广东省清远市连州市瑶安民族学校2025年中考二模数学试题
1．（2025·连州模拟）下列实数中，无理数为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、-1是有理数，此选项错误；B、0是有理数，此选项错误；
C、是有理数，此选项错误；
D、是无理数，此选项正确；
故选：D．
【分析】根据无理数是无限不循环小数，它的三种形式为①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，逐项判断解答即可．
2．（2025·连州模拟）第33届奥运会于2024年7月26日至8月11日在巴黎举行，以下分别是“2008北京奥运会徽”“2020东京奥运会徽”“2024巴黎奥运会徽”“2028洛杉矶奥运会徽”，其中既是轴对称图形又中心对称图形的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：因为四个图形都不是轴对称图形，也均不是中心对称图形，
所以四个图形中既是轴对称图形又中心对称图形的个数是0个．
故选：A．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形； 把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解答即可．
3．（2025·连州模拟）据中国国家铁路集团统计，2025年1月1日元旦期间，全国铁路发送旅客1150万人次，数据“1150万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1150万，
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为所有整数位的个数减1．
4．（2025·连州模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方法则逐项判断解答即可．
5．（2025·连州模拟）下列命题中，正确的是（ ）
A．垂线段最短
B．平行四边形是轴对称图形
C．矩形的对角线互相垂直
D．平分弦的直径垂直于弦．且平分弦所对的两条弧
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的性质；垂径定理；轴对称图形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是一个基本的几何定理，该选项正确，故符合题意；
B．平行四边形沿任何一条直线对折后，直线两侧的部分都不能完全重合，所以平行四边形不是轴对称图形，该选项错误，故不符合题意；
C．矩形的对角线相等，但一般情况下不互相垂直，菱形和正方形（特殊的矩形）的对角线才互相垂直，该选项错误，故不符合题意；
D．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．当弦是直径时，任意一条直径都可以平分另一条直径，但不一定互相垂直，该选项错，故不符合题意；
故选：A．
【分析】依据垂线段性质、平行四边形对称性、矩形对角线性质、圆中弦与直径的关系逐项判断解答即可.
6．（2025·连州模拟）节能环保已成为人们的共识．小东家计划购买300度电，若平均每天用电度、则能使用天．下列说法正确的是（ ）
A．若减小，则也减小 B．若减少100，则就增加100
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵小东家计划购买300度电，若平均每天用电度、则能使用天．
∴，
∴
若减小，则增大，故不符合题意；
∵，
∴不一定等于300，故B不符合题意；
当时，，故C不符合题意：
当时，，则，故D符合题意．
故选D．
【分析】先得到解析式，再利用反比例函数的增减性和点的坐标特征解答即可．
7．（2025·连州模拟）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
∴解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示如图所示．
故选A．
【分析】先分别算出两个不等式组的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分，然后在数轴上表示出来，逐项判断即可．
8．（2025·连州模拟）北京时间2024年10月30日04时27分，在酒泉卫星发射中心发射神舟十九号载人飞船，执行此次飞行任务由蔡旭哲、宋令东、王浩泽3名航天员组成，其中航天员宋令东和王浩泽为首次执行飞行任务的“90后”．现从中随机采访一位飞行员，首次执行飞行任务的“90后”飞行员被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：依题意，从中随机采访一位飞行员，共有3种等可能的结果，其中首次执行飞行任务的“90后”飞行员共有2位，
∴首次执行飞行任务的“90后”飞行员被选中的概率为．
故选B．
【分析】根据概率公式计算即可．
9．（2025·连州模拟）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
是的切线，
．
，
由四边形是的内接四边形，，
得
由，
得．
故选：C．
