四川省绵阳市安州区2025年中考模数学试题
1．（2025·安州模拟）的倒数的是（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2025·安州模拟）下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·安州模拟）九绵高速是四川省唯一的一条全国绿色公路建设典型示范工程项目，全长，起于九寨沟县郭元乡，止于绵阳市游仙区张家坪，该高速公路2025年将全线通车，其总投资约41000000000元，将41000000000用科学记数法表示应是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2025·安州模拟）下面的图象是我国几所大学的校徽，其中校徽中的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·安州模拟）若将分式中的m和n都变为原来的2倍，则分式的值（ ）．
A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍
C．变为原来的 D．不变
6．（2025·安州模拟）如图，是的直径，，D是圆周上直径左侧的点，则应是（ ）．
A． B． C． D．
7．（2025·安州模拟）下列各式中，运算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
8．（2025·安州模拟）关于抛物线，下列说法中正确的是（ ）．
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．与x轴无交点 D．函数的最大值是3
9．（2025·安州模拟）一家游泳馆的游泳收费标准为50元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
会员年卡类型 办卡费用/元 每次游泳收费/元
A类 300 40
B类 500 35
C类 800 30
例如，购买A类会员卡，一年内游泳40次，消费元，小明非常喜欢游泳运动，他每年游泳的次数介于50～55次之间，则他到该游泳馆办卡最划算的方式应是（ ）．
A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡
C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡
10．（2025·安州模拟）令，则下列关于m的估值范围正确的是（ ）．
A． B． C． D．
11．（2025·安州模拟）如图，在菱形中，，，分别以点A，B，C，D为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
12．（2025·安州模拟）如图，在矩形中，，点E在上，且，连接，将矩形沿直线翻折，点D恰好落在上的点F处，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
13．（2025·安州模拟）因式分解： ．
14．（2025·安州模拟）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=43°，则∠2的度数为 ．
15．（2025·安州模拟）一个不透明的袋子中有个白球．个黄球和个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同，则从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率为 ．
16．（2025·安州模拟）如图，小刚准备运用锐角三角函数的相关知识测量电线杆的高度，他将测角仪放在与电线杆的水平距离为的处．若测角仪的高度为，在处测得电线杆顶端的仰角为，则电线杆的高度约为 （计算结果精确到0.1m，参考数据：，，）．
17．（2025·安州模拟）如图，反比例函数的图象经过B，C两点．A为y轴正半轴上的点，轴，四边形为菱形，，与y轴交于点H，若点C的横坐标为2，则点B的坐标为 ．
18．（2025·安州模拟）如图，平分，C为射线上的点，，F为线段上的点，，延长与交于点B，延长与交于点E，连接．若，，则的长是 ．
19．（2025·安州模拟）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
20．（2025·安州模拟）某科研小组计划对某一品种的西瓜采用两种种植技术种植．在选择种植技术时，该科研小组主要关心的问题是：西瓜的产量和产量的稳定性以及西瓜的优等品率．为了解这两种种植技术种出的西瓜的质量情况，科研小组在两块自然条件相同的试验田进行对比试验，并从这两块试验田中各随机抽取20个西瓜，分别称重后，将称重的结果记录如下：
表1 甲种种植技术种出的西瓜质量统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
西瓜质量 3.5 4.8 5.4 4.9 4.2 5.0 4.9 4.8 5.8 4.8
编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
西瓜质量 5.0 4.8 5.2 4.9 5.1 5.0 4.8 6.0 5.7 5.0
表2 乙种种植技术种出的西瓜质量统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
西瓜质量 4.4 4.9 4.8 4.1 5.2 5.1 5.0 4.5 4.7 4.9
编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
西瓜质量 5.4 5.5 4.0 5.3 4.8 5.6 5.2 5.7 5.0 5.3
根据以上信息，解答下列问题：
（1）若将质量为的西瓜记为优等品，完成下表：
平均数 方差 优等品西瓜个数
甲种种植技术种出的西瓜质量 4.98 0.27
乙种种植技术种出的西瓜质量 0.21 15
（2）根据以上数据，你认为该科研小组应选择哪种种植技术？请说明理由．
21．（2025·安州模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且为线段的中点．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）如图，连接，求的值．
22．（2025·安州模拟）临近春节，各种水果深受消费者青睐，销量逐渐攀升，下表是某水果店所销售的国产车厘子与智利车厘子两种商品的相关信息．
商品 智利车厘子 国产车厘子
成本 40元/kg 35元/kg
售价 60元/kg 50元/kg
（1）已知该水果店某天销售这两种车厘子共122kg，销售额为6600元，求该水果店当天销售这两种车厘子的利润共多少元．
（2）根据销售经验，该水果店春节期间还能再销售上表中两种车厘子共2000kg，其中，智利车厘子的销售量不低于600kg．设这期间销售智利车厘子x kg，销售这两种车厘子获得的总利润为w元，求出w与x之间的函数关系，并求出这段时间，该水果店销售这两种车厘子至少获得的总利润是多少元．
23．（2025·安州模拟）如图，在等腰三角形中，，以AB为直径作，与，分别交于点D，E，过点E作的切线，与交于点M，与的延长线交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
24．（2025·安州模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，其中点的坐标为，抛物线与y轴交于点，，与抛物线交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，为第一象限内抛物线上的点，过点作，垂足为，将沿翻折得到，当点在轴上时，求点的坐标；
（3）如图②，连接，为轴正半轴上的点，若，求直线的解析式．
25．（2025·安州模拟）如图，在矩形中，，，连接．若点由点出发以每秒个单位长度的速度沿边向点移动，秒后点也由点出发以每秒个单位长度的速度沿向点移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点的移动时间为秒．
（1）当点在边上（含端点）时，求的取值范围；
（2）当时，求的值；
（3）如图②，当时，过点作，与交于点，在射线上有一动点，连接，当时，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵，
∴的倒数是，
故答案为：C．
【分析】乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义求解即可得．
2．【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系；图形的旋转
【解析】【解答】解：∵图中的几何体是圆锥和圆台的组合体，
故可以有三角形和梯形旋转得到，
故答案为：A.
