章末综合测评(三)
1．A [由a∥b，得，∴x＝6，y＝－10．]
2．C [由直线的方向向量与平面的法向量的定义知应选C，对于选项D，直线a在平面α内，也满足a⊥n．]
3．B [y轴的方向向量s＝(0，1，0)，cos＝，即y轴与平面α夹角的正弦值是，故其夹角是．]
4．A [设＝a，＝b，＝c，则＝a+b+c，＝a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a＝25，因此＝5．]
5．D [∵a，b不共线，∴存在x，y，使c＝xa＋yb．
∴．]
6．A [取B1C1的中点G，连接PG，CG，DP，则PG∥CD，所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离，与EF的长度无关，B错误．又A1B1∥平面PGCD，所以点A1到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离，即点Q到平面PEF的距离，与点Q的位置无关，D错误．
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，
则C(0，a，0)，D(0，0，0)，A1(a，0，a)，P，∴＝(0，a，0)，＝(a，0，a)，，
设n＝(x，y，z)是平面PGCD的法向量，
则由
令z＝1，则x＝－2，y＝0，
所以n＝(－2，0，1)是平面PGCD的一个法向量．
设点Q到平面PEF的距离为d，则d＝，A正确，C错误．
故选A．]
7．B [设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知＝(2，－2，1)，＝(2，2，－1)，cos<，sin<．]
8．A [法一：作HG⊥BB1于G(图略)，则B1G＝1，所以GP＝2，所以点P的轨迹是以G为圆心，2为半径的圆弧，所以CP的最小值为CG－2＝－2．
法二：分别以CD，CB，CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则H，设P，由HP＝，得，所以＝4，所以CP的最小值为－2．]
9．AB [设M(0，0，z)，直线l的一个单位方向向量s0＝，故点M到直线l的距离d＝，解得z＝±3．]
10．BCD [若a⊥n，则直线a与平面α平行或在平面α内，所以A中命题是假命题：
若a∥n，则a也是平面α的一个法向量，所以直线a⊥平面α，所以B中命题是真命题：
直线与平面夹角的正弦值等于直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以C中命题是真命题：
两个平面的夹角的余弦值与它们的法向量的夹角的余弦值的绝对值相等，所以D中命题是真命题．故选BCD．]
11．AC [因为侧棱AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥CD，因为△ABC是等边三角形，所以AD＝BD，所以CD⊥AB，因为AB∩AA1＝A，所以CD⊥平面AA1D，又A1D 平面AA1D，则CD⊥A1D，A正确．
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
A1(－1，0，)，A(－1，0，0)，C1(0，)，B1(1，0，)，C(0，，0)，所以＝(1，0，－＝(1，)，
所以cos<，所以异面直线A1D与AC1夹角的余弦值为，B不正确，C正确．
设平面AB1C1的法向量为n＝(x，y，z)，
＝(2，0，＝(1，)，
则
取z＝2，则平面AB1C1的一个法向量为n＝(－，－，2)，
因为＝(0，－，0)，且·n＝≠0，
所以CD∥平面AB1C1不成立，D不正确．故选AC．]
12．－1或3 1 [∵c＝(1，1，1)，a＝(1，1，x)，∴c－a＝(0，0，1－x)，由|c－a|＝2，得＝2，∴x＝－1或3：
当(c－a)⊥(2b)时，∴(c－a)·(2b)=(0，0，1－x)·(2，4，2)＝2(1－x)＝0，∴x＝1．]
13．(－2，0，0) [设平面α与x轴的交点为M(x，0，0)，则＝(x，0，－2)，则n·＝0，即x＋0＋2＝0，得x＝－2，
故x轴与平面α的交点坐标是(－2，0，0)．]
14． [由已知得，＝(－1，－1，0)，＝(－4，－1，0)，＝(0，－1，2)．设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，
取x＝－1，得n＝(－1，4，2)．
则h＝．]
15．解：(1)证明：∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，
∵AD 平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC．
(2)由∠BDC＝90°及(1)知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|＝1，以D为坐标原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易得，D(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，A(0，0，)，E，
所以＝(1，0，0)，
∴cos<，所以．
16．解：(1)证明：过A1作A1D⊥CC1，垂足为D，
∵A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴A1C⊥BC，
又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，
∵A1C，AC 平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C，
∴BC⊥平面ACC1A1，
∵A1D 平面ACC1A1，∴BC⊥A1D，
又CC1，BC 平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C，
∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1．
由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1，
∴D为CC1的中点，又A1D⊥CC1，∴A1C＝A1C1，
又在三棱柱ABC A1B1C1中，AC＝A1C1，
∴A1C＝AC．
(2)连接A1B，由(1)易证A1B＝A1B1，故取BB1的中点F，连接A1F，∵AA1与BB1的距离为2，∴A1F＝2，