【分析】先连接，根据切线的性质可得，然后根据内接四边形的对角互补求出，然后根据三角形的内角和和等边对等角得到的度数．
10．（2025·连州模拟）如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间（s）之间的函数关系图象（为图象的最高点），则平行四边形的面积为（ ）
A．6 B．12 C． D．24
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的性质；动点问题的函数图象；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵点在边上，以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动，
∴，
设，则．
如图，过点作的延长线于点．由，得．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
在中，
，
∵，
∴
，
化简，得，
由二次函数图象可知，，
解得，则．
如图，过点作的延长线于点．
在中，，
，
．
故选A．
【分析】设，则．过点作的延长线于点．计算的面积，根据二次函数的性质求出最大值，即可得到的长，过点作的延长线于点，求出，利用平行四边形的面积公式计算解题．
11．（2025·连州模拟）分解因式： ．
【答案】3（m+1）（m-1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：3（m+1）（m-1）．
【分析】先提取公因式，再利用公式法进行因式分解即可。
12．（2025·连州模拟）数学课上，老师将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上当时，的度数为 ．
【答案】
【知识点】角的运算；三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意，得，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到的度数，再根据三角形外角的性质解答即可．
13．（2025·连州模拟）实验课上，小华在研究苯和石墨的分子结构时，发现这两种物质的分子均为正多边形结构，且其内角和为，则这个正多边形的每个外角为 ．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为，
则，
解得
∴这个正多边形为六边形，
∵正多边形的每个外角都相等，
∴这个正多边形的每个外角为．
故答案为：．
【分析】先求出多边形的边数，然后根据多边形的外角和为360°解答即可．
14．（2025·连州模拟）广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”，享有“世界第二高电视塔”的美誉．在一次综合实践活动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心一定距离的处测得塔顶的仰角为，再将无人机垂直上升到离点距离为米的点处，此时测得塔顶点的仰角为，则测得小蛮腰的高度约为 米．
【答案】600
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点作于点．
∵，
∴四边形为矩形，
∴，米，
设米，则米，
，，
∴为等腰直角三角形，
米，
，
，
，
解得：，
（米）．
【分析】过点作于点，即可得到为矩形，设米，则米，得到为等腰直角三角形，设米，利用正切的定义得到，根据列方程求出x值即可．
15．（2025·连州模拟）如图，一个点从原点出发，经过一次运动后到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，第八次运动到，依此规律，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，，，，，
∴点的横坐标为，纵坐标分别以，循环变化，
∴点的横坐标为，
，
∴点的纵坐标为，
的坐标为，
故答案为：．
【分析】得到规律点的横坐标为，纵坐标分别以，循环变化，解答即可．
16．（2025·连州模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算开方，去绝对值，负指数幂、零指数幂的运算，再运算加减解题即可．
17．（2025·连州模拟）已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）化简分式，并求出其取值范围．
【答案】（1）解：关于的方程有两个不等的实数根，
，
解得．
（2）解：原式．
由（1）得．
，
即．
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用根的判别式计算解题；
（2）先把括号内的分式通分，再把除法化为乘法约分化简，再根据（1）中k的取值范围解答即可．
（1）解：关于的方程有两个不等的实数根，
，
解得．
（2）解：原式．
由（1）得．
，
即．
18．（2025·连州模拟）如图，已知直线．
（1）在，所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（）的条件下，若与间的距离为4，点，，分别在，，上，且以为直角的等腰直角三角形，求的面积．
