江苏省连云港市2025年中考数学真题试题
1．（2025·连云港）-5的绝对值是（ ）
A．5 B．-5 C． D．
2．（2025·连云港）2020年12月17日，“嫦娥五号”返回器携带月球样品顺利返回地球，我国科学家通过研究证明了月球在1960000000年前仍存在岩浆活动.数据“1960000000”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·连云港）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·连云港）下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10
5．（2025·连云港）如图，在△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，则△AEG的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（2025·连云港）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭，所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”）如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·连云港）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为-1.当时，x的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
8．（2025·连云港）如图，在中，，，AD平分，，E为垂足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·连云港）计算：5a-3a= ．
10．（2025·连云港）分解因式： －9= ．
11．（2025·连云港）如图，AB//CD，直线AB与射线DE相交于点O.若∠D=50°，则∠BOE= °
12．（2025·连云港）如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度h为 m.
13．（2025·连云港）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°.若⊙O的半径为2，则劣弧的长为 .
14．（2025·连云港）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数.当V=1.2m3时，p=20000Pa.则当V=1.5m3时，p= Pa.
15．（2025·连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a（×-3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 m.
16．（2025·连云港）如图，在菱形ABCD中，AC=4，BD=2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为 .
17．（2025·连云港）计算：
18．（2025·连云港）解方程.
19．（2025·连云港）解不等式组
20．（2025·连云港）一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同，
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是 ；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球.用画树状图或列表的方法，求2次都摸到白球的概率
21．（2025·连云港）为了解八年级学生的体重情况，某校随机抽取了八年级部分学生进行测量，收集并整理数据后，绘制了如下尚不完整的统计图表
体重情况统计表
组别 体重x（kg） 频数（人数）
A类 x＜49.5 10
B类 49.5≤x<59.5 a
C类 59.5≤x<69.5 8
D类 x≥69.5 b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a= ，b= ；
（2）在扇形统计图中，C类所对应的圆心角度数是 °；
（3）若该校八年级共有1200名学生，估计体重在59.5kg及以上的学生有多少人
22．（2025·连云港）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等
（1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个？
（2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片？
23．（2025·连云港）如图，港口B位于岛A的北偏西方向，灯塔C在岛A的正东方向，，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，.
（1）求岛A与港口B之间的距离；
（2）求tanC.（参考数据：，，）
24．（2025·连云港）已知二次函数y=x2+2（a+1）x+3a2-2a+3，a为常数.
（1）若该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点，求a的取值范围；
（2）若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值；
（3）求证：该二次函数的图象不经过原点.
25．（2025·连云港）一块直角三角形木板，它的一条直角边BC长2m，面积为1.5m2.
（1）甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；
（2）丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面.请分别求出图3、图4中长方形的面积y（m2）与DE的长x（m）之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值
26．（2025·连云港）已知AD是的高，是的外接圆.
（1）请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图2，若的半径为R，求证：；
（3）如图3，延长AD交于点E，过点E的切线交OC的延长线于点F.若，，，求CF的长.
27．（2025·连云港）综合与实践
【问题情境】
如图，小昕同学在正方形纸板ABCD的边AB、BC上分别取点E、F，且AE=BF，AF交DE于点O.连接AC，过点F作FG⊥AC，垂足为G，连接GD、GE，DE交AC于点P，GE交AF于点Q.
（1）【活动猜想】
GD与GE的数量关系是 ，位置关系是 .
（2）【探索发现】
证明（1）中的结论；
（3）【实践应用】
若AD=3，AE=1，求QF的长；
（4）【综合探究】
若AD=3，则当AP= 时，△DPG的面积最小.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：-5的绝对值为5.
故答案为：A.
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，据此可得答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 1960000000=1.96×109.
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
3．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴x+1≥0
解之：x≥-1.
故答案为：D.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，
∴这3根小木棒不能搭成三角形，故A不符合题意
B、∵2+3=5＞4，
∴这3根小木棒能搭成三角形，故B符合题意
C、∵3+5=8，
∴这3根小木棒不能搭成三角形，故C不符合题意
D、∵4+5=9＜10，
∴这3根小木棒不能搭成三角形，故D不符合题意
故答案为：B.
【分析】利用三角形三边关系定理对各选项逐一判断.
5．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，
∴AE=BE，AG=CG，
∵△AEG的周长为AE+EG+AG，
∴△AEG的周长为BE+EG+CG=BC=7
故答案为：C.
【分析】利用垂直平分线的性质可证得AE=BE，AG=CG，据此可证得△AEG的周长就是BC的长，即可求解.
6．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设经过x天能够相遇，根据题意得
.
故答案为：A.
【分析】根据关键已知条件：凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海，何日相逢，列方程即可.
7．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵ 正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为-1
∴点B的横坐标为1，
∴ 当时，x的取值范围是或.
故答案为：C.
【分析】利用反比例函数的对称性及已知正比例函数图象经过原点，可得到点B 的横坐标，观察图象，可得到时，x的取值范围.