又A1D＝1且A1C＝AC，
∴A1C＝A1C1＝AC＝，AB＝A1B1＝，BC＝．
建立空间直角坐标系C xyz如图所示，
则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，，0)，B1(－)，C1(－，0，)，∴＝(0，，0)，＝(－，0，＝(－2)．
设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，则y＝0，z＝1，
∴平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，0，1)．
设AB1与平面BCC1B1的夹角为θ，
则sin θ＝|cos∴AB1与平面BCC1B1夹角的正弦值为．
17．证明：AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0，0，1)．
(1)∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形，∴C，E，
设D(0，y，0)，由AC⊥CD，得·＝0，即y＝，则D，
∴，又，
∴·＝0，
∴，即AE⊥CD．
(2)法一：∵P(0，0，1)，∴，
又· ×(－1)＝0，
∴，即PD⊥AE，∵＝(1，0，0)，∴·＝0，
∴PD⊥AB，又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE．
法二：＝(1，0，0)，，
设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
取y＝2，则z＝－，∴n＝(0，2，－)，
∵，显然n．
∵∥n，∴⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE．
18．解：(1)证明：取AD的中点E，连接QE，CE．
∵QD＝QA＝，∴QE⊥AD．
∵AD＝2，∴DE＝1，
∴QE＝＝2，
CE＝，
∴QE2＋CE2＝9＝QC2，
∴∠QEC＝90°，QE⊥CE，
∵AD∩CE＝E，∴QE⊥平面ABCD，
∵QE 平面QAD，∴平面QAD⊥平面ABCD．
(2)法一：建系
取BC的中点F，连接EF，
如图以E为坐标原点，分别以EF，ED，EQ所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则B(2，－1，0)，Q(0，0，2)，D(0，1，0)，∴＝(－2，1，2)，＝(0，1，－2)，
设平面BQD的一个法向量n1＝(x0，y0，z0)，
∴
取z0＝1，则n1＝(2，2，1)，
而平面QDA的一个法向量n2＝(1，0，0)，
设二面角B QD A的平面角为θ，
n1，n2夹角为φ，显然θ为锐角，
∴cos θ＝|cos φ|＝．
法二：几何法
由(1)知平面QAD⊥平面ABCD，又∵BA⊥AD，BA 平面ABCD，
平面ABCD∩平面QAD＝AD，
∴BA⊥平面QAD，过A作AM⊥QD于点M，连接BM．
则∠AMB即为所求二面角的平面角．
而S△QAD＝·AM AM＝，
∴BM＝，∴cos∠AMB＝．
19．解：(1)证明：取CB1中点P，连接NP，MP，
由N是B1C1的中点，故NP∥CC1，且NP＝CC1，
由M是DD1的中点，故D1M＝DD1＝CC1，且D1M∥CC1，则有D1M∥NP，D1M＝NP，
故四边形D1MPN是平行四边形，故D1N∥MP．
又MP 平面CB1M，D1N 平面CB1M，
故D1N∥平面CB1M．
(2)由题意知，AA1，AB，AD两两垂直，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，B1(2，0，2)，M(0，1，1)，C(1，1，0)，C1(1，1，2)，
则有＝(1，－1，2)，＝(－1，0，1)，＝(0，0，2)．
设平面CB1M与平面BB1C1C的一个法向量分别为m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)，
则有
分别取x1＝x2＝1，则有y1＝3，z1＝1，y2＝1，z2＝0，
即m＝(1，3，1)，n＝(1，1，0)，
设平面CB1M与平面BB1C1C的夹角为θ，
则cos θ＝|cos|＝，
故平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值为．
(3)由＝(0，0，2)，平面CB1M的法向量m＝(1，3，1)，
则有，
即点B到平面CB1M的距离为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共69张PPT)
第三章 空间向量与立体几何
章末综合提升
巩固层·知识整合
提升层·题型探究
类型1 利用空间向量证明垂直与平行
利用空间向量证明平行、垂直关系的方法
(1)证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量即可．
(2)证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两个不共线向量来线性表示直线的方向向量．
(3)证明面面平行的方法：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．
(4)证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直．
(5)证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②转化为线线垂直问题．
(6)证明面面垂直的方法：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．
【例1】 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F．
(1)证明：PA∥平面EDB；
(2)证明：PB⊥平面EFD．
【例2】 如图，在空间直角坐标系中，已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，求：
(1)A1D与EF夹角的大小；
(2)A1F与平面B1EB夹角的正弦值；
(3)平面CD1B1与平面D1B1B夹角的余弦值．
【例3】 如图所示，已知四边形ABCD，EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P是ED的中点，求点P到平面EFB的距离．