【答案】（1）解：如图，直线即为所求作的直线；
（2）解：如图，与间的距离为，，，
设，
则，解得，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（）作的垂线，再作夹在平行线间线段的垂直平分线解题；
（）设，运用勾股定理求出x值，然后根据三角形的面积公式计算解答．
（1）解：如图，直线即为所求作的直线；
（2）解：如图，与间的距离为，，，
设，
则，解得，
∴．
19．（2025·连州模拟）如图是1个一次性纸杯和7个整齐叠放成一摞的纸杯的示意图，纸杯的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的纸杯的总高度（单位：）随着纸杯的数量（单位：个）的变化规律．小亮经过测量得到与之间的对应数据如下表所示．
个 1 3 5 7
8 9 10 11
（1）依据测量的数据，写出与之间的函数解析式，并说明理由；
（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的纸杯的总高度不超过，则此时纸杯的数量最多为多少个？
【答案】（1）解：依据测量的数据，发现如下规律：纸杯数量每增加2个，纸杯总高度增加，
则纸杯总高度是纸杯数量的一次函数．
设与之间的函数解析式为，
将点代入得：，
解得，
所以与之间的函数解析式为．
（2）解：由题意得：，
解得，
答：此时纸杯的数量最多为30个．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）根据题意列不等式，求出x的最大整数值即可．
（1）解：依据测量的数据，发现如下规律：纸杯数量每增加2个，纸杯总高度增加，
则纸杯总高度是纸杯数量的一次函数．
设与之间的函数解析式为，
将点代入得：，
解得，
所以与之间的函数解析式为．
（2）解：由题意得：，
解得，
答：此时纸杯的数量最多为30个．
20．（2025·连州模拟）梅州客家围屋作为闻名文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社准备了四样代表性的客家美食，随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图（不完整）如图所示．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽取的游客总人数为______，_______；
（2）请补全条形统计图；
（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“梅菜扣肉”和“客家三酿”的概率．
【答案】（1）160；30
（2）解：选到“客家娘酒”的人数为人，补全条形统计图，如下：
（3）解：假设“盐焗鸡”，“梅菜扣肉”，“客家三酿”，“客家娘酒”对应为“A、B、C、D”，画树状图如图所示，
一共有12种等可能结果，其中选到“梅菜扣肉”和“客家三酿”的有2种，
所以选到“梅菜扣肉”和“客家三酿”的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：，
即本次抽取的游客总人数为160人，
，
即；
故答案为：160，30；
【分析】（1）根据喜欢客家三酿的人数除以占比求出总人数，再用“梅菜扣肉”的人数除以总人数可得a的值；
（2）先利用总人数减去喜欢其它美食的人数求出“客家娘酒”的人数，再补全条形图；
（3）画树状图展得到所有等可能结果，找出符合要求的结果数，根据概率公式解答即可．
（1）解：，
即本次抽取的游客总人数为160人，
，
即；
故答案为：30
（2）解：选到“客家娘酒”的人数为人，
补全条形统计图，如下：
（3）解：假设“盐焗鸡”，“梅菜扣肉”，“客家三酿”，“客家娘酒”对应为“A、B、C、D”，画树状图如图所示，
一共有12种等可能结果，其中选到“梅菜扣肉”和“客家三酿”的有2种，
所以选到“梅菜扣肉”和“客家三酿”的概率为．
21．（2025·连州模拟）无规矩不成方圆．所有参与交通出行的行人或者驾驶人，都必须遵守国家制定的交通规则．现规定所有电动车、三轮车等，均需要“一盔一带”方能上路，所以头盔作为电动车是必不可少的．某店铺引进一批进价为元/个的头盔，如果以单价元出售，那么一个月内售出个，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨元，月销售量将相应减少个，设每个头盔涨价了元，每天的销售利润为元．
（1）求与的函数关系式，并计算每个头盔涨价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）若月销售利润恰好为元，且尽量减少库存，求每个头盔的售价．
【答案】（1）解：由题意得，，即，
∵，
∴当时，有最大值，
即每个头盔涨价元时，每月的利润最大，最大利润为元；
（2）解：当时，，解得，
当时，月销售量为（个）；
当时，月销售量为（个）；
∵尽量减少库存，
，此时售价为（元），
答：每个头盔售价为元．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）根据利润=单利润×销售量列函数解析式，把函数解析式化为顶点式求出最值即可；
（）令，求出的值，求出月销售量，然后根据“ 尽量减少库存 ”取舍根解答即可.