【分析】根据面动成体的原理即可解答.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将用科学记数法表示应是，
故答案为：D．
【分析】大于10的数用科学记数法表示为的形式，其中，为整数，n等于原数字的整数位数减1.
4．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形的定义：一个图形沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，逐项进行判断即可.
5．【答案】A
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：，
故 m和n都变为原来的2倍时，分式的值变为原来的2倍，
故答案为：A．
【分析】将m和n替换为和，重新计算分式的值，比较即可得解。
6．【答案】B
【知识点】圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】
解：连接，如图，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴∠ABC=90°－∠BAC=64°.
.
故答案为：B．
【分析】连接，根据圆周角定理得，利用直角三角形的性质得∠ABC的度数，再次利用圆周角定理得，即可得到答案．
7．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；负整数指数幂；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原算式计算错误，故选项A不符合题意；
B、，原算式计算错误，故选项B不符合题意；
C、，原算式计算正确，故选项C符合题意；
D、，原算式计算错误，故选项D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则，积的乘方和幂的乘方以及负整数指数幂的运算法则进行计算并判断即可．
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：A．在抛物线中，，所以该抛物线开口向下，
故选项A错误，不符合题意；
B．在抛物线中，对称轴是直线，而不是直线，
故选项B错误，不符合题意；
C．令，即，解得，所以抛物线与轴有两个交点，
故选项C错误，不符合题意；
D．抛物线中，，故抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为y=，
故选项D正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的性质直接逐个判断即可得到答案．
9．【答案】B
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：设一年内游泳次数x次，总费用为y元，
则，，，，
当时，
，，，，
∴同等次数下，购买B类会员年卡最划算，
故答案为：B．
【分析】设一年内游泳次数x次，总费用为y元，根据各类会员卡的收费标准求出y的范围，比较即可得答案．
10．【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，即，
∴，即，
故答案为：C．
【分析】先化简计算出，再估算出，即可得解．
11．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：令交于，如图所示，
，
∵在菱形中，，，
∴，，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴菱形的面积为：.
∵分别以点A，B，C，D为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，
∴菱形中空白部分的面积为：
∴，
故答案为：A．
【分析】令交于，由菱形的性质可得，，，，证明为等边三角形，得出，，求出；由菱形面积公式可得菱形面积，再由扇形面积公式可得空白部分的面积，相减即可得到阴影部分的面积.
12．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；求正弦值
【解析】【解答】解：∵在矩形中，，
∴，，，
∴
由折叠得，，，，
∴，
∴.
设，则，
∵
∴，即
∴
∴
∴.
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】先根据矩形的性质得到，，，再由平行线的性质和折叠的性质可证得.设，则，勾股定理求出，可得，再证明，然后利用，代数求解即可．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先提公因式再利用十字相乘进行因式分解即可．
14．【答案】133°
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∵直尺的两边互相平行，
∴，
故答案为：133°．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出的度数，然后由邻补角定义求出的度数，最后根据两直线平行，同位角相等即可求出的度数.
15．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意可得：袋子中有个白球，个黄球和个红球，共个，随机摸出一个球，每个球被摸到的可能性相同，
∴从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率为．
故答案为： ．
【分析】根据概率的计算公式，求出符合条件的情况数与全部情况数的比值，即可求解．
16．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：作于点，如图，
四边形是矩形，
，，，
在Rt△ADE中，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】作于点，推出四边形是矩形，得到，，，继而得到，求出，得到，即可得到答案．
17．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：作交于，如图，
，
则，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴，
设，则，BE=3x.
