广东省中山华侨中学2025年中考二模数学试卷
1．（2025·中山模拟）几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：
气体 氦气（He） 氢气（H） 氮气（N） 氧气（O）
液化温度（℃）
其中液化温度最低的气体是（ ）
A．氦气 B．氢气 C．氮气 D．氧气
【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：，
液化温度最低的气体是氦气．
故答案为：A．
【分析】根据有理数大小的比较法则“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”将液化温度从低到高排序，然后找出最低温度即可．
2．（2025·中山模拟）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】，
，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，然后由两直线平行，内错角相等得的度数.
3．（2025·中山模拟）泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意知，共有种等可能的结果，其中，买中“藕粉哪吒”的结果有种，
买中“藕粉哪吒”的概率为．
故选：A．
【分析】利用概率公式即可求出答案.
4．（2025·中山模拟）一元二次方程的根为（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
即，
解得：，，
故选：C．
【分析】移项，提公因式进行因式分解，再解方程即可求出答案.
5．（2025·中山模拟）如图，点A、B在数轴上表示的数的绝对值相等，且，那么点A表示的数是
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；数形结合
【解析】【解答】解：如图，AB的中点即数轴的原点O，
根据数轴可以得到点A表示的数是，
故答案为：B．
【分析】
根据绝对值的几何意义：点A，B表示的数的绝对值相等，那么AB的中点即为坐标原点，解答即可．
6．（2025·中山模拟）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图
∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，
，
解得：，
故答案为：A．
【分析】根据正弦值定义求解即可。
7．（2025·中山模拟）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，则小蜡烛的像的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【知识点】垂线的概念；相似三角形的应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意可得，，，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：B.
【分析】
根据题意可得，，，，，从而可得，然后利用AA证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，解答即可.
8．（2025·中山模拟）若点，，在二次函数（）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（），
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，
，
故答案为：D．
【分析】
由抛物线解析式可得抛物线开口方向向下可得离对称轴越近所对的函数值越大，即可根据，，三点到对称轴的距离大小关系求解.
9．（2025·中山模拟）如图，点是边延长线上一点，连接、、，与交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；内错角的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：A、∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
即，
若，则有，
∴四边形为平行四边形，故A不符合题意；
B、∵，
∴，
若，则有，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，故B不符合题意；
D、∵，
∴，
若，则在和中，
，
∴，
∴，
又∵
∴四边形为平行四边形，故D不符合题意；
C、由不能证明四边形为平行四边形，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】
根据平行四边形的性质可得，，，，若，由“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”，即可判断A；若，易得，即可证明，由“两组对边分别平行的四边形为平行四边形”可判断B；若，证明，由全等三角形的性质可得，由“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”，可判断D；由不能证明四边形为平行四边形，可判断C；逐一判断即可解答．
10．（2025·中山模拟）定义关于任意正整数的一种新运算：．例如，规定，则，．若规定，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；乘方的相关概念
【解析】【解答】解：∵
由新运算，可知，
则，
∴．
故答案为：D．
【分析】
根据新定义运算先计算，在计算，最后再计算它们的积解答即可．
11．（2025·中山模拟）若，则锐角 .
【答案】60°
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为.
【分析】根据cos60°=即可求解.
