江苏省徐州市2024年中考数学试题
1．（2024·徐州）古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据轴对称图形的定义“一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”逐一判断即可．
2．（2024·徐州）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法法则逐项判断解答即可．
3．（2024·徐州）若有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式有意义，
，解得．
故选：A．
【分析】根据二次根式有意义的条件为被开方数为非负数求出x的取值范围即可．
4．（2024·徐州）由8个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题干中的几何体可得其左视图为，
故选：A．
【分析】本题考查简单组合体的三视图，三视图的投影规律具体表现为：主视图与俯视图长度方向对正，即主视图和俯视图的长度要相等；主视图与左视图高度方向平齐，即主视图和左视图的高度要相等；俯视图与左视图宽度方向相等，即左视图和俯视图的宽度要相等，据此分析判断，即可得到答案.
5．（2024·徐州）铜桐收藏有枚南宋铁钱“庆元通宝”（如图所示），测得它们的质量（单位：）分别为、、、、、、．这组数据的中位数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据重新排列得：，，，，，，，
∵数据有奇数个，最中间的数据为：，
∴这组数据的中位数为．
故选：B．
【分析】将数据从小到大排列，居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数解答即可．
6．（2024·徐州）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（ ）
A．48、58、68 B．58、78、98
C．76、156、316 D．78、158、318
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：∵，
，
，
∴第5个数为，
第6个数为，
第7个数为，
故选：D．
【分析】根据题意得到规律，然后计算解题.
7．（2024·徐州）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；几何概率
【解析】【解答】解：如图：连接，，设，则圆的直径为，
∵四边形是正方形，
∴，
∴小正方形的面积为：，
则飞镖落在阴影区域的概率为：．
故选：C．
【分析】设，则圆的直径为，求出小正方形和大正方形的面积，再根据几何概率计算解答即可．
8．（2024·徐州）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（ ）
A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩
B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息
C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间
D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速运动，
则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意．
故选：C．
【分析】A、小明在整个过程中一直处于运动状态，则速度不可能为0；故不符合题意；B、小明在整个过程中是先运动再静止，即休息后速度应该一直为0，故不符合题意；C、小明在整个过程中是先运动再静止再运动，即中间有一段时间处于静止状态，速度为0，符合题意；D、同A，故不符合题意．
9．（2024·徐州）2024年“五一”假期，我市实现旅游总收入51.46亿元．将5146000000用科学记数法表示为 ．
【答案】5.146×109
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：5146000000=5.146×109，
故答案为：5.146×109．
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此即可求解.
10．（2024·徐州）正十二边形的每一个外角等于 度．
【答案】30
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和为360度，
∴正十二边形的每个外角度数为：．
故答案为：30．
【分析】根据多边形的外角和为360度，以及正多边形的每一个外角的度数相同，即可求出正多边形的每个外角的度数．
11．（2024·徐州）若，，则代数式的值是 ．
【答案】2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
，
故答案为：2．
【分析】把代数式因式分解，然后整体代入计算解题．
12．（2024·徐州）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 °．
【答案】35
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接，
与相切于点，
，
，
；
，
故答案为：35
【分析】因为切线垂直于过切点的半径，可连接，则，再由直角三角形两锐角互余可得，再由圆周角定理可得．
13．（2024·徐州）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵是中点，
∴，
由折叠的性质得到：，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质和中点定义可得，根据折叠得到，设，根据勾股定理列方程求出x值即可解题．
14．（2024·徐州）分式方程的解为 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：原方程去分母得：，即
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为，
故答案为：．
【分析】两边同时乘以2x(x+1)化为整式方程，解整式方程求出x值，然后检验解答即可．
15．（2024·徐州）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵在反比例函数中，，
∴反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵、、，
∴A在第二象限，B，C在第四象限，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据反比例函数的函数图象所在象限和性质，再根据三个点的的位置，判断a，b，c的大小解题．
16．（2024·徐州）关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，时；当一元二次方程有两个相等的实数根时，；当一元二次方程没有实数根时，解答即可．
17．（2024·徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ．
【答案】1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；数轴上两点之间的距离；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为：
，
令，则，
或，
解得：或，
，
故答案为：1．
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”求出抛物线的解析式，后令，列求出x值解答即可．
18．（2024·徐州）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角θ为，圆锥的底面圆的半径为 ．
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设扇形的半径为，弧长为，
由题意得：，
解得：（负值舍去），
则，
解得：，
∴圆锥的底面圆的半径为：，
故答案为：．
【分析】先由扇形面积等于扇形的弧长与母线乘积的一半求出弧长，再由弧长等于底面圆的周长可求出底面圆的半径．
19．（2024·徐州）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】分式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）实数的混合运算，先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方根的运算法则计算，再根据有理数的加减运算法则计算即可；
（2）分式的混合运算，先利用通分计算括号里的，再把除法运算化为乘法运算，最后对分子分母分别分解因式并约分即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．（2024·徐州）（1）解方程：；
（2）解不等式组．
【答案】解：（1），，
，
，
，
∴，；
（2），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是．
【知识点】配方法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）分别解不等式求出解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分即可求出不等式组的解集．
21．（2024·徐州）不透明的袋子中装有2个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为______；
（2）甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两人都摸到相同颜色的小球的有4种情况，
∴两人都摸到相同颜色的小球的概率为：．
答：两人摸到相同颜色球的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）解：摸到红球的概率为：
故答案为：.