∵轴，
∴DC//AB//x轴，AB⊥y轴，
∴，
∴四边形为矩形，
∵点C的横坐标为2，
∴，
∴，
∵AB=BC，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∴，，
把点C和B的坐标代入 ，
可得：，
∴，
∴点B的坐标为，
故答案为：．
【分析】作交于，则，由菱形的性质可得，，，从而得出，设，则，，证明四边形为矩形可得，进而可根据AB=BC求出，，设，则，表示出点B和点C的坐标，并代入反比例函数得到关于y的方程，求解得y轴，即可确定答案．
18．【答案】
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由角平分线的定义可得，结合等边对等角得出，由三角形内角和定理可得，，从而得出，由三角形外角的定义及性质可得；证明，求出，再证明，求出，利用SAS证明△COF≌△DOE，得出，，再证明，求出，即可得解．
19．【答案】解：（1）
（2）
，
当时，原式．
【知识点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先计算负指数幂，代入特殊三角函数的值，化简绝对值，再进行二次根式的混合运算即可．
（2）先计算括号里面的异分母分式减法，再把括号外面的除法转化成乘法计算，最后约分计算，把代入化简后的式子计算即可．
20．【答案】（1）解：观察得：甲种种植技术种出的优等品西瓜个数为15；
乙种种植技术种出的西瓜质量的平均数为；
故乙种种植技术种出的西瓜质量的平均数为4.97
（2）解：科研小组应选择乙种种植技术，理由如下：
在试验田中，两种种植技术种出的西瓜优等品率均为，故平均产量相差不大；
乙种种植技术种出的西瓜质量方差更小，更稳定，大小更均匀；
故科研小组应选择乙种种植技术．
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】（1）根据题意并结合平均数的定义计算即可得解；
（2）根据方差判断即可得解．
（1）解：由题意可得：甲种种植技术种出的优等品西瓜个数为15，
乙种种植技术种出的西瓜质量的平均数为；
（2）解：科研小组应选择乙种种植技术，理由如下：
在试验田中，两种种植技术种出的西瓜优等品率均为，平均产量相差不大，乙种种植技术种出的西瓜质量方差更小，更稳定，大小更均匀，科研小组应选择乙种种植技术．
21．【答案】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，；故A(0，﹣1)；
当时，，解得：；故C(1，0)；
设．
∵为线段的中点，
∴，
解得，
即．
又点在函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：如图，过点作轴于点H，过点O作OD⊥AB于点D，如图所示：
∵点，
∴OH=2，BH=1，
∴.
∵OD⊥AB，
∴∠ODC=∠COA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=45°=∠COD，
∴.
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）先求出一次函数与坐标轴的交点得出，，设，根据中点坐标的公式，列出方程组，求得点的坐标，再代入反比例函数，即可确定解析式；
（2）过点作轴于点H，过点O作OD⊥AB于点D，先利用勾股定理求出OB的长，再证明∠OCA=∠OAC=45°=∠COD，可得OD的长，再利用正弦函数的公式计算 即可.
（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，；
当时，，解得：；
∴，．
设．
∵为线段的中点，
∴，
解得，
即．
又点在函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：如图，过点作轴，垂足为，过点作，垂足为．
∵点，
∴．
在中，．
∵，，，
∴，
∴．
∵，，，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：设智利车厘子销售m kg，国产车厘子销售n kg．由题意，得
，
解得，
∴利润为（元）．
答：该水果店当天销售这两种车厘子的利润为2080元．
（2）解：已知销售智利车厘子x kg，则销售国产车厘子，由题意得：
∴总利润，
∵一次项系数，
∴w随x的增大而增大，
由题意得：600≤x≤2000，
∴当时，利润最小，最小值利润为（元），
答：该水果店销售这两种车厘子至少获得的总利润是33000元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设智利车厘子销售m kg，国产车厘子销售n kg，根据题意得等量关系“智利车厘子的销售量+国产车厘子的销售量＝122”，“智利车厘子的销售额+国产车厘子的销售额＝6600”，据列出二元一次方程组，求解即可；
（2）根据题意以及数量关系“总利润=智利车厘子的销售利润+国产车厘子的销售利润”列出一次函数，结合一次函数的性质即可求解．
（1）解：设智利车厘子销售m kg，国产车厘子销售n kg．
由题意，得，
解得，
∴利润为（元）．
答：该水果店当天销售这两种车厘子的利润为2080元．
（2）解：已知销售智利车厘子x kg，则销售国产车厘子，
∴总利润，
∵，
∴w随x的增大而增大，
∵智利车厘子的销售量不低于600kg
∴当时，利润最小，最小值利润为（元），
答：该水果店销售这两种车厘子至少获得的总利润是33000元．
23．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
∵与相切，点E为切点，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
（2）解：连接，，，如图所示：
∵为的直径，
∴，
∴，．
∵，可设OE=3x，OF=5x，
∴.
∵，，
∴．
∵∠AEB=∠OEF=90°，即∠AEO+∠OEB=∠OEB+∠BEF，
∴∠AEO=∠BEF，
又∵OA=OE，
∴∠OAE=∠EAO=∠BEF，
又∵∠F=∠F，
∴△EBF∽△AEF，
∴，
设的半径为r，则，
∴，.
∴，
又∵AB=2r=6x，
∴.
∵．
∴∠ABD=∠F.
∵∠ADB=∠OEF=90°，
∴△ADB∽△OEF，
∴，即.
∴．
【知识点】勾股定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得，再结合等腰三角形的性质得，即可证明；
（2）由圆周角定理可得，．由，可设OE=3x，则OF=5x，EF=4x；由等腰三角形“三线合一”性质可得．证明△EBF∽△AEF，利用相似三角形性质可得，设的半径为r，可得，，继而可利用勾股定理求得AB的长.再利用AB=2r，可求得x的值；最后证明△ADB∽△OEF，可得，代入数据即可确定AD的长.
（1）证明：如图①，连接，
∵与相切，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴．
（2）解：如图②，连接，，．
∵为的直径，
∴，
即，．
又，
∴．
设的半径为r．
在中，，，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∵E是的中点，，
∴是的中位线，
∴．
在中，，得，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得或（舍去），
∴．
24．【答案】（1）解：∵抛物线过点和，
代入可得：，
∴，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：延长EP交x轴于点H，如图所示：
令，可得
解得：，，
∴．
设点，则，
∵点，，，
∴点坐标为，
∴，.