12．（2025·中山模拟）如图，在中，垂直平分，延长至点E，，则 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据线段垂直平分线的性质推出，可得到，由三角形的外角性质得到，计算即可解答．
13．（2025·中山模拟）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释：宛田是指扇形形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．那么这块宛田的面积是 平方步．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得：
（平方步）；
故答案为：．
【分析】根据扇形面积计算公式“S=rl”计算即可求解．
14．（2025·中山模拟）如图，已知点为⊙O外一点．尺规作图：
（1）连接，作线段的中点；
（2）以点为圆心，以线段的长为半径作⊙C，与⊙O交于，两点；
（3）作射线，．
不再另外添加辅助线和字母，请根据以上信息写出一个正确结论： ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】圆周角定理；切线的判定；切线长定理
【解析】【解答】解：连接，∵为的直径，
∴，
∵为的半径，
∴直线与相切，
同理，直线与相切，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据切线的判定可得直线，与相切，即可解答．
15．（2025·中山模拟）如图1，点P从的顶点A出发，沿着的方向运动，到达点C后停止．设P点的运动时间为x，的长度为y，图2是y与x的关系图象，其中E点是曲线部分的最低点，则的面积是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：作，如图，
当点到点处时，，即，
当点到点处时最短，，即，
当点到点处时，，即，
在中，，
在中，，
．
故答案为：
【分析】
本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
分析出当点到点处时，，即，当点到点处时最短，，即，当点到点处时，，即，再根据勾股定理分别求出和，即可求出三角形的面积．
16．（2025·中山模拟）解分式方程：
【答案】解：，
去分母，得，
移项，合并，得，
系数化为，得，
当时，，
则不是分式方程的解，
故原方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据解分式方程的步骤：先去分母得，移项合并得，计算可得出答案，最后验根，即可解答．
17．（2025·中山模拟）已知：如图，点D在内部，连接．若．求证：．
【答案】证明：方法一：在△ABD和△ACD中
，
，
；
方法二：延长交于点，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定：
方法一：根据题意和全等三角形的判定SAS可证得，再由全等三角形的性质：对应边相等可知：，最后由等腰三角形的性质：等边对等角即可证得即可证得结论；
方法二：延长交于点，由等腰三角形的性质推论：三线合一定理可知：，再由等腰三角形的性质推论：三线合一定理可知：，最后由等腰三角形的性质：等边对等角即可证得，即可证得结论；
18．（2025·中山模拟）甲公司推出了“”机器人（简称甲款），乙公司推出了“豆包”AI机器人（简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个组进行统计：A组：，B组：，C组：，D组：），下面给出了部分信息：
甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100；
乙款评分数据中C组的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中___________，___________，___________；
（2）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，分别估计对甲、乙两款机器人评价为非常满意（D组：）的用户人数．
【答案】（1）；
；
；
（2）解：∵ （人），（人），∴对甲、乙两款人工智能软件非常满意的用户总人数分别为84人、60人．
【知识点】扇形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：甲款评分的众数为85分，即，
∵份，
把乙款评分按照从低到高排列，处在第10名和第11名的评分为86分，87分，
∴乙款的中位数为，即；
乙款评分中D组份数为份，则，
∴；
【分析】
（1）根据中位数和众数的定义可求出a、b的值；求出乙款中D组的份数，即可求出m的值；
（2）用280乘以样本甲款中D组的人数占比，用300乘以样本乙款中D组的人数占比，即可求出答案．
（1）解：∵甲款评分为85分的有4份，份数最多，
∴甲款评分的众数为85分，即，
∵份，
∴乙款评分在A组和B组的数量之和为8份，
把乙款评分按照从低到高排列，处在第10名和第11名的评分为86分，87分，
∴乙款的中位数为，即；
乙款评分中D组份数为份，则，
∴；
（2）解：∵ （人），（人），
∴对甲、乙两款人工智能软件非常满意的用户总人数分别为84人、60人．
19．（2025·中山模拟）如图（a），在中，．
（1）【实践与操作】在图（a）的基础上，请利用尺规，用2种方法作四边形是菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）【推理与计算】在（1）的条件下，若，，求菱形的面积．
【答案】（1）解；如图所示，四边形即为所要作的菱形
方法一：分别以B、C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，连接，则四边形即为所求；
方法二：作的角平分线，再以B为圆心，的长为半径画弧交的角平分线所在的直线于D，连接，则四边形即为所求；
（2）解：如图，连接交于点，
四边形是菱形，
，，，
，
，
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）方法一：分别以B、C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，连接，则四边形即为所求；
方法二：作的角平分线，再以B为圆心，的长为半径画弧交的角平分线所在的直线于D，连接，则四边形即为所求；
（2）连接交于点，利用菱形的对角线互相垂直平分可求出BC的长，同时可证得AD=2AE，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据菱形面积等于其对角线乘积的一半即可得到答案．
（1）解；如图所示，四边形即为所要作的菱形