【分析】（1）简单随机事件的概率可直接利用公式计算；
（2）两步试验可利用画树状图或列表格法求概率，画树状图注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：摸到红球的概率为：；
（2）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两人都摸到相同颜色的小球的有4种情况，
∴两人都摸到相同颜色的小球的概率为：．
答：两人摸到相同颜色球的概率为．
22．（2024·徐州）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题．
【答案】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得
，
解这个方程组，得．
答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】设甲、乙各有钱x枚和y枚，由相等关系“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组并求解即可．
23．（2024·徐州）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【答案】（1）证明：∵四边形为正方形，，
在和中，
，
；
（2）证明：∵四边形为正方形，，
，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质利用SAS证明即可；
（2）根据正方形和全等三角形的性质得到∠DEC的度数，然后根据三角形的外角求出∠DCE的度数，即可得到结论．
（1）证明：∵四边形为正方形，
，
在和中，
，
；
（2）∵四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
．
24．（2024·徐州）参加初中学业水平考试的人数简称“中考人数”．如图，某市根据2016﹣2024年中考人数及2024年上半年小学、初中各年级在校学生人数，绘制出2016﹣2032年中考人数（含预估）统计图如图：
根据以上信息，解决下列问题．
（1）下列结论中，所有正确结论的序号是______．
①2016﹣2031年中考人数呈现先升后降的趋势；
②与上一年相比，中考人数增加最多的年份是2021年；
③2016﹣2024年中考人数的波动比2024﹣2032年中考人数的波动大．
（2）为促进人口长期均衡发展，有效提高人口出生率，我国于2013﹣2021年先后实施了三项鼓励生育的政策，其中导致该市2032年中考人数较2031年增加的最主要原因是______．
A.2013年单独两孩政策
B.2015年全面两孩政策
C.2021年三孩生育政策
（3）2024年上半年，该市小学在校学生共有多少人？
【答案】（1）①③
（2）B
（3）解：由统计图可知：2024年上半年，该市六年级至一年级小学生将是在2027﹣2032年参加中考的考生，
该市小学在校学生人数共有：（万人），
答：2024年上半年，该市小学在校学生共有81.6万人
【知识点】条形统计图；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】（1）解：由统计图可知：2016﹣2031年中考人数呈现的是先升后降的趋势，故①正确；
，，
与上一年相比，中考人数增加最多的年份是2020年，故②不正确；
2016﹣2024年中考人数的波动比2024﹣2032年中考人数的波动大，故③不正确；
故答案为：①③；
（2）解：由9年义务教育和适龄儿童入学政策知，学生中考年龄基本在15-16周岁，所以导致该市2032年中考人数较2031年增加的主要原因是2015年全面两孩政策的实施，
故选：B；
【分析】（1）直接观察统计图即可判断 ①③ 正确， ② 错误；
（2）根据中考时间即可推测当时政策时间；
（3）由中考学生时间段推测小学六年的年龄段，继而计算所有人数即可得解．
（1）解：由统计图可知：2016﹣2031年中考人数呈现的是先升后降的趋势，故①正确；
，，
与上一年相比，中考人数增加最多的年份是2020年，故②不正确；
2016﹣2024年中考人数的波动比2024﹣2032年中考人数的波动大，故③不正确；
故答案为：①③；
（2）解：导致该市2032年中考人数较2031年增加的主要原因是2015年全面两孩政策的实施，
故选：B；
（3）解：由统计图可知：2024年上半年，该市六年级至一年级小学生将是在2027﹣2032年参加中考的考生，
该市小学在校学生人数共有：（万人），
答：2024年上半年，该市小学在校学生共有81.6万人．
25．（2024·徐州）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，）
【答案】解：如图所示，过作于，则.
