圆的对称性（1）
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3.1.1 圆的对称性
第1课时 课型：新授 时间：
教学目标
[知识与技能]
1．理解圆、圆心和半径、弦、直径的含义．
2．掌握圆的两种对称性质．
3．理解垂径定理是圆的对称性的体现，掌握垂径定理．
[过程与方法]在探索圆的对称性以及直径垂直于弦的性质中，培养学生观察、比较、归纳、概括的能力．
[情感、态度与价值观] 通过对圆的进一步认识，加深学生对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情。
教学重点难点
重点：（1）理解圆的有关概念。
（2）利用圆的对称性引出两个定理。
难点： 垂径定理证明的严谨性。
教学方法：自主探索 合作交流
教 具：硬纸片，圆规，白纸，挂图
教学设计：
（1） 创设情境 导入新课
导语一 观察教材本章主题图，你能说出车轮、转盘的特征吗？它们与链条之间有怎样的关系呢？本章要研究的是圆的性质，直线与圆、圆与圆的位置关系。
导语二 我国战国时期《墨经》一书给圆下了一个定义：圆，一中同长也，你能说出这句话的意思吗？
（2） 合作交流 解读探究
1．圆的基本概念
[自主探索] 让学生阅读教材，理解如下概念，
（1）圆：到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形，定点即圆心，定长即半径。圆也可以看成是一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形。
（2）弦与直径，连结圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径。
[说一说] 判断下列说法是否正确。
（1）直径是弦，半径也是弦。 （ ）
（2）直径是弦，但弦不一定是直径。 （ ）
（3）圆中最长的弦是直径。 （ ）
（4）P是圆O上一点，过点P只可以作一条等于半径的弦。（ ）
2．圆的对称性
[问题探究一]用一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆，它们的半径相等，把白纸放在硬纸板上面，使两个圆的圆心重合，用一根大头针穿过这两个圆的圆心，让硬纸板保持不动，让白纸绕圆心旋转任意角度，观察旋转后白纸上的圆与硬纸板上的圆，你发现了什么？
[发现知识]圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合，特别地，圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
[注意]能够重合的两个圆叫做相等的圆，或等圆。
[问题探究二]在白纸的圆上面任意画一条直径，把白纸沿着这条直径所在的直线折叠观察圆的两部分，你发现了什么？
[发现知识]圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是对称轴。
3．垂径定理
[议一议]如图3-1-1，在⊙O中，直径CD与弦AB垂直，垂足为M，AM与BM相等吗？为什么？
[点拔]连接OA、OB得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是Rt△，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．
图3-1-1 图3-1-2
[归纳]垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦。
[讨论交流]你能用垂径定理说明圆的任意一条直径所在的直线是它的对称轴吗？
[点拔]如图3-1-2，CD是⊙O的任意一条直径，A是⊙O上任意一点，过A作CD的垂线，与⊙O交于点M，于是点A与点B关于直线CD对称，因此，⊙O关于直线CD对称。
（三）应用迁移 巩固提高
类型之一 圆的有关概念
例1．下列说法错误的是 （ ）
A．圆上的点到圆心的距离相等 B、过圆心的线段是直径
C．直径是圆中最长的径 D．半径相等的圆是等圆
类型之二 垂径定理的应用
例2． 如图3-1-3，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
[分析]连结OA，构成Rt△OAC，此直角三角形是常用三角形，
垂径定理常与勾股定理结合应用，弦长a ,半径r，圆心到弦
的距离d三者之间有关系：。
解：连结OA，因为OC⊥AB于C，AB=8cm， 所以AC=AB=4 cm。在Rt△OAC中，OA===5（cm），即⊙O的半径为5cm。
变式题1：如图3-1-4，⊙O的半径是5cm，弦AB∥CD，且AB，
CD在圆心O的两侧，若AB=6cm，CD=8cm，求弦AB和CD之间的距离。
解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F
因为AB∥CD所以OE⊥CD，因此EF为AB、CD的距离。
连结OA、OC，OE===4，OF===3，
所以EF=OE+OF=4+3=7（cm）
变式题2：如图3-1-5，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：AC=BD
证明：作OE⊥AB于E，由垂径定理得AB=BE，CE=DE，
∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD
（四）总结反思 拓展升华
[总结]本课时学习了圆的两个定义及有关概念，探究了圆的对称轴，即圆的旋转对称图形，又是轴对称图形，研究了圆的一条重要性质：垂径定理，垂径定理在今后的学习中有广泛的应用，它经常与勾股定理结合使用。
[反思]1、你能叙述圆及弦、半径、直径的定义吗？
2、你能说出圆的两种性及垂径定理吗？
3、你知道运用垂径定理解题常用辅助线的添加方法吗？
[拓展]在⊙O中，弦AB=10cm，P是弦AB上一点，且PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半径。
作业
P69-A组-1，2题
板书设计
后记
A
B
O
C
B
A
C
D
O
E
F
A
B
C
D
E
O
