(共66张PPT)
第一章 直线与圆
§1 直线与直线的方程
1.3 直线的方程
第2课时 直线方程的两点式 直线方程的一般式
学习任务 核心素养
1．掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化．(重点)
2．了解在直角坐标系中平面上的直线与关于x，y的二元一次方程的对应关系．(难点) 1．通过对直线方程形式之间的相互转化，培养逻辑推理素养．
2．借助求直线方程，提升数学运算素养与直观想象素养．
1．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求AB的直线方程？
2．若直线l过A(a，0)，B(0，b)(ab≠0)，如何求直线l的方程？
必备知识·情境导学探新知
1．直线方程的两点式与截距式
两点式 截距式
条件 P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，其中ab≠0
图形
两点式 截距式
方程 _______________ ____________
适用
范围 不表示______坐标轴的直线 不表示______坐标轴的直线及过____的直线
垂直于
垂直于
原点
思考 1．直线的方程一定能用两点式表示吗？
[提示] 当直线与坐标轴垂直时，直线的方程不能用两点式表示．
2．直线方程的一般式
(1)直线与二元一次方程的关系
①在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．
②每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．
(2)直线方程的一般式的定义
我们把关于x，y的二元一次方程_______________________________叫作直线方程的一般式，简称一般式．
Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)
思考 2．在直线方程的一般式Ax＋By＋C＝0中，为什么规定A，B不同时为0
[提示] 当A，B同时为0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的不是直线．
×
√
√
×
√
3．直线l过点(－1，2)和点(2，5)，则直线l的方程为____________．
x－y＋3＝0
4．已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，则这条直线的方程为__________________________．
x＝1或x－(m－1)y－1＝0
关键能力·合作探究释疑难
类型1 直线方程的两点式和截距式
角度1 直线方程的两点式
【例1】 已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在直线的方程．
反思领悟 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．
(2)一般用两点式求直线方程时，由于减法的顺序性，必须注意坐标的对应关系，即x2与y2是同一点坐标，而x1与y1是另一点坐标．
[跟进训练]
1．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝______．
－2
角度2 直线方程的截距式
【例2】 求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．
[跟进训练]
2．过点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．无数条
√
类型2 直线方程的一般式
【例3】 【链接教材P14例13】
设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0．
(1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________；
(2)若直线l的斜率为1，则m＝________．
－2
反思领悟 直线方程的几种形式的转化
类型3 直线方程的综合应用
【例4】 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0．
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．
反思领悟 含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系．若这无穷多条直线过同一个点，则求该点时，将一般式方程变形为点斜式方程，便可求出该点的坐标．
[跟进训练]
4．设直线l的方程为(a＋1)x＋y－a＋2＝0．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求l的直线方程；
(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．在x轴、y轴上截距分别是2，－3的直线的方程为( )
A．3x＋2y＋6＝0 B．3x＋2y＋1＝0
C．3x－2y－6＝0 D．3x－2y＋1＝0
√
3．若方程Ax＋By＋C＝0表示与两条坐标轴都相交的直线，则应满足的条件是_______________．
A≠0且B≠0 [由题意知，直线斜率存在且斜率不为零，所以A≠0且B≠0．]
A≠0且B≠0
4．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0．证明：l经过定点．
[证明] 直线方程变形为(x＋2)k－(y－1)＝0，
当x＝－2，y＝1时方程对任意实数k恒成立，
故直线过定点(－2，1)．
1．截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用截距式直线方程时，首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直．
(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
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9
10
11
12
13
√
14
15
课时分层作业(三) 直线方程的两点式 直线方程的一般式
一、选择题
1．一条直线不垂直于坐标轴，则它的方程( )
A．可以写成两点式或截距式
B．可以写成两点式或斜截式或点斜式
C．可以写成点斜式或截距式
D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
题号
1
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B [由于直线不垂直于坐标轴，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选B．]