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∵
，
∴，
∴．
答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】由于和已知，可过作于构造和，再分别解和依次表示出AH和CH，再利用AC的长求出AH，则AB可求．
26．（2024·徐州）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、．
（1）求b、c的值；
（2）求的面积的最大值．
【答案】（1）解：当时，；当时，，
则，，
则，
解得：；
（2）解：由（1）可得：，设，作交于E，则，则，
∴，
当时，最大值为8．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先利用一次函数求出点A，B的坐标，再代入二次函数解析式计算即可；
（2）设，作交于E，则，表示，然后得到面积解析式求最值即可．
（1）解：当时，；当时，，
则，，
则，
解得：；
（2）解：由（1）可得：，设，作交于E，
则，则，
∴，
当时，最大值为8．
27．（2024·徐州）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”．
（1）如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”．
（2）如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）．
【答案】（1）证明：∵，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D是点C的“关联点”
（2）解：如图，①作线段的垂直平分线，交于点；②以为圆心，为半径作圆；
③过作交于点；
④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧．连接、，即为所求，
证明：∵在以为直径的圆上运动，
∴，
由（1）可知：，
∵，
∴
（3）或
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】（3）①当时，如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线左侧、A的右侧时，是锐角三角形，
此时，
∵，且，，
在中，，
在中，，
；
②当时，如图所示
同理可得：；
综上所述，或．
【分析】（1）由直角三角形两锐角互余结合垂直的概念可证，再利用相似比可得，再化比例式为等积式即可；
（2）由（1）知可构造直角三角形APB，使PD成为斜边AB上的高即可，由于直径所对的圆周角是直角，则以为直径作，过点作的垂线，交于，则，此时再以为圆心，为半径作圆，在直线右侧的上取点作即可；
（3）由于大小关系未知，因此可分类讨论，①当时，如图所示，依照（2）的作法可知点C在上且不与C1和C2重合，即，由于、，则由勾股定理知；
②当时，同理可得．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D是点C的“关联点”．
（2）解：如图，①作线段的垂直平分线，交于点；
②以为圆心，为半径作圆；
③过作交于点；
④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧．连接、，即为所求，
证明：∵在以为直径的圆上运动，
∴，
由（1）可知：，
∵，
∴．
（3）①当时，
如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线左侧、A的右侧时，是锐角三角形，
此时，
∵，且，，
在中，，
在中，，
；
②当时，同理可得：；
综上所述，或．
28．（2024·徐州）如图，在 中，，，，为边上的动点．连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作，交直线于点．连接、，分别取、的中点、，连接，交于点．
（1）若点与点重合，则线段的长度为______．
（2）随着点的运动，与的长度是否发生变化？若不变，求出与的长度；若改变，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：结论：不变．如解图②，连接并延长到点，使得，连接，，延长，交于点，连接．延长至点，使得，连接，，设与交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，．
∵点为中点，
∴．
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，．
∵，，
∴，．
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵
∴．
在平行四边形中，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．，
由旋转得，，
∵，，
∴，，
∴，
又，，
∴（）．
∴，
∴为等边三角形．
∵点、为、的中点，
∴为的中位线，．
∵．
∴．即的长度不变；
∵和都为等边三角形．
∴，，，，
∴，
∴（）．
∴．
∵，
∴，
∴为等边三角形．
同理：为等边三角形．
∴．，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，，
∴．
∵为的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴为中点，
∴，
∴．
故和的长度都不变．
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】
（1）
解：当点与点重合时，如图①，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，．
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴．，
∴、、三点共线，
∵，，
∴、、、共线，
∵点、分别是，的中点，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】
（1）由于平行四边形的对角相等，即， 而当点与点重合时，是等边三角形，即，故点、、、、共线，，为的中位线，即可求出的长度．
（2）由于N为DE中点，可倍长FN到G，再连接DG、EG、PG，则四边形EFDG为平行四边形，则MN为的中位线，所以MN等于PG的一半；再延长EG交BA延长线于点H，则四边形ADGH也为平行四边形，再延长AB至K，使BK=BC，连接CK、CE，由平行四边形和旋转的性质可得和均为等边三角形，再借助平行四边形的性质及平角的概念可证，由全等的性质可得是等边三角形，则；再利用等边和等边有公共顶点P，则可证，则HE=GC=PK，即PB=GE=DF，再由两直线平行同位角相等可得和也为等边三角形，此时可设AP=a，则AI=a、PB=6-a、AF=10+6-a，所以FI=AF-AI=16-2a，再由平行线分线段成比例定理得IQ=FQ=8-a，则AQ=AI+IQ=8，即MN和AQ的长度不变．
（1）解：当点与点重合时，如图①，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，．
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴．，
∴、、三点共线，
∵，，
∴、、、共线，
∵点、分别是，的中点，
∴．
∴．
故答案为：．
（2）解：结论：不变．
如解图②，连接并延长到点，使得，连接，，延长，交于点，连接．延长至点，使得，连接，，设与交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，．
∵点为中点，
∴．
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，．
∵，，
∴，．
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵
