北师大版数学七年级上册-单元培优第5章 一元一次方程（原卷版+详解）

第5章 一元一次方程（单元培优卷 北师大版）
考试时间：120分钟，满分：120分
选择题：共10题，每题3分，共30分。
1．已知下列方程：（1）；（2）；（3） ；（4）； （5）；（6）．其中一元一次方程的个数有（ ）
A．2 B．5 C．4 D．3
2．下列方程中，解为的方程是（ ）．
A． B． C． D．
3．已知关于的方程是一元一次方程，则实数的取值是（ ）
A．1 B． C．1或 D．0
4．下列等式是由根据等式性质变形得到的，其中正确的有（　　）
①；②；③④．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．新学年，滨河初中篮球社团和音乐社团进行了招募活动．七年级一班共有30位同学报名加入了社团．已知加入篮球社团的人数比加入音乐社团的人数多4人，两个社团都加入的有8人，设加入篮球社团有人，根据题意列方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．关于的方程有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在大长方形（是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．设，有下列分析思路：①以小长方形的长作相等关系可得方程；②以大长方形的长作相等关系可得方程．其中，正确的是（ ）．
A．①正确，②不完全正确 B．①不完全正确，②正确
C．①②都正确 D．①②都不正确
8．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨：每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
9．关于x的方程与的解相同，则m等于（ ）
A． B． C． D．4
10．如图，沿着边长为米的正方形，按方向，甲从以米/分的速度，乙从以米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时是在正方形的某个顶点处，则这个顶点是（ ）
A．顶点A B．顶点B C．顶点C D．顶点D
二、填空题：共6题，每题3分，共18分。
11．试写出一个解为的一元一次方程： ．
12．在等式的两个“”内分别填入一个数，使这两个数互为相反数且等式成立，则第一个“”内的数是 ．
13．足球表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑、白皮块数目比为，一个足球表面一共有32个皮块，黑色皮块有 个．
14．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数减去36后，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数是 ．
15．如图，在一张普通的月历中，任意圈出一竖列上的相邻的三个数，用方程的思想来研究，中间日期数为 时，三个日期数之和为69．
16．规定，若，则 ．
三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。
17．（4分）用方程表示下列语句所表示的相等关系：
(1)七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人；
(2)一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元．
18．（4分）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示：
将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步）
(1)第______步等式变形产生错误；
(2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值．
19．（6分）解下列方程
(1) (2)
(4)
20．（6分）为提高学生的计算能力，我校七年级在元旦之前组织了一次数学速算比赛．速算规则如下：速算试题形式为计算题，共20道题，答对一题得5分，不答或错一题倒扣1分．小明代表班级参加了这次比赛，请解决下列问题：
(1)如果小明最后得分为82分，那么他计算对了多少道题？
(2)小明的最后得分可能为95分吗？如果不能，请说明理由．
21．（8分）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“乘解方程”．例知：的解为，且，则方程是“乘解方程”，请回答下列问题，
(1)判断是不是“乘解方程”，并说明理由；
(2)若关于的一元一次方程是“乘解方程”，求的值．
22．（10分）年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的多少天．
(1)乙工程队单独完成需要多少天？
(2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？
23．（10分）某超市为了吸引消费者，将甲种商品降价，乙种商品降价开展优惠促销活动，已知甲、乙两种商品的原销售单价之和为2000元，某顾客参加活动购买甲、乙两种商品各一件，共付1520元．
(1)甲、乙两种商品的原销售单价各是多少元？
(2)若在这次促销活动中乙种商品仍可获利，求乙种商品每件的进价是多少？
24．（12分）如图，点A在数轴上表示的数为10，将点A沿数轴向右移动60个单位长度到达点B，已知点B表示的数为b．
(1)填空：______；
(2)动点M从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时另一动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，M、N两点相遇；
(3)在（2）的条件下，当t为何值时，M、N两点在数轴上相距20个单位长度？
25．（12分）中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）：
计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费．
(1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？
(2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？