方法一：分别以B、C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，连接，则四边形即为所求；
方法二：作的角平分线，再以B为圆心，的长为半径画弧交的角平分线所在的直线于D，连接，则四边形即为所求；
（2）解：如图，连接交于点，
四边形是菱形，
，，，
，
，
．
20．（2025·中山模拟）如图，内接于，，为的直径，过点作直线的垂线，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径，，求的长．
【答案】（1）证明：如下图所示，连接，连接并延长交于点，连接，
，，
是线段的垂直平分线，
，
为的直径，
，
，
，
四边形是矩形，
，
是的切线
（2）解：由可知：四边形是矩形，
，，
设，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
解得：．
∴=
【知识点】矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】连接，连接并延长交于点，连接，可证四边形是矩形，根据矩形的性质可知，再由切线得判定定理即可得结论；
由可知四边形是矩形，可知，，设，根据勾股定理可得：，，利用DE=OB+OH建立等量关系列方程可得：，解方程求出x得值，即可求出的长度．
（1）证明：如下图所示，连接，连接并延长交于点，连接，
，，
是线段的垂直平分线，
，
为的直径，
，
，
，
四边形是矩形，
，
是的切线；
（2）解：由可知四边形是矩形，
，，
设，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
解得：．
21．（2025·中山模拟）随着电动汽车和AI技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应时间分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应时间秒之间，低于人类驾驶员秒的反应时间．
总停车距离（） = 反应距离（） + 制动距离（）：记作为：（：从感知到车停共经过的距离，单位米；：感知、计算的反应时间，单位秒；：刹车前行车速度，单位米/秒；：减速度，单位米/秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如下：
车速（千米/时） 72 108 ┄
停车距离（米） 35 71.25 ┄
（1）请根据素材求：从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式；
（2）请根据素材回答问题：某智能测试汽车以千米/时正在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算，
①请你判断，智能汽车不改变方向情况下，能否在货物前停车？
②当汽车在高速行驶时（千米/时），汽车紧急拐弯的角度可以达到，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？
（参考数据：每个车道的宽度为米）
【答案】（1）解：由题意得，先进行单位转化：72千米/时米/秒；108千米/时米/秒；
经过和
可得，
解得
从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式为；
（2）解：①结论：不能在货物前停车．理由如下： 由题意得，先进行单位转化：64.8千米/时米/秒，
代入函数关系式得：米米，
∴不能在货物前停车．
②避险不成功，理由如下：
智能汽车感知、计算所反应的时间为秒，此时汽车已行进9米，
如图，即，
，
由题意得，，
，
避险不成功．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）根据表格中数据利用待定系数法即可确定函数表达式；
（2）①先将64.8千米/时转换18米/秒，再将=18米/秒代入解析式即可解答；
②先求出汽车感知并计算过程中行进的距离，可得出汽车距离障碍物的距离，此时再解直角三角形计算出汽车避险时水平移动的距离，再与车道宽的一半进行比较即可．
（1）解：由题意得，先进行单位转化：72千米/时米/秒；108千米/时米/秒；
经过和
可得，
解得
从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式为；
（2）①结论：不能在货物前停车．理由如下：
由题意得，先进行单位转化：64.8千米/时米/秒，
代入函数关系式得：米米，
∴不能在货物前停车．
②避险不成功，理由如下：
智能汽车感知、计算所反应的时间为秒，此时汽车已行进9米，
如图，即，
，
由题意得，，
，
避险不成功．
22．（2025·中山模拟）如图，在等腰直角中，为斜边上的中线．
（1）如图1，平分交于E，交于F，若，求的长；
（2）将图1中的绕点D顺时针旋转一定角度得到，如图2，P，Q分别为线段的中点，连接，求证：；
（3）如图3，将绕点A顺时针旋转一定角度到，其中D的对应点是M，C的对应点是N，若B，M，N三点在同一直线上，H为中点，连接，猜想之间的数量关系，请直接写出结果．
【答案】（1）解：如图1，在等腰直角中，为斜边上的中线．
∴
过点F作，
∵平分，
∴
在中，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形斜边的中线，
∴
（2）解：如图2，连接，
∵绕点D顺时针旋转一定角度得到，
∴是等腰直角三角形，
∵是等腰直角三角形，点Q是中点，
∴，
∵点P是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）
【知识点】角平分线的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）．
理由：如图3，在上截取，连接，
∵绕点A顺时针旋转一定角度到，
∴，
∴，
根据三角形的内角和，得，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∵H为中点，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】（1）根据等腰直角三角形得性质可得；再利用角平分线定理求出，再利用等腰直角三角形的性质即可得出，根据直角三角形斜边得中线等于斜边得一半得到，即可解答；
（2）根据旋转得性质得出是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边得中线等于斜边得，进而可推导出，结合角度得和差运算得出，利用SAS判定；根据相似三角形得性质解答即可；
（3）根据旋转得性质得出，即可利用SAS证明，即可得出，进而是直角三角形，再用直角三角形的中线得出，最后等量代换，再进行线段得和差运算即可解答．
（1）如图1，在等腰直角中，为斜边上的中线．
∴
过点F作，
∵平分，
∴
