云南省部分学校2023-2024学年高二下学期联合教学质量检测数学试题
1．（2024高二下·云南期末）已知集合，，则的真子集个数为( )
A． B． C． D．
2．（2024高二下·云南期末）某商店的一位售货员，发现顾客购买商品后有4种支付方式：现金支付，微信支付，支付宝支付，银联支付，其中用现金支付的概率是，支付宝支付的概率是，银联支付的概率是，则选择用微信支付的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·云南期末）函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数在上单调递减
D．函数的图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称
4．（2024高二下·云南期末）设，，.若，，则最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．（2024高二下·云南期末）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为9”，“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（ ）
A．B与A不互斥且相互独立 B．B与C互斥且不相互独立
C．C与A互斥且不相互独立 D．D与A不互斥且相互独立
6．（2024高二下·云南期末）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮；若未命中，则换对方投篮.已知甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.7，甲、乙每次投篮的结果相互独立.抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5，则第三次投篮的人是甲的概率为（ ）
A．0.35 B．0.525 C．0.575 D．0.595
7．（2024高二下·云南期末）已知、分别为随机事件A、的对立事件，，，则下列等式错误的是（ ）
A． B．
C．若A、独立，则 D．若A、互斥，则
8．（2024高二下·云南期末）如图，已知为双曲线上一动点，过作双曲线的切线交轴于点，过点作于点，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·云南期末）设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，若，则（ ）
A．复数z的虚部为
B．
C．在复平面内对应的点在第一象限
D．
10．（2024高二下·云南期末）如图，连接正方体各个面的中心得到一个每个面都是正三角形的八面体，如果四边形是边长为2的正方形，则（ ）
A．异面直线与所成角的大小为
B．二面角的平面角的余弦值为
C．平面平面
D．此八面体的外接球表面积为
11．（2024高二下·云南期末）已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，满足，且，则（ ）
A．是偶函数 B．曲线关于直线对称
C． D．
12．（2024高二下·云南期末）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则 ； ．
13．（2024高二下·云南期末）甲和乙玩纸牌游戏，已知甲手中有2张10和4张3，乙手中有4张5和6张2，现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为
14．（2024高二下·云南期末）设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，.若，则实数的取值范围是 .
15．（2024高二下·云南期末）某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为类同学）.现用分层抽样方法（按类、类分两层）从该年级的学生中共抽查200名同学，如果以身高达到作为达标的标准，对抽取的200名学生，得到以下列联表：
身高达标 身高不达标 总计
经常参加体育锻炼 80
不经常参加体育锻炼 30
总计 200
（1）完成上表；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系.
附：，其中.
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
16．（2024高二下·云南期末）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）求X的分布列；
（2）若要求，确定n的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
17．（2024高二下·云南期末）已知函数.
（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值.
（2）若在只有一个零点，求.
18．（2024高二下·云南期末）行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是n维空间中，一个线性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等．在数学中，我们把形如，，这样的矩形数字（或字母）阵列称作矩阵．我们将二阶矩阵两边的“[ ]”改为“”，得到二阶行列式，它的运算结果是一个数值（或多项式），记为．
（1）求二阶行列式的值；
（2）求不等式的解集；
（3）若存在，使得，求m的取值范围．
19．（2024高二下·云南期末）已知抛物线C：（）过点，F为C的焦点，A，B为C上不同于原点O的两点.
（1）若，试探究直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由；
（2）若，求面积的最小值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】子集与真子集；并集及其运算
【解析】【解答】解：，
则，
所以的真子集个数为.
故答案为：A.
【分析】由已知根据交集的定义求得集合元素个数，利用真子集的定义即可得解.
2．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：依题意，用现金支付，微信支付，支付宝支付，银联支付两两互斥，
所以选择用微信支付的概率.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和对立事件求概率公式，从而得出选择用微信支付的概率.