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形—边角关系；四点共圆模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：延长BE，AC交于点F，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∵，
∴；
∵BE⊥AD，
∴∠ACB=∠AEB=∠AEF=90°，
∴点A，C，E，B四点共圆，
∵，
∴∠CAD=∠CBF，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∠F=90°-∠CAD，∠ABF=90°-∠BAD，
∴∠F=∠ABF，
∴AF=AB，
∵AE⊥BF，
∴BE=EF即BF=2BE；
∵∠BCF=∠ACD，
∴△ACD∽△BCF，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】延长BE，AC交于点F，在Rt△ABC中，可求出∠ABC的度数，利用解直角三角形可得到AC与BC的数量关系，再证明∠ACB=∠AEB=∠AEF=90°，可证得点A，C，E，B四点共圆，利用圆周角定理可证得∠CAD=∠CBF，利用角平分线的概念可推出∠CAD=∠BAD，同时可证得∠F=∠ABF，利用等角对等边可证得AF=AB，利用等腰三角形的性质可得到BF=2BE；然后利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ACD∽△BCF，利用相似三角形的性质可求出结果.
9．【答案】2a
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：∵原式=2a.
故答案为：2a.
【分析】根据合并同类项法则计算即可得出答案.
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 －9= ．
11．【答案】130
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠AOE=∠D=50°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-50°=130°.
故答案为：130.
【分析】利用两直线平行同位角相等，可求出∠AOE的度数；再根据邻补角的定义求出∠BOE的度数.
12．【答案】2.4
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知∠ACB=90°，AC=h，
∴
故答案为：2.4.
【分析】根据题意可知 ∠ACB=90°，AC=h，然后利用勾股定理求出h的值.
13．【答案】π
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵，
∴∠BOC=2∠BAC=2×45°=90°，
∴ 劣弧的长为
故答案为：π.
【分析】连接OB、OC，利用圆周角定理求出∠BOC的度数，再利用弧长公式进行计算.
14．【答案】16000
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数，
∴设，
∵ 当V=1.2m3时，p=20000Pa，
∴k=1.2×20000=24000，
∴，
当v=1.5时，
故答案为：16000.
【分析】利用已知设。将已知v、p的值代入求出k的值，可得到p与v的函数解析式，再将v代入函数解析式求出p的值.
15．【答案】8
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵OA=1.6
∴点A（0，1.6）
∴ a（0-3）2+2.5 =1.6
解之：
∴，
当y=0时，
解之：x1=8，x2=-2（舍去）
∴铅球掷出的水平距离OB为8m.
故答案为：8.
【分析】利用OA的长，可得到点A的坐标，将点A的坐标代入函数解析式，求出a的值，可得到的函数解析式，再求出y=0时的x的值，可得到OB的长.
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：设BD与AC交点为点O，
∵菱形ABCD，
∴DO=OB=1，OA=OC=2，AC⊥BD，
∵四边形DAEF是平行四边形，
∴EF=AD，DF=AE，
∴EF是定线段，
∵点E是线段AC上的动点，
∴菱形ABCD在AC的水平线上移动，
∴点B的运动轨迹是线段MN，MN∥AC；
作点E关于MN的对称点E'，连接BE'
∴BE=BE'，EH=HE'
∴BE+BF=BE'+BF=E'F，
∴当点F、B、E'在同一直线上时，BE+BF的最小值就是E'F的长；
延长E'E交FD的延长线于点G，交MN于点H，
∴EC⊥DF，
易证四边形DGHB是矩形，四边形OEHB是矩形，
∴BD=GH=2，GD=OE=BH，EH=BO=HE'=1，
∴GE'=2+1=3，GF=DF+DG=AE+OE=AO=2
∴，
∴BE+BF的最小值为
故答案为：.
【分析】设BD与AC交点为点O，利用菱形的性质可证得DO=OB=1，OA=OC=2，AC⊥BD；利用平行四边形的性质可知EF=AD，DF=AE，可得到EF的长是定值，利用已知点E是线段AC上的动点，菱形ABCD在AC的水平线上移动，同时可得到点B的运动轨迹是线段MN，MN∥AC；作点E关于MN的对称点E'，连接BE'，利用轴对称的应用-最短距离问题可证得BE+BF的最小值就是E'F的长；延长E'E交FD的延长线于点G，交MN于点H，易证四边形DGHB是矩形，四边形OEHB是矩形，利用矩形的性质可求出GH，HE'，歌FEN，GF的长，然后利用勾股定理求出E'F的长即可.
17．【答案】解：原式=10-3-1=6
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，再算乘法运算，然后利用有理数的加减法法则进行计算.
18．【答案】解：去分母，得2x=3(x+1)，
解得x=-3，
检验：当×=-3时，×(x+1)=6≠0，×=-3是原方程的解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验可得方程的根.
19．【答案】解：解不等式3x-2解不等式5x+5>2x-7，得x>-4，
所以不等式组的解集为-4【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
20．【答案】（1）
（2）解：根据题意，红球用A表示，3个白球分别用B，C，D表示，画出如下的树状图：
由图可知，共有16种等可能结果，其中2次都摸到白球的结果有9种，所以2次都摸到白球的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）∵一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是.