类型4 空间向量与存在性问题
存在性问题是在一定条件下论证会不会出现某个结论．这类题型常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述，解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
章末综合测评(三) 空间向量与立体几何
16
17
18
19
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量a＝(2，－3，5)与向量b＝(－4，x，y)平行，则x，y的值分别是( )
A．6和－10 B．－6和10 C．－6和－10 D．6和10
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2．已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是( )
A．若a∥n，则a∥α B．若a⊥n，则a⊥α
C．若a∥n，则a⊥α D．若a⊥n，则a∥α
√
C [由直线的方向向量与平面的法向量的定义知应选C，对于选项D，直线a在平面α内，也满足a⊥n．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
A [取B1C1的中点G，连接PG，CG，DP，则PG∥CD，所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离，与EF的长度无关，B错误．又A1B1∥平面PGCD，所以点A1到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离，即点Q到平面PEF的距离，与点Q的位置无关，D错误．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
BCD [若a⊥n，则直线a与平面α平行或在平面α内，所以A中命题是假命题；
若a∥n，则a也是平面α的一个法向量，所以直线a⊥平面α，所以B中命题是真命题；
直线与平面夹角的正弦值等于直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以C中命题是真命题；
两个平面的夹角的余弦值与它们的法向量的夹角的余弦值的绝对值相等，所以D中命题是真命题．故选BCD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
AC [因为侧棱AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥CD，因为△ABC是等边三角形，所以AD＝BD，所以CD⊥AB，因为AB∩AA1＝A，所以CD⊥平面AA1D，又A1D 平面AA1D，则CD⊥A1D，A正确．
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，若|c－a|＝2，则x＝________；若(c－a)⊥(2b)，则x＝________．
－1或3
1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
13．平面α经过点A(0，0，2)且一个法向量n＝(1，－1，－1)，则平面α与x轴的交点坐标是______________．
(－2，0，0)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
14．已知三棱锥P-ABC各顶点的坐标分别是P(－1，0，0)，A(0，1，0)，B(－4，0，0)，C(0，0，2)，则该三棱锥底面ABC上的高h＝________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
[解] (1)证明：∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，
∵AD 平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC．
(2)由∠BDC＝90°及(1)知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|＝1，以D为坐标原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
16．(15分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1．
(1)证明：A1C＝AC；
(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1夹角的正弦值．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
[解] (1)证明：过A1作A1D⊥CC1，垂足为D，
∵A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴A1C⊥BC，
又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，
∵A1C，AC 平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C，
∴BC⊥平面ACC1A1，
∵A1D 平面ACC1A1，∴BC⊥A1D，
又CC1，BC 平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C，
∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1，
∴D为CC1的中点，又A1D⊥CC1，
∴A1C＝A1C1，
又在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝A1C1，
∴A1C＝AC．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
17．(15分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)AE⊥CD；
(2)PD⊥平面ABE．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
