圆与圆的位置关系
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3.3 圆与圆的位置关系
教学目标
[知识与目标]
1、了解圆与圆之间的各种位置关系
2、能通过圆心距与两圆半径的和、差的大小关系说明两圆的位置关系。
[过程与方法] 通过动手操作实验，让学生经历探究圆与圆位置关系的过程，从而对学生进行事物之间相互和运动变化观点的教育。
[情感、态度与价值观] 通过实际问题的解决，激发学生的学习热情，体会数学与现实生活的密切联系，培养学生学习数学的兴趣。
教学重点、难点
重点：利用圆与圆的位置关系推导出两圆半径、圆心距之间的数量关系
难点：根据两圆半径与圆心距的关系判断两圆位置关系
教学方法： 自主探究 合作交流
教具准备： 圆规 直尺
教学互动过程：
一、创设情境 导入新课
导语一 [课件演示] 奥运五环图形，射击的靶子，自行车的两个轮，工厂机械齿轮、轴承剖面图等图片，使学生知道有着不同的位置关系，到底圆与圆有哪几种位置关系？请同学们观察和思考。
导语二 复习：（1）点与圆的位置关系有几种？如何判定点与圆的位置关系？
（2）直线与圆的位置关系有几种？如何判定直线与圆的位置关系？
[思考] 圆与圆有几种位置关系？如何判定它们位置关系？这就是我们今天研究的内容：圆与圆的位置关系。
导语三 [课件演示]引导学生观察泡泡的运动及位置的变化，从泡泡的运动抽象出两个圆的位置关系，并进一步通过动画演示两圆在同一平面相对运动，从而得到两圆的位置关系。
二、合作交流 解读探究
1．圆心距的概念
如图⊙O1，⊙02 半径分别为R，r ,设r< R，
两个圆的圆心之间的距离叫作圆心距，用d表示。
2．探究圆与圆的位置关系
[探究] 将一个圆固定，另一个圆逐步向它移动，观察两圆的位置发生的变化，描述这种变化。平面内，两圆相对运动，可以得到以下不同的位置关系，同
时观察两圆公共点个数及圆心距d与两圆半径R，r之间的关系：
（1） （2） （3） （4） （5）
两圆的五种位置关系：
⑴两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，两圆外离（图1）
⑵两圆有惟一公共点，且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，两圆外切（图2）
⑶两个圆有两个公共点时，两圆相交（图3）
⑷两圆有惟一公共点，且除了这个公共点以外，一个圆上点都在另一个圆的内部时，两圆内切（图4），两圆外切与内切统称两个圆相切。
⑸两圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，两圆内含，当R≠r时，内含但不同心（图5），同心圆是两圆内含的特例。
[注意]当d=0，R=r时，两圆重合。
[探究] 探索两圆位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系之间的联系
先由学生从五种位置关系的图形中探索，再进行总结：
若两圆的半径分别为R、r，圆心距为d，那么
两圆外离 d ＞ R＋r
两圆外切 d = R＋r
两圆相交 R－r ＜ d ＜R＋r（R≥r）
两圆内切 d = R－r（R ＞ r）
两圆内含 d ＜ R－r（R ＞ r）
3．应用
[做一做] 已知⊙O1、⊙O2的半径分别为r1、r2，圆心距d=5，r1=2.
⑴ 若⊙O1与⊙O2外切，求r2；
⑵ 若r2=7，⊙O1与⊙O2有怎样的位置关系？
⑶ 若r2=4，⊙O1与⊙O2有怎样的位置关系？
分析：当d ＞ R－r时，两圆可能有哪些位置关系？当d ＜ R＋r时，两圆可能有哪些位置关系？
三、应用迁移 巩固提高
类型之一 两圆位置关系的判定
例1 两圆的半径R与r是方程的两根，圆心距d=4，判断这两圆的位置关系。
解：由方程得=4,=1.