3．【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由，得，
则，
所以，
又因为，所以，故A错误；
当时，，
所以，，故B错误；
因为，
令，则，
当时，则，此时单调递增，单调递减，
则在上单调递减，故C正确；
因为的图象上的所有点向左平移个单位长度，
得到，
则变换后的函数图象关于原点对称，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据正弦型函数的图象的最高点的纵坐标得出A的值，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出的值，再利用五点对应法得出的值，从而求出函数的解析式，则判断出选项A和选项B；利用换元法和正弦函数的图象的单调性，从而判断出正弦型函数的图象的单调性，则判断出选项C；利用正弦型函数的图象变换和图象的对称性，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项．
4．【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】解：由，可得，，
则，
当且仅当，时等号成立，故的最大值为1.
故打答案为：C.
【分析】利用指、对数互化用表示，再利用基本不等式求最大值即可.
5．【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：如第一次出现2点，第二次出现1点，
此时事件A，B均发生，所以A与B不是互斥事件，
依题意，
得，，，
又因为，
所以A与B相互独立，故A正确；
因为第一次出现5点，第二次出现4点，此时事件C，B均发生，
所以C与B不是互斥事件，，
则B与不相互独立，故B错误；
因为，
所以与不相互独立，C与A互斥，故C正确；
因为，
所以A与相互独立，第一次出现2点，第二次出现1点，此时事件A、均发生，
所以A与不是互斥事件，故D正确.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和互斥事件、独立事件的定义，从而逐项判断找出说法不正确的选项.
6．【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式；概率的应用
【解析】【解答】解：记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
设，依题可知，，
则，
则，
设，解得，
则，
又因为，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，
则，，
则第次投篮的人是甲的概率为，
当时，.
故答案为：C.
【分析】记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，设，由题意可得，再根据数列知识构造等比数列，再结合等比数列的通项公式得出第三次投篮的人是甲的概率.
7．【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：由，
故选项A错误、选项B正确；
若A、独立，则，，故选项C正确；
若A、互斥，则，，故选项D正确.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合互斥事件、对立事件的定义，根再据条件概率公式，从而逐项判断找出等式错误的选项.
8．【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设，则，
令，则，故，
过点作轴于点，则，
由，轴，
则与相似，
所以及，
则.
又因为，
所以，
所以，
则，
则．其中双曲线上一点的切线方程，
证明如下：
不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得），
由，得，
所以，
则在的切线斜率，
所以在点处的切线方程为：，
又因为，
化简可得切线方程为：．
故答案为：B.
【分析】由直线与双曲线相切可得，从而可得，作轴于点，再结合相似三角形的性质可得，则计算可得的值，从而得出a，b的关系式，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式和双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率.
9．【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意，得，
则虚部为，，故A正确、B错误；
因为在复平面内对应的点在第二象限，故C错误；
因为，，，
故D正确.
故答案为：AD．
【分析】由题意结合复数的运算法则，从而得出复数z，进而得出复数z的虚部，则判断出选项A；利用复数求模公式判断出选项B；利用共轭复数的定义和复数的几何意义，则判断出选项C；利用复数乘法运算法则，则判断出选项D，从而找出正确的选项．
10．【答案】A,C,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；异面直线所成的角；球内接多面体；平面与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：由题可知四点共面，又，
所以四边形为菱形，
所以，故异面直线与所成角即为异面直线与所成角，
又每个面都是正三角形，故异面直线与所成角的大小为，故A正确；
对于B项， 连接，为BE中点，
又每个面都是正三角形，所以，
所以为二面角的平面角，
所以，
由余弦定理得，
所以二面角的平面角的余弦值为，故B错误；
由于三点共线，在直线上，故四点共面.
又由于两两垂直，且在平面内交于点，
故平面.
而在平面内，故平面平面，故C正确；
由于该八面体的每个面都是边长为的正三角形，
故，
所以点为几何体外接球的球心，且外接球的半径为，
从而外接球的表面积为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】通过可判断A项正确，作出二面角的平面角根据余弦定理求解，可知B项错误，使用面面垂直的判定定理即可得到C正确；证明为外接球球心，即可判断D.
11．【答案】B,C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为的定义域为.