∵CD//AB，PE⊥CD，
∴PE⊥x轴，
∴∠COF=∠PHF=90°，H(m，0).
∴OH=m.
根据翻折的性质可得，
∴∠CFP=∠AEP=90°，CF=CE=m，，
∴∠OCF+∠OFC=∠OFC+∠PFH，
∴∠OCF=∠PFH，
∴∴，
∴．即，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴，
整理得：，
解得：．
∵，
∴，
∴点的坐标为．
（3）解：由（2）得：，
∴OB=4.
令，可得解得：，，
∴．
∴OC=CD=3，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴∠CDO=∠COD=45°.
∴∠DOB=∠COK－∠COD=45°=∠COD，
∵， OD=OD，
∴，
∴OC=OB=4.
∴．
设直线的解析式为．
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）延长EP交x轴于点H，求得点B的坐标，设点，可得，于是可表示出PE和CE的长，由翻折的性质可得∠CFP=∠AEP=90°，CF=CE=m，，于是可证明，利用三角形的相似可得，代入数值可得，．再根据勾股定理以及可得，即可得点E的坐标．
（3）由点B的坐标得OB=4；求得，于是可证明△OCD是等腰直角三角形，进而可得∠DOB=∠COD=45°，利用ASA证明，利用全等三角形的性质可得OC=OB=4，故，再利用待定系数法求一次函数解析式即可．
（1）解：∵抛物线过点，
∴．
将代入，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：根据翻折的性质可得，如图③，过点作，垂足为．
令，可得
解得：，，
∴．
设点，，
又∵点，，
∴点坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴．
在中，，
∴，
∴，
整理可得：，
解得：．
∵，
∴，
∴点的坐标为．
（3）解：令，可得
解得：，，
∴．
如图④，过点作，垂足为．
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
即．
设直线的解析式为．
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为．
25．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，DC=AB=4，∠DAB=∠ABC=90°，
∵秒后点开始由点出发以每秒个单位长度的速度沿向点移动，∴动点的移动路程是，
当点在上时，则有，
解得：；
故点在边上（含端点）时，；
（2）解：当点在上时，，如图③，
则，
若，
则∠AQP+∠QAC=∠QAC+∠CAB，
∴∠AQP=∠CAB，
∴，
∴，
即，
解得.
∵，
∴此情况不成立；
当点在上时，，如图④，过点作于点H，
则，
∴，
∴，
若，易证，
∴，
即，
解得，
∵，
∴符合题意；
当点在上时，不能与垂直；
综上所述，当时，；
（3）解：当点在上时，，
当时，，
∴，
∴，
解得.
∴当时，，
∴为的中点，
∵，
∴，
∴.
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则A(0，0)，P(2，0)，B(4，0)，D(0，2)，Q(4，1)，E(2，2).
作△PDQ关于直线DQ对称的△FDQ，过点F作FM⊥y轴于点M，作FN⊥x轴于点N，如图所示：
△PDQ≌△FDQ，四边形ANFM是矩形，
∴AM=FN，MF=AN，DF=DP，FQ=PQ.
∴DQ垂直平分PF.
设点F(m，n)，
则点PF的中点在直线DQ上.
设直线DQ的解析式为：y=kx+b，
把点D(0，2)，Q(4，1)的坐标代入可得：，
解得：，
∴，
把代入得：，
整理可得：4n+m=14，①.
再由DP=DF，可得，②，
由①得m=14－4n，代入②，
解得：(舍)，
∴，
设直线DF的解析式为：y=sx+2，
把F点坐标代入可得：，
故
记直线DF与直线EP相较于点G，则，
∴.
∴当时，．
【知识点】四边形-动点问题
【解析】【分析】（）由题意可得动点的移动路程是，即得，解不等式即可求解；
（）分点在上、点在上和点在上三种情况，分别画出图形，确定点t的取值范围，并且利用相似三角形的性质求得时t的值，即可求解；
（）当点Q在BC上时，可得BQ=15－7t，证明△BPQ∽△BAC，利用相似三角形的性质可求的t=2，此时，即为的中点，由平行线等分线段定理得，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，可得A(0，0)，P(2，0)，B(4，0)，D(0，2)，Q(4，1)，E(2，2).作△PDQ关于直线DQ对称的△FDQ，过点F作FM⊥y轴于点M，作FN⊥x轴于点N，可证得
DQ垂直平分PF.设点F(m，n)，可得中点在直线DQ上.先求得直线DQ的解析式为，并把坐标代入解析式，可得4n+m=14①；再由DP=DF可得，②，联立方程组解得F点坐标，并求得直线DF的解析式为，记直线DF与直线EP相较于点G，则，由，可得，即可确定的取值范围．
（1）解：由题意得，动点的移动路程是，
当点在上时，则有，
解得；
（2）解：由题意得，点的移动路程为，点的移动路程为，
当点在上时，则，即时，如图③，
若，则有，
∴，
即，
解得，
∵，
∴此情况不成立；
当点在上时，即，即时，
如图④，过点作，垂足为，
∴，
∴，
若，则有，
∴，
即，
解得，
∵，
∴符合题意；
当点在上时，不能与垂直；
综上所述，当时，；
（3）解：当点在上时，，
当时，，
∴，
∴，
解得，
∴当时，，此时，即为的中点，
∴，
∴，
如图⑤，作点关于直线对称的点，连接交于点，则，
过点作，垂足为，连接交直线交于点，设与相交于点，
当点与点重合时，有，
∴当时，，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，．
1 / 1四川省绵阳市安州区2025年中考模数学试题
1．（2025·安州模拟）的倒数的是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵，
∴的倒数是，
故答案为：C．
【分析】乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义求解即可得．
2．（2025·安州模拟）下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系；图形的旋转
【解析】【解答】解：∵图中的几何体是圆锥和圆台的组合体，
故可以有三角形和梯形旋转得到，
故答案为：A.