（1）解：由题意得，，
即，
∵，
∴当时，有最大值，
即每个头盔涨价元时，每月的利润最大，最大利润为元；
（2）解：当时，，
解得，
当时，月销售量为（个）；
当时，月销售量为（个）；
∵尽量减少库存，
，此时售价为（元），
答：每个头盔售价为元．
22．（2025·连州模拟）在实践课上，老师给每个制作小组发放一个彩色筝面和制作风筝的材料及工具．同学们认真观察后，组装了风筝的支架的骨架，粘贴了彩色筝面，制作出形色各异的精美风筝，其中老师选取了两位同学的风筝进行如下展示．
【模型建立】
（1）如图1，从风筝中抽象出“筝型支架”，，求证：．
【模型应用】
（2）如图2，在中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3，为的直径，是上的两点，，连接与相交于点，且，求证：．
【答案】（1）证明：在和中，
，
．
．
（2）解：（方法一）选择②为条件，①为结论．
如图，
在上取点，使，连接．
平分．
在和中，
，
．
．
，
，
．
．
（方法二）选择①为条件，②为结论．
如图，在上取点，使，连接．
平分．
在和中，
．
，
，
，
，
．
（3）证明：如图，连接，取的中点，连接．
为的直径，
．
．
，
，
又，
，
．
，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定；圆周角定理；半角模型
【解析】【分析】（1）直接根据得到解答即可；
（2）选择②为条件，①为结论：在取点E，使，连接，根据SAS得到，即可得到，进而得到，再根据等边对等角和三角形的外角得到结论；选择①为条件，②为结论：在取点E，使，连接，得到，即可得到，进而得到，根据等角对等边和线段的和差解答即可；
（3）连接，取的中点F，连接，可得，进而得到，再根据等弧所对的弦相等得到，从而根据SAS证明解答即可．
23．（2025·连州模拟）【问题背景】
在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后，得到的新抛物线经过点．
【构建联系】
（1）求平移后新抛物线的表达式；
【深入探究】
（2）直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点．
①若，求的值；
②若，记点在新抛物线上的对应点为，若为直角三角形，求点的坐标．
【答案】解：（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把点，代入，得
解得
新抛物线的表达式为．
（2）①如图1，设，则
，解得或．
②，
平移方式为：向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度．
点在点的左侧．
设，
情况一：如图2，当时，
轴，
，即，
解得．
情况二：当时，
轴，
，即，无解．
情况三：如图3，当时，过点作于点．
．
又．
．
，即，解得，
．
综上所述，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，然后代入点A和B的坐标求出b和c的值即可；
（2）①设，则表示出PQ长，结合，列方程解答即可；
②化为顶点式得到平移方式为：向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度．即可得到点在点的左侧．设，分为三种情况或或时，利用相似三角形的判定和性质，求出点的坐标．
1 / 1广东省清远市连州市瑶安民族学校2025年中考二模数学试题
1．（2025·连州模拟）下列实数中，无理数为（ ）
A． B．0 C． D．
2．（2025·连州模拟）第33届奥运会于2024年7月26日至8月11日在巴黎举行，以下分别是“2008北京奥运会徽”“2020东京奥运会徽”“2024巴黎奥运会徽”“2028洛杉矶奥运会徽”，其中既是轴对称图形又中心对称图形的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2025·连州模拟）据中国国家铁路集团统计，2025年1月1日元旦期间，全国铁路发送旅客1150万人次，数据“1150万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·连州模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·连州模拟）下列命题中，正确的是（ ）
A．垂线段最短
B．平行四边形是轴对称图形
C．矩形的对角线互相垂直
D．平分弦的直径垂直于弦．且平分弦所对的两条弧
6．（2025·连州模拟）节能环保已成为人们的共识．小东家计划购买300度电，若平均每天用电度、则能使用天．下列说法正确的是（ ）
A．若减小，则也减小 B．若减少100，则就增加100
C．若，则 D．若，则
7．（2025·连州模拟）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·连州模拟）北京时间2024年10月30日04时27分，在酒泉卫星发射中心发射神舟十九号载人飞船，执行此次飞行任务由蔡旭哲、宋令东、王浩泽3名航天员组成，其中航天员宋令东和王浩泽为首次执行飞行任务的“90后”．现从中随机采访一位飞行员，首次执行飞行任务的“90后”飞行员被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·连州模拟）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·连州模拟）如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间（s）之间的函数关系图象（为图象的最高点），则平行四边形的面积为（ ）
A．6 B．12 C． D．24
11．（2025·连州模拟）分解因式： ．
12．（2025·连州模拟）数学课上，老师将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上当时，的度数为 ．
13．（2025·连州模拟）实验课上，小华在研究苯和石墨的分子结构时，发现这两种物质的分子均为正多边形结构，且其内角和为，则这个正多边形的每个外角为 ．
14．（2025·连州模拟）广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”，享有“世界第二高电视塔”的美誉．在一次综合实践活动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心一定距离的处测得塔顶的仰角为，再将无人机垂直上升到离点距离为米的点处，此时测得塔顶点的仰角为，则测得小蛮腰的高度约为 米．