在中，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形斜边的中线，
∴；
（2）如图2，连接，
∵绕点D顺时针旋转一定角度得到，
∴是等腰直角三角形，
∵是等腰直角三角形，点Q是中点，
∴，
∵点P是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）．
理由：如图3，在上截取，连接，
∵绕点A顺时针旋转一定角度到，
∴，
∴，
根据三角形的内角和，得，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∵H为中点，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
23．（2025·中山模拟）如图1，直线：与反比例函数的图象在第一、三象限交于点A，B，与x轴、y轴分别交于点C，D，过点A作轴于点E，F为x轴上一点，直线与直线关于直线对称．
（1）若，，点A的横坐标为3，求反比例函数的解析式．
（2）在（1）的条件下，设抛物线的顶点为点Q，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，过点F作轴交于点G，过点A作于点P，连接．若k为定值，求证：的面积为定值．
【答案】（1）解：当时，直线的解析式为，
∵直线与x轴、y轴分别交于点C，D
∴，，
∴，
∵轴，
∴，
又，
∴．
∴，
∵，点A的横坐标为3，
∴，
∴，
将代入，得，
解得：，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：存在点Q，使最大．
由（1）得，，，，
∵直线与直线关于直线对称，
∴，
∵，
∴抛物线的顶点Q的坐标为，
∴点Q是直线上一点．
把代入得：，
解得：，
∴在直线，
把代入得：，
∴，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴，
作点D关于直线的对称点，连接并延长，交直线于点Q，连接，如图所示：
根据轴对称可知，，
∴，
∴此时最大，
∵直线，
∴点在直线上，且，
∴根据中点坐标可知：点的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
∴直线的解析式为．
联立，
解得，
∴点Q的坐标为．
（3）证明：把代入得：，把代入得：，解得：，
∴，，
∴，，
∵轴，，轴，
∴四边形是矩形，
又直线与直线关于直线对称，
∴．
根据解析（1）可知：，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
即若k为定值，则的面积为定值．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；矩形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）现根据直线与x轴、y轴分别交于点C，D求出，，得出，利用AA证明．得出，根据，点A的横坐标为3，求出，得出，即可解答；
（2）由（1）得，，，，用配方法求顶点Q的坐标为，得出点Q是直线上一点利用勾股定理的逆定理可证明，作点D关于直线的对称点，连接并延长，交直线于点Q，连接，此时最大，求出点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为．联立，求出点Q的坐标为．
（3）求出，，得出，，证明四边形是矩形，得出．根据，得出，即，设，则，根据点A在反比例函数的图象上，得出，根据，即可解答．
（1）解：当时，直线的解析式为，
把代入得，
把代入得，
解得：，
∴，，
∴，
∵轴，
∴，
又，
∴．
∴，
∵，点A的横坐标为3，
∴，
∴，
将代入，得，
解得：，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：存在点Q，使最大．
由（1）得，，，，
∵直线与直线关于直线对称，
∴，
∵，
∴抛物线的顶点Q的坐标为，
∴点Q是直线上一点．
把代入得：，
解得：，
∴在直线，
把代入得：，
∴，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴，
作点D关于直线的对称点，连接并延长，交直线于点Q，连接，如图所示：
根据轴对称可知，，
∴，
∴此时最大，
∵直线，
∴点在直线上，且，
∴根据中点坐标可知：点的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
∴直线的解析式为．
联立，
解得，
∴点Q的坐标为．
（3）证明：把代入得：，
把代入得：，解得：，
∴，，
∴，，
∵轴，，轴，
∴四边形是矩形，
又直线与直线关于直线对称，
∴．
根据解析（1）可知：，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
即若k为定值，则的面积为定值．
1 / 1广东省中山华侨中学2025年中考二模数学试卷
1．（2025·中山模拟）几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：
气体 氦气（He） 氢气（H） 氮气（N） 氧气（O）
液化温度（℃）
其中液化温度最低的气体是（ ）
A．氦气 B．氢气 C．氮气 D．氧气
2．（2025·中山模拟）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·中山模拟）泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·中山模拟）一元二次方程的根为（ ）
A． B．
C．， D．，
5．（2025·中山模拟）如图，点A、B在数轴上表示的数的绝对值相等，且，那么点A表示的数是
A． B． C． D．3
6．（2025·中山模拟）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
7．（2025·中山模拟）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，则小蜡烛的像的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
8．（2025·中山模拟）若点，，在二次函数（）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·中山模拟）如图，点是边延长线上一点，连接、、，与交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·中山模拟）定义关于任意正整数的一种新运算：．例如，规定，则，．若规定，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·中山模拟）若，则锐角 .