【分析】根据面动成体的原理即可解答.
3．（2025·安州模拟）九绵高速是四川省唯一的一条全国绿色公路建设典型示范工程项目，全长，起于九寨沟县郭元乡，止于绵阳市游仙区张家坪，该高速公路2025年将全线通车，其总投资约41000000000元，将41000000000用科学记数法表示应是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将用科学记数法表示应是，
故答案为：D．
【分析】大于10的数用科学记数法表示为的形式，其中，为整数，n等于原数字的整数位数减1.
4．（2025·安州模拟）下面的图象是我国几所大学的校徽，其中校徽中的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形的定义：一个图形沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，逐项进行判断即可.
5．（2025·安州模拟）若将分式中的m和n都变为原来的2倍，则分式的值（ ）．
A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍
C．变为原来的 D．不变
【答案】A
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：，
故 m和n都变为原来的2倍时，分式的值变为原来的2倍，
故答案为：A．
【分析】将m和n替换为和，重新计算分式的值，比较即可得解。
6．（2025·安州模拟）如图，是的直径，，D是圆周上直径左侧的点，则应是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】
解：连接，如图，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴∠ABC=90°－∠BAC=64°.
.
故答案为：B．
【分析】连接，根据圆周角定理得，利用直角三角形的性质得∠ABC的度数，再次利用圆周角定理得，即可得到答案．
7．（2025·安州模拟）下列各式中，运算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；负整数指数幂；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原算式计算错误，故选项A不符合题意；
B、，原算式计算错误，故选项B不符合题意；
C、，原算式计算正确，故选项C符合题意；
D、，原算式计算错误，故选项D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则，积的乘方和幂的乘方以及负整数指数幂的运算法则进行计算并判断即可．
8．（2025·安州模拟）关于抛物线，下列说法中正确的是（ ）．
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．与x轴无交点 D．函数的最大值是3
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：A．在抛物线中，，所以该抛物线开口向下，
故选项A错误，不符合题意；
B．在抛物线中，对称轴是直线，而不是直线，
故选项B错误，不符合题意；
C．令，即，解得，所以抛物线与轴有两个交点，
故选项C错误，不符合题意；
D．抛物线中，，故抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为y=，
故选项D正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的性质直接逐个判断即可得到答案．
9．（2025·安州模拟）一家游泳馆的游泳收费标准为50元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
会员年卡类型 办卡费用/元 每次游泳收费/元
A类 300 40
B类 500 35
C类 800 30
例如，购买A类会员卡，一年内游泳40次，消费元，小明非常喜欢游泳运动，他每年游泳的次数介于50～55次之间，则他到该游泳馆办卡最划算的方式应是（ ）．
A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡
C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡
【答案】B
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：设一年内游泳次数x次，总费用为y元，
则，，，，
当时，
，，，，
∴同等次数下，购买B类会员年卡最划算，
故答案为：B．
【分析】设一年内游泳次数x次，总费用为y元，根据各类会员卡的收费标准求出y的范围，比较即可得答案．
10．（2025·安州模拟）令，则下列关于m的估值范围正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，即，
∴，即，
故答案为：C．
【分析】先化简计算出，再估算出，即可得解．
11．（2025·安州模拟）如图，在菱形中，，，分别以点A，B，C，D为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：令交于，如图所示，
，
∵在菱形中，，，
∴，，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴菱形的面积为：.
∵分别以点A，B，C，D为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，
∴菱形中空白部分的面积为：
∴，
故答案为：A．
【分析】令交于，由菱形的性质可得，，，，证明为等边三角形，得出，，求出；由菱形面积公式可得菱形面积，再由扇形面积公式可得空白部分的面积，相减即可得到阴影部分的面积.
12．（2025·安州模拟）如图，在矩形中，，点E在上，且，连接，将矩形沿直线翻折，点D恰好落在上的点F处，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；求正弦值
【解析】【解答】解：∵在矩形中，，
∴，，，
∴
由折叠得，，，，
∴，
∴.
设，则，
∵
∴，即
∴
∴
∴.
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】先根据矩形的性质得到，，，再由平行线的性质和折叠的性质可证得.设，则，勾股定理求出，可得，再证明，然后利用，代数求解即可．
13．（2025·安州模拟）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先提公因式再利用十字相乘进行因式分解即可．
14．（2025·安州模拟）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=43°，则∠2的度数为 ．
【答案】133°
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∵直尺的两边互相平行，
∴，
故答案为：133°．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出的度数，然后由邻补角定义求出的度数，最后根据两直线平行，同位角相等即可求出的度数.
