甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高二下学期期末学业质量检测数学试题
1．（2024高二下·兰州期末）下列各关系不属于相关关系的是（ ）
A．产品的样本与生产数量 B．球的表面积与体积
C．家庭的支出与收入 D．人的年龄与体重
2．（2024高二下·兰州期末）已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ）
A．0 B．1 C．0.3 D．
3．（2024高二下·兰州期末）已知函数在处有极值，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·兰州期末）已知二面角，其中平面的一个法向量，平面的一个法向量，则二面角的大小可能为( )
A． B． C．或 D．
5．（2024高二下·兰州期末）根据历年气象统计资料，某地四月份某日刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为，则在下雨条件下刮东风的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·兰州期末）某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量 （吨）与相应的生产能耗 （吨）的几组对应数据如表所示：
3 4 5 6
2.5 3 4 4.5
根据表中数据得出关于的线性回归方程为，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为（ ）
A．5.15吨 B．5.25吨 C．5.5吨 D．9.5吨
7．（2024高二下·兰州期末）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·兰州期末）对于三次函数给出定义： 设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算（ ）
A．1010 B．2020 C．2023 D．2024
9．（2024高二下·兰州期末）已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中60分为及格线，则下列结论中正确的有（ ）（附：随机变量，则
A．该校学生成绩的均值为70 B．该校学生成绩的标准差为4
C．该校学生成绩的标准差为16 D．该校学生成绩及格率超过95%
10．（2024高二下·兰州期末）设离散型随机变量X的分布列如下表，若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的是（ ）
X 0 1 2 3 4
P 0.4 0.1 0.2 0.2
A． B．，
C．， D．，
11．（2024高二下·兰州期末）在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A．当为中点时，为锐角
B．存在点，使得平面
C．的最小值
D．顶点到平面的最大距离为
12．（2024高二下·兰州期末）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．的数学期望
13．（2024高二下·兰州期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为若，则实数的值为 .
14．（2024高二下·兰州期末）已知随机变量服从二项分布，若，，则 .
15．（2024高二下·兰州期末）在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，平面ABC，．M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为 ．
16．（2024高二下·兰州期末）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有，，，，的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 （元）．
17．（2024高二下·兰州期末）已知函数
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程.
18．（2024高二下·兰州期末）某商场为提高服务质量，随机调查了位男顾客和位女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或者不满意的评价，得到下面部分列联表：
满意 不满意 合计
男顾客 10
女顾客 15
合计
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）完成题目中的列联表，并通过计算判断能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
19．（2024高二下·兰州期末）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，调查得该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），为了研究计算的方便，记年为，年为依次下去，得到下表：
1 2 3 4 5
储蓄存款（千亿元） 5 6 7 8 10
（1）求关于的线性回归方程；
（2）用所求回归方程预测到年年底，该地储蓄存款额可达多少
附：对于线性回归方程，其中.
20．（2024高二下·兰州期末）如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角.动点在线段上.
（1）当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求与平面所成角的正弦值的最大值.
21．（2024高二下·兰州期末）已知函数.
（1）若有两个零点，的取值范围；
（2）若方程有两个实根、，且，证明：.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】变量相关关系
【解析】【解答】解：对于A：产品的样本与生产数量是相关关系，故A正确；
对于B：设球的半径为，球的表面积为、体积为，
则，
所以，
因为，
所以球的表面积与体积是一种函数关系，故B错误；
对于C：因为家庭的支出与收入是相关关系，故C正确；
对于D：因为人的年龄与体重是相关关系，故D正确.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和相关关系的定义，从而逐项判断找出不属于相关关系的选项．
2．【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：随机变量服从两点分布，设成功的概率为，
.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和两点分布的数学期望公式，从而得出其成功概率.
3．【答案】A
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：因为，
又因为函数在处有极值，
所以，解得，
代入检验满足题意.
故答案为：A.
【分析】利用函数在处有极值，则导函数在处的函数值等于0，从而得出实数k的值.
4．【答案】C
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：，
设与之间的夹角为
二面角的大小可能为和.
【分析】根据数量积求向量夹角公式和向量夹角的取值范围，从而得出二面角可能的大小.
5．【答案】C
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：记事件：某地四月份某日舌东风，事件：某地四月份某日下雨，
则在下雨条件下刮东风的概率为=
故答案为：C.
