1.2一元二次方程的解法暑假预习练（含解析） 苏科版数学九年级上册

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1.2一元二次方程的解法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若2x2+1与4x2－2x－5互为相反数，则x为
A．－1或 B．1或 C．1或 D．1或
2．如果等腰三角形的两边长分别是方程的两根，那么它的周长为（ ）
A．10 B．13 C．17 D．21
3．若一元二次方程无实数根，则k的最小整数值是（　　）
A．1 B．2 C． D．
4．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．且 B． C． D．且
5．已知关于x的一元二次方程(p+1)x2+2qx+(p+1)＝0（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论：①1和﹣1都是方程x2+qx+p＝0的根；②0可能是方程x2+qx+p＝0的根；③﹣1可能是方程x2+qx+p＝0的根；④1一定不是方程x2+qx+p＝0的根．其中正确的是（　　）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
6．已知两个关于x的一元二次方程，其中．下列结论错误的是（ ）
A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根
B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根
C．若5是方程M的一个根，则是方程N的一个根
D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是
7．如果一个一元二次方程的根是，那么这个方程是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点P，交于点E，直线交y轴于点D，交x轴于点F，连接．则下列结论：
①；②四边形为平行四边形；③若，则；④若，，则．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①② C．②④ D．①③
9．方程的根是（ ）
A． B． C． D．
10．已知0和-1都是某个方程的解，此方程是（ ）
A． B． C． D．
11．对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程为例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：将原方程变形为，然后构造如图，一方面，正方形的面积为；另一方面，它又等于，因此可得方程的一个根，根据阿尔花拉子米的思路，解方程时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知x=－1是关于x的方程的一个根，则a= ．
14．三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是 ．
15．将x2-6x-7=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为 .
16．方程的解是 ．
17．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数同时满足，求代数式的值．
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当时，a的值是 ．
（2）当时，代数式的值是 ．
三、解答题
18．解方程：
(1)．
(2)
19．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
20．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
21．不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）； （2）； （3）．
22．已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．
23．已知最简二次根式与是同类二次根式，求关于的一元二次方程的解．
24．解下列方程：
(1)
(2)
《1.2一元二次方程的解法》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B A C D C A C B
题号 11 12
答案 C D
1．B
【详解】本题考查一元二次方程的解法,根据题意可得: 2x2+1+4x2－2x－5=0,解方程可得:,.
2．C
【详解】解方程得，=3，=7，根据三角形的两边之和大于第三边，三角形的三边不能是3，3，7，所以三边长是3，7，7，则周长是3+7+7=17，故选C.
3．B
【分析】由根的判别式与方程根的情况，可得，从而求k的取值范围，再确定k的最小整数，要保证二次项系数不为0．
本题考查了由根的判别式确定根的情况：，有两个不等实根；，有两个相等实根；，无实根．
【详解】解：∵一元二次方程，即无实数根，
∴，且，
解得：，
∴k的最小整数值是2，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴且，
∴且．
故选A．
5．C
【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出q＝p+1或q＝﹣（p+1），当q＝p+1时，﹣1是方程x2+qx+p＝0的根；当q＝﹣（p+1）时，1是方程x2+qx+p＝0的根．再结合p+1≠﹣（p+1），可得出1和﹣1不都是关于x的方程x2+qx+p＝0的根，再根据p≠﹣1可得当p＝0时，0是方程x2+qx＝0的根，由此即可求得答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程（p+1）x2+2qx+（p+1）＝0有两个相等的实数根，
∴p+1≠0且（2q）2﹣4（p+1）2＝0，
解得：p≠﹣1，q＝p+1或q＝﹣（p+1）．
当q＝p+1时，有p﹣q+1＝0，此时﹣1是方程x2+qx+p＝0的根；
当q＝﹣（p+1）时，有p+q+1＝0，此时1是方程x2+qx+p＝0的根．
∵p+1≠0，
∴p+1≠﹣（p+1），
∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+qx+p＝0的根，
∴①是错误的，③是正确的，④是错误的，
∵p≠﹣1，
∴当p＝0时，0是方程x2+qx＝0的根，
∴②是正确的，
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
6．D
【分析】利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D．
【详解】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2-4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、若方程M有一个正根和一个负根，那么△=b2-4ac>0，<0，所以a与c符号相反，<0，所以方程N也有一个正根和一个负根，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a-c）x2=a-c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根，以及根与系数的关系、一元二次方程的解等知识，掌握它们是关键．
7．C
【分析】用直接开平方法求出各选项的根，即可得出答案.
【详解】A. ∵，
∴x1=2，x2=-2，故不符合题意；
B. ∵，
∴，
∴原方程没有实数根，故不符合题意；
C. ∵，
∴x-2=0，
∴x1=x2=2，符合题意；
D. ∵，
∴x+2=0,
∴x1=x2=-2，故不符合题意；
故选C.
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，难度不是很大．其解法是先将一元二次方程整理成，然后系数化为1，再两边开平方即可.