故答案为：.
【分析】（1）利用已知条件可知一共有4种结果，搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的只有1种情况，然后利用概率公式进行计算.
（2）此事件是抽取放回，据此列出树状图，利用树状图可求出2次都摸到白球的概率.
21．【答案】（1）20；2
（2）72
（3）解：（人）
答：体重在59.5kg及以上的学生约有300人
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）抽取的人数为10÷25％=40人，
∴a=40×50％=20；
b=40-10-20-8=2.
故答案为：20；2.
（2） 在扇形统计图中，C类所对应的圆心角度数是360°×20％=72°.
故答案为：72.
【分析】（1）利用A类的人数×A类的人数所占的百分比，列式计算可求出抽取的人数，再利用扇形统计图求出a的值，然后求出b的值.
（2） 在扇形统计图中，C类所对应的圆心角度数为360°×C类人数所占的百分比，列式计算即可.
（3）利用该校八年级的学生总人数×体重在59.5kg及以上的学生所占的百分比，列式计算即可.
22．【答案】（1）解：设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个.
根据题意，得解这个方程组，得
答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个.解答
（2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片.
则w=2m+(100-m)=100+m.
由k=1>0，知w随m的增大而增大，所以当m最小时，w有最小值
根据题意，得m≥(100-m)，解得m≥，其中最小整数解为34.
即当m=34时，w=100+34=134.
答：至少需要134张正方形硬纸片
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个，观察甲乙两种无盖长方体，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值即可.
（2）设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸，根据题意可得到W关于m的函数解析式，同时求出m的取值范围，利用一次函数的性质，可求出结果.
23．【答案】（1）解：作，垂足为M，
得，
∴△BMD∽△CAD，
∴，
∵，
∴知，
∴，
解之：.
在中，∵，
解之：.
答：岛A与港口B之间的距离为4km
（2）解：，
，
在中，
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为M，利用BM∥AC，可证得△BMD∽△CAD，利用相似三角形的性质可求出BM的长.
（2）在Rt△ABM中，利用解直角三角形求出AM的长，可得到AD的长；在Rt△ADC中，利用正切的定义求出tanC的值.
24．【答案】（1）解：由二次函数的图象与直线有两个交点，
∴ x2+2（a+1）x+3a2-2a+3=2a2
∴x2+2（a+1）x+a2-2a+3=0
∴b2-4ac＞0即4（a+1）2-4（a2-2a+3）＞0
解之：
（2）解：因为二次函数的图象与x轴有交点，
所以，
又因为，所以8(a-1)2=0，解得a=1
（3）证明：当时，，所以二次函数的图象不经过原点
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件可知该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点，将y=2a2代入二次函数解析式，可得到x2+2（a+1）x+a2-2a+3=0，根据b2-4ac＞0，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.
（2）利用二次函数的图象与x轴有交点，可知b2-4ac≥0，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.
（3）根据题意求出当x=0时y的值，可证得结论.
25．【答案】（1）解：∵Rt△ABC中，，面积为，
∴及
解之：，
；
设正方形的边长为xm，
图1，∵正方形DCFE，
∴DE∥CF，∠ADE=∠EFB=90°，
∴∠AED=∠B，
∴，
∴，即，
解得.
由图2知，RtDECRtABC，得，即，
所以.，
由，得，即，解得.
因为，所以图1的正方形面积较大
（2）解：在图3中，由，
得，则，，
所以长方形的面积，
当时，长方形的面积有最大值为.
在图4中，由Rt，得，所以，由Rt，得，则，所以长方形的面积，当时，长方形的面积有最大值为
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式求出AC的长，再利用勾股定理求出AB的长；设正方形的边长为xm，图1：利用正方形的性质可证得DE∥CF，∠ADE=∠EFB=90°，利用平行线的性质可推出∠AED=∠B，可证得△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性质可求出x的值；图2：利用相似三角形的性质可得到DC与DE的比值，可表示出DC，AD的长，易证△ADG∽△ABC，利用相似三角形的性质，可得到关于x的方程，解方程求出x的值；然后比较大小，可作出判断.
（2）图3：易证△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性质可表示出AD，DC的长，利用长方形的面积公式可得到y关于x的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出长方形面积最大时x的值；图4：易证△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性质可表示出AD，DC的长，再证明△ADG∽△ABC，可表示出DG的长；由此可得到y关于x的函数解析式，再利用二次函数的性质可求出长方形面积最大时x的值.
26．【答案】（1）解：尺规作图如图1所示.
圆O就是所求作的图形
（2）证明：如图2，作⊙O的直径AM，连接BM，
所以∠ABM=90°，AM=2R，
因为AD是△ABC的高，所以∠ADC=90°.
因为∠ACB=∠AMB，所以Rt△ABM∽Rt△ADC.
所以，即，所以
（3）解：如图3，连接OE，因为EF为⊙O的切线，所以∠OEF=90°.