12．（2025·中山模拟）如图，在中，垂直平分，延长至点E，，则 ．
13．（2025·中山模拟）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释：宛田是指扇形形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．那么这块宛田的面积是 平方步．
14．（2025·中山模拟）如图，已知点为⊙O外一点．尺规作图：
（1）连接，作线段的中点；
（2）以点为圆心，以线段的长为半径作⊙C，与⊙O交于，两点；
（3）作射线，．
不再另外添加辅助线和字母，请根据以上信息写出一个正确结论： ．
15．（2025·中山模拟）如图1，点P从的顶点A出发，沿着的方向运动，到达点C后停止．设P点的运动时间为x，的长度为y，图2是y与x的关系图象，其中E点是曲线部分的最低点，则的面积是 ．
16．（2025·中山模拟）解分式方程：
17．（2025·中山模拟）已知：如图，点D在内部，连接．若．求证：．
18．（2025·中山模拟）甲公司推出了“”机器人（简称甲款），乙公司推出了“豆包”AI机器人（简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个组进行统计：A组：，B组：，C组：，D组：），下面给出了部分信息：
甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100；
乙款评分数据中C组的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中___________，___________，___________；
（2）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，分别估计对甲、乙两款机器人评价为非常满意（D组：）的用户人数．
19．（2025·中山模拟）如图（a），在中，．
（1）【实践与操作】在图（a）的基础上，请利用尺规，用2种方法作四边形是菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）【推理与计算】在（1）的条件下，若，，求菱形的面积．
20．（2025·中山模拟）如图，内接于，，为的直径，过点作直线的垂线，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径，，求的长．
21．（2025·中山模拟）随着电动汽车和AI技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应时间分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应时间秒之间，低于人类驾驶员秒的反应时间．
总停车距离（） = 反应距离（） + 制动距离（）：记作为：（：从感知到车停共经过的距离，单位米；：感知、计算的反应时间，单位秒；：刹车前行车速度，单位米/秒；：减速度，单位米/秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如下：
车速（千米/时） 72 108 ┄
停车距离（米） 35 71.25 ┄
（1）请根据素材求：从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式；
（2）请根据素材回答问题：某智能测试汽车以千米/时正在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算，
①请你判断，智能汽车不改变方向情况下，能否在货物前停车？
②当汽车在高速行驶时（千米/时），汽车紧急拐弯的角度可以达到，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？
（参考数据：每个车道的宽度为米）
22．（2025·中山模拟）如图，在等腰直角中，为斜边上的中线．
（1）如图1，平分交于E，交于F，若，求的长；
（2）将图1中的绕点D顺时针旋转一定角度得到，如图2，P，Q分别为线段的中点，连接，求证：；
（3）如图3，将绕点A顺时针旋转一定角度到，其中D的对应点是M，C的对应点是N，若B，M，N三点在同一直线上，H为中点，连接，猜想之间的数量关系，请直接写出结果．
23．（2025·中山模拟）如图1，直线：与反比例函数的图象在第一、三象限交于点A，B，与x轴、y轴分别交于点C，D，过点A作轴于点E，F为x轴上一点，直线与直线关于直线对称．
（1）若，，点A的横坐标为3，求反比例函数的解析式．
（2）在（1）的条件下，设抛物线的顶点为点Q，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，过点F作轴交于点G，过点A作于点P，连接．若k为定值，求证：的面积为定值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：，
液化温度最低的气体是氦气．
故答案为：A．
【分析】根据有理数大小的比较法则“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”将液化温度从低到高排序，然后找出最低温度即可．
2．【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】，
，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，然后由两直线平行，内错角相等得的度数.