(3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？
第5章 一元一次方程（单元培优卷 北师大版）
考试时间：120分钟，满分：120分
选择题：共10题，每题3分，共30分。
1．已知下列方程：（1）；（2）；（3） ；（4）； （5）；（6）．其中一元一次方程的个数有（ ）
A．2 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【详解】解：（1）是分式方程，故（1）不符合题意；
（2），即，符合一元一次方程的定义，故（2）符合题意；
（3），即，符合一元一次方程的定义，故（3）符合题意；
（4）的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程，故（4）不符合题意；
（5），即，符合一元一次方程的定义，故（5）符合题意；
（6）中含有2个未知数，属于二元一次方程．故（6）不符合题意．
综上所述，一元一次方程的个数是3个．
故选：D．
2．下列方程中，解为的方程是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A、，解得：，不符合题意，选项错误；
B、，解得：，不符合题意，选项错误；
C、，解得：，符合题意，选项正确；
D、，解得：，不符合题意，选项错误；
故选：C．
3．已知关于的方程是一元一次方程，则实数的取值是（ ）
A．1 B． C．1或 D．0
【答案】B
【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程，
，
由①得，
由②得，
综上，．
故选：B．
4．下列等式是由根据等式性质变形得到的，其中正确的有（　　）
①；②；③④．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【详解】解：
，故①正确，②错误；
当时，，
，故④错误；
，等式的左右两边同时除以2
，故③正确；
故选：C．
5．新学年，滨河初中篮球社团和音乐社团进行了招募活动．七年级一班共有30位同学报名加入了社团．已知加入篮球社团的人数比加入音乐社团的人数多4人，两个社团都加入的有8人，设加入篮球社团有人，根据题意列方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：设加入篮球社团有人，根据题意列方程为，
故选：B．
6．关于的方程有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵关于的方程有解，
∴，
解得：，
即的取值范围是，
故选：C．
7．如图，在大长方形（是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．设，有下列分析思路：①以小长方形的长作相等关系可得方程；②以大长方形的长作相等关系可得方程．其中，正确的是（ ）．
A．①正确，②不完全正确 B．①不完全正确，②正确
C．①②都正确 D．①②都不正确
【答案】C
【详解】解：依题意找小长方形的长作为相等关系得：
或找大长方形的长做相等关系得：．
∴①②都正确，
故选：C．
8．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨：每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意可列方程．
故选B．
9．关于x的方程与的解相同，则m等于（ ）
A． B． C． D．4
【答案】D
【详解】解：
，
关于x的方程与的解相同，
，即，
解得：，
故选：D．
10．如图，沿着边长为米的正方形，按方向，甲从以米/分的速度，乙从以米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时是在正方形的某个顶点处，则这个顶点是（ ）
A．顶点A B．顶点B C．顶点C D．顶点D
【答案】B
【详解】解︰设乙第一次追上甲用了分钟，
由题意得∶，
解得∶，
而．
所以乙第一次追上甲时是在正方形的顶点处．
故选∶．
二、填空题：共6题，每题3分，共18分。
11．试写出一个解为的一元一次方程： ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：根据题意得：，
故答案为：．
12．在等式的两个“”内分别填入一个数，使这两个数互为相反数且等式成立，则第一个“”内的数是 ．
【答案】6
【详解】设第一个“”内的数是，
则，
解得：，
故答案为：．
13．足球表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑、白皮块数目比为，一个足球表面一共有32个皮块，黑色皮块有 个．
【答案】12
【详解】解：设黑色皮块有个，则白色皮块有个，
根据题意得，，
解得：，
．
答：黑色皮块有12个．
故答案为：12．
14．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数减去36后，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数是 ．
【答案】62
【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为，这个两位数为，对调后的两位数为，
依题意得，，
解得，，
∴，
∴这个两位数为．
故答案为：．
15．如图，在一张普通的月历中，任意圈出一竖列上的相邻的三个数，用方程的思想来研究，中间日期数为 时，三个日期数之和为69．
【答案】23
【详解】解：设中间日期为x，则跟它相邻的两个数分别为和，由题意得：
解得：；
故答案为：23．
16．规定，若，则 ．
【答案】
【详解】解：由题意，得：，
∴，
解得：；
故答案为：．
三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。
17．（4分）用方程表示下列语句所表示的相等关系：
(1)七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人；
(2)一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：根据题意，
（2）解：根据题意，
，
18．（4分）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示：
将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步）