因为∠ACB=60°，∠ADC=90°，所以∠DAC=30°，
所以∠EOC=60°，∠F=30°
因为OE=OC，所以△OEC是等边三角形，∠OEC=∠OCE=60°，
所以∠CEF=30°，∠CEF=∠F，所以CE=CF=R.
在Rt中，，所以，在Rt中，，
在Rt中，，代人，得，即
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；尺规作图-作三角形的外接圆
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出AB，BC边的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是圆心，然后作出此三角形的外接圆.
（2）作⊙O的直径AM，连接BM，利用直径所对圆周角是直角可知∠ABM=90°，AN=2R，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABM∽△ADC，利用相似三角形的性质可证得结论.
（3）如图3，连接OE，因为EF为⊙O的切线，所以∠OEF=9，易证△OEC是等边三角形，可推出∠OEC=∠OCE=60°，∠CEF=30°，同时可推出CE=CF=R，利用解直角三角形求出CD的长，可得到BD的长；再利用勾股定理求出AC的长；在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出AB的长，然后求出CF的长.
27．【答案】（1）相等；垂直
（2）解：过点G分别作AB、BC、CD的垂线，垂足分别为点T、M、N.
可知四边形TBMG为矩形，四边形GMCN为正方形，
∴GN=GM=MC=CN=BT.
∴DC-CN=BC-CM，即DN=BM=GT.
∵FG⊥AC，∠ACB=∠CFG=45°，
∴CM=MF.
∵AE=BF，
∴AB-AE-BT=BC-BF-MF，即ET=NG.
∴Rt△DNG≌Rt△GTE（SAS），
∴DG=GE，∠NDG=∠EGT.
∵∠NDG+∠NGD=90°，
∴∠EGT+∠NGD=90°，
∴∠DGE=90°，所以DG⊥GE
（3）解：在正方形ABCD中，由AB=AD，AE=BF，
得Rt△DAE≌Rt△ABF，所以∠ADE=∠BAF，AF=DE.
所以∠ADE+∠DEA=∠BAF+∠DEA=90°，得∠AOE=90°，所以AF⊥DE.
在中，，，得，
由等面积法得，所以
在中，.
由(2)知，∠GED=45°，则△EOQ为等腰直角三角形，QO=EO=
所以
（4）
【知识点】正方形的性质；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1）GD与GE的数量关系是相等；位置关系是垂直.
故答案为：相等；垂直.
（4）作△DPG的外接圆H，连接DH、PH、GH，过点H作HR⊥AC于点R，过点D作DT⊥AC于点T，
设圆H的半径为r，
由（2）可知DG=GE，DG⊥GE，
∴△DGE是等腰直角三角形，
∴∠GDE=45°，
∵，
∴∠PHG=2∠GDE=90°，
∵HP=HG，
∴△HPG是等腰直角三角形，
∴
∴；
∵正方形ABCD，AD=3，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∴当PG最小时，△DPG的面积最小，
∴当r最小时，△DGP的面积最小，
∵，
∴当DH+HR最小时，△DPG的面积最小，
∴当点D、H、R共线时，且DR⊥AC时，DH+HR最小即点T与点R重合，如图
∴
解之：，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】（1）观察图形，结合已知条件可得到GD与GE的数量关系和位置关系.
（2）过点G分别作AB、BC、CD的垂线，垂足分别为点T、M、N，易证四边形TBMG为矩形，四边形GMCN为正方形，利用矩形和正方形的性质可证得GN=GM=MC=CN=BT，由此可推出DN=BM=GT，再证明CM=MF，由AE=BF，可证得ET=NG，利用SAS可证得△DNG≌△GTE，利用全等三角形的性质可证得DG=GE，∠NDG=∠EGT，由∠NDG+∠NGD=90°，可推出∠DGE=90°，即可证得结论.
（3）利用正方形的性质可证得Rt△DAE≌Rt△ABF，利用全等三角形的性质可证得∠ADE=∠BAF，AF=DE，由此可推出AF⊥DE；利用勾股定理求出DE的长，再利用等面积法求出AO的长，再利用勾股定理求出OE的长；同时可证得△EOQ是等腰直角三角形，可得到OQ的长，然后求出QF的长即可.
（4）作△DPG的外接圆H，连接DH、PH、GH，过点H作HR⊥AC于点R，过点D作DT⊥AC于点T，设圆H的半径为r，由（2）可知△DGE是等腰直角三角形，可得到∠GDE=45°，利用圆周角定理可证得∠PHG=90°，可得到△HPG是等腰直角三角形，利用解直角三角形可表示出PR、HR的长，利用正方形的性质及解直角三角形可求出AC的长，即可得到DT的长；利用三角形的面积公式可表示出△DPG的面积，可知当PG最小时，△DPG的面积最小即当r最小时，△DGP的面积最小，同时可表示出DH+HR的长，当DH+HR最小时，△DPG的面积最小，由此可推出当点D、H、R共线时，且DR⊥AC时，DH+HR最小即点T与点R重合，可得到关于r的方程，解方程求出r的值，再求出PR的长，即可得到AP的长.