题号
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√
2．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和第二、四象限，则( )
A．C＝0，B>0 B．A>0，B>0，C＝0
C．AB<0，C＝0 D．AB>0，C＝0
D [通过直线的斜率和截距进行判断．]
题号
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5．若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为( )
A．1 B．－1
C．－2或1 D．－1或2
√
题号
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二、填空题
6．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为____________．
2x－y＋1＝0 [由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0．]
2x－y＋1＝0
题号
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7．过点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距是________．
题号
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8．过点P(3，－1)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是__________________________．
x＋2y－1＝0或x＋3y＝0
题号
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三、解答题
9．求经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程．
[解] 由题意可知，所求直线的斜率为±1．
又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．
故所求直线的方程为x－y＋1＝0，或x＋y－7＝0．
题号
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10．(源自人教A版教材)已知△ABC的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求边BC所在直线的方程，以及这条边上的中线AM所在直线的方程．
题号
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题号
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11．过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( )
A．2条 B．3条
C．4条 D．无数多条
题号
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12．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2，1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是( )
A．2x＋y＋1＝0
B．2x－y＋1＝0
C．2x＋y－1＝0
D．x＋2y＋1＝0
√
题号
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A [∵点A(2，1)在直线a1x＋b1 y＋1＝0上，
∴2a1＋b1＋1＝0．由此可知点P1(a1，b1)在直线2x＋y＋1＝0上．
∵点A(2，1)在直线a2x＋b2 y＋1＝0上，
∴2a2＋b2＋1＝0．由此可知点P2(a2，b2)也在直线2x＋y＋1＝0上．
∴过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是2x＋y＋1＝0．]
题号
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13．(多选题)若直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足( )
A．ab>0 B．bc<0
C．ab<0 D．bc>0
√
√
题号
2
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14．已知点A(3，0)，B(0，4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy的最大值为________；最小值为________．
3
0
题号
2
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15课时分层作业(三) 直线方程的两点式 直线方程的一般式
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分
一、选择题
1．一条直线不垂直于坐标轴，则它的方程( )
A．可以写成两点式或截距式
B．可以写成两点式或斜截式或点斜式
C．可以写成点斜式或截距式
D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
2．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和第二、四象限，则( )
A．C＝0，B>0 B．A>0，B>0，C＝0
C．AB<0，C＝0 D．AB>0，C＝0
3．过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
4．把直线x－y＋－1＝0绕点(1，)逆时针旋转15°后，所得直线l的方程是( )
A．y＝－x B．y＝x
C．x－y＋2＝0 D．x＋y－2＝0
5．若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为( )
A．1 B．－1
C．－2或1 D．－1或2
二、填空题
6．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________．
7．过点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距是________．
8．过点P(3，－1)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是________．