15．（2025·安州模拟）一个不透明的袋子中有个白球．个黄球和个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同，则从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率为 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意可得：袋子中有个白球，个黄球和个红球，共个，随机摸出一个球，每个球被摸到的可能性相同，
∴从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率为．
故答案为： ．
【分析】根据概率的计算公式，求出符合条件的情况数与全部情况数的比值，即可求解．
16．（2025·安州模拟）如图，小刚准备运用锐角三角函数的相关知识测量电线杆的高度，他将测角仪放在与电线杆的水平距离为的处．若测角仪的高度为，在处测得电线杆顶端的仰角为，则电线杆的高度约为 （计算结果精确到0.1m，参考数据：，，）．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：作于点，如图，
四边形是矩形，
，，，
在Rt△ADE中，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】作于点，推出四边形是矩形，得到，，，继而得到，求出，得到，即可得到答案．
17．（2025·安州模拟）如图，反比例函数的图象经过B，C两点．A为y轴正半轴上的点，轴，四边形为菱形，，与y轴交于点H，若点C的横坐标为2，则点B的坐标为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：作交于，如图，
，
则，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴，
设，则，BE=3x.
∵轴，
∴DC//AB//x轴，AB⊥y轴，
∴，
∴四边形为矩形，
∵点C的横坐标为2，
∴，
∴，
∵AB=BC，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∴，，
把点C和B的坐标代入 ，
可得：，
∴，
∴点B的坐标为，
故答案为：．
【分析】作交于，则，由菱形的性质可得，，，从而得出，设，则，，证明四边形为矩形可得，进而可根据AB=BC求出，，设，则，表示出点B和点C的坐标，并代入反比例函数得到关于y的方程，求解得y轴，即可确定答案．
18．（2025·安州模拟）如图，平分，C为射线上的点，，F为线段上的点，，延长与交于点B，延长与交于点E，连接．若，，则的长是 ．
【答案】
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由角平分线的定义可得，结合等边对等角得出，由三角形内角和定理可得，，从而得出，由三角形外角的定义及性质可得；证明，求出，再证明，求出，利用SAS证明△COF≌△DOE，得出，，再证明，求出，即可得解．
19．（2025·安州模拟）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：（1）
（2）
，
当时，原式．
【知识点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先计算负指数幂，代入特殊三角函数的值，化简绝对值，再进行二次根式的混合运算即可．
（2）先计算括号里面的异分母分式减法，再把括号外面的除法转化成乘法计算，最后约分计算，把代入化简后的式子计算即可．
20．（2025·安州模拟）某科研小组计划对某一品种的西瓜采用两种种植技术种植．在选择种植技术时，该科研小组主要关心的问题是：西瓜的产量和产量的稳定性以及西瓜的优等品率．为了解这两种种植技术种出的西瓜的质量情况，科研小组在两块自然条件相同的试验田进行对比试验，并从这两块试验田中各随机抽取20个西瓜，分别称重后，将称重的结果记录如下：
表1 甲种种植技术种出的西瓜质量统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
西瓜质量 3.5 4.8 5.4 4.9 4.2 5.0 4.9 4.8 5.8 4.8
编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
西瓜质量 5.0 4.8 5.2 4.9 5.1 5.0 4.8 6.0 5.7 5.0
表2 乙种种植技术种出的西瓜质量统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
西瓜质量 4.4 4.9 4.8 4.1 5.2 5.1 5.0 4.5 4.7 4.9
编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
西瓜质量 5.4 5.5 4.0 5.3 4.8 5.6 5.2 5.7 5.0 5.3
根据以上信息，解答下列问题：
（1）若将质量为的西瓜记为优等品，完成下表：
平均数 方差 优等品西瓜个数
甲种种植技术种出的西瓜质量 4.98 0.27
乙种种植技术种出的西瓜质量 0.21 15
（2）根据以上数据，你认为该科研小组应选择哪种种植技术？请说明理由．
【答案】（1）解：观察得：甲种种植技术种出的优等品西瓜个数为15；
乙种种植技术种出的西瓜质量的平均数为；
故乙种种植技术种出的西瓜质量的平均数为4.97
（2）解：科研小组应选择乙种种植技术，理由如下：
在试验田中，两种种植技术种出的西瓜优等品率均为，故平均产量相差不大；
乙种种植技术种出的西瓜质量方差更小，更稳定，大小更均匀；
故科研小组应选择乙种种植技术．
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】（1）根据题意并结合平均数的定义计算即可得解；
（2）根据方差判断即可得解．
（1）解：由题意可得：甲种种植技术种出的优等品西瓜个数为15，
乙种种植技术种出的西瓜质量的平均数为；
（2）解：科研小组应选择乙种种植技术，理由如下：
在试验田中，两种种植技术种出的西瓜优等品率均为，平均产量相差不大，乙种种植技术种出的西瓜质量方差更小，更稳定，大小更均匀，科研小组应选择乙种种植技术．
21．（2025·安州模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且为线段的中点．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）如图，连接，求的值．
【答案】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，；故A(0，﹣1)；
当时，，解得：；故C(1，0)；
设．
∵为线段的中点，
∴，
解得，
即．
又点在函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：如图，过点作轴于点H，过点O作OD⊥AB于点D，如图所示：
∵点，
∴OH=2，BH=1，
∴.
∵OD⊥AB，
∴∠ODC=∠COA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=45°=∠COD，
∴.
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）先求出一次函数与坐标轴的交点得出，，设，根据中点坐标的公式，列出方程组，求得点的坐标，再代入反比例函数，即可确定解析式；
（2）过点作轴于点H，过点O作OD⊥AB于点D，先利用勾股定理求出OB的长，再证明∠OCA=∠OAC=45°=∠COD，可得OD的长，再利用正弦函数的公式计算 即可.