1 / 1江苏省连云港市2025年中考数学真题试题
1．（2025·连云港）-5的绝对值是（ ）
A．5 B．-5 C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：-5的绝对值为5.
故答案为：A.
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，据此可得答案.
2．（2025·连云港）2020年12月17日，“嫦娥五号”返回器携带月球样品顺利返回地球，我国科学家通过研究证明了月球在1960000000年前仍存在岩浆活动.数据“1960000000”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 1960000000=1.96×109.
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
3．（2025·连云港）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴x+1≥0
解之：x≥-1.
故答案为：D.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
4．（2025·连云港）下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，
∴这3根小木棒不能搭成三角形，故A不符合题意
B、∵2+3=5＞4，
∴这3根小木棒能搭成三角形，故B符合题意
C、∵3+5=8，
∴这3根小木棒不能搭成三角形，故C不符合题意
D、∵4+5=9＜10，
∴这3根小木棒不能搭成三角形，故D不符合题意
故答案为：B.
【分析】利用三角形三边关系定理对各选项逐一判断.
5．（2025·连云港）如图，在△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，则△AEG的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，
∴AE=BE，AG=CG，
∵△AEG的周长为AE+EG+AG，
∴△AEG的周长为BE+EG+CG=BC=7
故答案为：C.
【分析】利用垂直平分线的性质可证得AE=BE，AG=CG，据此可证得△AEG的周长就是BC的长，即可求解.
6．（2025·连云港）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭，所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”）如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设经过x天能够相遇，根据题意得
.
故答案为：A.
【分析】根据关键已知条件：凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海，何日相逢，列方程即可.
7．（2025·连云港）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为-1.当时，x的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵ 正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为-1
∴点B的横坐标为1，
∴ 当时，x的取值范围是或.
故答案为：C.
【分析】利用反比例函数的对称性及已知正比例函数图象经过原点，可得到点B 的横坐标，观察图象，可得到时，x的取值范围.
8．（2025·连云港）如图，在中，，，AD平分，，E为垂足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形—边角关系；四点共圆模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：延长BE，AC交于点F，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∵，
∴；
∵BE⊥AD，
∴∠ACB=∠AEB=∠AEF=90°，
∴点A，C，E，B四点共圆，
∵，
∴∠CAD=∠CBF，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∠F=90°-∠CAD，∠ABF=90°-∠BAD，
∴∠F=∠ABF，
∴AF=AB，
∵AE⊥BF，
∴BE=EF即BF=2BE；
∵∠BCF=∠ACD，
∴△ACD∽△BCF，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】延长BE，AC交于点F，在Rt△ABC中，可求出∠ABC的度数，利用解直角三角形可得到AC与BC的数量关系，再证明∠ACB=∠AEB=∠AEF=90°，可证得点A，C，E，B四点共圆，利用圆周角定理可证得∠CAD=∠CBF，利用角平分线的概念可推出∠CAD=∠BAD，同时可证得∠F=∠ABF，利用等角对等边可证得AF=AB，利用等腰三角形的性质可得到BF=2BE；然后利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ACD∽△BCF，利用相似三角形的性质可求出结果.
9．（2025·连云港）计算：5a-3a= ．
【答案】2a
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：∵原式=2a.
故答案为：2a.
【分析】根据合并同类项法则计算即可得出答案.
10．（2025·连云港）分解因式： －9= ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 －9= ．
11．（2025·连云港）如图，AB//CD，直线AB与射线DE相交于点O.若∠D=50°，则∠BOE= °
【答案】130
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠AOE=∠D=50°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-50°=130°.
故答案为：130.
【分析】利用两直线平行同位角相等，可求出∠AOE的度数；再根据邻补角的定义求出∠BOE的度数.
12．（2025·连云港）如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度h为 m.
【答案】2.4
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知∠ACB=90°，AC=h，
∴
故答案为：2.4.
【分析】根据题意可知 ∠ACB=90°，AC=h，然后利用勾股定理求出h的值.
13．（2025·连云港）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°.若⊙O的半径为2，则劣弧的长为 .
【答案】π
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵，
∴∠BOC=2∠BAC=2×45°=90°，
∴ 劣弧的长为
故答案为：π.
【分析】连接OB、OC，利用圆周角定理求出∠BOC的度数，再利用弧长公式进行计算.
14．（2025·连云港）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数.当V=1.2m3时，p=20000Pa.则当V=1.5m3时，p= Pa.
【答案】16000
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数，
∴设，
∵ 当V=1.2m3时，p=20000Pa，
∴k=1.2×20000=24000，
∴，
当v=1.5时，
故答案为：16000.
【分析】利用已知设。将已知v、p的值代入求出k的值，可得到p与v的函数解析式，再将v代入函数解析式求出p的值.
15．（2025·连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a（×-3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 m.
【答案】8
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵OA=1.6
∴点A（0，1.6）
∴ a（0-3）2+2.5 =1.6
解之：
∴，
当y=0时，
解之：x1=8，x2=-2（舍去）
∴铅球掷出的水平距离OB为8m.