15．（2025·连州模拟）如图，一个点从原点出发，经过一次运动后到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，第八次运动到，依此规律，则点的坐标为 ．
16．（2025·连州模拟）计算：．
17．（2025·连州模拟）已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）化简分式，并求出其取值范围．
18．（2025·连州模拟）如图，已知直线．
（1）在，所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（）的条件下，若与间的距离为4，点，，分别在，，上，且以为直角的等腰直角三角形，求的面积．
19．（2025·连州模拟）如图是1个一次性纸杯和7个整齐叠放成一摞的纸杯的示意图，纸杯的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的纸杯的总高度（单位：）随着纸杯的数量（单位：个）的变化规律．小亮经过测量得到与之间的对应数据如下表所示．
个 1 3 5 7
8 9 10 11
（1）依据测量的数据，写出与之间的函数解析式，并说明理由；
（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的纸杯的总高度不超过，则此时纸杯的数量最多为多少个？
20．（2025·连州模拟）梅州客家围屋作为闻名文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社准备了四样代表性的客家美食，随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图（不完整）如图所示．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽取的游客总人数为______，_______；
（2）请补全条形统计图；
（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“梅菜扣肉”和“客家三酿”的概率．
21．（2025·连州模拟）无规矩不成方圆．所有参与交通出行的行人或者驾驶人，都必须遵守国家制定的交通规则．现规定所有电动车、三轮车等，均需要“一盔一带”方能上路，所以头盔作为电动车是必不可少的．某店铺引进一批进价为元/个的头盔，如果以单价元出售，那么一个月内售出个，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨元，月销售量将相应减少个，设每个头盔涨价了元，每天的销售利润为元．
（1）求与的函数关系式，并计算每个头盔涨价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）若月销售利润恰好为元，且尽量减少库存，求每个头盔的售价．
22．（2025·连州模拟）在实践课上，老师给每个制作小组发放一个彩色筝面和制作风筝的材料及工具．同学们认真观察后，组装了风筝的支架的骨架，粘贴了彩色筝面，制作出形色各异的精美风筝，其中老师选取了两位同学的风筝进行如下展示．
【模型建立】
（1）如图1，从风筝中抽象出“筝型支架”，，求证：．
【模型应用】
（2）如图2，在中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3，为的直径，是上的两点，，连接与相交于点，且，求证：．
23．（2025·连州模拟）【问题背景】
在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后，得到的新抛物线经过点．
【构建联系】
（1）求平移后新抛物线的表达式；
【深入探究】
（2）直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点．
①若，求的值；
②若，记点在新抛物线上的对应点为，若为直角三角形，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、-1是有理数，此选项错误；B、0是有理数，此选项错误；
C、是有理数，此选项错误；
D、是无理数，此选项正确；
故选：D．
【分析】根据无理数是无限不循环小数，它的三种形式为①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，逐项判断解答即可．
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：因为四个图形都不是轴对称图形，也均不是中心对称图形，
所以四个图形中既是轴对称图形又中心对称图形的个数是0个．
故选：A．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形； 把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解答即可．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1150万，
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为所有整数位的个数减1．
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方法则逐项判断解答即可．
5．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的性质；垂径定理；轴对称图形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是一个基本的几何定理，该选项正确，故符合题意；
B．平行四边形沿任何一条直线对折后，直线两侧的部分都不能完全重合，所以平行四边形不是轴对称图形，该选项错误，故不符合题意；
C．矩形的对角线相等，但一般情况下不互相垂直，菱形和正方形（特殊的矩形）的对角线才互相垂直，该选项错误，故不符合题意；
D．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．当弦是直径时，任意一条直径都可以平分另一条直径，但不一定互相垂直，该选项错，故不符合题意；
故选：A．
【分析】依据垂线段性质、平行四边形对称性、矩形对角线性质、圆中弦与直径的关系逐项判断解答即可.