对于选项A：令，可得，则，
令，可得，且不恒为零，
则，
则，
所以是奇函数，故A错误；
对于选项B：令，
可得，
所以，
则，
可得，
令，可得，
则，
当时，则，
所以，
当，则，
可得，
当，结合，
则，
可得，
所以；
综上所述：，
两边同时求导可得，
可知曲线关于直线对称，
所以曲线关于直线对称，故B正确；
对于选项C：由选项B可知：，
若，
则，
可得，可知为的周期；
若，
则，
可得，可知为的周期，
综上所述：为的周期，且，
所以，故C正确；
对于选项D：由选项B可知：，
令，可得，
可得，
结合函数周期性可得，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】结合赋值法与函数奇偶性的定义计算，则判断出选项A；结合复合函数导数公式与函数的对称性，则判断出选项B；借助赋值法结合函数周期性分析求解，则判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】；
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由题意，；
当时，
，
整理得，，
故可知是以为首项，以为公比的等比数列，
所以.
故答案为：；.
【分析】由题意结合组合数公式、古典概率公式，从而得出的值；由全概率公式得出递推公式，再构造等比数列，则由等比数列的通项公式得出.
13．【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：一开始两人手中牌的点数之和是相等的，要想交换之后甲手中的牌点数之和更大，
则甲被抽取的两张牌的点数之和应更小．
若甲被抽取的两种牌中有点数为10的牌，
则这两张牌的点数之和肯定更大，不合题意．
所以甲只能被抽取两张3，
则抽取的两张牌的点数之和为6，
又因为乙抽取的两张牌点数之和要大于6，则至少有一张5，
综上所述，．
故答案为：．
【分析】根据题意分析得出甲只能被抽取两张3，乙抽取的两张牌要至少有一张5，再根据组合数公式和独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率．
14．【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：
，
令
，
函数为奇函数.
时， ，
故函数在上是减函数，故函数在上也减函数
由，可得在上是减函数，
，等价于 ，
即，
，解得 ，
故答案为
【分析】先构造函数，根据，可得函数为奇函数.根据导数可判断函数在R上是减函数，利用函数的奇偶性和单调性可将不等式转化为，利用单调性可得：，解不等式可求出实数的取值范围 .
15．【答案】（1）解：根据分层抽样的概念可知，抽取比例为，
所以经常参加体育锻炼的同学有，
不经常参加体育锻炼的同学有，
填写列联表如下：
身高达标 身高不达标 总计
经常参加体育锻炼 80 70 150
不经常参加体育锻炼 20 30 50
总计 100 100 200
（2）解：由列联表中的数据，得的观测值为：，
所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据分层抽样的抽取比例得出经常参加体育锻炼的同学人数和不经常参加体育锻炼的同学人数，从而完善列联表.
（2）利用表格中的数据计算卡方值，再与临界值比较得出不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系.
（1）根据分层抽样的概念可知，抽取比例为，
所以经常参加体育锻炼的同学有，不经常参加体育锻炼的同学有，
填写列联表如下：
身高达标 身高不达标 总计
经常参加体育锻炼 80 70 150
不经常参加体育锻炼 20 30 50
总计 100 100 200
（2）由列联表中的数据，得的观测值为，
所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系.
16．【答案】解：（1）由柱状图并以频率代替概率可得，
一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率
分别为0.2，0.4，0.2，0.2，
则P(X=16)=0.2×0.2=0.04
P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16
P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24
P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24
P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2
P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08
P(X=22)=0.2×0.2=0.04
所以X的分布列为
X 16 17 18 19 20 21 22
P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
（2）由（1）知，P(X≤18)=0.44，(2)由(1)知P(X≤19)=0.68故n的最小值为19．
（3）购买零件所用费用含两部分，
一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，
当n=19时，
费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040；
当n=20时，
费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，
可知，当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值，
故应选n=19．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由已知可得X的可能取值，从而分别求出相应的概率，进而得出X的分布列.
（2）由X的分布列求出P（X≤18)和P（X≤19)，从而能确定满足P（X≤n）≥0.5中n的最小值.