故答案为：8.
【分析】利用OA的长，可得到点A的坐标，将点A的坐标代入函数解析式，求出a的值，可得到的函数解析式，再求出y=0时的x的值，可得到OB的长.
16．（2025·连云港）如图，在菱形ABCD中，AC=4，BD=2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为 .
【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：设BD与AC交点为点O，
∵菱形ABCD，
∴DO=OB=1，OA=OC=2，AC⊥BD，
∵四边形DAEF是平行四边形，
∴EF=AD，DF=AE，
∴EF是定线段，
∵点E是线段AC上的动点，
∴菱形ABCD在AC的水平线上移动，
∴点B的运动轨迹是线段MN，MN∥AC；
作点E关于MN的对称点E'，连接BE'
∴BE=BE'，EH=HE'
∴BE+BF=BE'+BF=E'F，
∴当点F、B、E'在同一直线上时，BE+BF的最小值就是E'F的长；
延长E'E交FD的延长线于点G，交MN于点H，
∴EC⊥DF，
易证四边形DGHB是矩形，四边形OEHB是矩形，
∴BD=GH=2，GD=OE=BH，EH=BO=HE'=1，
∴GE'=2+1=3，GF=DF+DG=AE+OE=AO=2
∴，
∴BE+BF的最小值为
故答案为：.
【分析】设BD与AC交点为点O，利用菱形的性质可证得DO=OB=1，OA=OC=2，AC⊥BD；利用平行四边形的性质可知EF=AD，DF=AE，可得到EF的长是定值，利用已知点E是线段AC上的动点，菱形ABCD在AC的水平线上移动，同时可得到点B的运动轨迹是线段MN，MN∥AC；作点E关于MN的对称点E'，连接BE'，利用轴对称的应用-最短距离问题可证得BE+BF的最小值就是E'F的长；延长E'E交FD的延长线于点G，交MN于点H，易证四边形DGHB是矩形，四边形OEHB是矩形，利用矩形的性质可求出GH，HE'，歌FEN，GF的长，然后利用勾股定理求出E'F的长即可.
17．（2025·连云港）计算：
【答案】解：原式=10-3-1=6
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，再算乘法运算，然后利用有理数的加减法法则进行计算.
18．（2025·连云港）解方程.
【答案】解：去分母，得2x=3(x+1)，
解得x=-3，
检验：当×=-3时，×(x+1)=6≠0，×=-3是原方程的解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验可得方程的根.
19．（2025·连云港）解不等式组
【答案】解：解不等式3x-2解不等式5x+5>2x-7，得x>-4，
所以不等式组的解集为-4【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
20．（2025·连云港）一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同，
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是 ；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球.用画树状图或列表的方法，求2次都摸到白球的概率
【答案】（1）
（2）解：根据题意，红球用A表示，3个白球分别用B，C，D表示，画出如下的树状图：
由图可知，共有16种等可能结果，其中2次都摸到白球的结果有9种，所以2次都摸到白球的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）∵一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是.
故答案为：.
【分析】（1）利用已知条件可知一共有4种结果，搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的只有1种情况，然后利用概率公式进行计算.
（2）此事件是抽取放回，据此列出树状图，利用树状图可求出2次都摸到白球的概率.
21．（2025·连云港）为了解八年级学生的体重情况，某校随机抽取了八年级部分学生进行测量，收集并整理数据后，绘制了如下尚不完整的统计图表
体重情况统计表
组别 体重x（kg） 频数（人数）
A类 x＜49.5 10
B类 49.5≤x<59.5 a
C类 59.5≤x<69.5 8
D类 x≥69.5 b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a= ，b= ；
（2）在扇形统计图中，C类所对应的圆心角度数是 °；
（3）若该校八年级共有1200名学生，估计体重在59.5kg及以上的学生有多少人
【答案】（1）20；2
（2）72
（3）解：（人）
答：体重在59.5kg及以上的学生约有300人
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）抽取的人数为10÷25％=40人，
∴a=40×50％=20；
b=40-10-20-8=2.
故答案为：20；2.
（2） 在扇形统计图中，C类所对应的圆心角度数是360°×20％=72°.
故答案为：72.
【分析】（1）利用A类的人数×A类的人数所占的百分比，列式计算可求出抽取的人数，再利用扇形统计图求出a的值，然后求出b的值.
（2） 在扇形统计图中，C类所对应的圆心角度数为360°×C类人数所占的百分比，列式计算即可.
（3）利用该校八年级的学生总人数×体重在59.5kg及以上的学生所占的百分比，列式计算即可.
22．（2025·连云港）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等
（1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个？
（2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片？
【答案】（1）解：设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个.
根据题意，得解这个方程组，得
答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个.解答
（2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片.
则w=2m+(100-m)=100+m.
由k=1>0，知w随m的增大而增大，所以当m最小时，w有最小值
根据题意，得m≥(100-m)，解得m≥，其中最小整数解为34.
即当m=34时，w=100+34=134.