∴．
在平行四边形中，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．，
由旋转得，，
∵，，
∴，，
∴，
又，，
∴（）．
∴，
∴为等边三角形．
∵点、为、的中点，
∴为的中位线，．
∵．
∴．即的长度不变；
∵和都为等边三角形．
∴，，，，
∴，
∴（）．
∴．
∵，
∴，
∴为等边三角形．
同理：为等边三角形．
∴．，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，，
∴．
∵为的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴为中点，
∴，
∴．
故和的长度都不变．
1 / 1江苏省徐州市2024年中考数学试题
1．（2024·徐州）古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·徐州）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·徐州）若有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·徐州）由8个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·徐州）铜桐收藏有枚南宋铁钱“庆元通宝”（如图所示），测得它们的质量（单位：）分别为、、、、、、．这组数据的中位数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·徐州）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（ ）
A．48、58、68 B．58、78、98
C．76、156、316 D．78、158、318
7．（2024·徐州）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·徐州）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（ ）
A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩
B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息
C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间
D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家
9．（2024·徐州）2024年“五一”假期，我市实现旅游总收入51.46亿元．将5146000000用科学记数法表示为 ．
10．（2024·徐州）正十二边形的每一个外角等于 度．
11．（2024·徐州）若，，则代数式的值是 ．
12．（2024·徐州）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 °．
13．（2024·徐州）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ．
14．（2024·徐州）分式方程的解为 ．
15．（2024·徐州）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ．
16．（2024·徐州）关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为 ．
17．（2024·徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ．
18．（2024·徐州）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角θ为，圆锥的底面圆的半径为 ．
19．（2024·徐州）计算：
（1）；
（2）．
20．（2024·徐州）（1）解方程：；
（2）解不等式组．
21．（2024·徐州）不透明的袋子中装有2个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为______；
（2）甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球的概率．
22．（2024·徐州）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题．
23．（2024·徐州）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
24．（2024·徐州）参加初中学业水平考试的人数简称“中考人数”．如图，某市根据2016﹣2024年中考人数及2024年上半年小学、初中各年级在校学生人数，绘制出2016﹣2032年中考人数（含预估）统计图如图：
根据以上信息，解决下列问题．
（1）下列结论中，所有正确结论的序号是______．
①2016﹣2031年中考人数呈现先升后降的趋势；
②与上一年相比，中考人数增加最多的年份是2021年；
③2016﹣2024年中考人数的波动比2024﹣2032年中考人数的波动大．
（2）为促进人口长期均衡发展，有效提高人口出生率，我国于2013﹣2021年先后实施了三项鼓励生育的政策，其中导致该市2032年中考人数较2031年增加的最主要原因是______．
A.2013年单独两孩政策
B.2015年全面两孩政策
C.2021年三孩生育政策
（3）2024年上半年，该市小学在校学生共有多少人？
25．（2024·徐州）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，）
26．（2024·徐州）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、．
（1）求b、c的值；
（2）求的面积的最大值．
27．（2024·徐州）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”．
（1）如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”．
（2）如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）．
28．（2024·徐州）如图，在 中，，，，为边上的动点．连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作，交直线于点．连接、，分别取、的中点、，连接，交于点．
（1）若点与点重合，则线段的长度为______．
（2）随着点的运动，与的长度是否发生变化？若不变，求出与的长度；若改变，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据轴对称图形的定义“一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”逐一判断即可．
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法法则逐项判断解答即可．
3．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式有意义，
，解得．
故选：A．
【分析】根据二次根式有意义的条件为被开方数为非负数求出x的取值范围即可．
4．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题干中的几何体可得其左视图为，
故选：A．
【分析】本题考查简单组合体的三视图，三视图的投影规律具体表现为：主视图与俯视图长度方向对正，即主视图和俯视图的长度要相等；主视图与左视图高度方向平齐，即主视图和左视图的高度要相等；俯视图与左视图宽度方向相等，即左视图和俯视图的宽度要相等，据此分析判断，即可得到答案.