（3）利用购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，从而分别求出n=19时的费用的期望和当n=20时的费用的期望，进而得到买19个更合适．
17．【答案】（1）解；函数的定义域为，，且，
因为曲线在处的切线与轴垂直，所以，则，
即函数，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
即函数在处取得极小值，无极大值；
（2）解：问题等价于函数在只有一个零点，
设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解，
即在只有一解，即曲线与直线只有一个公共点，
令，，令，解得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在取得极小值同时也是最小值，
当时，；当时，，
作出大致的图象，如图所示：
在只有一个零点时，，
则在只有一个零点时，.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的导数，结合导数的几何意义求出，再分析单调性求极值即可；
（2）由函数零点的意义，等价变形得在只有一解，转化为直线与函数图象只有一个交点求解，，求导，利用导数判断函数的单调性，作图，数形结合求解即可.
（1）函数的定义域为R，求导得，，
依题意，，则，，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
（2）函数在只有一个零点，等价于在只有一个零点，
设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解，
即在只有一解，于是曲线与直线只有一个公共点，
令，求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在取得极小值同时也是最小值，
当时，；当时，，
画山大致的图象，如图，
在只有一个零点时，，
所以在只有一个零点吋，.
18．【答案】（1）解：.
（2）解：因为，
所以，
则，
解得，
则不等式的解集为：.
（3）解：因为，
令，
则，其中，
因为，
所以，，
所以，
当时，无解，不合要求；
当时，，
其中在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取得最小值，最小值为2，故；
当时，，其中在上单调递减，
则当时，取得最大值，最大值为-2，故，
因为存在，使得，
所以或，
则m的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据二阶行列式计算公式得出二阶行列式的值.
（2）根据二阶行列式计算公式得到，再结合正弦型函数的图象求出不等式的解集.
（3）根据二阶行列式计算公式得出，令，则，从而求出，分，和三种情况讨论函数的单调性，从而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数m的取值范围.
（1）；
（2），
故，故，
解得，
不等式的解集为；
（3），
令，则，
其中，
因为，所以，，
故，
当时，无解，不合要求，
当时，，
其中在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取得最小值，最小值为2，故；
当时，，
其中在上单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为-2，故，
因为存在，使得，所以或，
m的取值范围为.
19．【答案】（1）解：已知抛物线C：（）过点，
所以，
所以抛物线的方程为，
则直线斜率不可能为0，否则直线与抛物线没有两个交点，
故可设，，
联立抛物线的方程为，
可得，，
由韦达定理得，
因为，
所以，
因为A，B为C上不同于原点O的两点，
所以，所以，经检验符合题意，
则直线，
所以直线过定点.
（2）解：显然，
由（1）得，，
因为，
所以
，
则等式成立，
又因为
所以，首先有，
其次，或，
因为为直线在轴上的截距，且与相异，
由图可知，
则实数的取值范围是或，
，
则点到直线的距离为：
所以的面积可表示为：
因为的取值范围是或，
所以或，
所以，当时，即当时，，
综上所述，面积的最小值为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先根据已知点求出抛物线方程，设直线，，再联立直线方程和抛物线方程，则，再结合和向量垂直的坐标表示，从而可列出方程，进而解出的值，进一步检验判别式得出直线过定点.
（2）由得出，进一步得出的取值范围，再由弦长公式、点到直线的距离公式，从而表示出的面积，再结合的取值范围，从而得出面积的最小值.
（1）已知抛物线C：（）过点，
所以，所以抛物线的方程为，
直线斜率不可能为0，否则直线与抛物线没有两个交点，
故可设，，
联立抛物线的方程为，可得
，，
由韦达定理有，
因为，
所以，
因为A，B为C上不同于原点O的两点，所以，所以，经检验符合题意；
即，
所以直线过定点；
（2）显然，由（1）得，，
因为，所以
，
即有条件等式成立，而
，
所以首先有，其次，或，
因为为直线在轴上的截距，且与相异，由图可知，
从而的取值范围是或，
，
点到直线的距离为，
所以的面积可表示为：，
因为的取值范围是或，
所以或，
所以当，即时，，
综上所述，面积的最小值为.