19．(17分)如图，已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD⊥AB，AB∥CD，AA1＝2，AB＝2AD＝2，DC＝1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点．
(1)求证D1N∥平面CB1M；
(2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值；
(3)求点B到平面CB1M的距离．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19章末综合测评(三) 空间向量与立体几何
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量a＝(2，－3，5)与向量b＝(－4，x，y)平行，则x，y的值分别是( )
A．6和－10 B．－6和10
C．－6和－10 D．6和10
2．已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是( )
A．若a∥n，则a∥α B．若a⊥n，则a⊥α
C．若a∥n，则a⊥α D．若a⊥n，则a∥α
3．平面α的一个法向量n＝(1，－1，0)，则y轴与平面α夹角的大小为( )
A． B．
C． D．
4．平行六面体ABCD-A1B1C1D1，向量两两的夹角均为60°，且＝1，＝2，＝3，则等于( )
A．5 B．6
C．4 D．8
5．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A． B．
C． D．
6．如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离( )
A．等于a B．和EF的长度有关
C．等于a D．和点Q的位置有关
7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin 〈〉的值为( )
A． B．
C． D．
8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点H在棱AA1上，且HA1＝1，P是侧面BCC1B1内一动点，HP＝，则CP的最小值为( )
A．－2 B．－3
C．－2 D．－3
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s＝(1，－1，1)的直线l的距离为，则点M的坐标是( )
A．(0，0，－3) B．(0，0，3)
C．(0，0，) D．(0，0，－)
10．若直线a的方向向量为a，平面α，β的法向量分别为n，m，则下列命题为真命题的是( )
A．若a⊥n，则直线a∥平面α
B．若a∥n，则直线a⊥平面α
C．若cos〈a，n〉＝，则直线a与平面α夹角的大小为
D．若cos〈m，n〉＝，则平面α，β的夹角为
11．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，D为AB的中点，若AB＝2，AA1＝，则( )
A．CD⊥A1D
B．异面直线A1D与AC1夹角的余弦值为
C．异面直线A1D与AC1夹角的余弦值为
D．CD∥平面AB1C1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，若|c－a|＝2，则x＝________；若(c－a)⊥(2b)，则x＝________．
13．平面α经过点A(0，0，2)且一个法向量n＝(1，－1，－1)，则平面α与x轴的交点坐标是________．
14．已知三棱锥P-ABC各顶点的坐标分别是P(－1，0，0)，A(0，1，0)，B(－4，0，0)，C(0，0，2)，则该三棱锥底面ABC上的高h＝________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°．
(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；
(2)设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．
16．(15分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1．
(1)证明：A1C＝AC；
(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1夹角的正弦值．
17．(15分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)AE⊥CD；
(2)PD⊥平面ABE．
18．(17分)在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3．
(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；
(2)求二面角B-QD-A的余弦值．
19．(17分)如图，已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD⊥AB，AB∥CD，AA1＝2，AB＝2AD＝2，DC＝1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点．
(1)求证D1N∥平面CB1M；
(2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值；
(3)求点B到平面CB1M的距离．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)类型1 利用空间向量证明垂直与平行
利用空间向量证明平行、垂直关系的方法
(1)证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量即可．
(2)证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两个不共线向量来线性表示直线的方向向量．
(3)证明面面平行的方法：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．
(4)证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直．
(5)证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②转化为线线垂直问题．