【分析】由题意，利用条件概率公式求解即可.
6．【答案】B
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
由回归直线方程必过点，可得，解得，
则回归方程为，当时，，
则生产7吨产品，预计相应的生产能耗为5.25吨.
故答案为：B.
【分析】由题意求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，再代入计算即可.
7．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：因为前两局甲都输了，
所以甲需要连胜四局或第三局到第六局输1局且第七局胜，甲才能最后获胜，
所以甲最后获胜的概率为.
故答案为：C.
【分析】利用独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出甲最后获胜的概率.
8．【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的四则运算
【解析】【解答】解：函数定义域为，
，，
令，即，解得，
因为，
所以函数的对称中心为，所以，
即，
则，
.
故答案为：B.
【分析】由题意求函数的对称中心，即可得到，再由并项求和法计算即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：因为该校学生的成绩服从正态分布，
所以，
所以该校学生成绩的均值为70，标准差为4，
所以选项A、选项B正确、选项C错误；
对于D，因为，
所以，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意得，再结合正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性得出概率的取值范围，从而逐项判断找出结论正确的选项.
10．【答案】B,D
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由分布列的性质可得：q+0.4+0.1+0.2+0.2=1，解得q=0.1，
则，
因为离散型随机变量Y满足，
所以，.
故答案为：BD.
【分析】根据分布列的性质计算q的值，再根据期望公式、方差公式分别计算出，再由随机变量数学期望的性质和方差的性质，从而可得和，进而找出结果正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱的结构特征；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：以点为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，，
则，，
，
，
A、当为中点时，，，
，，
则，即为锐角，故A正确；
B、若平面，
因为平面，所以，
则，解得，故存在点，使得平面，
故B正确；
C、当时，取得最小值，由B得，此时，
则，，，
则的最小值为，故C错误；
D、，
设平面的法向量，则，
取，
则点到平面的距离为，
当时，点到平面的距离为0，
当时，，
当且仅当时等号成立，则点到平面的最大距离为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，设，当为中点时，
根据判断得符号即可判断A；当平面，
则，则有，求出即可判断B；
当时，取得最小值，结合B即可判断C；利用向量法求出点到平面的距离分析即可判断D.
12．【答案】A,C,D
【知识点】等比数列概念与表示；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意，得，故A正确；
因为，，故B错误；
当时，
整理得，
则，
所以，可知是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确；
因为，
，
，
又因为，
所以，
则，
故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件求出，，，则判断出选项A和选项B；利用推出，可判断出选项C；利用判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
13．【答案】#
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；直线的方向向量；平面的法向量
【解析】【解答】解：由题意，得直线的方向向量为，
平面的法向量为，
因为，可得，
则，
解得.
故答案为：.
【分析】根据可得，再结合向量共线的坐标表示，从而得到，进而得出实数的值.
14．【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：由二项分布的数学期望公式和方差公式，
得，
解得.
故答案为：.
【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式，从而得出关于和的方程组，解方程组得出实数的值.
15．【答案】
【知识点】直线与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解： 在鳖臑中，因为平面，平面，所以，
由题意可知平面，
所以平面，
因为是的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的一半，
即到平面的距离是.
，，，
因为，所以，，
设到平面的距离为，则，
即，解得.
故答案为：.
【分析】利用等体积法求得到平面的距离即可.
16．【答案】0.2
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：
随机变量的可能取值为1，2，3，4，5；
赌金的分布列为：
1 2 3 4 5
P
故；
随机变量的可能取值为1.4，2.8，4.2，5.6；
，；
奖金的分布列为：
1.4 2.8 4.2 5.6
P
；
则0.2；
故答案为：0.2.
【分析】分别求出随机变量和的分布列，可计算得出的值，从而得出结论.
17．【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，
所以切线斜率，
又因为，
所以切点坐标为，
则所求直线方程为，
故曲线在处的切线方程为.
（2）解：因为，设切点为，
则，
所以切线方程为，
则，
则，
解得或，
所以切点为或，
则切线的斜率为或，
所以，切线方程为或
则切线方程为或，
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先对函数求导，再把代入导函数中求出切线的斜率，再由代入法求出的值，从而可得切点坐标，再利用点斜式求出曲线在处的切线方程.