三、解答题
9．求经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程．
10．(源自人教A版教材)已知△ABC的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求边BC所在直线的方程，以及这条边上的中线AM所在直线的方程．
11．过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( )
A．2条 B．3条
C．4条 D．无数多条
12．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2，1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是( )
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．2x＋y－1＝0 D．x＋2y＋1＝0
13．(多选题)若直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足( )
A．ab>0 B．bc<0
C．ab<0 D．bc>0
14．已知点A(3，0)，B(0，4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy的最大值为________；最小值为________．
15．直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：
(1)△AOB的周长为12；
(2)△AOB的面积为6．
若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第2课时 直线方程的两点式 直线方程的一般式
学习任务 核心素养
1．掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化．(重点) 2．了解在直角坐标系中平面上的直线与关于x，y的二元一次方程的对应关系．(难点) 1．通过对直线方程形式之间的相互转化，培养逻辑推理素养． 2．借助求直线方程，提升数学运算素养与直观想象素养．
1．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求AB的直线方程？
2．若直线l过A(a，0)，B(0，b)(ab≠0)，如何求直线l的方程？
1．直线方程的两点式与截距式
两点式 截距式
条件 P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，其中ab≠0
图形
方程
适用范围 不表示______坐标轴的直线 不表示______坐标轴的直线及过____的直线
1．直线的方程一定能用两点式表示吗？
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2．直线方程的一般式
(1)直线与二元一次方程的关系
①在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．
②每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．
(2)直线方程的一般式的定义
我们把关于x，y的二元一次方程_______________________________叫作直线方程的一般式，简称一般式．
2．在直线方程的一般式Ax＋By＋C＝0中，为什么规定A，B不同时为0
___________________________________________________________________
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1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不经过原点的直线都可以用方程＝1表示． ( )
(2)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)·(y2－y1)表示． ( )
(3)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示． ( )
(4)直线的一般式方程可以转化为斜截式方程． ( )
2．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
3．直线l过点(－1，2)和点(2，5)，则直线l的方程为________．
4．已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，则这条直线的方程为________．
类型1 直线方程的两点式和截距式
直线方程的两点式
【例1】 已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在直线的方程．
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．
(2)一般用两点式求直线方程时，由于减法的顺序性，必须注意坐标的对应关系，即x2与y2是同一点坐标，而x1与y1是另一点坐标．
[跟进训练]
1．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
直线方程的截距式
【例2】 求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．
[尝试解答] ________________________________________________________
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___________________________________________________________________
求解此类问题常用待定系数法，其求解步骤有两步：
(1)根据题中条件设出直线方程，如在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)的直线方程常设为＝1．
(2)根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值．
[跟进训练]
2．过点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．无数条
类型2 直线方程的一般式
【例3】 【链接教材P14例13】
设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0．
(1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________；
(2)若直线l的斜率为1，则m＝________．
直线方程的几种形式的转化