8．A
【分析】根据题意，设，，则点，，，从而求出直线的解析式，点的坐标，可判断四边形是平行四边形，求出，结合平行四边形面积即可判断①；根据平行四边形的判定可判定②正确；再根据和点坐标特征求出、的长，可判断③；根据，得出，再结合，得出，即可判断④．
【详解】解：四边形是矩形，反比例函数，
设，，则点，，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
解得，
，
则，
，
，
则，
四边形是矩形，
，，
四边形是平行四边形，
，故①正确；
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，故②正确；
，
，
，
，且，则，
，
，
直线的解析式为，
，且，
，
，故③错误；
，
，
解得，
，
即，
，
，
（舍去）或，故④正确；
综上所述，正确的有①②④，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，一次函数的图象与性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，解一元二次方程，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．
9．C
【分析】利用因式分解法解方程即可得到正确选项．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴x+7=0，x-8=0，
∴x1=-7，x2=8．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了．
10．B
【分析】利用一元二次方程的解法，求出每个选项的解，选出正确的那个选项．
【详解】A选项的解是：，；
B选项的解是：，；
C选项的解是：，；
D选项无解．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是求出每个选项的解，注意不要求错．
11．C
【分析】利用配方法将原方程变形，结合图形即可解答．
【详解】解：
∴正方形面积（阴影部分）＝21＋4＝25
故选：C
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用配方法和解方程的一般步骤．
12．D
【分析】常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可．
【详解】解：移项得，
配方得，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键．
13．﹣2或1
【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=﹣1代入方程，即可得到一个关于a的方程：
【详解】，解得a=﹣2或1．
14．6或10或12
【分析】首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程的根，进行分情况计算．
【详解】由方程，得=2或4．
当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6；
当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12；
当三角形的三边长是2，2，4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2=10．
综上所述此三角形的周长是6或12或10．
故答案为：6或10或12
15．（x-3）2=16
【详解】x2 6x 7=0，
x2 6x=7，
x2 6x+9=7+9，
(x 3)2=16；
故答案为(x 3)2=16.
16．x＝﹣1
【分析】将方程两边同时平方，再解一元二次方程，根据二次根式有意义的条件取舍解．
【详解】∵，
∴5x+6＝x2，
∴x2﹣5x﹣6＝0，
（x﹣6）（x+1）＝0
∴x1＝6，x2＝﹣1，
当x＝6时原方程没有意义，
∴x＝﹣1．
答案：x＝﹣1．
【点睛】本题考查了解无理方程，解一元二次方程，二次根式有意义的条件，正确的计算是解题的关键．
17． 或1 7
【分析】（1）将代入解方程求出，的值，再代入进行验证即可；
（2）当时，求出，再把通分变形，最后进行整体代入求值即可．
【详解】解：已知，实数，同时满足①，②，
①-②得，
∴
∴或
①+②得，
（1）当时，将代入得，
解得，，
∴，
把代入得，3=3，成立；
把代入得，0=0，成立；
∴当时，a的值是1或-2
故答案为：1或-2；
（2）当时，则，即
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代数式的值和分式的运算等知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键．
18．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，学会用适当的方法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用十字相乘法进行因式分解即可求解；十字相乘法是把二次三项式形式的式子，分解因式为的方法．其中、、、是常数，且，，．通过寻找合适的数对来实现因式分解．
（2）先移项，再利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：因式分解，得，
则有或，
解得，．
（2）解：
则，
或，
解得：，．
19．x1＝，x2＝.
【分析】本题先进行分组相乘得: [(x－1)(x－4)][(x－2)(x－3)]＝48,整理可得:
(x2－5x＋4)(x2－5x＋6)＝48,然后利用换元法,设y= x2－5x+5,可得: (y－1)(y＋1)＝48,解得
y1＝7，y2＝－7,然后得x2－5x+5=7或x2－5x+5=－7,最后求方程即可.
【详解】原方程即[(x－1)(x－4)][(x－2)(x－3)]＝48，
即(x2－5x＋4)(x2－5x＋6)＝48.
设y＝x2－5x＋5，则原方程变为(y－1)(y＋1)＝48.
解得y1＝7，y2＝－7.
当x2－5x＋5＝7时，解得x1＝，x2＝；
当x2－5x＋5＝－7时，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－23<0，方程无实数根．
∴原方程的根为x1＝，x2＝.
20．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先移项，再用因式分解法求解即可；
（2）先移项，再用因式分解法求解即可；
（3）根据平方差公式，用因式分解法求解即可；
（4）根据完全平方公式，用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
∴或，
解得：；
（2）解：，
，
，
∴或，
解得：；
（3）解：，
，
，
，
，
∴或，
解得：；
（4）解：，
，
，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解的各种方法，以及用因式分解法解一元二次方程的方法和步骤．
21．（1）有两个不相等的实数根；（2）没有实数根；（3）有两个相等的实数根．
【分析】（1）将原方程变形为，根据根的判别公式进行解答即可得；
（2）将原方程变形为，根据根的判别公式进行解答即可得；
（3）将原方程变形为：，根据根的判别公式进行解答即可得．
【详解】解：（1），
，
∵，，，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根；
（2），
，
∵，，，
∴，
∴原方程没有实数根；
（3），
，
，
∵，，，
∴
∴原方程有两个相等的实数根．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系：一般地，式子叫做一元二次方程的根的判别式，通常用希腊字母表示，即，①当时一元二次方程有两个不相等的实数根；②当时一元二次方程有两个相等的实数根；③当时一元二次方程无实数根．
22．直角三角形，理由见解析．
【分析】根据方程有两个相等的实数根得出△=0，即可得出a2=b2+c2，根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴△=0，即，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
23．或
【分析】先求出a的值，再代入求出方程的解即可.
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，解得或，
当时，，化简得，解得或，
当时，两个二次根式不是最简二次根式故舍弃.
故答案为：或.
【点睛】本题主要考查了同类二次根式及因式分解法，解题的关键是正确的求出a的值.
24．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
，
，
，
，．
（2）解：，
，
，
或，
，．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法因式分解法以及配方法，解题的关键是掌握利用因式分解法解一元二次方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
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