（2）设切点为，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再利用点斜式方程设出曲线过点的切线方程，依题意可得，从而得出的值，进而得出曲线过点的切线方程.
（1）因为，所以，
所以，所以切线斜率，
又因为，
所以切点坐标为，所以所求直线方程为，
故曲线在处的切线方程为.
（2）因为，设切点为，
则，
所以切线方程为，
则，即，解得或，
所以切点为或，切线的斜率为或，
所以切线方程为或
即切线方程为或，
18．【答案】（1）解：依题意可知，位男顾客对商场服务满意的有人，
所以男顾客对商场服务满意率估计为，
因为位女顾客对商场服务满意的有人，
所以女顾客对商场服务满意率估计为.
（2）解：由题意可知，补全列联表如下图所示：
满意 不满意 合计
男顾客 40 10 50
女顾客 35 15 50
合计 75 25 100
所以，
所以没有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据已知条件得出相关的数据，再利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应的频率，从而分别估计出男、女顾客对该商场服务满意的概率.
（2）根据已知条件完成的列联表，再利用公式求得观测值，最后与临界值比较得出没有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
（1）依题意可知，位男顾客对商场服务满意的有人，
所以男顾客对商场服务满意率估计为.
因为位女顾客对商场服务满意的有人，
所以女顾客对商场服务满意率估计为.
（2）由题意可知，补全列联表如下图所示：
满意 不满意 合计
男顾客 40 10 50
女顾客 35 15 50
合计 75 25 100
所以，
所以没有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异，
19．【答案】（1）解：依题意，得，，
，
，
所以，，
所以.
（2）解：因为年对应的，
所以，
则到年年底预测该地储蓄存款额约为千亿元.
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件先求出，，，，再利用最小二乘法求出、的值，从而求出回归直线方程.
（2）将代入回归直线方程，从而预测到年年底，该地储蓄存款额可达的金额.
（1）依题意，，
，
，
所以，，
所以；
（2）年对应的，
所以，即到年年底预测该地储蓄存款额约为千亿元.
20．【答案】（1）解：由题意可得：，平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
若为的中点，则，
可得，
设异面直线与所成角，，
则.
所以，异面直线与所成角的余弦值为.
（2）解：若动点在线段上，
设，
则，
可得，解得，
则，
则，
由题意可知：平面的法向量为，
设与平面所成角为，，
则
对于函数，开口向上，对称轴为，
可得当时，取到最小值为：，
所以的最大值为，
因为，
所以，与平面所成角的正弦最大值为.
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用已知条件和面面垂直的性质定理证出线面垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式和异面直线所成角的取值范围，从而得出异面直线与所成角的余弦值.
（2）设，再结合向量共线的坐标表示，从而可得，再利用平面的法向量和数量积求向量夹角公式以及诱导公式，从而得出与平面所成角的正弦与的函数关系式，再结合二次函数的图象和性质得出二次函数的最小值，则根据线面角的取值范围得出与平面所成角的正弦的最大值.
（1）由题意可得：，平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
若为的中点，则，可得，
设异面直线与所成角，，
则.
故异面直线与所成角的余弦值为.
（2）若动点在线段上，设，
则，可得，解得，
即，则，
由题意可知：平面的法向量为，
设与平面所成角为，，
则，
对于函数，开口向上，对称轴为，
可得当时，取到最小值，
所以的最大值为，因为，
故与平面所成角的正弦最大值为.
21．【答案】（1）解：函数的定义域为.
当时，函数无零点，不合乎题意，所以，，
由可得，
构造函数，其中，所以，直线与函数的图象有两个交点，
，由可得，列表如下：
0
增 极大值 减
所以，函数的极大值为，如下图所示：
且当时，，
由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，
故实数的取值范围是.
（2）证明：因为，则，
令，其中，则有，
，所以，函数在上单调递增，
因为方程有两个实根、，令，，
则关于的方程也有两个实根、，且，
要证，即证，即证，即证，
由已知，所以，，整理可得，
不妨设，即证，即证，
令，即证，其中，
构造函数，其中，
，所以，函数在上单调递增，
当时，，故原不等式成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；分析法和综合法
【解析】【分析】(1)对函数h (x)求导，分a= 0和 讨论即可得解 的取值范围；
(2) 令 ，根据题意可转化为证明 ，再令 转化为证明 ，构造函数 ，其中， 利用导数可证得 .