[跟进训练]
3．根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式．
(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；
(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3；
(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
类型3 直线方程的综合应用
【例4】 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0．
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系．若这无穷多条直线过同一个点，则求该点时，将一般式方程变形为点斜式方程，便可求出该点的坐标．
[跟进训练]
4．设直线l的方程为(a＋1)x＋y－a＋2＝0．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求l的直线方程；
(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．在x轴、y轴上截距分别是2，－3的直线的方程为( )
A．3x＋2y＋6＝0 B．3x＋2y＋1＝0
C．3x－2y－6＝0 D．3x－2y＋1＝0
2．(教材P13例11改编)直线＝1，化成一般式方程为( )
A．y＝－x＋4 B．y＝－(x－3)
C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12
3．若方程Ax＋By＋C＝0表示与两条坐标轴都相交的直线，则应满足的条件是________．
4．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0．证明：l经过定点．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用截距式直线方程时，首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直．
(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．
2．直线方程的其他形式都可以化成一般式，一般式也可以化为斜截式．一般式化斜截式的步骤：
(1)移项，By＝－Ax－C；
(2)当B≠0时，得y＝－x－．
3．在一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)中，若A＝0，则y＝－，它表示一条与y轴垂直的直线；若B＝0，则x＝－，它表示一条与x轴垂直的直线．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(三)
1．B [由于直线不垂直于坐标轴，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选B．]
2．D [通过直线的斜率和截距进行判断．]
3．D [由于直线过A(0，3)，B(－2，0)两点，
∴直线在x轴、y轴上的截距分别为－2，3，由截距式可知，方程为＝1．]
4．B [如图，
已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，则直线l的倾斜角α＝45°＋15°＝60°．
∴直线l的斜率k＝tan α＝tan 60°＝，∴直线l的方程为y－(x－1)，即y＝x．]
5．D [根据题意a≠0，由直线l：ax＋y－2－a＝0，令y＝0，得到直线在x轴上的截距是，
令x＝0，得到直线在y轴上的截距是2＋a，
根据题意得＝2＋a，
即a2＋a－2＝0，解得a＝－2或a＝1．
故直线l的斜率为2或－1．]
6．2x－y＋1＝0 [由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0．]
7．－ [直线方程为，即y＝2x＋3，令y＝0，得x＝－，∴在x轴上的截距为－．]
8．x＋2y－1＝0或x＋3y＝0 [设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，当a＝0时，b＝0，此时直线l的方程为 ，所以x＋3y＝0：当a≠0时，a＝2b，此时直线l的方程为＝1，代入(3，－1)，得x＋2y－1＝0．
综上，所求直线l的方程为x＋2y－1＝0或x＋3y＝0．]
9．解：由题意可知，所求直线的斜率为±1．
又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．
故所求直线的方程为x－y＋1＝0，或x＋y－7＝0．
10．解：如图，过B(3，－3)，C(0，2)的直线的两点式方程为
，
整理得5x＋3y－6＝0．
这就是边BC所在直线的方程．
边BC上的中线是顶点A与边BC中点M所连线段，
由中点坐标公式，可得点M的坐标为，
即．
过A(－5，0)，M两点的直线方程为，
整理可得x＋13y＋5＝0．
这就是边BC上中线AM所在直线的方程．
11．B [当截距都为零时满足题意要求，直线为y＝－x：当截距不为零时，设直线方程为＝1，
∴＝1，∴满足条件的直线共有3条．故选B．]
12．A [∵点A(2，1)在直线a1x＋b1y＋1＝0上，
∴2a1＋b1＋1＝0．由此可知点P1(a1，b1)在直线2x＋y＋1＝0上．
∵点A(2，1)在直线a2x＋b2y＋1＝0上，∴2a2＋b2＋1＝0．由此可知点P2(a2，b2)也在直线2x＋y＋1＝0上．
∴过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是2x＋y＋1＝0．]
13．AB [易知直线的斜率存在，则直线方程可化为y＝－，由题意知 所以ab>0，bc<0．]
14．3 0 [线段AB的方程为＝1(0≤x≤3)，所以xy＝4x＋3，所以当x＝时，xy的最大值为3：当x＝0或3时，xy的最小值为0．]
15．解：设直线方程为＝1(a>0，b>0)，
若满足条件(1)，则a＋b＋＝12． ①
又∵直线过点P，∴＝1． ②
由①②可得5a2－32a＋48＝0，
解得
∴所求直线的方程为＝1，
即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0．
若满足条件(2)，则ab＝12， ③
由题意得＝1， ④
由③④整理得a2－6a＋8＝0，
解得
∴所求直线的方程为＝1，
即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0．
综上所述，存在同时满足(1)、(2)两个条件的直线方程，为3x＋4y－12＝0．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第2课时 直线方程的两点式 直线方程的一般式
学习任务 核心素养