6．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵小东家计划购买300度电，若平均每天用电度、则能使用天．
∴，
∴
若减小，则增大，故不符合题意；
∵，
∴不一定等于300，故B不符合题意；
当时，，故C不符合题意：
当时，，则，故D符合题意．
故选D．
【分析】先得到解析式，再利用反比例函数的增减性和点的坐标特征解答即可．
7．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
∴解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示如图所示．
故选A．
【分析】先分别算出两个不等式组的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分，然后在数轴上表示出来，逐项判断即可．
8．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：依题意，从中随机采访一位飞行员，共有3种等可能的结果，其中首次执行飞行任务的“90后”飞行员共有2位，
∴首次执行飞行任务的“90后”飞行员被选中的概率为．
故选B．
【分析】根据概率公式计算即可．
9．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
是的切线，
．
，
由四边形是的内接四边形，，
得
由，
得．
故选：C．
【分析】先连接，根据切线的性质可得，然后根据内接四边形的对角互补求出，然后根据三角形的内角和和等边对等角得到的度数．
10．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的性质；动点问题的函数图象；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵点在边上，以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动，
∴，
设，则．
如图，过点作的延长线于点．由，得．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
在中，
，
∵，
∴
，
化简，得，
由二次函数图象可知，，
解得，则．
如图，过点作的延长线于点．
在中，，
，
．
故选A．
【分析】设，则．过点作的延长线于点．计算的面积，根据二次函数的性质求出最大值，即可得到的长，过点作的延长线于点，求出，利用平行四边形的面积公式计算解题．
11．【答案】3（m+1）（m-1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：3（m+1）（m-1）．
【分析】先提取公因式，再利用公式法进行因式分解即可。
12．【答案】
【知识点】角的运算；三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意，得，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到的度数，再根据三角形外角的性质解答即可．
13．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为，
则，
解得
∴这个正多边形为六边形，
∵正多边形的每个外角都相等，
∴这个正多边形的每个外角为．
故答案为：．
【分析】先求出多边形的边数，然后根据多边形的外角和为360°解答即可．
14．【答案】600
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点作于点．
∵，
∴四边形为矩形，
∴，米，
设米，则米，
，，
∴为等腰直角三角形，
米，
，
，
，
解得：，
（米）．
【分析】过点作于点，即可得到为矩形，设米，则米，得到为等腰直角三角形，设米，利用正切的定义得到，根据列方程求出x值即可．
15．【答案】
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，，，，，
∴点的横坐标为，纵坐标分别以，循环变化，
∴点的横坐标为，
，
∴点的纵坐标为，
的坐标为，
故答案为：．
【分析】得到规律点的横坐标为，纵坐标分别以，循环变化，解答即可．
16．【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算开方，去绝对值，负指数幂、零指数幂的运算，再运算加减解题即可．
17．【答案】（1）解：关于的方程有两个不等的实数根，
，
解得．
（2）解：原式．
由（1）得．
，
即．
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用根的判别式计算解题；
（2）先把括号内的分式通分，再把除法化为乘法约分化简，再根据（1）中k的取值范围解答即可．
（1）解：关于的方程有两个不等的实数根，
，
解得．
（2）解：原式．
由（1）得．
，
即．
18．【答案】（1）解：如图，直线即为所求作的直线；
（2）解：如图，与间的距离为，，，
设，
则，解得，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（）作的垂线，再作夹在平行线间线段的垂直平分线解题；