1 / 1云南省部分学校2023-2024学年高二下学期联合教学质量检测数学试题
1．（2024高二下·云南期末）已知集合，，则的真子集个数为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】子集与真子集；并集及其运算
【解析】【解答】解：，
则，
所以的真子集个数为.
故答案为：A.
【分析】由已知根据交集的定义求得集合元素个数，利用真子集的定义即可得解.
2．（2024高二下·云南期末）某商店的一位售货员，发现顾客购买商品后有4种支付方式：现金支付，微信支付，支付宝支付，银联支付，其中用现金支付的概率是，支付宝支付的概率是，银联支付的概率是，则选择用微信支付的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：依题意，用现金支付，微信支付，支付宝支付，银联支付两两互斥，
所以选择用微信支付的概率.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和对立事件求概率公式，从而得出选择用微信支付的概率.
3．（2024高二下·云南期末）函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数在上单调递减
D．函数的图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称
【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由，得，
则，
所以，
又因为，所以，故A错误；
当时，，
所以，，故B错误；
因为，
令，则，
当时，则，此时单调递增，单调递减，
则在上单调递减，故C正确；
因为的图象上的所有点向左平移个单位长度，
得到，
则变换后的函数图象关于原点对称，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据正弦型函数的图象的最高点的纵坐标得出A的值，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出的值，再利用五点对应法得出的值，从而求出函数的解析式，则判断出选项A和选项B；利用换元法和正弦函数的图象的单调性，从而判断出正弦型函数的图象的单调性，则判断出选项C；利用正弦型函数的图象变换和图象的对称性，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项．
4．（2024高二下·云南期末）设，，.若，，则最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】解：由，可得，，
则，
当且仅当，时等号成立，故的最大值为1.
故打答案为：C.
【分析】利用指、对数互化用表示，再利用基本不等式求最大值即可.
5．（2024高二下·云南期末）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为9”，“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（ ）
A．B与A不互斥且相互独立 B．B与C互斥且不相互独立
C．C与A互斥且不相互独立 D．D与A不互斥且相互独立
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：如第一次出现2点，第二次出现1点，
此时事件A，B均发生，所以A与B不是互斥事件，
依题意，
得，，，
又因为，
所以A与B相互独立，故A正确；
因为第一次出现5点，第二次出现4点，此时事件C，B均发生，
所以C与B不是互斥事件，，
则B与不相互独立，故B错误；
因为，
所以与不相互独立，C与A互斥，故C正确；
因为，
所以A与相互独立，第一次出现2点，第二次出现1点，此时事件A、均发生，
所以A与不是互斥事件，故D正确.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和互斥事件、独立事件的定义，从而逐项判断找出说法不正确的选项.
6．（2024高二下·云南期末）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮；若未命中，则换对方投篮.已知甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.7，甲、乙每次投篮的结果相互独立.抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5，则第三次投篮的人是甲的概率为（ ）
A．0.35 B．0.525 C．0.575 D．0.595
【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式；概率的应用
【解析】【解答】解：记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
设，依题可知，，
则，
则，
设，解得，
则，
又因为，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，
则，，
则第次投篮的人是甲的概率为，
当时，.
故答案为：C.
【分析】记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，设，由题意可得，再根据数列知识构造等比数列，再结合等比数列的通项公式得出第三次投篮的人是甲的概率.
7．（2024高二下·云南期末）已知、分别为随机事件A、的对立事件，，，则下列等式错误的是（ ）
A． B．
C．若A、独立，则 D．若A、互斥，则
【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：由，
故选项A错误、选项B正确；
若A、独立，则，，故选项C正确；
若A、互斥，则，，故选项D正确.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合互斥事件、对立事件的定义，根再据条件概率公式，从而逐项判断找出等式错误的选项.
8．（2024高二下·云南期末）如图，已知为双曲线上一动点，过作双曲线的切线交轴于点，过点作于点，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设，则，
令，则，故，
过点作轴于点，则，
由，轴，
则与相似，
所以及，
则.