答：至少需要134张正方形硬纸片
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个，观察甲乙两种无盖长方体，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值即可.
（2）设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸，根据题意可得到W关于m的函数解析式，同时求出m的取值范围，利用一次函数的性质，可求出结果.
23．（2025·连云港）如图，港口B位于岛A的北偏西方向，灯塔C在岛A的正东方向，，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，.
（1）求岛A与港口B之间的距离；
（2）求tanC.（参考数据：，，）
【答案】（1）解：作，垂足为M，
得，
∴△BMD∽△CAD，
∴，
∵，
∴知，
∴，
解之：.
在中，∵，
解之：.
答：岛A与港口B之间的距离为4km
（2）解：，
，
在中，
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为M，利用BM∥AC，可证得△BMD∽△CAD，利用相似三角形的性质可求出BM的长.
（2）在Rt△ABM中，利用解直角三角形求出AM的长，可得到AD的长；在Rt△ADC中，利用正切的定义求出tanC的值.
24．（2025·连云港）已知二次函数y=x2+2（a+1）x+3a2-2a+3，a为常数.
（1）若该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点，求a的取值范围；
（2）若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值；
（3）求证：该二次函数的图象不经过原点.
【答案】（1）解：由二次函数的图象与直线有两个交点，
∴ x2+2（a+1）x+3a2-2a+3=2a2
∴x2+2（a+1）x+a2-2a+3=0
∴b2-4ac＞0即4（a+1）2-4（a2-2a+3）＞0
解之：
（2）解：因为二次函数的图象与x轴有交点，
所以，
又因为，所以8(a-1)2=0，解得a=1
（3）证明：当时，，所以二次函数的图象不经过原点
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件可知该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点，将y=2a2代入二次函数解析式，可得到x2+2（a+1）x+a2-2a+3=0，根据b2-4ac＞0，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.
（2）利用二次函数的图象与x轴有交点，可知b2-4ac≥0，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.
（3）根据题意求出当x=0时y的值，可证得结论.
25．（2025·连云港）一块直角三角形木板，它的一条直角边BC长2m，面积为1.5m2.
（1）甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；
（2）丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面.请分别求出图3、图4中长方形的面积y（m2）与DE的长x（m）之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值
【答案】（1）解：∵Rt△ABC中，，面积为，
∴及
解之：，
；
设正方形的边长为xm，
图1，∵正方形DCFE，
∴DE∥CF，∠ADE=∠EFB=90°，
∴∠AED=∠B，
∴，
∴，即，
解得.
由图2知，RtDECRtABC，得，即，
所以.，
由，得，即，解得.
因为，所以图1的正方形面积较大
（2）解：在图3中，由，
得，则，，
所以长方形的面积，
当时，长方形的面积有最大值为.
在图4中，由Rt，得，所以，由Rt，得，则，所以长方形的面积，当时，长方形的面积有最大值为
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式求出AC的长，再利用勾股定理求出AB的长；设正方形的边长为xm，图1：利用正方形的性质可证得DE∥CF，∠ADE=∠EFB=90°，利用平行线的性质可推出∠AED=∠B，可证得△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性质可求出x的值；图2：利用相似三角形的性质可得到DC与DE的比值，可表示出DC，AD的长，易证△ADG∽△ABC，利用相似三角形的性质，可得到关于x的方程，解方程求出x的值；然后比较大小，可作出判断.
（2）图3：易证△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性质可表示出AD，DC的长，利用长方形的面积公式可得到y关于x的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出长方形面积最大时x的值；图4：易证△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性质可表示出AD，DC的长，再证明△ADG∽△ABC，可表示出DG的长；由此可得到y关于x的函数解析式，再利用二次函数的性质可求出长方形面积最大时x的值.
26．（2025·连云港）已知AD是的高，是的外接圆.
（1）请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图2，若的半径为R，求证：；
（3）如图3，延长AD交于点E，过点E的切线交OC的延长线于点F.若，，，求CF的长.
【答案】（1）解：尺规作图如图1所示.
圆O就是所求作的图形
（2）证明：如图2，作⊙O的直径AM，连接BM，
所以∠ABM=90°，AM=2R，
因为AD是△ABC的高，所以∠ADC=90°.
因为∠ACB=∠AMB，所以Rt△ABM∽Rt△ADC.
所以，即，所以
（3）解：如图3，连接OE，因为EF为⊙O的切线，所以∠OEF=90°.
因为∠ACB=60°，∠ADC=90°，所以∠DAC=30°，
所以∠EOC=60°，∠F=30°
因为OE=OC，所以△OEC是等边三角形，∠OEC=∠OCE=60°，
所以∠CEF=30°，∠CEF=∠F，所以CE=CF=R.
在Rt中，，所以，在Rt中，，
在Rt中，，代人，得，即
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；尺规作图-作三角形的外接圆
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出AB，BC边的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是圆心，然后作出此三角形的外接圆.
（2）作⊙O的直径AM，连接BM，利用直径所对圆周角是直角可知∠ABM=90°，AN=2R，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABM∽△ADC，利用相似三角形的性质可证得结论.
