1.3一元二次方程的根与系数的关系暑假预习练 苏科版数学九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
1.3一元二次方程的根与系数的关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．是方程的两根，的值是（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
2．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）.
A． B． C． D．
3．已知双曲线与直线交于，，若，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．设、是一元二次方程的两实数根，则的值是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
5．已知、是方程的两根，则和的值为（ ）
A．1，6 B．1， C．， D．，6
6．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（　　）
A．1 B．﹣3 C．3 D．4
7．已知关于x的方程的两根分别为，且，则关于x的不等式的解为（　　）
A．x≤ B．x＜ C．x≥3 D．x≤3
8．若关于x的一元二次方程的一个根为2，则另一个根为（ ）
A． B． C． D．2
9．下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
10．已知：，（其中为a整数，且）；有下列结论，其中正确的结论个数有（ ）
①若M·N中不含项，则；②若为整式，则；③若a是的一个根，则．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．如果m、n是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是（　　）
A．2023 B．2027 C．2028 D．2029
12．若、是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知x1，x2是关于x的方程x2+nx+n﹣3=0的两个实数根，且x1+x2=﹣2，则x1x2= ．
14．已知是一元二次方程的两根，则的值为 ．
15．已知是一元二次方程的两根，则 ．
16．设a，b，c，d是四个不同的实数，如果a，b是方程的两根，c，d是方程的两根，那么的值为 ．
17．若2x（x+3）=1的两根分别为x1，x2，则x1+x2= ，x1x2= ，= ，x12+x22= ，（x1﹣3）（x2﹣3）= ，|x1﹣x2|= ．
三、解答题
18．已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，求另一个实数根及m的值．
19．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x2＋2x－3＝0各根的负倒数．
20．已知方程2x2－3x－7＝0，求作一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程各根的相反数．
21．已知：关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两根为、，且满足，求m的值．
22．设是一元二次方程的两个根．求：
(1)．
(2)．
23．（1）若，是方程的两根，则 ， ；若，是方程的两根，则 ， ；
（2）已知，，满足，，求正整数的最小值，
24．已知关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0有两个实数根x1、x2，
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得2（x1+x2）+10+x1x2＝0成立？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
《1.3一元二次方程的根与系数的关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C C C C C B C B
题号 11 12
答案 D A
1．D
【分析】将m，n代入方程得到从而得出
，再代入即可求解．
【详解】解：∵m，n是方程的两根，代入得：
∴
∴代入得：
∴
=
将代入得：
=
根据韦达定理：
故答案选：D
【点睛】本题考查一元二次方程的解、韦达定理，利用整体思想进行代换是解题关键．
2．D
【分析】利用一元二次方程的根及根与系数的关系可得出m2+m=-2022，m+n=-2，再将其代入m2+4m+2n=（m2+2m）+2（m+n）中即可求出结论．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴m2+m=-2022，m+n=-2，
∴m2+4m+2n=（m2+2m）+2（m+n）=-2022+2×（-2）=-2026，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用一元二次方程的根及根与系数的关系找出“m2+2m=-2022，m+n=-2”是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一元二次方程根与系数关系定理，不等式思想，熟练运用交点坐标的意义，把问题转化为方程问题，不等式问题求解是解题的关键．
根据交点坐标的意义，把问题转化方程，不等式问题判定即可．
【详解】解：由题意得，
整理得方程，
设方程的两根分别为，，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴k、异号，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，．
故选C．
4．C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式．
根据根与系数的关系得到，，将化为后，代入即可求解．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两实数根，
∴，，
∴．
故选：C
5．C
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可．
【详解】解：依题意，得，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记一元二次方程的根与系数的关系是本题的关键．
6．C
【分析】设方程的另一个解为x1，根据两根之和等于﹣，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】设方程的另一个解为x1，
根据题意得：﹣1+x1=2，
解得：x1=3，
故选C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
7．C
【分析】本题的突破口是根与系数的关系与代数式的变形．由根与系数的关系得出，．给变形得，，求得2m﹣1＝1，将其代入关于x的不等式，求得x的解集．
【详解】解：关于x的方程的两根分别为，
则，．
∵，
∴，
由此可得2m﹣1＝1．
把2m﹣1＝1代入得3﹣x≤0，
解得，x≥3．
故选C．
【点睛】本题考查根与系数的关系与代数式的变形，要求能将根与系数的关系与代数式变形相结合解题．
8．B
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
设另一个根为，由关于x的一元二次方程的一个根为2，可得，计算求解即可．
【详解】解：设另一个根为，
∵关于x的一元二次方程的一个根为2，
∴，
解得，，
故选：B．
9．C
【详解】A. ∵△=4-4×1×（-3）=14>0, ∴x1+x2=-2, 故不符合题意；
B. ∵△=4-4×1×3=-8<0, ∴方程没有实数根, 故不符合题意；
C. ∵△=4-4×1×（-3）=14>0, ∴x1+x2=2, 故符合题意；
D. ∵△=4-4×1×3=-12<0, ∴方程没有实数根, 故不符合题意.
故选C.