1．掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化．(重点) 2．了解在直角坐标系中平面上的直线与关于x，y的二元一次方程的对应关系．(难点) 1．通过对直线方程形式之间的相互转化，培养逻辑推理素养． 2．借助求直线方程，提升数学运算素养与直观想象素养．
1．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求AB的直线方程？
2．若直线l过A(a，0)，B(0，b)(ab≠0)，如何求直线l的方程？
1．直线方程的两点式与截距式
两点式 截距式
条件 P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，其中ab≠0
图形
方程
适用范围 不表示垂直于坐标轴的直线 不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线
1．直线的方程一定能用两点式表示吗？
[提示] 当直线与坐标轴垂直时，直线的方程不能用两点式表示．
2．直线方程的一般式
(1)直线与二元一次方程的关系
①在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．
②每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．
(2)直线方程的一般式的定义
我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)叫作直线方程的一般式，简称一般式．
2．在直线方程的一般式Ax＋By＋C＝0中，为什么规定A，B不同时为0
[提示] 当A，B同时为0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的不是直线．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不经过原点的直线都可以用方程＝1表示． ( )
(2)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)·(y2－y1)表示． ( )
(3)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示． ( )
(4)直线的一般式方程可以转化为斜截式方程． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
C [直线斜率k＝－，所以直线的倾斜角为150°，故选C．]
3．直线l过点(－1，2)和点(2，5)，则直线l的方程为________．
x－y＋3＝0 [由直线的两点式方程可得：＝，整理得x－y＋3＝0．]
4．已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，则这条直线的方程为________．
x＝1或x－(m－1)y－1＝0 [(1)当直线的斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；
(2)当直线的斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0．
综上可得：当m＝1时，直线方程为x＝1；当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0．]
类型1 直线方程的两点式和截距式
直线方程的两点式
【例1】 已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在直线的方程．
[解] A，B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2．
由直线方程的两点式可得，AC的方程为＝，即x－y－3＝0．
同理可由直线方程的两点式得，直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0．
∴三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0．
(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．
(2)一般用两点式求直线方程时，由于减法的顺序性，必须注意坐标的对应关系，即x2与y2是同一点坐标，而x1与y1是另一点坐标．
[跟进训练]
1．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________．
－2 [由直线方程的两点式，得＝，即＝．
∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2．
∵点P(3，m)在直线AB上，
∴m＋1＝－3＋2，得m＝－2．]
直线方程的截距式
【例2】 求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．
[解] 法一：当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0；
当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为＝1，即x－y＝a，
又∵l过点A(5，2)，∴5－2＝a，a＝3，
∴l的方程为x－y－3＝0，
综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0，或x－y－3＝0．
法二：由题意知直线的斜率一定存在．设直线方程的点斜式为y－2＝k(x－5)，
x＝0时，y＝2－5k，y＝0时，x＝5－．
根据题意得2－5k＝－，解方程得k＝或1．
当k＝时，直线方程为y－2＝(x－5)，即2x－5y＝0；
当k＝1时，直线方程为y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0．
综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0．
求解此类问题常用待定系数法，其求解步骤有两步：
(1)根据题中条件设出直线方程，如在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)的直线方程常设为＝1．
(2)根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值．
[跟进训练]
2．过点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．无数条
B [设直线的两截距都是a，则有
①当a＝0时，直线设为y＝kx，将P(2，3)代入，得k＝，∴直线l的方程为3x－2y＝0；
②当a≠0时，直线设为＝1，即x＋y＝a，把P(2，3)代入，得a＝5，∴直线l的方程为x＋y＝5．