（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，；
当时，，解得：；
∴，．
设．
∵为线段的中点，
∴，
解得，
即．
又点在函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：如图，过点作轴，垂足为，过点作，垂足为．
∵点，
∴．
在中，．
∵，，，
∴，
∴．
∵，，，
∴，
∴．
22．（2025·安州模拟）临近春节，各种水果深受消费者青睐，销量逐渐攀升，下表是某水果店所销售的国产车厘子与智利车厘子两种商品的相关信息．
商品 智利车厘子 国产车厘子
成本 40元/kg 35元/kg
售价 60元/kg 50元/kg
（1）已知该水果店某天销售这两种车厘子共122kg，销售额为6600元，求该水果店当天销售这两种车厘子的利润共多少元．
（2）根据销售经验，该水果店春节期间还能再销售上表中两种车厘子共2000kg，其中，智利车厘子的销售量不低于600kg．设这期间销售智利车厘子x kg，销售这两种车厘子获得的总利润为w元，求出w与x之间的函数关系，并求出这段时间，该水果店销售这两种车厘子至少获得的总利润是多少元．
【答案】（1）解：设智利车厘子销售m kg，国产车厘子销售n kg．由题意，得
，
解得，
∴利润为（元）．
答：该水果店当天销售这两种车厘子的利润为2080元．
（2）解：已知销售智利车厘子x kg，则销售国产车厘子，由题意得：
∴总利润，
∵一次项系数，
∴w随x的增大而增大，
由题意得：600≤x≤2000，
∴当时，利润最小，最小值利润为（元），
答：该水果店销售这两种车厘子至少获得的总利润是33000元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设智利车厘子销售m kg，国产车厘子销售n kg，根据题意得等量关系“智利车厘子的销售量+国产车厘子的销售量＝122”，“智利车厘子的销售额+国产车厘子的销售额＝6600”，据列出二元一次方程组，求解即可；
（2）根据题意以及数量关系“总利润=智利车厘子的销售利润+国产车厘子的销售利润”列出一次函数，结合一次函数的性质即可求解．
（1）解：设智利车厘子销售m kg，国产车厘子销售n kg．
由题意，得，
解得，
∴利润为（元）．
答：该水果店当天销售这两种车厘子的利润为2080元．
（2）解：已知销售智利车厘子x kg，则销售国产车厘子，
∴总利润，
∵，
∴w随x的增大而增大，
∵智利车厘子的销售量不低于600kg
∴当时，利润最小，最小值利润为（元），
答：该水果店销售这两种车厘子至少获得的总利润是33000元．
23．（2025·安州模拟）如图，在等腰三角形中，，以AB为直径作，与，分别交于点D，E，过点E作的切线，与交于点M，与的延长线交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
∵与相切，点E为切点，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
（2）解：连接，，，如图所示：
∵为的直径，
∴，
∴，．
∵，可设OE=3x，OF=5x，
∴.
∵，，
∴．
∵∠AEB=∠OEF=90°，即∠AEO+∠OEB=∠OEB+∠BEF，
∴∠AEO=∠BEF，
又∵OA=OE，
∴∠OAE=∠EAO=∠BEF，
又∵∠F=∠F，
∴△EBF∽△AEF，
∴，
设的半径为r，则，
∴，.
∴，
又∵AB=2r=6x，
∴.
∵．
∴∠ABD=∠F.
∵∠ADB=∠OEF=90°，
∴△ADB∽△OEF，
∴，即.
∴．
【知识点】勾股定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得，再结合等腰三角形的性质得，即可证明；
（2）由圆周角定理可得，．由，可设OE=3x，则OF=5x，EF=4x；由等腰三角形“三线合一”性质可得．证明△EBF∽△AEF，利用相似三角形性质可得，设的半径为r，可得，，继而可利用勾股定理求得AB的长.再利用AB=2r，可求得x的值；最后证明△ADB∽△OEF，可得，代入数据即可确定AD的长.
（1）证明：如图①，连接，
∵与相切，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴．
（2）解：如图②，连接，，．
∵为的直径，
∴，
即，．
又，
∴．
设的半径为r．
在中，，，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∵E是的中点，，
∴是的中位线，
∴．
在中，，得，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得或（舍去），
∴．
24．（2025·安州模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，其中点的坐标为，抛物线与y轴交于点，，与抛物线交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，为第一象限内抛物线上的点，过点作，垂足为，将沿翻折得到，当点在轴上时，求点的坐标；
（3）如图②，连接，为轴正半轴上的点，若，求直线的解析式．
【答案】（1）解：∵抛物线过点和，
代入可得：，
∴，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：延长EP交x轴于点H，如图所示：
令，可得
解得：，，
∴．
设点，则，
∵点，，，
∴点坐标为，
∴，.
∵CD//AB，PE⊥CD，
∴PE⊥x轴，
∴∠COF=∠PHF=90°，H(m，0).
∴OH=m.
根据翻折的性质可得，
∴∠CFP=∠AEP=90°，CF=CE=m，，
∴∠OCF+∠OFC=∠OFC+∠PFH，
∴∠OCF=∠PFH，
∴∴，
∴．即，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴，
整理得：，
解得：．
∵，
∴，
∴点的坐标为．
（3）解：由（2）得：，
∴OB=4.