3．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意知，共有种等可能的结果，其中，买中“藕粉哪吒”的结果有种，
买中“藕粉哪吒”的概率为．
故选：A．
【分析】利用概率公式即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
即，
解得：，，
故选：C．
【分析】移项，提公因式进行因式分解，再解方程即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；数形结合
【解析】【解答】解：如图，AB的中点即数轴的原点O，
根据数轴可以得到点A表示的数是，
故答案为：B．
【分析】
根据绝对值的几何意义：点A，B表示的数的绝对值相等，那么AB的中点即为坐标原点，解答即可．
6．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图
∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，
，
解得：，
故答案为：A．
【分析】根据正弦值定义求解即可。
7．【答案】B
【知识点】垂线的概念；相似三角形的应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意可得，，，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：B.
【分析】
根据题意可得，，，，，从而可得，然后利用AA证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，解答即可.
8．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（），
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，
，
故答案为：D．
【分析】
由抛物线解析式可得抛物线开口方向向下可得离对称轴越近所对的函数值越大，即可根据，，三点到对称轴的距离大小关系求解.
9．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；内错角的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：A、∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
即，
若，则有，
∴四边形为平行四边形，故A不符合题意；
B、∵，
∴，
若，则有，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，故B不符合题意；
D、∵，
∴，
若，则在和中，
，
∴，
∴，
又∵
∴四边形为平行四边形，故D不符合题意；
C、由不能证明四边形为平行四边形，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】
根据平行四边形的性质可得，，，，若，由“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”，即可判断A；若，易得，即可证明，由“两组对边分别平行的四边形为平行四边形”可判断B；若，证明，由全等三角形的性质可得，由“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”，可判断D；由不能证明四边形为平行四边形，可判断C；逐一判断即可解答．
10．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；乘方的相关概念
【解析】【解答】解：∵
由新运算，可知，
则，
∴．
故答案为：D．
【分析】
根据新定义运算先计算，在计算，最后再计算它们的积解答即可．
11．【答案】60°
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为.
【分析】根据cos60°=即可求解.
12．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据线段垂直平分线的性质推出，可得到，由三角形的外角性质得到，计算即可解答．
13．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得：
（平方步）；
故答案为：．
【分析】根据扇形面积计算公式“S=rl”计算即可求解．
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】圆周角定理；切线的判定；切线长定理
【解析】【解答】解：连接，∵为的直径，
∴，
∵为的半径，
∴直线与相切，
同理，直线与相切，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据切线的判定可得直线，与相切，即可解答．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：作，如图，
当点到点处时，，即，
当点到点处时最短，，即，
当点到点处时，，即，
在中，，
在中，，
．
故答案为：
【分析】
本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
分析出当点到点处时，，即，当点到点处时最短，，即，当点到点处时，，即，再根据勾股定理分别求出和，即可求出三角形的面积．
16．【答案】解：，
去分母，得，
移项，合并，得，
系数化为，得，
当时，，
则不是分式方程的解，
故原方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据解分式方程的步骤：先去分母得，移项合并得，计算可得出答案，最后验根，即可解答．
17．【答案】证明：方法一：在△ABD和△ACD中
，
，
；
方法二：延长交于点，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定：