1 / 1甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高二下学期期末学业质量检测数学试题
1．（2024高二下·兰州期末）下列各关系不属于相关关系的是（ ）
A．产品的样本与生产数量 B．球的表面积与体积
C．家庭的支出与收入 D．人的年龄与体重
【答案】B
【知识点】变量相关关系
【解析】【解答】解：对于A：产品的样本与生产数量是相关关系，故A正确；
对于B：设球的半径为，球的表面积为、体积为，
则，
所以，
因为，
所以球的表面积与体积是一种函数关系，故B错误；
对于C：因为家庭的支出与收入是相关关系，故C正确；
对于D：因为人的年龄与体重是相关关系，故D正确.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和相关关系的定义，从而逐项判断找出不属于相关关系的选项．
2．（2024高二下·兰州期末）已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ）
A．0 B．1 C．0.3 D．
【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：随机变量服从两点分布，设成功的概率为，
.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和两点分布的数学期望公式，从而得出其成功概率.
3．（2024高二下·兰州期末）已知函数在处有极值，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：因为，
又因为函数在处有极值，
所以，解得，
代入检验满足题意.
故答案为：A.
【分析】利用函数在处有极值，则导函数在处的函数值等于0，从而得出实数k的值.
4．（2024高二下·兰州期末）已知二面角，其中平面的一个法向量，平面的一个法向量，则二面角的大小可能为( )
A． B． C．或 D．
【答案】C
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：，
设与之间的夹角为
二面角的大小可能为和.
【分析】根据数量积求向量夹角公式和向量夹角的取值范围，从而得出二面角可能的大小.
5．（2024高二下·兰州期末）根据历年气象统计资料，某地四月份某日刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为，则在下雨条件下刮东风的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：记事件：某地四月份某日舌东风，事件：某地四月份某日下雨，
则在下雨条件下刮东风的概率为=
故答案为：C.
【分析】由题意，利用条件概率公式求解即可.
6．（2024高二下·兰州期末）某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量 （吨）与相应的生产能耗 （吨）的几组对应数据如表所示：
3 4 5 6
2.5 3 4 4.5
根据表中数据得出关于的线性回归方程为，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为（ ）
A．5.15吨 B．5.25吨 C．5.5吨 D．9.5吨
【答案】B
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
由回归直线方程必过点，可得，解得，
则回归方程为，当时，，
则生产7吨产品，预计相应的生产能耗为5.25吨.
故答案为：B.
【分析】由题意求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，再代入计算即可.
7．（2024高二下·兰州期末）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：因为前两局甲都输了，
所以甲需要连胜四局或第三局到第六局输1局且第七局胜，甲才能最后获胜，
所以甲最后获胜的概率为.
故答案为：C.
【分析】利用独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出甲最后获胜的概率.
8．（2024高二下·兰州期末）对于三次函数给出定义： 设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算（ ）
A．1010 B．2020 C．2023 D．2024
【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的四则运算
【解析】【解答】解：函数定义域为，
，，
令，即，解得，
因为，
所以函数的对称中心为，所以，
即，
则，
.
故答案为：B.
【分析】由题意求函数的对称中心，即可得到，再由并项求和法计算即可.
9．（2024高二下·兰州期末）已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中60分为及格线，则下列结论中正确的有（ ）（附：随机变量，则
A．该校学生成绩的均值为70 B．该校学生成绩的标准差为4
C．该校学生成绩的标准差为16 D．该校学生成绩及格率超过95%
【答案】A,B,D
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：因为该校学生的成绩服从正态分布，
所以，
所以该校学生成绩的均值为70，标准差为4，
所以选项A、选项B正确、选项C错误；
对于D，因为，
所以，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意得，再结合正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性得出概率的取值范围，从而逐项判断找出结论正确的选项.
10．（2024高二下·兰州期末）设离散型随机变量X的分布列如下表，若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的是（ ）
X 0 1 2 3 4
P 0.4 0.1 0.2 0.2
A． B．，
C．， D．，
【答案】B,D
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由分布列的性质可得：q+0.4+0.1+0.2+0.2=1，解得q=0.1，
则，
因为离散型随机变量Y满足，
所以，.
故答案为：BD.
【分析】根据分布列的性质计算q的值，再根据期望公式、方差公式分别计算出，再由随机变量数学期望的性质和方差的性质，从而可得和，进而找出结果正确的选项.
