得2张“福娃卡”终止时，所有人共抽取了卡片的次数，所以的所有可能取值为1，2，3，4，……4分
；
；
；
，
概率分布表为：
1 2 3 4
P
……10分
的数学期望为。……14分
20.解：（Ⅰ）一次摸奖从个球中任选两个，有种，
它们等可能，其中两球不同色有种，………………………2分
一次摸奖中奖的概率．………………………4分
（Ⅱ）若，一次摸奖中奖的概率,………………………6分
三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是
． ………………………8分
（Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为
，， ……………………12分
，知在上为增函数，在上为减函数，当时取得最大值．又,解得．…………14分
答：当时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大．
【方法探究】本题是一个在等可能性事件基础上的独立重复试验问题，体现了不同概型的综合．第Ⅲ小题中的函数是三次函数，运用了导数求三次函数的最值．如果学生直接用代替，函数将比较烦琐，这时需要运用换元的方法，将看成一个整体，再求最值．
21.解: （Ⅰ）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1，
由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，
故P（A1）=1- P（）=1-=。
答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为；……4分
(Ⅱ) 记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2，
“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B2，则
，
，
由于甲、乙射击相互独立，
故。
答：两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为；…8分
（Ⅲ）记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A3，
“乙第i次射击未击中” 为事件Di，（i=1，2，3，4，5），则A3=D5D4，且P（Di）=，
由于各事件相互独立，
故P（A3）= P（D5）P（D4）P（）
=×××（1-×）
=，
答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是。…………12分
或者：分类处理
1. 前三次都击中目标，第四、五次连续两次都未击中目标
1. 第一次未击中目标，第二、三次击中，
1. 第一次击中，第二次未击中，第三次击中，
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