方法一：根据题意和全等三角形的判定SAS可证得，再由全等三角形的性质：对应边相等可知：，最后由等腰三角形的性质：等边对等角即可证得即可证得结论；
方法二：延长交于点，由等腰三角形的性质推论：三线合一定理可知：，再由等腰三角形的性质推论：三线合一定理可知：，最后由等腰三角形的性质：等边对等角即可证得，即可证得结论；
18．【答案】（1）；
；
；
（2）解：∵ （人），（人），∴对甲、乙两款人工智能软件非常满意的用户总人数分别为84人、60人．
【知识点】扇形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：甲款评分的众数为85分，即，
∵份，
把乙款评分按照从低到高排列，处在第10名和第11名的评分为86分，87分，
∴乙款的中位数为，即；
乙款评分中D组份数为份，则，
∴；
【分析】
（1）根据中位数和众数的定义可求出a、b的值；求出乙款中D组的份数，即可求出m的值；
（2）用280乘以样本甲款中D组的人数占比，用300乘以样本乙款中D组的人数占比，即可求出答案．
（1）解：∵甲款评分为85分的有4份，份数最多，
∴甲款评分的众数为85分，即，
∵份，
∴乙款评分在A组和B组的数量之和为8份，
把乙款评分按照从低到高排列，处在第10名和第11名的评分为86分，87分，
∴乙款的中位数为，即；
乙款评分中D组份数为份，则，
∴；
（2）解：∵ （人），（人），
∴对甲、乙两款人工智能软件非常满意的用户总人数分别为84人、60人．
19．【答案】（1）解；如图所示，四边形即为所要作的菱形
方法一：分别以B、C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，连接，则四边形即为所求；
方法二：作的角平分线，再以B为圆心，的长为半径画弧交的角平分线所在的直线于D，连接，则四边形即为所求；
（2）解：如图，连接交于点，
四边形是菱形，
，，，
，
，
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）方法一：分别以B、C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，连接，则四边形即为所求；
方法二：作的角平分线，再以B为圆心，的长为半径画弧交的角平分线所在的直线于D，连接，则四边形即为所求；
（2）连接交于点，利用菱形的对角线互相垂直平分可求出BC的长，同时可证得AD=2AE，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据菱形面积等于其对角线乘积的一半即可得到答案．
（1）解；如图所示，四边形即为所要作的菱形
方法一：分别以B、C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，连接，则四边形即为所求；
方法二：作的角平分线，再以B为圆心，的长为半径画弧交的角平分线所在的直线于D，连接，则四边形即为所求；
（2）解：如图，连接交于点，
四边形是菱形，
，，，
，
，
．
20．【答案】（1）证明：如下图所示，连接，连接并延长交于点，连接，
，，
是线段的垂直平分线，
，
为的直径，
，
，
，
四边形是矩形，
，
是的切线
（2）解：由可知：四边形是矩形，
，，
设，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
解得：．
∴=
【知识点】矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】连接，连接并延长交于点，连接，可证四边形是矩形，根据矩形的性质可知，再由切线得判定定理即可得结论；
由可知四边形是矩形，可知，，设，根据勾股定理可得：，，利用DE=OB+OH建立等量关系列方程可得：，解方程求出x得值，即可求出的长度．
（1）证明：如下图所示，连接，连接并延长交于点，连接，
，，
是线段的垂直平分线，
，
为的直径，
，
，
，
四边形是矩形，
，
是的切线；
（2）解：由可知四边形是矩形，
，，
设，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
解得：．
21．【答案】（1）解：由题意得，先进行单位转化：72千米/时米/秒；108千米/时米/秒；
经过和
可得，
解得
从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式为；
（2）解：①结论：不能在货物前停车．理由如下： 由题意得，先进行单位转化：64.8千米/时米/秒，
代入函数关系式得：米米，
∴不能在货物前停车．
②避险不成功，理由如下：
智能汽车感知、计算所反应的时间为秒，此时汽车已行进9米，
如图，即，
，
由题意得，，
，
避险不成功．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）根据表格中数据利用待定系数法即可确定函数表达式；
（2）①先将64.8千米/时转换18米/秒，再将=18米/秒代入解析式即可解答；
②先求出汽车感知并计算过程中行进的距离，可得出汽车距离障碍物的距离，此时再解直角三角形计算出汽车避险时水平移动的距离，再与车道宽的一半进行比较即可．
（1）解：由题意得，先进行单位转化：72千米/时米/秒；108千米/时米/秒；
经过和
可得，
解得
从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式为；
（2）①结论：不能在货物前停车．理由如下：
由题意得，先进行单位转化：64.8千米/时米/秒，
代入函数关系式得：米米，
∴不能在货物前停车．
②避险不成功，理由如下：
智能汽车感知、计算所反应的时间为秒，此时汽车已行进9米，
如图，即，
，
由题意得，，
，
避险不成功．
22．【答案】（1）解：如图1，在等腰直角中，为斜边上的中线．
∴
过点F作，
∵平分，
∴
在中，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形斜边的中线，