又因为，
所以，
所以，
则，
则．其中双曲线上一点的切线方程，
证明如下：
不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得），
由，得，
所以，
则在的切线斜率，
所以在点处的切线方程为：，
又因为，
化简可得切线方程为：．
故答案为：B.
【分析】由直线与双曲线相切可得，从而可得，作轴于点，再结合相似三角形的性质可得，则计算可得的值，从而得出a，b的关系式，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式和双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率.
9．（2024高二下·云南期末）设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，若，则（ ）
A．复数z的虚部为
B．
C．在复平面内对应的点在第一象限
D．
【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意，得，
则虚部为，，故A正确、B错误；
因为在复平面内对应的点在第二象限，故C错误；
因为，，，
故D正确.
故答案为：AD．
【分析】由题意结合复数的运算法则，从而得出复数z，进而得出复数z的虚部，则判断出选项A；利用复数求模公式判断出选项B；利用共轭复数的定义和复数的几何意义，则判断出选项C；利用复数乘法运算法则，则判断出选项D，从而找出正确的选项．
10．（2024高二下·云南期末）如图，连接正方体各个面的中心得到一个每个面都是正三角形的八面体，如果四边形是边长为2的正方形，则（ ）
A．异面直线与所成角的大小为
B．二面角的平面角的余弦值为
C．平面平面
D．此八面体的外接球表面积为
【答案】A,C,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；异面直线所成的角；球内接多面体；平面与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：由题可知四点共面，又，
所以四边形为菱形，
所以，故异面直线与所成角即为异面直线与所成角，
又每个面都是正三角形，故异面直线与所成角的大小为，故A正确；
对于B项， 连接，为BE中点，
又每个面都是正三角形，所以，
所以为二面角的平面角，
所以，
由余弦定理得，
所以二面角的平面角的余弦值为，故B错误；
由于三点共线，在直线上，故四点共面.
又由于两两垂直，且在平面内交于点，
故平面.
而在平面内，故平面平面，故C正确；
由于该八面体的每个面都是边长为的正三角形，
故，
所以点为几何体外接球的球心，且外接球的半径为，
从而外接球的表面积为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】通过可判断A项正确，作出二面角的平面角根据余弦定理求解，可知B项错误，使用面面垂直的判定定理即可得到C正确；证明为外接球球心，即可判断D.
11．（2024高二下·云南期末）已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，满足，且，则（ ）
A．是偶函数 B．曲线关于直线对称
C． D．
【答案】B,C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为的定义域为.
对于选项A：令，可得，则，
令，可得，且不恒为零，
则，
则，
所以是奇函数，故A错误；
对于选项B：令，
可得，
所以，
则，
可得，
令，可得，
则，
当时，则，
所以，
当，则，
可得，
当，结合，
则，
可得，
所以；
综上所述：，
两边同时求导可得，
可知曲线关于直线对称，
所以曲线关于直线对称，故B正确；
对于选项C：由选项B可知：，
若，
则，
可得，可知为的周期；
若，
则，
可得，可知为的周期，
综上所述：为的周期，且，
所以，故C正确；
对于选项D：由选项B可知：，
令，可得，
可得，
结合函数周期性可得，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】结合赋值法与函数奇偶性的定义计算，则判断出选项A；结合复合函数导数公式与函数的对称性，则判断出选项B；借助赋值法结合函数周期性分析求解，则判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
12．（2024高二下·云南期末）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则 ； ．
【答案】；
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由题意，；
当时，
，
整理得，，
故可知是以为首项，以为公比的等比数列，
所以.
故答案为：；.
【分析】由题意结合组合数公式、古典概率公式，从而得出的值；由全概率公式得出递推公式，再构造等比数列，则由等比数列的通项公式得出.