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3.1.1 圆的对称性
第1课时 课型：新授 时间：
教学目标
[知识与技能]
1．理解圆、圆心和半径、弦、直径的含义．
2．掌握圆的两种对称性质．
3．理解垂径定理是圆的对称性的体现，掌握垂径定理．
[过程与方法]在探索圆的对称性以及直径垂直于弦的性质中，培养学生观察、比较、归纳、概括的能力．
[情感、态度与价值观] 通过对圆的进一步认识，加深学生对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情。
教学重点难点
重点：（1）理解圆的有关概念。
（2）利用圆的对称性引出两个定理。
难点： 垂径定理证明的严谨性。
教学方法：自主探索 合作交流
教 具：硬纸片，圆规，白纸，挂图
教学设计：
（1） 创设情境 导入新课
导语一 观察教材本章主题图，你能说出车轮、转盘的特征吗？它们与链条之间有怎样的关系呢？本章要研究的是圆的性质，直线与圆、圆与圆的位置关系。
导语二 我国战国时期《墨经》一书给圆下了一个定义：圆，一中同长也，你能说出这句话的意思吗？
（2） 合作交流 解读探究
1．圆的基本概念
[自主探索] 让学生阅读教材，理解如下概念，
（1）圆：到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形，定点即圆心，定长即半径。圆也可以看成是一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形。
（2）弦与直径，连结圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径。
[说一说] 判断下列说法是否正确。
（1）直径是弦，半径也是弦。 （ ）
（2）直径是弦，但弦不一定是直径。 （ ）
（3）圆中最长的弦是直径。 （ ）
（4）P是圆O上一点，过点P只可以作一条等于半径的弦。（ ）
2．圆的对称性
[问题探究一]用一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆，它们的半径相等，把白纸放在硬纸板上面，使两个圆的圆心重合，用一根大头针穿过这两个圆的圆心，让硬纸板保持不动，让白纸绕圆心旋转任意角度，观察旋转后白纸上的圆与硬纸板上的圆，你发现了什么？
[发现知识]圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合，特别地，圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
[注意]能够重合的两个圆叫做相等的圆，或等圆。
[问题探究二]在白纸的圆上面任意画一条直径，把白纸沿着这条直径所在的直线折叠观察圆的两部分，你发现了什么？
[发现知识]圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是对称轴。
3．垂径定理
[议一议]如图3-1-1，在⊙O中，直径CD与弦AB垂直，垂足为M，AM与BM相等吗？为什么？
[点拔]连接OA、OB得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是Rt△，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．
图3-1-1 图3-1-2
[归纳]垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦。
[讨论交流]你能用垂径定理说明圆的任意一条直径所在的直线是它的对称轴吗？
[点拔]如图3-1-2，CD是⊙O的任意一条直径，A是⊙O上任意一点，过A作CD的垂线，与⊙O交于点M，于是点A与点B关于直线CD对称，因此，⊙O关于直线CD对称。
（三）应用迁移 巩固提高
类型之一 圆的有关概念
例1．下列说法错误的是 （ ）
A．圆上的点到圆心的距离相等 B、过圆心的线段是直径
C．直径是圆中最长的径 D．半径相等的圆是等圆
类型之二 垂径定理的应用
例2． 如图3-1-3，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
[分析]连结OA，构成Rt△OAC，此直角三角形是常用三角形，
垂径定理常与勾股定理结合应用，弦长a ,半径r，圆心到弦
的距离d三者之间有关系：。
解：连结OA，因为OC⊥AB于C，AB=8cm， 所以AC=AB=4 cm。在Rt△OAC中，OA===5（cm），即⊙O的半径为5cm。
变式题1：如图3-1-4，⊙O的半径是5cm，弦AB∥CD，且AB，
CD在圆心O的两侧，若AB=6cm，CD=8cm，求弦AB和CD之间的距离。
解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F
因为AB∥CD所以OE⊥CD，因此EF为AB、CD的距离。
连结OA、OC，OE===4，OF===3，
所以EF=OE+OF=4+3=7（cm）
变式题2：如图3-1-5，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：AC=BD
证明：作OE⊥AB于E，由垂径定理得AB=BE，CE=DE，
∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD
（四）总结反思 拓展升华
[总结]本课时学习了圆的两个定义及有关概念，探究了圆的对称轴，即圆的旋转对称图形，又是轴对称图形，研究了圆的一条重要性质：垂径定理，垂径定理在今后的学习中有广泛的应用，它经常与勾股定理结合使用。
[反思]1、你能叙述圆及弦、半径、直径的定义吗？
2、你能说出圆的两种性及垂径定理吗？
3、你知道运用垂径定理解题常用辅助线的添加方法吗？
[拓展]在⊙O中，弦AB=10cm，P是弦AB上一点，且PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半径。
作业
P69-A组-1，2题
板书设计
后记
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