综上，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0．]
类型2 直线方程的一般式
【例3】 【链接教材P14例13】
设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0．
(1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________；
(2)若直线l的斜率为1，则m＝________．
(1)－ (2)－2 [(1)令y＝0，则x＝，
∴＝－3，得m＝－或m＝3．
当m＝3时，m2－2m－3＝0，不合题意，舍去．
∴m＝－．
(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠－1且m≠，
直线l化为斜截式方程，得y＝x＋，则＝1，
得m＝－2或m＝－1(舍去)．∴m＝－2．]
【教材原题·P14例13】
例13 已知直线l的方程为mx＋(m－1)y＋1＝0，m∈R．
(1)若直线l在x轴上的截距为－2，求m的值；
(2)若直线l与y轴垂直，求m的值；
(3)若直线l的倾斜角为，求m的值．
[解] (1)由已知，可得直线l与x轴交于点(－2，0)，
所以－2m＋(m－1)·0＋1＝0，解得m＝．
故m的值为．
(2)因为直线l与y轴垂直，所以直线l的斜率为0．
所以直线l的方程可化为斜截式y＝x－．
由＝0，可得m＝0．
故m的值为0．
(3)由(2)可知直线l的斜率为，又倾斜角为，
所以由斜率与倾斜角的关系可得＝tan ，即＝1．
解得m＝．
故m的值为．
直线方程的几种形式的转化
[跟进训练]
3．根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式．
(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；
(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3；
(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．
[解] (1)由点斜式方程，得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0．
(2)由斜截式方程，得y＝2，即y－2＝0．
(3)由截距式方程，得＝1，即2x－y－3＝0．
(4)由两点式方程，得＝，即x＋y－1＝0．
类型3 直线方程的综合应用
【例4】 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0．
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．
[解] (1)证明：法一：将直线方程变形为y＝ax＋，
当a>0时，直线一定经过第一象限；
当a＝0时，y＝，直线显然经过第一象限；
当a<0时，>0，因此直线经过第一象限．
综上可知，不论a为何值时，直线5ax－5y－a＋3＝0一定经过第一象限．
法二：将直线方程变形为y－＝a，它表示经过点A，斜率为a的直线．
∵点A在第一象限，∴直线l必经过第一象限．
(2)如图，直线OA的斜率k＝＝3．
∵直线l不经过第二象限，
∴直线l的斜率k≥3，
∴a≥3，即a的取值范围为{a|a≥3}．
含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系．若这无穷多条直线过同一个点，则求该点时，将一般式方程变形为点斜式方程，便可求出该点的坐标．
[跟进训练]
4．设直线l的方程为(a＋1)x＋y－a＋2＝0．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求l的直线方程；
(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
[解] (1)直线l的方程(a＋1)x＋y－a＋2＝0，
可化为y＝(－a－1)x＋a－2．
当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为0，
∴a－2＝0，∴a＝2，此时直线方程为3x＋y＝0；
当直线不过原点时，a≠2，由＝a－2，得a＝0，
∴直线方程为x＋y＋2＝0．
故所求的直线方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0．
(2)直线l的方程为y＝－(a＋1)x＋a－2，欲使直线l不经过第二象限，
则
解得a≤－1．
故所求实数a的取值范围为(－∞，－1]．
1．在x轴、y轴上截距分别是2，－3的直线的方程为( )
A．3x＋2y＋6＝0 B．3x＋2y＋1＝0
C．3x－2y－6＝0 D．3x－2y＋1＝0
C [由题意可得，直线的截距式方程为＝1，即3x－2y－6＝0．]
2．(教材P13例11改编)直线＝1，化成一般式方程为( )
A．y＝－x＋4 B．y＝－(x－3)
C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12
C [直线＝1化成一般式方程为4x＋3y－12＝0．]
3．若方程Ax＋By＋C＝0表示与两条坐标轴都相交的直线，则应满足的条件是________．
A≠0且B≠0 [由题意知，直线斜率存在且斜率不为零，所以A≠0且B≠0．]
4．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0．证明：l经过定点．
[证明] 直线方程变形为(x＋2)k－(y－1)＝0，
当x＝－2，y＝1时方程对任意实数k恒成立，
故直线过定点(－2，1)．
1．截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用截距式直线方程时，首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直．
(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．
2．直线方程的其他形式都可以化成一般式，一般式也可以化为斜截式．一般式化斜截式的步骤：
(1)移项，By＝－Ax－C；
(2)当B≠0时，得y＝－x－．
3．在一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)中，若A＝0，则y＝－，它表示一条与y轴垂直的直线；若B＝0，则x＝－，它表示一条与x轴垂直的直线．
课时分层作业(三) 直线方程的两点式 直线方程的一般式
一、选择题
1．一条直线不垂直于坐标轴，则它的方程( )
A．可以写成两点式或截距式
B．可以写成两点式或斜截式或点斜式
C．可以写成点斜式或截距式
D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