13．（2024高二下·云南期末）甲和乙玩纸牌游戏，已知甲手中有2张10和4张3，乙手中有4张5和6张2，现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为
【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：一开始两人手中牌的点数之和是相等的，要想交换之后甲手中的牌点数之和更大，
则甲被抽取的两张牌的点数之和应更小．
若甲被抽取的两种牌中有点数为10的牌，
则这两张牌的点数之和肯定更大，不合题意．
所以甲只能被抽取两张3，
则抽取的两张牌的点数之和为6，
又因为乙抽取的两张牌点数之和要大于6，则至少有一张5，
综上所述，．
故答案为：．
【分析】根据题意分析得出甲只能被抽取两张3，乙抽取的两张牌要至少有一张5，再根据组合数公式和独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率．
14．（2024高二下·云南期末）设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，.若，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：
，
令
，
函数为奇函数.
时， ，
故函数在上是减函数，故函数在上也减函数
由，可得在上是减函数，
，等价于 ，
即，
，解得 ，
故答案为
【分析】先构造函数，根据，可得函数为奇函数.根据导数可判断函数在R上是减函数，利用函数的奇偶性和单调性可将不等式转化为，利用单调性可得：，解不等式可求出实数的取值范围 .
15．（2024高二下·云南期末）某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为类同学）.现用分层抽样方法（按类、类分两层）从该年级的学生中共抽查200名同学，如果以身高达到作为达标的标准，对抽取的200名学生，得到以下列联表：
身高达标 身高不达标 总计
经常参加体育锻炼 80
不经常参加体育锻炼 30
总计 200
（1）完成上表；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系.
附：，其中.
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：根据分层抽样的概念可知，抽取比例为，
所以经常参加体育锻炼的同学有，
不经常参加体育锻炼的同学有，
填写列联表如下：
身高达标 身高不达标 总计
经常参加体育锻炼 80 70 150
不经常参加体育锻炼 20 30 50
总计 100 100 200
（2）解：由列联表中的数据，得的观测值为：，
所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据分层抽样的抽取比例得出经常参加体育锻炼的同学人数和不经常参加体育锻炼的同学人数，从而完善列联表.
（2）利用表格中的数据计算卡方值，再与临界值比较得出不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系.
（1）根据分层抽样的概念可知，抽取比例为，
所以经常参加体育锻炼的同学有，不经常参加体育锻炼的同学有，
填写列联表如下：
身高达标 身高不达标 总计
经常参加体育锻炼 80 70 150
不经常参加体育锻炼 20 30 50
总计 100 100 200
（2）由列联表中的数据，得的观测值为，
所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系.
16．（2024高二下·云南期末）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）求X的分布列；
（2）若要求，确定n的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
【答案】解：（1）由柱状图并以频率代替概率可得，
一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率
分别为0.2，0.4，0.2，0.2，
则P(X=16)=0.2×0.2=0.04
P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16
P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24
P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24
P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2
P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08
P(X=22)=0.2×0.2=0.04
所以X的分布列为
X 16 17 18 19 20 21 22
P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
（2）由（1）知，P(X≤18)=0.44，(2)由(1)知P(X≤19)=0.68故n的最小值为19．
（3）购买零件所用费用含两部分，
一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，
当n=19时，
费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040；
当n=20时，
费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，
可知，当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值，
故应选n=19．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由已知可得X的可能取值，从而分别求出相应的概率，进而得出X的分布列.
（2）由X的分布列求出P（X≤18)和P（X≤19)，从而能确定满足P（X≤n）≥0.5中n的最小值.
（3）利用购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，从而分别求出n=19时的费用的期望和当n=20时的费用的期望，进而得到买19个更合适．
17．（2024高二下·云南期末）已知函数.
（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值.
（2）若在只有一个零点，求.
【答案】（1）解；函数的定义域为，，且，
因为曲线在处的切线与轴垂直，所以，则，
即函数，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
即函数在处取得极小值，无极大值；
（2）解：问题等价于函数在只有一个零点，
设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解，
即在只有一解，即曲线与直线只有一个公共点，
令，，令，解得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在取得极小值同时也是最小值，
当时，；当时，，
作出大致的图象，如图所示：
在只有一个零点时，，
则在只有一个零点时，.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的导数，结合导数的几何意义求出，再分析单调性求极值即可；
（2）由函数零点的意义，等价变形得在只有一解，转化为直线与函数图象只有一个交点求解，，求导，利用导数判断函数的单调性，作图，数形结合求解即可.