(1)第______步等式变形产生错误；
(2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值．
【答案】(1)；
(2)产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为；的值为．
【详解】（1）解：第步等式变形产生错误，
故答案为：；
（2）解：产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为．
正确过程：
两边同时加，得，
两边同时减，得，
两边同时除以，得．
19．（6分）解下列方程
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：
去括号的：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（3）解：
去括号的：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（4）解：
去分母的：，
去括号的：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
20．（6分）为提高学生的计算能力，我校七年级在元旦之前组织了一次数学速算比赛．速算规则如下：速算试题形式为计算题，共20道题，答对一题得5分，不答或错一题倒扣1分．小明代表班级参加了这次比赛，请解决下列问题：
(1)如果小明最后得分为82分，那么他计算对了多少道题？
(2)小明的最后得分可能为95分吗？如果不能，请说明理由．
【答案】(1)计算对了道题
(2)不能，理由见详解
【详解】（1）解：根据题意，设计算对了道题，则不答或错了道题，
∴，
解得，，
∴计算对了道题；
（2）解：不能，理由如下，
由（1）可得，，
解得，，
∵为正整数，
∴小明的最后得分不能为，
∴不能．
21．（8分）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“乘解方程”．例知：的解为，且，则方程是“乘解方程”，请回答下列问题，
(1)判断是不是“乘解方程”，并说明理由；
(2)若关于的一元一次方程是“乘解方程”，求的值．
【答案】(1)是“乘解方程”，理由见解析；
(2)的值为．
【详解】（1）解：是“乘解方程”，理由：
由解得：，
∵，
∴方程是“乘解方程”；
（2）解：由解得：，
∵关于的一元一次方程是“乘解方程”，
∴，
解得：，
∴的值为．
22．（10分）年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的多少天．
(1)乙工程队单独完成需要多少天？
(2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？
【答案】(1)天
(2)天
【详解】（1）解：，
答：乙工程队单独完成需要天；
（2）解：设甲乙还需合作天才能修完这条水渠，
由题意得，，
解得，
答：甲乙还需合作天才能修完这条水渠．
23．（10分）某超市为了吸引消费者，将甲种商品降价，乙种商品降价开展优惠促销活动，已知甲、乙两种商品的原销售单价之和为2000元，某顾客参加活动购买甲、乙两种商品各一件，共付1520元．
(1)甲、乙两种商品的原销售单价各是多少元？
(2)若在这次促销活动中乙种商品仍可获利，求乙种商品每件的进价是多少？
【答案】(1)甲种商品原销售单价是800元，乙种商品原销售单价是1200元
(2)乙种商品每件的进价是800元
【详解】（1）解：设甲种商品原销售单价是x元，乙种商品原销售单价是元，
根据题意，得，
解得，
∴，
答：甲种商品原销售单价是800元，乙种商品原销售单价是1200元；
（2）解：设乙种商品每件的进价是m元，
根据题意，得，
解得，
答：乙种商品每件的进价是800元．
24．（12分）如图，点A在数轴上表示的数为10，将点A沿数轴向右移动60个单位长度到达点B，已知点B表示的数为b．
(1)填空：______；
(2)动点M从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时另一动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，M、N两点相遇；
(3)在（2）的条件下，当t为何值时，M、N两点在数轴上相距20个单位长度？
【答案】(1)70
(2)t的值为
(3)5或10
【详解】（1）解：；
故答案为：70；
（2）根据题意，得，
所以，
所以当t的值为时，M、N两点相遇；
（3）M、N两点相遇前：，所以，
M、N两点相遇后：，所以，
所以当t的值为5或10时，M、N两点在数轴上相距20个单位长度．
25．（12分）中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）：
计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费．
(1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？
(2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？
(3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？
【答案】(1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元
(2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟
(3)若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元
【详解】（1）解：当通话时间为100分钟时，应付费（元），
答：某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元；
（2）解：由于用计费方法B的用户某个月累计费用107元大于88元，因此通话时间大于200分钟，设通话时间是分钟，
则，
解得，
答：用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟；
（3）解：设通话时间是分钟，由题意可得
，
解得，
当通话时间为400分钟时，（元），
（元），
答：若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元．