11．（2024高二下·兰州期末）在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A．当为中点时，为锐角
B．存在点，使得平面
C．的最小值
D．顶点到平面的最大距离为
【答案】A,B,D
【知识点】棱柱的结构特征；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：以点为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，，
则，，
，
，
A、当为中点时，，，
，，
则，即为锐角，故A正确；
B、若平面，
因为平面，所以，
则，解得，故存在点，使得平面，
故B正确；
C、当时，取得最小值，由B得，此时，
则，，，
则的最小值为，故C错误；
D、，
设平面的法向量，则，
取，
则点到平面的距离为，
当时，点到平面的距离为0，
当时，，
当且仅当时等号成立，则点到平面的最大距离为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，设，当为中点时，
根据判断得符号即可判断A；当平面，
则，则有，求出即可判断B；
当时，取得最小值，结合B即可判断C；利用向量法求出点到平面的距离分析即可判断D.
12．（2024高二下·兰州期末）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．的数学期望
【答案】A,C,D
【知识点】等比数列概念与表示；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意，得，故A正确；
因为，，故B错误；
当时，
整理得，
则，
所以，可知是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确；
因为，
，
，
又因为，
所以，
则，
故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件求出，，，则判断出选项A和选项B；利用推出，可判断出选项C；利用判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
13．（2024高二下·兰州期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为若，则实数的值为 .
【答案】#
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；直线的方向向量；平面的法向量
【解析】【解答】解：由题意，得直线的方向向量为，
平面的法向量为，
因为，可得，
则，
解得.
故答案为：.
【分析】根据可得，再结合向量共线的坐标表示，从而得到，进而得出实数的值.
14．（2024高二下·兰州期末）已知随机变量服从二项分布，若，，则 .
【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：由二项分布的数学期望公式和方差公式，
得，
解得.
故答案为：.
【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式，从而得出关于和的方程组，解方程组得出实数的值.
15．（2024高二下·兰州期末）在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，平面ABC，．M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为 ．
【答案】
【知识点】直线与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解： 在鳖臑中，因为平面，平面，所以，
由题意可知平面，
所以平面，
因为是的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的一半，
即到平面的距离是.
，，，
因为，所以，，
设到平面的距离为，则，
即，解得.
故答案为：.
【分析】利用等体积法求得到平面的距离即可.
16．（2024高二下·兰州期末）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有，，，，的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 （元）．
【答案】0.2
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：
随机变量的可能取值为1，2，3，4，5；
赌金的分布列为：
1 2 3 4 5
P
故；
随机变量的可能取值为1.4，2.8，4.2，5.6；
，；
奖金的分布列为：
1.4 2.8 4.2 5.6
P
；
则0.2；
故答案为：0.2.
【分析】分别求出随机变量和的分布列，可计算得出的值，从而得出结论.
17．（2024高二下·兰州期末）已知函数
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程.
【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，
所以切线斜率，
又因为，
所以切点坐标为，
则所求直线方程为，
故曲线在处的切线方程为.
（2）解：因为，设切点为，
则，
所以切线方程为，
则，
则，
解得或，
所以切点为或，
则切线的斜率为或，
所以，切线方程为或
则切线方程为或，
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先对函数求导，再把代入导函数中求出切线的斜率，再由代入法求出的值，从而可得切点坐标，再利用点斜式求出曲线在处的切线方程.
（2）设切点为，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再利用点斜式方程设出曲线过点的切线方程，依题意可得，从而得出的值，进而得出曲线过点的切线方程.
（1）因为，所以，
所以，所以切线斜率，
又因为，
所以切点坐标为，所以所求直线方程为，
故曲线在处的切线方程为.
（2）因为，设切点为，
则，
所以切线方程为，
则，即，解得或，
所以切点为或，切线的斜率为或，
所以切线方程为或
即切线方程为或，
18．（2024高二下·兰州期末）某商场为提高服务质量，随机调查了位男顾客和位女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或者不满意的评价，得到下面部分列联表：
满意 不满意 合计
男顾客 10
女顾客 15
合计
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）完成题目中的列联表，并通过计算判断能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：依题意可知，位男顾客对商场服务满意的有人，
所以男顾客对商场服务满意率估计为，
因为位女顾客对商场服务满意的有人，
所以女顾客对商场服务满意率估计为.