∴
（2）解：如图2，连接，
∵绕点D顺时针旋转一定角度得到，
∴是等腰直角三角形，
∵是等腰直角三角形，点Q是中点，
∴，
∵点P是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）
【知识点】角平分线的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）．
理由：如图3，在上截取，连接，
∵绕点A顺时针旋转一定角度到，
∴，
∴，
根据三角形的内角和，得，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∵H为中点，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】（1）根据等腰直角三角形得性质可得；再利用角平分线定理求出，再利用等腰直角三角形的性质即可得出，根据直角三角形斜边得中线等于斜边得一半得到，即可解答；
（2）根据旋转得性质得出是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边得中线等于斜边得，进而可推导出，结合角度得和差运算得出，利用SAS判定；根据相似三角形得性质解答即可；
（3）根据旋转得性质得出，即可利用SAS证明，即可得出，进而是直角三角形，再用直角三角形的中线得出，最后等量代换，再进行线段得和差运算即可解答．
（1）如图1，在等腰直角中，为斜边上的中线．
∴
过点F作，
∵平分，
∴
在中，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形斜边的中线，
∴；
（2）如图2，连接，
∵绕点D顺时针旋转一定角度得到，
∴是等腰直角三角形，
∵是等腰直角三角形，点Q是中点，
∴，
∵点P是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）．
理由：如图3，在上截取，连接，
∵绕点A顺时针旋转一定角度到，
∴，
∴，
根据三角形的内角和，得，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∵H为中点，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：当时，直线的解析式为，
∵直线与x轴、y轴分别交于点C，D
∴，，
∴，
∵轴，
∴，
又，
∴．
∴，
∵，点A的横坐标为3，
∴，
∴，
将代入，得，
解得：，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：存在点Q，使最大．
由（1）得，，，，
∵直线与直线关于直线对称，
∴，
∵，
∴抛物线的顶点Q的坐标为，
∴点Q是直线上一点．
把代入得：，
解得：，
∴在直线，
把代入得：，
∴，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴，
作点D关于直线的对称点，连接并延长，交直线于点Q，连接，如图所示：
根据轴对称可知，，
∴，
∴此时最大，
∵直线，
∴点在直线上，且，
∴根据中点坐标可知：点的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
∴直线的解析式为．
联立，
解得，
∴点Q的坐标为．
（3）证明：把代入得：，把代入得：，解得：，
∴，，
∴，，
∵轴，，轴，
∴四边形是矩形，
又直线与直线关于直线对称，
∴．
根据解析（1）可知：，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
即若k为定值，则的面积为定值．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；矩形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）现根据直线与x轴、y轴分别交于点C，D求出，，得出，利用AA证明．得出，根据，点A的横坐标为3，求出，得出，即可解答；
（2）由（1）得，，，，用配方法求顶点Q的坐标为，得出点Q是直线上一点利用勾股定理的逆定理可证明，作点D关于直线的对称点，连接并延长，交直线于点Q，连接，此时最大，求出点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为．联立，求出点Q的坐标为．
（3）求出，，得出，，证明四边形是矩形，得出．根据，得出，即，设，则，根据点A在反比例函数的图象上，得出，根据，即可解答．
（1）解：当时，直线的解析式为，
把代入得，
把代入得，
解得：，
∴，，
∴，
∵轴，
∴，
又，
∴．
∴，
∵，点A的横坐标为3，
∴，
∴，
将代入，得，
解得：，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：存在点Q，使最大．
由（1）得，，，，
∵直线与直线关于直线对称，
∴，
∵，
∴抛物线的顶点Q的坐标为，
∴点Q是直线上一点．
把代入得：，
解得：，
∴在直线，
把代入得：，
∴，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴，
作点D关于直线的对称点，连接并延长，交直线于点Q，连接，如图所示：
根据轴对称可知，，
∴，
∴此时最大，
∵直线，
∴点在直线上，且，
∴根据中点坐标可知：点的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
∴直线的解析式为．
联立，
解得，
∴点Q的坐标为．
（3）证明：把代入得：，
把代入得：，解得：，
∴，，
∴，，
∵轴，，轴，
∴四边形是矩形，
又直线与直线关于直线对称，
∴．
根据解析（1）可知：，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
即若k为定值，则的面积为定值．
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