10．B
【分析】根据要求，逐个结论进行求解即可．
【详解】解：①∵，，
∴，
∵M N中不含项，
∴，即，故①正确；
∵是整式，
∴设，
∴，
∴，
∴，
∴，故②错误；
∵
∴，
设方程的另一个根为
∵a是的一个根，
∴，
∴，
∴，
∴，
两边平方整理得，，故③错误，
所以，正确的结论是①，
故选：A
【点睛】本题主要考查了整式的乘除法，一元二次方程根与系数的关系，正确掌握各知识点是解答本题的关键．
11．D
【分析】先利用一元二次方程解的定义得到，，再用m表示出，则原式化简为，接着利用根与系数的关系得到m+n＝，mn＝，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，，
∴，
∴
＝
＝，
∵m、n是一元二次方程的两个实数根，
∴m+n＝，mn＝，
∴原式＝
＝2029．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（a≠0）的两根，则．也考查了一元二次方程的解．
12．A
【详解】这里a=1，b=-7，c=5，
由题意知，12=5，1+2=7，
则=
故选A
13．-1
【详解】试题解析：∵x1，x2是关于x的方程x2+nx+n-3=0的两个实数根，且x1+x2=-2，
∴-n=-2，即n=2，
∴x1x2=n-3=2-3=-1．
14．4
【分析】把代入得，整理得，再把整体代入可得，即可进行解答．
【详解】解：∵是一元二次方程的根，
∴，整理得，
把代入得，
∵，
∴；
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解以及一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握使方程左右两边相等的x的值是方根的解，一元二次方程，．
15．8
【分析】利用根与系数的关系求解即可．
【详解】解：利用根与系数的关系可知：，
故答案为：8．
【点睛】本题考查一元二次方程中根与系数的关系：，关键是要记住公式．
16．
【分析】由根与系数的关系得，，两式相加得，根据一元二次方程根的定义可得，可得，同理可得，两式相减即可得，根据,求得，进而可得
【详解】解：由根与系数的关系得，，两式相加得．
因为是方程的根，所以，又，
所以①
同理可得②
①-②得．
因为，所以，所以．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据等式的性质变形是解题的关键．
17． -3 - 6 10 -
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，x1+x2=-，x1x2=逐一分析计算即可.
【详解】方程化为2x +6x-1=0，
∴x1+x2=-3;x1 x2=-;
====6；
x12+x222=(x1+) -2x1x2=9-2×（-）=10;
（x1-3） （x2-3）=x1x2-3（x1+x2）+9=--3×（-3）+9=-;
|x1﹣x2|=.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是灵活运用一元二次方程根与系数的关系：两根之和=-与两根之差=．
18．－4，2.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理进行作答.
【详解】解：将x＝2代入方程得m＝2；再用解方程的步骤，得到另一根为－4.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理的运用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理是本题解题关键.
19．3y2＋2y－5＝0．
【分析】设是方程的两根实数根，根据根与系数的关系得到：和，再计算，，然后根据根与系数的关系写出以，为两根的一元二次方程．
【详解】解：设方程5x2＋2x－3＝0的两根为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
设所求方程为y2＋py＋q＝0，其两根为y1，y2，
令y1＝－，y2＝－，
∴p＝－(y1＋y2)＝－＝，
q＝y1y2＝，
∴所求的方程为y2＋y－＝0，即3y2＋2y－5＝0．
20．2x2＋3x－7＝0
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理及其变式进行作答.
【详解】解：设方程2x2－3x－7＝0的两根分别为α，β，则新方程的两根为－α，－β，∵α＋β＝，αβ＝－，∴(－α)＋(－β)＝－，(－α)(－β)＝－，∴所求的方程为x2＋x－＝0，即2x2＋3x－7＝0.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理的运用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理是本题解题关键.
21．（1）m≥0（2）9
【分析】（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系可得=-，=-2，根据可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值．
【详解】（1）根据题意得△＝（）2 4×（ 2）≥0，且m≥0，
解得m≥ 8且m≥0．
故m的取值范围是m≥0；
（2）方程的两根为、，
∴=-，=-2
∵
∴
即m+8=17
解得m＝9
∴m的值为9．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝ ，x1 x2＝．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据根与系数的关系，进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系，进行计算即可．
【详解】（1）解：∵是一元二次方程的两个根，
∴，
∴；
（2）解：∵
又∵，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系：，是解题的关键．
23．（1）3，1，，6；（2）3
【分析】（1）根据根与系数的关系即可得到结论；
（2）根据，，求得，，于是得到，是方程的解，即可得到结论．
【详解】（1），是方程的两根，
，；
2，3是方程的两根，
，
则，；
故答案为：3，1，，6；
（2），，
，，
，是方程的解，
，，
是正整数，
，即，
正整数的最小值是3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
24．（1）m≤；（2）存在，m＝﹣3
【分析】（1）由一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根，根据根的判别式的意义得到Δ＝b2﹣4ac≥0，即32﹣4（m﹣1）≥0，解关于m的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系x1+x2＝﹣3，x1x2＝m﹣1，再利用2（x1+x2）+10+x1x2＝0成立求出m的值即可．
【详解】解：（1）∵一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0有两个实数根x1、x2，
∵Δ＝b2﹣4ac≥0，
即32﹣4（m﹣1）≥0，
解得m≤．
所以实数m的取值范围为m≤；
（2）存在m的值，使得2（x1+x2）+10+x1x2＝0成立成立．理由如下：
∵x1、x2是一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝m﹣1，
∴2（x1+x2）+10+x1x2＝2（﹣3）+10+（m﹣1），若2（x1+x2）+10+x1x2＝0成立，则m+3＝0，
解上述方程得，m＝﹣3．
∵（1）中m≤，（2）中m＝﹣3，
∴存在m的值，使得2（x1+x2）+10+x1x2＝0成立．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)