4.2 第2课时一次函数与正比例函数的概念 教案（表格式） 2025-2026学年数学北师大版（2024）八年级上册

第2课时　一次函数与正比例函数的概念
课标摘录 1.能用适当的函数表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系,理解函数值的意义。 2.结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论。 3.结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式。
素养目标 1.结合具体情境理解一次函数的意义,能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的表达式。 2.能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系。 3.能利用一次函数解决简单的实际问题。
教学重难点 重点:理解一次函数和正比例函数的概念。 难点:能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力。
教学策略 教法:通过从具体实例归纳总结出一次函数和正比例函数的概念,写出简单的一次函数表达式。 学法:互动讨论,积极与同伴交流自己的想法,最后把教师讲解的要点归纳总结。
温故知新 问题1:什么是函数 表示函数的方法一般有哪些呢 问题2:购买一些签字笔,单价3元,总价为y元,签字笔为x支,根据题意填表: x(支)12345…y(元)
(1)y随x变化的关系y=　　　　　,　　　是自变量,　　　是　　　的函数。 (2)当购买8支签字笔时,总价为　　　元。
新知初探 探究一　一次函数与正比例函数 活动1:在弹性限度内,某弹簧的长度y(单位:cm)与所挂物体的质量x(单位:kg)的关系如下表所示: x/kg012345y/cm3.03.54.04.55.05.5
问题1:随着所挂物体质量x的增加,弹簧长度y的增长是“均匀”的吗 问题2:写出y与x之间的关系式,并说明理由。 活动2:尝试·思考 某辆汽车油箱中原有汽油40 L,汽车每行驶50 km耗油4 L。 (1)完成下表: 行驶路程x/km050100150200250300耗油量y/L
(2)写出耗油量y与汽车行驶路程x之间的关系式。 (3)写出油箱剩余油量z(单位:L)与汽车行驶路程x之间的关系式。
活动3:观察·思考 (1)在上面情境中,我们得到y=0.5x+3,y=x,z=40-x,它们有什么共同的特征 (2)请你写出一个具有这种特点的关系式。 归纳总结:一次函数的概念:若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数。 正比例函数的概念:一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中,当b=0时,称y是x的正比例函数。 意图说明 选取学生熟悉的生活模型,从社会生活中与数学相关的信息入手,引导学生主动参与数学活动,在解决数学问题的过程中,感受数学在实际生活中的应用,体会数学的价值,并能从中抽象出数学问题,感悟用数学的眼光观察现实世界的意义,形成数学想象力,提高学习数学的兴趣。 探究二　例题讲解 例1 写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数 是否为正比例函数 (1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(单位:km)与行驶时间x(单位:h)之间的关系; (2)圆的面积y(单位:cm2)与它的半径x(单位:cm)之间的关系; (3)某水池有水15 m3,先打开进水管进水,进水速度为5 m3/h,经过x h这个水池内有水y m3。 解:(1)由路程=速度×时间,得y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数; (2)由圆的面积公式,得y=πx2,y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数; (3)这个水池每小时增加水5 m3,x h增加水5x m3,因而y=15+5x,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数。 活动4:思考·交流 (1)例1中,两个一次函数的一次项系数k和常数项b分别是多少,它们的实际意义是什么 (2)一般地,k,b对一次函数y=kx+b有怎样的影响 与同伴进行交流。 例2 在一次测试中,某汽车紧急刹车后,每过1 s其速度减少35 km/h。 (1)假设该汽车以120 km/h的速度行驶,试写出该汽车刹车后的速度y(单位:km/h)与刹车后所经过的时间t(单位:s)之间的关系式y=kt+b,并说明k和b的实际意义; (2)求出(1)中汽车从刹车到停止所需的时间。 解:(1)刹车开始时汽车的速度为120 km/h,每过1 s汽车的速度减少35 km/h,于是经过t s汽车的速度减少了35t km/h,所以y与t的关系式是y=-35 t+120。其中,k=-35表示每秒汽车速度的变化量,b=120表示刹车开始时汽车的速度。 (2)汽车停止时速度y=0,解方程0=-35t+120,得t=≈3.43。因此,该汽车从刹车到停止所需的时间大约为3.43 s。 意图说明 两个例题引导学生用一次函数的模型解决问题,通过问题探究,让学生进一步明确:识别一个函数是否为一次函数,关键是准确把握定义;进一步理解一次函数与正比例函数的概念,通过由已知信息写一次函数表达式的过程,发展学生的数学应用能力。例2意在培养学生严谨的思维方式与阅读理解能力,引导学生用函数思想去解决实际问题,实现了知识向能力的转化。
当堂达标
课堂小结
板书设计 一次函数与正比例函数的概念 1.一次函数的概念　　　　　　　　　　2.正比例函数的概念 3.一次函数与正比例函数的联系与区别　　　　　 4.例题讲解
教学反思