5．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据重新排列得：，，，，，，，
∵数据有奇数个，最中间的数据为：，
∴这组数据的中位数为．
故选：B．
【分析】将数据从小到大排列，居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数解答即可．
6．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：∵，
，
，
∴第5个数为，
第6个数为，
第7个数为，
故选：D．
【分析】根据题意得到规律，然后计算解题.
7．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；几何概率
【解析】【解答】解：如图：连接，，设，则圆的直径为，
∵四边形是正方形，
∴，
∴小正方形的面积为：，
则飞镖落在阴影区域的概率为：．
故选：C．
【分析】设，则圆的直径为，求出小正方形和大正方形的面积，再根据几何概率计算解答即可．
8．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速运动，
则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意．
故选：C．
【分析】A、小明在整个过程中一直处于运动状态，则速度不可能为0；故不符合题意；B、小明在整个过程中是先运动再静止，即休息后速度应该一直为0，故不符合题意；C、小明在整个过程中是先运动再静止再运动，即中间有一段时间处于静止状态，速度为0，符合题意；D、同A，故不符合题意．
9．【答案】5.146×109
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：5146000000=5.146×109，
故答案为：5.146×109．
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此即可求解.
10．【答案】30
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和为360度，
∴正十二边形的每个外角度数为：．
故答案为：30．
【分析】根据多边形的外角和为360度，以及正多边形的每一个外角的度数相同，即可求出正多边形的每个外角的度数．
11．【答案】2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
，
故答案为：2．
【分析】把代数式因式分解，然后整体代入计算解题．
12．【答案】35
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接，
与相切于点，
，
，
；
，
故答案为：35
【分析】因为切线垂直于过切点的半径，可连接，则，再由直角三角形两锐角互余可得，再由圆周角定理可得．
13．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵是中点，
∴，
由折叠的性质得到：，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质和中点定义可得，根据折叠得到，设，根据勾股定理列方程求出x值即可解题．
14．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：原方程去分母得：，即
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为，
故答案为：．
【分析】两边同时乘以2x(x+1)化为整式方程，解整式方程求出x值，然后检验解答即可．
15．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵在反比例函数中，，
∴反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵、、，
∴A在第二象限，B，C在第四象限，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据反比例函数的函数图象所在象限和性质，再根据三个点的的位置，判断a，b，c的大小解题．
16．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，时；当一元二次方程有两个相等的实数根时，；当一元二次方程没有实数根时，解答即可．
17．【答案】1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；数轴上两点之间的距离；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为：
，
令，则，
或，
解得：或，
，
故答案为：1．
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”求出抛物线的解析式，后令，列求出x值解答即可．
18．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设扇形的半径为，弧长为，
由题意得：，
解得：（负值舍去），
则，
解得：，
∴圆锥的底面圆的半径为：，
故答案为：．
【分析】先由扇形面积等于扇形的弧长与母线乘积的一半求出弧长，再由弧长等于底面圆的周长可求出底面圆的半径．
19．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】分式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）实数的混合运算，先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方根的运算法则计算，再根据有理数的加减运算法则计算即可；
（2）分式的混合运算，先利用通分计算括号里的，再把除法运算化为乘法运算，最后对分子分母分别分解因式并约分即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．【答案】解：（1），，
，
，
，
∴，；
（2），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是．
【知识点】配方法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）分别解不等式求出解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分即可求出不等式组的解集．
21．【答案】（1）
（2）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两人都摸到相同颜色的小球的有4种情况，
∴两人都摸到相同颜色的小球的概率为：．
答：两人摸到相同颜色球的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）解：摸到红球的概率为：
故答案为：.