(6)证明面面垂直的方法：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．
【例1】 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F．
(1)证明：PA∥平面EDB；
(2)证明：PB⊥平面EFD．
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
类型2 利用空间向量求空间角
利用空间角可对直线与平面的位置关系作定量分析，利用空间向量可将空间角转化为空间向量的夹角来求解．
(1)求异面直线所成的角：找出(或求出)两异面直线a，b的方向向量v1，v2，若θ为a与b的夹角，则有cos θ＝，然后求出θ即可．
(2)求直线与平面的夹角：找出(或求出)直线的一个方向向量v和平面的一个法向量n，设直线与平面的夹角为θ，则有sin θ＝．当〈v，n〉为锐角时，θ＝－〈v，n〉；当〈v，n〉为钝角时，θ＝〈v，n〉－．
(3)求二面角：设n1是平面α的法向量，n2是平面β的法向量，θ为二面角的平面角，则|cos θ|＝，θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉，需借助空间几何体进行具体判断．
【例2】 如图，在空间直角坐标系中，已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，求：
(1)A1D与EF夹角的大小；
(2)A1F与平面B1EB夹角的正弦值；
(3)平面CD1B1与平面D1B1B夹角的余弦值．
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
类型3 用空间向量求空间距离
1．点到直线的距离的向量求法
先求直线的方向向量，再在直线上任取一点，与原来点构成向量，利用公式d＝计算．
2．点到平面的距离的向量求法
先求出平面的法向量，再在平面内任取一点，与原来点构成向量，此向量在法向量上的投影的绝对值，就是点到平面的距离，即d＝．
【例3】 如图所示，已知四边形ABCD，EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P是ED的中点，求点P到平面EFB的距离．
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
类型4 空间向量与存在性问题
存在性问题是在一定条件下论证会不会出现某个结论．这类题型常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述，解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．
【例4】 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ABC＝90°，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，试问在线段PA上是否存在一点M到平面PCD的距离为？若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
21世纪教育网(www.21cnjy.com)类型1 利用空间向量证明垂直与平行
利用空间向量证明平行、垂直关系的方法
(1)证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量即可．
(2)证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两个不共线向量来线性表示直线的方向向量．
(3)证明面面平行的方法：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．
(4)证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直．
(5)证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②转化为线线垂直问题．
(6)证明面面垂直的方法：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．
【例1】 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F．
(1)证明：PA∥平面EDB；
(2)证明：PB⊥平面EFD．
[证明] 以D点为坐标原点，分别以所在的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系D-xyz(如图所示)．设DC＝a．
(1)连接AC，交BD于G，连接EG．
依题意得A(a，0，0)，P(0，0，a)，E，
因为G是正方形ABCD的中心，
所以点G的坐标为，且＝(a，0，－a)，＝，所以＝2，即PA∥EG，而EG 平面EDB且PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB．
(2)依题意得B(a，a，0)，＝(a，a，－a)，
又＝，
故＝0＋＝0，
所以PB⊥DE．
由已知EF⊥PB，
且EF∩DE＝E，
所以PB⊥平面EFD．
类型2 利用空间向量求空间角
利用空间角可对直线与平面的位置关系作定量分析，利用空间向量可将空间角转化为空间向量的夹角来求解．
(1)求异面直线所成的角：找出(或求出)两异面直线a，b的方向向量v1，v2，若θ为a与b的夹角，则有cos θ＝，然后求出θ即可．
(2)求直线与平面的夹角：找出(或求出)直线的一个方向向量v和平面的一个法向量n，设直线与平面的夹角为θ，则有sin θ＝．当〈v，n〉为锐角时，θ＝－〈v，n〉；当〈v，n〉为钝角时，θ＝〈v，n〉－．
(3)求二面角：设n1是平面α的法向量，n2是平面β的法向量，θ为二面角的平面角，则|cos θ|＝，θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉，需借助空间几何体进行具体判断．
【例2】 如图，在空间直角坐标系中，已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，求：
(1)A1D与EF夹角的大小；
(2)A1F与平面B1EB夹角的正弦值；
(3)平面CD1B1与平面D1B1B夹角的余弦值．
[解] (1)设正方体棱长为1，则＝(－1，0，－1)，＝，∴cos〈〉＝＝，∴A1D与EF的夹角是60°．