（3）如图3，连接OE，因为EF为⊙O的切线，所以∠OEF=9，易证△OEC是等边三角形，可推出∠OEC=∠OCE=60°，∠CEF=30°，同时可推出CE=CF=R，利用解直角三角形求出CD的长，可得到BD的长；再利用勾股定理求出AC的长；在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出AB的长，然后求出CF的长.
27．（2025·连云港）综合与实践
【问题情境】
如图，小昕同学在正方形纸板ABCD的边AB、BC上分别取点E、F，且AE=BF，AF交DE于点O.连接AC，过点F作FG⊥AC，垂足为G，连接GD、GE，DE交AC于点P，GE交AF于点Q.
（1）【活动猜想】
GD与GE的数量关系是 ，位置关系是 .
（2）【探索发现】
证明（1）中的结论；
（3）【实践应用】
若AD=3，AE=1，求QF的长；
（4）【综合探究】
若AD=3，则当AP= 时，△DPG的面积最小.
【答案】（1）相等；垂直
（2）解：过点G分别作AB、BC、CD的垂线，垂足分别为点T、M、N.
可知四边形TBMG为矩形，四边形GMCN为正方形，
∴GN=GM=MC=CN=BT.
∴DC-CN=BC-CM，即DN=BM=GT.
∵FG⊥AC，∠ACB=∠CFG=45°，
∴CM=MF.
∵AE=BF，
∴AB-AE-BT=BC-BF-MF，即ET=NG.
∴Rt△DNG≌Rt△GTE（SAS），
∴DG=GE，∠NDG=∠EGT.
∵∠NDG+∠NGD=90°，
∴∠EGT+∠NGD=90°，
∴∠DGE=90°，所以DG⊥GE
（3）解：在正方形ABCD中，由AB=AD，AE=BF，
得Rt△DAE≌Rt△ABF，所以∠ADE=∠BAF，AF=DE.
所以∠ADE+∠DEA=∠BAF+∠DEA=90°，得∠AOE=90°，所以AF⊥DE.
在中，，，得，
由等面积法得，所以
在中，.
由(2)知，∠GED=45°，则△EOQ为等腰直角三角形，QO=EO=
所以
（4）
【知识点】正方形的性质；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1）GD与GE的数量关系是相等；位置关系是垂直.
故答案为：相等；垂直.
（4）作△DPG的外接圆H，连接DH、PH、GH，过点H作HR⊥AC于点R，过点D作DT⊥AC于点T，
设圆H的半径为r，
由（2）可知DG=GE，DG⊥GE，
∴△DGE是等腰直角三角形，
∴∠GDE=45°，
∵，
∴∠PHG=2∠GDE=90°，
∵HP=HG，
∴△HPG是等腰直角三角形，
∴
∴；
∵正方形ABCD，AD=3，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∴当PG最小时，△DPG的面积最小，
∴当r最小时，△DGP的面积最小，
∵，
∴当DH+HR最小时，△DPG的面积最小，
∴当点D、H、R共线时，且DR⊥AC时，DH+HR最小即点T与点R重合，如图
∴
解之：，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】（1）观察图形，结合已知条件可得到GD与GE的数量关系和位置关系.
（2）过点G分别作AB、BC、CD的垂线，垂足分别为点T、M、N，易证四边形TBMG为矩形，四边形GMCN为正方形，利用矩形和正方形的性质可证得GN=GM=MC=CN=BT，由此可推出DN=BM=GT，再证明CM=MF，由AE=BF，可证得ET=NG，利用SAS可证得△DNG≌△GTE，利用全等三角形的性质可证得DG=GE，∠NDG=∠EGT，由∠NDG+∠NGD=90°，可推出∠DGE=90°，即可证得结论.
（3）利用正方形的性质可证得Rt△DAE≌Rt△ABF，利用全等三角形的性质可证得∠ADE=∠BAF，AF=DE，由此可推出AF⊥DE；利用勾股定理求出DE的长，再利用等面积法求出AO的长，再利用勾股定理求出OE的长；同时可证得△EOQ是等腰直角三角形，可得到OQ的长，然后求出QF的长即可.
（4）作△DPG的外接圆H，连接DH、PH、GH，过点H作HR⊥AC于点R，过点D作DT⊥AC于点T，设圆H的半径为r，由（2）可知△DGE是等腰直角三角形，可得到∠GDE=45°，利用圆周角定理可证得∠PHG=90°，可得到△HPG是等腰直角三角形，利用解直角三角形可表示出PR、HR的长，利用正方形的性质及解直角三角形可求出AC的长，即可得到DT的长；利用三角形的面积公式可表示出△DPG的面积，可知当PG最小时，△DPG的面积最小即当r最小时，△DGP的面积最小，同时可表示出DH+HR的长，当DH+HR最小时，△DPG的面积最小，由此可推出当点D、H、R共线时，且DR⊥AC时，DH+HR最小即点T与点R重合，可得到关于r的方程，解方程求出r的值，再求出PR的长，即可得到AP的长.
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