【分析】（1）简单随机事件的概率可直接利用公式计算；
（2）两步试验可利用画树状图或列表格法求概率，画树状图注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：摸到红球的概率为：；
（2）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两人都摸到相同颜色的小球的有4种情况，
∴两人都摸到相同颜色的小球的概率为：．
答：两人摸到相同颜色球的概率为．
22．【答案】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得
，
解这个方程组，得．
答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】设甲、乙各有钱x枚和y枚，由相等关系“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组并求解即可．
23．【答案】（1）证明：∵四边形为正方形，，
在和中，
，
；
（2）证明：∵四边形为正方形，，
，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质利用SAS证明即可；
（2）根据正方形和全等三角形的性质得到∠DEC的度数，然后根据三角形的外角求出∠DCE的度数，即可得到结论．
（1）证明：∵四边形为正方形，
，
在和中，
，
；
（2）∵四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
．
24．【答案】（1）①③
（2）B
（3）解：由统计图可知：2024年上半年，该市六年级至一年级小学生将是在2027﹣2032年参加中考的考生，
该市小学在校学生人数共有：（万人），
答：2024年上半年，该市小学在校学生共有81.6万人
【知识点】条形统计图；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】（1）解：由统计图可知：2016﹣2031年中考人数呈现的是先升后降的趋势，故①正确；
，，
与上一年相比，中考人数增加最多的年份是2020年，故②不正确；
2016﹣2024年中考人数的波动比2024﹣2032年中考人数的波动大，故③不正确；
故答案为：①③；
（2）解：由9年义务教育和适龄儿童入学政策知，学生中考年龄基本在15-16周岁，所以导致该市2032年中考人数较2031年增加的主要原因是2015年全面两孩政策的实施，
故选：B；
【分析】（1）直接观察统计图即可判断 ①③ 正确， ② 错误；
（2）根据中考时间即可推测当时政策时间；
（3）由中考学生时间段推测小学六年的年龄段，继而计算所有人数即可得解．
（1）解：由统计图可知：2016﹣2031年中考人数呈现的是先升后降的趋势，故①正确；
，，
与上一年相比，中考人数增加最多的年份是2020年，故②不正确；
2016﹣2024年中考人数的波动比2024﹣2032年中考人数的波动大，故③不正确；
故答案为：①③；
（2）解：导致该市2032年中考人数较2031年增加的主要原因是2015年全面两孩政策的实施，
故选：B；
（3）解：由统计图可知：2024年上半年，该市六年级至一年级小学生将是在2027﹣2032年参加中考的考生，
该市小学在校学生人数共有：（万人），
答：2024年上半年，该市小学在校学生共有81.6万人．
25．【答案】解：如图所示，过作于，则.