(2)＝(－1，，－1)，＝(0，1，0)，
则cos〈〉＝＝，
又是平面B1EB的一个法向量，
∴A1F与平面B1EB夹角的正弦值为．
(3)根据图形易得＝(－1，1，1)为平面CD1B1的一个法向量，＝(－1，1，0)为平面BB1D1的一个法向量．
cos〈〉＝＝．
∵平面CD1B1与平面D1B1B的夹角为锐角，
∴其余弦值为．
类型3 用空间向量求空间距离
1．点到直线的距离的向量求法
先求直线的方向向量，再在直线上任取一点，与原来点构成向量，利用公式d＝计算．
2．点到平面的距离的向量求法
先求出平面的法向量，再在平面内任取一点，与原来点构成向量，此向量在法向量上的投影的绝对值，就是点到平面的距离，即d＝．
【例3】 如图所示，已知四边形ABCD，EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P是ED的中点，求点P到平面EFB的距离．
[解] 如图，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(a，a，0)，E(a，0，a)，F(0，a，a)，则由中点坐标公式得P．
设n＝(x，y，z)是平面EFB的单位法向量，
所以n⊥，n⊥．又＝(－a，a，0)，＝(0，－a，a)，
所以取x＝，得
所以n＝，又＝，
所以点P到平面EFB的距离为|·n|＝a．
类型4 空间向量与存在性问题
存在性问题是在一定条件下论证会不会出现某个结论．这类题型常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述，解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．
【例4】 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ABC＝90°，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，试问在线段PA上是否存在一点M到平面PCD的距离为？若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
[解] 根据图形的结构特点，可建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(1，1，0)，D(0，2，0)．
所以＝(1，1，－2)，＝(0，2，－2)，设直线AP上有一点M(0，0，z0)满足题意，则＝(0，0，2－z)，设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则由得
取z＝1，得n＝(1，1，1)．
则n0＝＝．
那么，点M到平面PCD的距离为d＝|n0·|＝·|2－z0|．
∵d＝，∴|2－z0|＝1．解得z0＝1或z0＝3．
当z0＝3时，M(0，0，3)在线段AP的延长线上，故舍去；
当z0＝1时，M(0，0，1)是线段AP的中点．
综上所述，存在线段AP的中点(即点M)到面PCD的距离为．
章末综合测评(三) 空间向量与立体几何
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量a＝(2，－3，5)与向量b＝(－4，x，y)平行，则x，y的值分别是( )
A．6和－10 B．－6和10
C．－6和－10 D．6和10
A [由a∥b，得＝＝，∴x＝6，y＝－10．]
2．已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是( )
A．若a∥n，则a∥α B．若a⊥n，则a⊥α
C．若a∥n，则a⊥α D．若a⊥n，则a∥α
C [由直线的方向向量与平面的法向量的定义知应选C，对于选项D，直线a在平面α内，也满足a⊥n．]
3．平面α的一个法向量n＝(1，－1，0)，则y轴与平面α夹角的大小为( )
A． B．
C． D．
B [y轴的方向向量s＝(0，1，0)，cos〈n，s〉＝＝－，即y轴与平面α夹角的正弦值是，故其夹角是．]
4．平行六面体ABCD-A1B1C1D1，向量两两的夹角均为60°，且＝1，＝2，＝3，则等于( )
A．5 B．6
C．4 D．8
A [设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c，＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，因此＝5．]
5．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A． B．
C． D．
D [∵a，b不共线，∴存在x，y，使c＝xa＋yb．
∴解得λ＝．]
6．如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离( )
A．等于a B．和EF的长度有关
C．等于a D．和点Q的位置有关
A [取B1C1的中点G，连接PG，CG，DP，则PG∥CD，所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离，与EF的长度无关，B错误．又A1B1∥平面PGCD，所以点A1到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离，即点Q到平面PEF的距离，与点Q的位置无关，D错误．
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，
则C(0，a，0)，D(0，0，0)，A1(a，0，a)，P，∴＝(0，a，0)，＝(a，0，a)，＝，
设n＝(x，y，z)是平面PGCD的法向量，
则由得
令z＝1，则x＝－2，y＝0，
所以n＝(－2，0，1)是平面PGCD的一个法向量．
设点Q到平面PEF的距离为d，则d＝＝＝，A正确，C错误．故选A．]
7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin 〈〉的值为( )
A． B．
C． D．
B [设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知＝(2，－2，1)，＝(2，2，－1)，cos〈〉＝－，sin〈〉＝．]
8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点H在棱AA1上，且HA1＝1，P是侧面BCC1B1内一动点，HP＝，则CP的最小值为( )
A．－2 B．－3