B [由于直线不垂直于坐标轴，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选B．]
2．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和第二、四象限，则( )
A．C＝0，B>0 B．A>0，B>0，C＝0
C．AB<0，C＝0 D．AB>0，C＝0
D [通过直线的斜率和截距进行判断．]
3．过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
D [由于直线过A(0，3)，B(－2，0)两点，
∴直线在x轴、y轴上的截距分别为－2，3，由截距式可知，方程为＝1．]
4．把直线x－y＋－1＝0绕点(1，)逆时针旋转15°后，所得直线l的方程是( )
A．y＝－x B．y＝x
C．x－y＋2＝0 D．x＋y－2＝0
B [如图，已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，则直线l的倾斜角α＝45°＋15°＝60°．
∴直线l的斜率k＝tan α＝tan 60°＝，∴直线l的方程为y－＝(x－1)，即y＝x．]
5．若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为( )
A．1 B．－1
C．－2或1 D．－1或2
D [根据题意a≠0，由直线l：ax＋y－2－a＝0，令y＝0，得到直线在x轴上的截距是，
令x＝0，得到直线在y轴上的截距是2＋a，
根据题意得＝2＋a，
即a2＋a－2＝0，解得a＝－2或a＝1．
故直线l的斜率为2或－1．]
二、填空题
6．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________．
2x－y＋1＝0 [由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0．]
7．过点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距是________．
－ [直线方程为＝，即y＝2x＋3，令y＝0，得x＝－，∴在x轴上的截距为－．]
8．过点P(3，－1)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是________．
x＋2y－1＝0或x＋3y＝0 [设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，当a＝0时，b＝0，此时直线l的方程为 ＝，所以x＋3y＝0；当a≠0时，a＝2b，此时直线l的方程为＝1，代入(3，－1)，得x＋2y－1＝0．
综上，所求直线l的方程为x＋2y－1＝0或x＋3y＝0．]
三、解答题
9．求经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程．
[解] 由题意可知，所求直线的斜率为±1．
又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．
故所求直线的方程为x－y＋1＝0，或x＋y－7＝0．
10．(源自人教A版教材)已知△ABC的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求边BC所在直线的方程，以及这条边上的中线AM所在直线的方程．
[解] 如图，过B(3，－3)，C(0，2)的直线的两点式方程为＝，
整理得5x＋3y－6＝0．
这就是边BC所在直线的方程．
边BC上的中线是顶点A与边BC中点M所连线段，
由中点坐标公式，可得点M的坐标为，
即．
过A(－5，0)，M两点的直线方程为＝，
整理可得x＋13y＋5＝0．
这就是边BC上中线AM所在直线的方程．
11．过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( )
A．2条 B．3条
C．4条 D．无数多条
B [当截距都为零时满足题意要求，直线为y＝－x；当截距不为零时，设直线方程为＝1，
∴∴或即直线方程为＝1或＝1，∴满足条件的直线共有3条．故选B．]
12．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2，1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是( )
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．2x＋y－1＝0 D．x＋2y＋1＝0
A [∵点A(2，1)在直线a1x＋b1y＋1＝0上，
∴2a1＋b1＋1＝0．由此可知点P1(a1，b1)在直线2x＋y＋1＝0上．
∵点A(2，1)在直线a2x＋b2y＋1＝0上，
∴2a2＋b2＋1＝0．由此可知点P2(a2，b2)也在直线2x＋y＋1＝0上．
∴过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是2x＋y＋1＝0．]
13．(多选题)若直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足( )
A．ab>0 B．bc<0
C．ab<0 D．bc>0
AB [易知直线的斜率存在，则直线方程可化为y＝－x－，由题意知 所以ab>0，bc<0．]
14．已知点A(3，0)，B(0，4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy的最大值为________；最小值为________．
3 0 [线段AB的方程为＝1(0≤x≤3)，所以xy＝4x＝－＋3，所以当x＝时，xy的最大值为3；当x＝0或3时，xy的最小值为0．]
15．直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：
(1)△AOB的周长为12；
(2)△AOB的面积为6．
若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
[解] 设直线方程为＝1(a>0，b>0)，
若满足条件(1)，则a＋b＋＝12． ①
又∵直线过点P，
∴＝1． ②
由①②可得5a2－32a＋48＝0，
解得或
∴所求直线的方程为＝1或＝1，
即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0．
若满足条件(2)，则ab＝12， ③
由题意得＝1， ④
由③④整理得a2－6a＋8＝0，
解得或
∴所求直线的方程为＝1或＝1，
即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0．
综上所述，存在同时满足(1)、(2)两个条件的直线方程，为3x＋4y－12＝0．
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