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∵
，
∴，
∴．
答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】由于和已知，可过作于构造和，再分别解和依次表示出AH和CH，再利用AC的长求出AH，则AB可求．
26．【答案】（1）解：当时，；当时，，
则，，
则，
解得：；
（2）解：由（1）可得：，设，作交于E，则，则，
∴，
当时，最大值为8．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先利用一次函数求出点A，B的坐标，再代入二次函数解析式计算即可；
（2）设，作交于E，则，表示，然后得到面积解析式求最值即可．
（1）解：当时，；当时，，
则，，
则，
解得：；
（2）解：由（1）可得：，设，作交于E，
则，则，
∴，
当时，最大值为8．
27．【答案】（1）证明：∵，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D是点C的“关联点”
（2）解：如图，①作线段的垂直平分线，交于点；②以为圆心，为半径作圆；
③过作交于点；
④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧．连接、，即为所求，
证明：∵在以为直径的圆上运动，
∴，
由（1）可知：，
∵，
∴
（3）或
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】（3）①当时，如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线左侧、A的右侧时，是锐角三角形，
此时，
∵，且，，
在中，，
在中，，
；
②当时，如图所示
同理可得：；
综上所述，或．
【分析】（1）由直角三角形两锐角互余结合垂直的概念可证，再利用相似比可得，再化比例式为等积式即可；
（2）由（1）知可构造直角三角形APB，使PD成为斜边AB上的高即可，由于直径所对的圆周角是直角，则以为直径作，过点作的垂线，交于，则，此时再以为圆心，为半径作圆，在直线右侧的上取点作即可；
（3）由于大小关系未知，因此可分类讨论，①当时，如图所示，依照（2）的作法可知点C在上且不与C1和C2重合，即，由于、，则由勾股定理知；
②当时，同理可得．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D是点C的“关联点”．
（2）解：如图，①作线段的垂直平分线，交于点；
②以为圆心，为半径作圆；
③过作交于点；
④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧．连接、，即为所求，
证明：∵在以为直径的圆上运动，
∴，
由（1）可知：，
∵，
∴．
（3）①当时，
如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线左侧、A的右侧时，是锐角三角形，
此时，
∵，且，，
在中，，
在中，，
；
②当时，同理可得：；
综上所述，或．
28．【答案】（1）
（2）解：结论：不变．如解图②，连接并延长到点，使得，连接，，延长，交于点，连接．延长至点，使得，连接，，设与交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，．
∵点为中点，
∴．
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，．
∵，，
∴，．
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵
∴．
在平行四边形中，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．，
由旋转得，，
∵，，
∴，，
∴，
又，，
∴（）．
∴，
∴为等边三角形．
∵点、为、的中点，
∴为的中位线，．
∵．
∴．即的长度不变；
∵和都为等边三角形．
∴，，，，
∴，
∴（）．
∴．
∵，
∴，
∴为等边三角形．
同理：为等边三角形．
∴．，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，，
∴．
∵为的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴为中点，
∴，
∴．
故和的长度都不变．
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】
（1）
解：当点与点重合时，如图①，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，．
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴．，
∴、、三点共线，
∵，，
∴、、、共线，
∵点、分别是，的中点，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】
（1）由于平行四边形的对角相等，即， 而当点与点重合时，是等边三角形，即，故点、、、、共线，，为的中位线，即可求出的长度．
（2）由于N为DE中点，可倍长FN到G，再连接DG、EG、PG，则四边形EFDG为平行四边形，则MN为的中位线，所以MN等于PG的一半；再延长EG交BA延长线于点H，则四边形ADGH也为平行四边形，再延长AB至K，使BK=BC，连接CK、CE，由平行四边形和旋转的性质可得和均为等边三角形，再借助平行四边形的性质及平角的概念可证，由全等的性质可得是等边三角形，则；再利用等边和等边有公共顶点P，则可证，则HE=GC=PK，即PB=GE=DF，再由两直线平行同位角相等可得和也为等边三角形，此时可设AP=a，则AI=a、PB=6-a、AF=10+6-a，所以FI=AF-AI=16-2a，再由平行线分线段成比例定理得IQ=FQ=8-a，则AQ=AI+IQ=8，即MN和AQ的长度不变．
（1）解：当点与点重合时，如图①，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，．
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴．，
∴、、三点共线，
∵，，
∴、、、共线，
∵点、分别是，的中点，
∴．
∴．
故答案为：．
（2）解：结论：不变．
如解图②，连接并延长到点，使得，连接，，延长，交于点，连接．延长至点，使得，连接，，设与交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，．
∵点为中点，
∴．
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，．
∵，，
∴，．
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵
∴．
在平行四边形中，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．，
由旋转得，，
∵，，
∴，，
∴，
又，，
∴（）．
∴，
∴为等边三角形．
∵点、为、的中点，
∴为的中位线，．
∵．
∴．即的长度不变；
∵和都为等边三角形．
∴，，，，
∴，
∴（）．
∴．
∵，
∴，
∴为等边三角形．
同理：为等边三角形．
∴．，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，，
∴．
∵为的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴为中点，
∴，
∴．
故和的长度都不变．
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