C．－2 D．－3
A [法一：作HG⊥BB1于G(图略)，则B1G＝1，所以GP＝2，所以点P的轨迹是以G为圆心，2为半径的圆弧，所以CP的最小值为CG－2＝－2．
法二：分别以CD，CB，CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则H，设P，由HP＝，得＝，所以＋＝4，所以CP的最小值为－2＝－2．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s＝(1，－1，1)的直线l的距离为，则点M的坐标是( )
A．(0，0，－3) B．(0，0，3)
C．(0，0，) D．(0，0，－)
AB [设M(0，0，z)，直线l的一个单位方向向量s0＝，故点M到直线l的距离d＝＝＝，解得z＝±3．]
10．若直线a的方向向量为a，平面α，β的法向量分别为n，m，则下列命题为真命题的是( )
A．若a⊥n，则直线a∥平面α
B．若a∥n，则直线a⊥平面α
C．若cos〈a，n〉＝，则直线a与平面α夹角的大小为
D．若cos〈m，n〉＝，则平面α，β的夹角为
BCD [若a⊥n，则直线a与平面α平行或在平面α内，所以A中命题是假命题；
若a∥n，则a也是平面α的一个法向量，所以直线a⊥平面α，所以B中命题是真命题；
直线与平面夹角的正弦值等于直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以C中命题是真命题；
两个平面的夹角的余弦值与它们的法向量的夹角的余弦值的绝对值相等，所以D中命题是真命题．故选BCD．]
11．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，D为AB的中点，若AB＝2，AA1＝，则( )
A．CD⊥A1D
B．异面直线A1D与AC1夹角的余弦值为
C．异面直线A1D与AC1夹角的余弦值为
D．CD∥平面AB1C1
AC [因为侧棱AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥CD，因为△ABC是等边三角形，所以AD＝BD，所以CD⊥AB，因为AB∩AA1＝A，所以CD⊥平面AA1D，又A1D 平面AA1D，则CD⊥A1D，A正确．
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
A1(－1，0，)，
A(－1，0，0)，
C1(0，)，
B1(1，0，)，
C(0，，0)，
所以＝(1，0，－)，＝(1，)，
所以cos〈〉＝＝＝－，
所以异面直线A1D与AC1夹角的余弦值为，B不正确，C正确．
设平面AB1C1的法向量为n＝(x，y，z)，
＝(2，0，)，＝(1，)，
则
即
取z＝2，则平面AB1C1的一个法向量为n＝(－，－，2)，
因为＝(0，－，0)，且·n＝≠0，
所以CD∥平面AB1C1不成立，D不正确．故选AC．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，若|c－a|＝2，则x＝________；若(c－a)⊥(2b)，则x＝________．
－1或3 1 [∵c＝(1，1，1)，a＝(1，1，x)，∴c－a＝(0，0，1－x)，
由|c－a|＝2，得＝2，∴x＝－1或3；
当(c－a)⊥(2b)时，∴(c－a)·(2b)＝(0，0，1－x)·(2，4，2)＝2(1－x)＝0，∴x＝1．]
13．平面α经过点A(0，0，2)且一个法向量n＝(1，－1，－1)，则平面α与x轴的交点坐标是________．
(－2，0，0) [设平面α与x轴的交点为M(x，0，0)，则＝(x，0，－2)，
则n·＝0，即x＋0＋2＝0，得x＝－2，
故x轴与平面α的交点坐标是(－2，0，0)．]
14．已知三棱锥P-ABC各顶点的坐标分别是P(－1，0，0)，A(0，1，0)，B(－4，0，0)，C(0，0，2)，则该三棱锥底面ABC上的高h＝________．
[由已知得，＝(－1，－1，0)，＝(－4，－1，0)，＝(0，－1，2)．设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，
则取x＝－1，得n＝(－1，4，2)．
则h＝＝＝．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°．
(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；
(2)设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．
[解] (1)证明：∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，
∵AD 平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC．
(2)由∠BDC＝90°及(1)知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|＝1，以D为坐标原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易得，D(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，A(0，0，)，E，
所以＝＝(1，0，0)，
∴cos〈〉＝＝＝，所以与夹角的余弦值是．
16．(15分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1．
(1)证明：A1C＝AC；
(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1夹角的正弦值．
[解] (1)证明：过A1作A1D⊥CC1，垂足为D，
∵A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴A1C⊥BC，
又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，
∵A1C，AC 平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C，
∴BC⊥平面ACC1A1，
∵A1D 平面ACC1A1，∴BC⊥A1D，
又CC1，BC 平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C，
∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1．
由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1，
∴D为CC1的中点，又A1D⊥CC1，
∴A1C＝A1C1，
又在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝A1C1，
∴A1C＝AC．
(2)连接A1B，由(1)易证A1B＝A1B1，故取BB1的中点F，连接A1F，
∵AA1与BB1的距离为2，∴A1F＝2，
又A1D＝1且A1C＝AC，
∴A1C＝A1C1＝AC＝，AB＝A1B1＝，BC＝．
建立空间直角坐标系C-xyz如图所示，
则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，，0)，B1(－)，C1(－，0，)，
∴＝(0，，0)，＝(－，0，)，＝(－2)．
设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即取x＝1，则y＝0，z＝1，
∴平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，0，1)．
设AB1与平面BCC1B1的夹角为θ，
则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝．
∴AB1与平面BCC1B1夹角的正弦值为．
17．(15分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)AE⊥CD；
(2)PD⊥平面ABE．
[证明] AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0，0，1)．
(1)∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形，
∴C，E，
设D(0，y，0)，由AC⊥CD，得＝0，即y＝，则D，
∴＝，又＝，
∴＝－××＝0，
∴⊥，即AE⊥CD．
(2)法一：∵P(0，0，1)，∴＝，
又＝××(－1)＝0，
∴⊥，即PD⊥AE，∵＝(1，0，0)，∴＝0，
∴PD⊥AB，又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE．
法二：＝(1，0，0)，＝，
设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
取y＝2，则z＝－，∴n＝(0，2，－)，
∵＝，显然＝n．
∵∥n，∴⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE．
18．(17分)在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3．
(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；
(2)求二面角B-QD-A的余弦值．
[解] (1)证明：取AD的中点E，连接QE，CE．
∵QD＝QA＝，∴QE⊥AD．
∵AD＝2，∴DE＝1，
∴QE＝＝2，CE＝＝，
∴QE2＋CE2＝9＝QC2，
∴∠QEC＝90°，QE⊥CE，
∵AD∩CE＝E，∴QE⊥平面ABCD，
∵QE 平面QAD，
∴平面QAD⊥平面ABCD．
(2)法一：建系
取BC的中点F，连接EF，
如图以E为坐标原点，分别以EF，ED，EQ所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则B(2，－1，0)，Q(0，0，2)，D(0，1，0)，
∴＝(－2，1，2)，＝(0，1，－2)，
设平面BQD的一个法向量n1＝(x0，y0，z0)，
∴
取z0＝1，则n1＝(2，2，1)，
而平面QDA的一个法向量n2＝(1，0，0)，
设二面角B-QD-A的平面角为θ，
n1，n2夹角为φ，显然θ为锐角，
∴cos θ＝|cos φ|＝＝＝．
法二：几何法
由(1)知平面QAD⊥平面ABCD，
又∵BA⊥AD，BA 平面ABCD，
平面ABCD∩平面QAD＝AD，
∴BA⊥平面QAD，过A作AM⊥QD于点M，连接BM．
则∠AMB即为所求二面角的平面角．
而S△QAD＝×2×2＝·AM AM＝，
∴BM＝＝，
∴cos ∠AMB＝＝．
19．(17分)如图，已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD⊥AB，AB∥CD，AA1＝2，AB＝2AD＝2，DC＝1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点．
(1)求证D1N∥平面CB1M；
(2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值；
(3)求点B到平面CB1M的距离．
[解] (1)证明：取CB1中点P，连接NP，MP，
由N是B1C1的中点，故NP∥CC1，且NP＝CC1，
由M是DD1的中点，故D1M＝DD1＝CC1，且D1M∥CC1，则有D1M∥NP，D1M＝NP，
故四边形D1MPN是平行四边形，故D1N∥MP．
又MP 平面CB1M，D1N 平面CB1M，
故D1N∥平面CB1M．
(2)由题意知，AA1，AB，AD两两垂直，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，B1(2，0，2)，M(0，1，1)，C(1，1，0)，C1(1，1，2)，
则有＝(1，－1，2)，＝(－1，0，1)，＝(0，0，2)．
设平面CB1M与平面BB1C1C的一个法向量分别为m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)，
则有
分别取x1＝x2＝1，则有y1＝3，z1＝1，y2＝1，z2＝0，
即m＝(1，3，1)，n＝(1，1，0)，
设平面CB1M与平面BB1C1C的夹角为θ，
则cos θ＝|cos〈m，n〉|＝＝＝，
故平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值为．
(3)由＝(0，0，2)，平面CB1M的法向量m＝(1，3，1)，
则有＝＝，
即点B到平面CB1M的距离为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