（1）函数的定义域为R，求导得，，
依题意，，则，，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
（2）函数在只有一个零点，等价于在只有一个零点，
设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解，
即在只有一解，于是曲线与直线只有一个公共点，
令，求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在取得极小值同时也是最小值，
当时，；当时，，
画山大致的图象，如图，
在只有一个零点时，，
所以在只有一个零点吋，.
18．（2024高二下·云南期末）行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是n维空间中，一个线性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等．在数学中，我们把形如，，这样的矩形数字（或字母）阵列称作矩阵．我们将二阶矩阵两边的“[ ]”改为“”，得到二阶行列式，它的运算结果是一个数值（或多项式），记为．
（1）求二阶行列式的值；
（2）求不等式的解集；
（3）若存在，使得，求m的取值范围．
【答案】（1）解：.
（2）解：因为，
所以，
则，
解得，
则不等式的解集为：.
（3）解：因为，
令，
则，其中，
因为，
所以，，
所以，
当时，无解，不合要求；
当时，，
其中在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取得最小值，最小值为2，故；
当时，，其中在上单调递减，
则当时，取得最大值，最大值为-2，故，
因为存在，使得，
所以或，
则m的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据二阶行列式计算公式得出二阶行列式的值.
（2）根据二阶行列式计算公式得到，再结合正弦型函数的图象求出不等式的解集.
（3）根据二阶行列式计算公式得出，令，则，从而求出，分，和三种情况讨论函数的单调性，从而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数m的取值范围.
（1）；
（2），
故，故，
解得，
不等式的解集为；
（3），
令，则，
其中，
因为，所以，，
故，
当时，无解，不合要求，
当时，，
其中在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取得最小值，最小值为2，故；
当时，，
其中在上单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为-2，故，
因为存在，使得，所以或，
m的取值范围为.
19．（2024高二下·云南期末）已知抛物线C：（）过点，F为C的焦点，A，B为C上不同于原点O的两点.
（1）若，试探究直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由；
（2）若，求面积的最小值.
【答案】（1）解：已知抛物线C：（）过点，
所以，
所以抛物线的方程为，
则直线斜率不可能为0，否则直线与抛物线没有两个交点，
故可设，，
联立抛物线的方程为，
可得，，
由韦达定理得，
因为，
所以，
因为A，B为C上不同于原点O的两点，
所以，所以，经检验符合题意，
则直线，
所以直线过定点.
（2）解：显然，
由（1）得，，
因为，
所以
，
则等式成立，
又因为
所以，首先有，
其次，或，
因为为直线在轴上的截距，且与相异，
由图可知，
则实数的取值范围是或，
，
则点到直线的距离为：
所以的面积可表示为：
因为的取值范围是或，
所以或，
所以，当时，即当时，，
综上所述，面积的最小值为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先根据已知点求出抛物线方程，设直线，，再联立直线方程和抛物线方程，则，再结合和向量垂直的坐标表示，从而可列出方程，进而解出的值，进一步检验判别式得出直线过定点.
（2）由得出，进一步得出的取值范围，再由弦长公式、点到直线的距离公式，从而表示出的面积，再结合的取值范围，从而得出面积的最小值.
（1）已知抛物线C：（）过点，
所以，所以抛物线的方程为，
直线斜率不可能为0，否则直线与抛物线没有两个交点，
故可设，，
联立抛物线的方程为，可得
，，
由韦达定理有，
因为，
所以，
因为A，B为C上不同于原点O的两点，所以，所以，经检验符合题意；
即，
所以直线过定点；
（2）显然，由（1）得，，
因为，所以
，
即有条件等式成立，而
，
所以首先有，其次，或，
因为为直线在轴上的截距，且与相异，由图可知，
从而的取值范围是或，
，
点到直线的距离为，
所以的面积可表示为：，
因为的取值范围是或，
所以或，
所以当，即时，，
综上所述，面积的最小值为.
1 / 1