令，可得解得：，，
∴．
∴OC=CD=3，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴∠CDO=∠COD=45°.
∴∠DOB=∠COK－∠COD=45°=∠COD，
∵， OD=OD，
∴，
∴OC=OB=4.
∴．
设直线的解析式为．
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）延长EP交x轴于点H，求得点B的坐标，设点，可得，于是可表示出PE和CE的长，由翻折的性质可得∠CFP=∠AEP=90°，CF=CE=m，，于是可证明，利用三角形的相似可得，代入数值可得，．再根据勾股定理以及可得，即可得点E的坐标．
（3）由点B的坐标得OB=4；求得，于是可证明△OCD是等腰直角三角形，进而可得∠DOB=∠COD=45°，利用ASA证明，利用全等三角形的性质可得OC=OB=4，故，再利用待定系数法求一次函数解析式即可．
（1）解：∵抛物线过点，
∴．
将代入，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：根据翻折的性质可得，如图③，过点作，垂足为．
令，可得
解得：，，
∴．
设点，，
又∵点，，
∴点坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴．
在中，，
∴，
∴，
整理可得：，
解得：．
∵，
∴，
∴点的坐标为．
（3）解：令，可得
解得：，，
∴．
如图④，过点作，垂足为．
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
即．
设直线的解析式为．
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为．
25．（2025·安州模拟）如图，在矩形中，，，连接．若点由点出发以每秒个单位长度的速度沿边向点移动，秒后点也由点出发以每秒个单位长度的速度沿向点移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点的移动时间为秒．
（1）当点在边上（含端点）时，求的取值范围；
（2）当时，求的值；
（3）如图②，当时，过点作，与交于点，在射线上有一动点，连接，当时，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，DC=AB=4，∠DAB=∠ABC=90°，
∵秒后点开始由点出发以每秒个单位长度的速度沿向点移动，∴动点的移动路程是，
当点在上时，则有，
解得：；
故点在边上（含端点）时，；
（2）解：当点在上时，，如图③，
则，
若，
则∠AQP+∠QAC=∠QAC+∠CAB，
∴∠AQP=∠CAB，
∴，
∴，
即，
解得.
∵，
∴此情况不成立；
当点在上时，，如图④，过点作于点H，
则，
∴，
∴，
若，易证，
∴，
即，
解得，
∵，
∴符合题意；
当点在上时，不能与垂直；
综上所述，当时，；
（3）解：当点在上时，，
当时，，
∴，
∴，
解得.
∴当时，，
∴为的中点，
∵，
∴，
∴.
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则A(0，0)，P(2，0)，B(4，0)，D(0，2)，Q(4，1)，E(2，2).
作△PDQ关于直线DQ对称的△FDQ，过点F作FM⊥y轴于点M，作FN⊥x轴于点N，如图所示：
△PDQ≌△FDQ，四边形ANFM是矩形，
∴AM=FN，MF=AN，DF=DP，FQ=PQ.
∴DQ垂直平分PF.
设点F(m，n)，
则点PF的中点在直线DQ上.
设直线DQ的解析式为：y=kx+b，
把点D(0，2)，Q(4，1)的坐标代入可得：，
解得：，
∴，
把代入得：，
整理可得：4n+m=14，①.
再由DP=DF，可得，②，
由①得m=14－4n，代入②，
解得：(舍)，
∴，
设直线DF的解析式为：y=sx+2，
把F点坐标代入可得：，
故
记直线DF与直线EP相较于点G，则，
∴.
∴当时，．
【知识点】四边形-动点问题
【解析】【分析】（）由题意可得动点的移动路程是，即得，解不等式即可求解；
（）分点在上、点在上和点在上三种情况，分别画出图形，确定点t的取值范围，并且利用相似三角形的性质求得时t的值，即可求解；
（）当点Q在BC上时，可得BQ=15－7t，证明△BPQ∽△BAC，利用相似三角形的性质可求的t=2，此时，即为的中点，由平行线等分线段定理得，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，可得A(0，0)，P(2，0)，B(4，0)，D(0，2)，Q(4，1)，E(2，2).作△PDQ关于直线DQ对称的△FDQ，过点F作FM⊥y轴于点M，作FN⊥x轴于点N，可证得
DQ垂直平分PF.设点F(m，n)，可得中点在直线DQ上.先求得直线DQ的解析式为，并把坐标代入解析式，可得4n+m=14①；再由DP=DF可得，②，联立方程组解得F点坐标，并求得直线DF的解析式为，记直线DF与直线EP相较于点G，则，由，可得，即可确定的取值范围．
（1）解：由题意得，动点的移动路程是，
当点在上时，则有，
解得；
（2）解：由题意得，点的移动路程为，点的移动路程为，
当点在上时，则，即时，如图③，
若，则有，
∴，
即，
解得，
∵，
∴此情况不成立；
当点在上时，即，即时，
如图④，过点作，垂足为，
∴，
∴，
若，则有，
∴，
即，
解得，
∵，
∴符合题意；
当点在上时，不能与垂直；
综上所述，当时，；
（3）解：当点在上时，，
当时，，
∴，
∴，
解得，
∴当时，，此时，即为的中点，
∴，
∴，
如图⑤，作点关于直线对称的点，连接交于点，则，
过点作，垂足为，连接交直线交于点，设与相交于点，
当点与点重合时，有，
∴当时，，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，．
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