（）设，运用勾股定理求出x值，然后根据三角形的面积公式计算解答．
（1）解：如图，直线即为所求作的直线；
（2）解：如图，与间的距离为，，，
设，
则，解得，
∴．
19．【答案】（1）解：依据测量的数据，发现如下规律：纸杯数量每增加2个，纸杯总高度增加，
则纸杯总高度是纸杯数量的一次函数．
设与之间的函数解析式为，
将点代入得：，
解得，
所以与之间的函数解析式为．
（2）解：由题意得：，
解得，
答：此时纸杯的数量最多为30个．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）根据题意列不等式，求出x的最大整数值即可．
（1）解：依据测量的数据，发现如下规律：纸杯数量每增加2个，纸杯总高度增加，
则纸杯总高度是纸杯数量的一次函数．
设与之间的函数解析式为，
将点代入得：，
解得，
所以与之间的函数解析式为．
（2）解：由题意得：，
解得，
答：此时纸杯的数量最多为30个．
20．【答案】（1）160；30
（2）解：选到“客家娘酒”的人数为人，补全条形统计图，如下：
（3）解：假设“盐焗鸡”，“梅菜扣肉”，“客家三酿”，“客家娘酒”对应为“A、B、C、D”，画树状图如图所示，
一共有12种等可能结果，其中选到“梅菜扣肉”和“客家三酿”的有2种，
所以选到“梅菜扣肉”和“客家三酿”的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：，
即本次抽取的游客总人数为160人，
，
即；
故答案为：160，30；
【分析】（1）根据喜欢客家三酿的人数除以占比求出总人数，再用“梅菜扣肉”的人数除以总人数可得a的值；
（2）先利用总人数减去喜欢其它美食的人数求出“客家娘酒”的人数，再补全条形图；
（3）画树状图展得到所有等可能结果，找出符合要求的结果数，根据概率公式解答即可．
（1）解：，
即本次抽取的游客总人数为160人，
，
即；
故答案为：30
（2）解：选到“客家娘酒”的人数为人，
补全条形统计图，如下：
（3）解：假设“盐焗鸡”，“梅菜扣肉”，“客家三酿”，“客家娘酒”对应为“A、B、C、D”，画树状图如图所示，
一共有12种等可能结果，其中选到“梅菜扣肉”和“客家三酿”的有2种，
所以选到“梅菜扣肉”和“客家三酿”的概率为．
21．【答案】（1）解：由题意得，，即，
∵，
∴当时，有最大值，
即每个头盔涨价元时，每月的利润最大，最大利润为元；
（2）解：当时，，解得，
当时，月销售量为（个）；
当时，月销售量为（个）；
∵尽量减少库存，
，此时售价为（元），
答：每个头盔售价为元．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）根据利润=单利润×销售量列函数解析式，把函数解析式化为顶点式求出最值即可；
（）令，求出的值，求出月销售量，然后根据“ 尽量减少库存 ”取舍根解答即可.
（1）解：由题意得，，
即，
∵，
∴当时，有最大值，
即每个头盔涨价元时，每月的利润最大，最大利润为元；
（2）解：当时，，
解得，
当时，月销售量为（个）；
当时，月销售量为（个）；
∵尽量减少库存，
，此时售价为（元），
答：每个头盔售价为元．
22．【答案】（1）证明：在和中，
，
．
．
（2）解：（方法一）选择②为条件，①为结论．
如图，
在上取点，使，连接．
平分．
在和中，
，
．
．
，
，
．
．
（方法二）选择①为条件，②为结论．
如图，在上取点，使，连接．
平分．
在和中，
．
，
，
，
，
．
（3）证明：如图，连接，取的中点，连接．
为的直径，
．
．
，
，
又，
，
．
，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定；圆周角定理；半角模型
【解析】【分析】（1）直接根据得到解答即可；
（2）选择②为条件，①为结论：在取点E，使，连接，根据SAS得到，即可得到，进而得到，再根据等边对等角和三角形的外角得到结论；选择①为条件，②为结论：在取点E，使，连接，得到，即可得到，进而得到，根据等角对等边和线段的和差解答即可；
（3）连接，取的中点F，连接，可得，进而得到，再根据等弧所对的弦相等得到，从而根据SAS证明解答即可．
23．【答案】解：（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把点，代入，得
解得
新抛物线的表达式为．
（2）①如图1，设，则
，解得或．
②，
平移方式为：向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度．
点在点的左侧．
设，
情况一：如图2，当时，
轴，
，即，
解得．
情况二：当时，
轴，
，即，无解．
情况三：如图3，当时，过点作于点．
．
又．
．
，即，解得，
．
综上所述，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，然后代入点A和B的坐标求出b和c的值即可；
（2）①设，则表示出PQ长，结合，列方程解答即可；
②化为顶点式得到平移方式为：向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度．即可得到点在点的左侧．设，分为三种情况或或时，利用相似三角形的判定和性质，求出点的坐标．
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