（2）解：由题意可知，补全列联表如下图所示：
满意 不满意 合计
男顾客 40 10 50
女顾客 35 15 50
合计 75 25 100
所以，
所以没有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据已知条件得出相关的数据，再利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应的频率，从而分别估计出男、女顾客对该商场服务满意的概率.
（2）根据已知条件完成的列联表，再利用公式求得观测值，最后与临界值比较得出没有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
（1）依题意可知，位男顾客对商场服务满意的有人，
所以男顾客对商场服务满意率估计为.
因为位女顾客对商场服务满意的有人，
所以女顾客对商场服务满意率估计为.
（2）由题意可知，补全列联表如下图所示：
满意 不满意 合计
男顾客 40 10 50
女顾客 35 15 50
合计 75 25 100
所以，
所以没有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异，
19．（2024高二下·兰州期末）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，调查得该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），为了研究计算的方便，记年为，年为依次下去，得到下表：
1 2 3 4 5
储蓄存款（千亿元） 5 6 7 8 10
（1）求关于的线性回归方程；
（2）用所求回归方程预测到年年底，该地储蓄存款额可达多少
附：对于线性回归方程，其中.
【答案】（1）解：依题意，得，，
，
，
所以，，
所以.
（2）解：因为年对应的，
所以，
则到年年底预测该地储蓄存款额约为千亿元.
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件先求出，，，，再利用最小二乘法求出、的值，从而求出回归直线方程.
（2）将代入回归直线方程，从而预测到年年底，该地储蓄存款额可达的金额.
（1）依题意，，
，
，
所以，，
所以；
（2）年对应的，
所以，即到年年底预测该地储蓄存款额约为千亿元.
20．（2024高二下·兰州期末）如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角.动点在线段上.
（1）当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求与平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）解：由题意可得：，平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
若为的中点，则，
可得，
设异面直线与所成角，，
则.
所以，异面直线与所成角的余弦值为.
（2）解：若动点在线段上，
设，
则，
可得，解得，
则，
则，
由题意可知：平面的法向量为，
设与平面所成角为，，
则
对于函数，开口向上，对称轴为，
可得当时，取到最小值为：，
所以的最大值为，
因为，
所以，与平面所成角的正弦最大值为.
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用已知条件和面面垂直的性质定理证出线面垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式和异面直线所成角的取值范围，从而得出异面直线与所成角的余弦值.
（2）设，再结合向量共线的坐标表示，从而可得，再利用平面的法向量和数量积求向量夹角公式以及诱导公式，从而得出与平面所成角的正弦与的函数关系式，再结合二次函数的图象和性质得出二次函数的最小值，则根据线面角的取值范围得出与平面所成角的正弦的最大值.
（1）由题意可得：，平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
若为的中点，则，可得，
设异面直线与所成角，，
则.
故异面直线与所成角的余弦值为.
（2）若动点在线段上，设，
则，可得，解得，
即，则，
由题意可知：平面的法向量为，
设与平面所成角为，，
则，
对于函数，开口向上，对称轴为，
可得当时，取到最小值，
所以的最大值为，因为，
故与平面所成角的正弦最大值为.
21．（2024高二下·兰州期末）已知函数.
（1）若有两个零点，的取值范围；
（2）若方程有两个实根、，且，证明：.
【答案】（1）解：函数的定义域为.
当时，函数无零点，不合乎题意，所以，，
由可得，
构造函数，其中，所以，直线与函数的图象有两个交点，
，由可得，列表如下：
0
增 极大值 减
所以，函数的极大值为，如下图所示：
且当时，，
由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，
故实数的取值范围是.
（2）证明：因为，则，
令，其中，则有，
，所以，函数在上单调递增，
因为方程有两个实根、，令，，
则关于的方程也有两个实根、，且，
要证，即证，即证，即证，
由已知，所以，，整理可得，
不妨设，即证，即证，
令，即证，其中，
构造函数，其中，
，所以，函数在上单调递增，
当时，，故原不等式成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；分析法和综合法
【解析】【分析】(1)对函数h (x)求导，分a= 0和 讨论即可得解 的取值范围；
(2) 令 ，根据题意可转化为证明 ，再令 转化为证明 ，构造函数 ，其中， 利用导数可证得 .
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