设R>r, 则R+r=5，R-r=3,由R-r类型之二 两圆位置关系的性质
例2 已知两圆的半径比5：3，当两圆外切时，圆心距为4，求当这两圆相交时，圆心距d的取值范围。
解：设两圆的半径为5k，3k，则5k+3k=4，即k=,两圆的半径分别为，，所以-[变式题]两圆的圆心距为2 cm，一个圆的半径为10cm， 要使这两个圆内含，另一圆的半径应满足什么条件？
解：设一个圆的半径R=10cm，另一个圆的半径为 rcm。
当R>r时，则需d当R12。
例3 三角形的三边长分别为4cm、5cm、6cm，以各顶点为圆心的三个圆两两外切，求各圆的半径。
[分析]两圆外切圆心距等于半径之和，由三角形三条边的长可找到三个等量关系，解方程组即可得出三个圆的半径。
解：设三个圆的半径分别为r1 、r2 、r3，则r1+r2=4，r2+r3=5，r1+r3=6三个方程解得r1=2.5 ,r2=3.5 ,r3=1.5。∴三个圆的半径分别为1.5cm，2.5cm，3.5cm。
四、总结反思 拓展升华
[小结]1、圆与圆的位置关系有几种？
2、如何判定两圆位置关系？
[拓展] 某校学生在工厂劳动，要在直径为50mm的圆形铁板中冲出四个互相外切，并且同样大小的圆，圆的最大直径是多少？（精确到0.01mm）
五、作业
P141 习题5.6 1、2、3
板书设计
后记
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3.3 圆与圆的位置关系
教学目标
[知识与目标]
1、了解圆与圆之间的各种位置关系
2、能通过圆心距与两圆半径的和、差的大小关系说明两圆的位置关系。
[过程与方法] 通过动手操作实验，让学生经历探究圆与圆位置关系的过程，从而对学生进行事物之间相互和运动变化观点的教育。
[情感、态度与价值观] 通过实际问题的解决，激发学生的学习热情，体会数学与现实生活的密切联系，培养学生学习数学的兴趣。
教学重点、难点
重点：利用圆与圆的位置关系推导出两圆半径、圆心距之间的数量关系
难点：根据两圆半径与圆心距的关系判断两圆位置关系
教学方法： 自主探究 合作交流
教具准备： 圆规 直尺
教学互动过程：
一、创设情境 导入新课
导语一 [课件演示] 奥运五环图形，射击的靶子，自行车的两个轮，工厂机械齿轮、轴承剖面图等图片，使学生知道有着不同的位置关系，到底圆与圆有哪几种位置关系？请同学们观察和思考。
导语二 复习：（1）点与圆的位置关系有几种？如何判定点与圆的位置关系？
（2）直线与圆的位置关系有几种？如何判定直线与圆的位置关系？
[思考] 圆与圆有几种位置关系？如何判定它们位置关系？这就是我们今天研究的内容：圆与圆的位置关系。
导语三 [课件演示]引导学生观察泡泡的运动及位置的变化，从泡泡的运动抽象出两个圆的位置关系，并进一步通过动画演示两圆在同一平面相对运动，从而得到两圆的位置关系。
二、合作交流 解读探究
1．圆心距的概念
如图⊙O1，⊙02 半径分别为R，r ,设r< R，
两个圆的圆心之间的距离叫作圆心距，用d表示。
2．探究圆与圆的位置关系
[探究] 将一个圆固定，另一个圆逐步向它移动，观察两圆的位置发生的变化，描述这种变化。平面内，两圆相对运动，可以得到以下不同的位置关系，同
时观察两圆公共点个数及圆心距d与两圆半径R，r之间的关系：
（1） （2） （3） （4） （5）
两圆的五种位置关系：
⑴两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，两圆外离（图1）
⑵两圆有惟一公共点，且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，两圆外切（图2）
⑶两个圆有两个公共点时，两圆相交（图3）
⑷两圆有惟一公共点，且除了这个公共点以外，一个圆上点都在另一个圆的内部时，两圆内切（图4），两圆外切与内切统称两个圆相切。
⑸两圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，两圆内含，当R≠r时，内含但不同心（图5），同心圆是两圆内含的特例。
[注意]当d=0，R=r时，两圆重合。
[探究] 探索两圆位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系之间的联系
先由学生从五种位置关系的图形中探索，再进行总结：
若两圆的半径分别为R、r，圆心距为d，那么
两圆外离 d ＞ R＋r
两圆外切 d = R＋r
两圆相交 R－r ＜ d ＜R＋r（R≥r）
两圆内切 d = R－r（R ＞ r）
两圆内含 d ＜ R－r（R ＞ r）
3．应用
[做一做] 已知⊙O1、⊙O2的半径分别为r1、r2，圆心距d=5，r1=2.
⑴ 若⊙O1与⊙O2外切，求r2；
⑵ 若r2=7，⊙O1与⊙O2有怎样的位置关系？
⑶ 若r2=4，⊙O1与⊙O2有怎样的位置关系？
分析：当d ＞ R－r时，两圆可能有哪些位置关系？当d ＜ R＋r时，两圆可能有哪些位置关系？
三、应用迁移 巩固提高
类型之一 两圆位置关系的判定
例1 两圆的半径R与r是方程的两根，圆心距d=4，判断这两圆的位置关系。
解：由方程得=4,=1.
设R>r, 则R+r=5，R-r=3,由R-r
例2 已知两圆的半径比5：3，当两圆外切时，圆心距为4，求当这两圆相交时，圆心距d的取值范围。
解：设两圆的半径为5k，3k，则5k+3k=4，即k=,两圆的半径分别为，，所以-
解：设一个圆的半径R=10cm，另一个圆的半径为 rcm。
当R>r时，则需d
例3 三角形的三边长分别为4cm、5cm、6cm，以各顶点为圆心的三个圆两两外切，求各圆的半径。
[分析]两圆外切圆心距等于半径之和，由三角形三条边的长可找到三个等量关系，解方程组即可得出三个圆的半径。
解：设三个圆的半径分别为r1 、r2 、r3，则r1+r2=4，r2+r3=5，r1+r3=6三个方程解得r1=2.5 ,r2=3.5 ,r3=1.5。∴三个圆的半径分别为1.5cm，2.5cm，3.5cm。
四、总结反思 拓展升华
[小结]1、圆与圆的位置关系有几种？
2、如何判定两圆位置关系？
[拓展] 某校学生在工厂劳动，要在直径为50mm的圆形铁板中冲出四个互相外切，并且同样大小的圆，圆的最大直径是多少？（精确到0.01mm）
五、作业
P141 习题5.6 1、2、3
板书设计
后记
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